Luận án Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn

C .
(2.79) 
2.3.2. Xây dựng đánh giá dưới mô đun trượt 
Tương tự, chọn trường thử khả dĩ cho ứng suất với trường hợp tổng quát d 
chiều như sau: 
 0 , , , ,
1
1 ; , 1,...,
n
ij ij ik kj jk ki ij kl kl ij kl ijkl
a a b a a ba i j d 
   
   (2.80) 
trong đó: 
0σ là ứng suất lệch, 0 0
ii
 ;
 a là các hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc: 
1
0
n
v 
  a ; ija a (2.81) 
Với điều kiện này thì trường ứng suất đã chọn là khả dĩ. 
 Đặt trường ứng suất vừa chọn vào biểu thức năng lượng bù cực tiểu, biến đổi 
ta nhận được biểu thức năng lượng viết dưới dạng tuyệt đối: 
1: :
V
W d
 σ C σ x
1 0 0 0
1 1
: 2 : : : :
n n
R M
v v 
 
  σ σ a C σ a A a (2.82) 
trong đó:
1
2
4 1
2
R ijij iijj
S S
d d d
 
là trung bình cộng điều hòa Reuss cho mô đun trượt, 
 ij
, , , 1
d
M
M kl
i j k l
C
 C , 
51 
ij ij ij
2 2 1
1
2 2
M
kl kl klpp
b b b
C S S
d d d d d d
 
.
 (2.83) 
Biểu thức cụ thể của A tính theo (2.71). 
Tương tự, tối ưu hóa (2.82) theo các tham số 
ij
a , b, f1, g1 ta thu được đánh giá dưới 
cho mô đun trượt vĩ mô đa tinh thể ngẫu nhiên d chiều: 
1 1
eff Ld
1 1
,
min ax , , ,
f g b
m f g b  C
1
Ld 1 2 1
5 3
R ijij iijj
M M 
, 
 
1
-1 -1 -1 1: : : : : :T T
ijkl M M M M
M
 M C A A A C C A C
(2.84) 
Như vậy, ta đã xây dựng được công thức đánh giá trên và dưới cho mô đun 
đàn hồi khối và trượt vật liệu đa tinh thể d chiều tổng quát. 
52 
2.4. Kết luận chƣơng 2 
Xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu (và bù cực tiểu), với cách chọn 
trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Strickman, chương này 
NCS đã xây dựng được các công thức đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu 
đa tinh thể hỗn độn d chiều. Qua các biểu thức đánh giá này ta nhận thấy: 
 Các đánh giá cho các mô đun đàn hồi vĩ mô phụ thuộc phức tạp vào các 
thông số hình học (f1, g1) và các hệ số đàn hồi thành phần ( ijC
) của đơn tinh 
thể cơ sở. 
 Khi không có các thông tin hình học này thì: công thức đánh giá trên chính là 
đánh giá kinh điển Voigt ( eff
V
K k , eff
V
  ), đánh giá dưới là đánh giá 
Reuss ( eff
R
K k , eff
R
  ). Số hạng thứ hai trong các biểu thức đánh giá 
khiến cho kết quả của luận án tốt hơn vì đã đưa vào các thông tin hình học 
pha vật liệu. 
 Với cách chọn trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực Hashin-
Strickman nên về mặt cơ sở khoa học có thể kết luận đánh giá luận án đã xây 
dựng sẽ tốt hơn, để chứng tỏ điều này, luận án sẽ trình bày kết quả so sánh số 
cho từng vật liệu cụ thể trong chương tiếp theo. 
Các đánh giá cho mô đun đàn hồi vĩ mô tổng quát d chiều đã được công bố trong 
bài báo (1) trong mục “Danh mục các công trình khoa học đã công bố”. 
Trong chương sau, NCS sẽ áp dụng các công thức đánh giá vừa xây dựng để 
tính toán số cho một số đối xứng tinh thể cụ thể, đồng thời so sánh với các kết quả 
đánh giá đã có để chứng minh kết quả trong chương này là hoàn toàn đúng đắn và 
tốt hơn. 
53 
CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ CHO CÁC ĐA 
TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ 
Trong chương này luận án sẽ áp dụng các công thức đánh giá tổng quát đã 
xây dựng ở chương trước cho một số đối xứng tinh thể trong không gian 2 chiều 
(orthorhombic 2D, square) và 3 chiều (tetragonal 3D). Đồng thời sử dụng Matlab 
tính toán cụ thể cho một số đa tinh thể thực tế và so sánh với các kết quả đánh giá 
trước đây. 
Trong quá trình tính toán, ta cần đưa vào các khái niệm 
k
S , S tương ứng là 
tham số phân tán (parameter scater) của hệ số đàn hồi thể tích và trượt vĩ mô của vật 
liệu đa tinh thể ngẫu nhiên [40], [70], [71]: 
U L
k U L
k k
S
k k
, 
U L
U L
S
 
 
. Equation Chapter 3 Section 1 (3.1) 
trong đó: 
Uk , Lk : tương ứng là đánh giá trên và dưới của mô đun đàn hồi khối, 
U , L : tương ứng là đánh giá trên và dưới của mô đun đàn hồi trượt. 
Các tham số phân tán này đặc trưng cho sự chênh lệch tương đối giữa đánh 
giá cận trên và dưới của mô đun đàn hồi vĩ mô. Nếu tham số phân tán lớn tức là giá 
trị cận trên và dưới xa nhau, tham số phân tán nhỏ thì biên đánh giá là hẹp (đánh giá 
là tốt). Trong các bảng kết quả dưới đây, ta sẽ thấy các giá trị này rất nhỏ, và có liên 
quan đến sự hội tụ của phương pháp đánh giá được sử dụng. Trong phương pháp 
phần tử hữu hạn sự liên quan này được thể hiện rõ rệt qua các hình vẽ (sẽ trình bày 
trong chương sau). 
3.1. Các đa tinh thể 2 chiều 
Xét phần tử đặc trưng V được gắn với hệ tọa độ Descartes {x1, x2} trong 
không gian 2D của vật liệu đa tinh thể. Các chỉ số Latin lặp lại , , , , , 1,2i j k l p q ; 
các chỉ số Hy lạp chỉ các thành phần vật liệu đa tinh thể (α, β, γ = 1, ..., N). 
54 
Các đánh giá Voigt, Ruess và thông số hình học vật liệu đa tinh thể 2D tương 
ứng cho bên dưới. 
Đánh giá V-R cho mô đun đàn hồi diện tích:
11 12 22
1
( 2
1
4
)
4
V iijj
K C CC C , 
1
1
22
2
2
11 12
11 122
2
R iijj
C C
C
C
C
K
C
C
.
(3.2) 
Đánh giá V-R cho mô đun đàn hồi trượt: 
211 122 33
1 1
4 2
1
( 4
8
2 )
V ijij iijj
C C C C C C 
 , 
2
11 12
1
22
2
11 12 11 1
33
22 33 22 2
21
2 2
R ijij iijj
C C C C
C C C C C C
S
C
S 
 .
(3.3) 
Các thông số hình học f1, f3, g1, g3 của vật liệu đa tinh thể 2D: 
1
1
0
2
 f , 
1 1 1
8
1
f g f 
, 
3 1
1
2
 f f 
, 
3 1
5
8
 g g .
(3.4) 
Áp dụng các công thức đánh giá mô đun đàn hồi khối d chiều (biên trên 
(2.64), biên dưới (2.74)) và mô đun trượt d chiều (biên trên (2.79), biên dưới (2.84)) 
cho vật liệu đa tinh thể 2D (d = 2) với một số đối xứng tinh thể cụ thể sau. 
3.1.1. Đối xứng tinh thể hình chữ nhật (Orthorhombic 2D) 
Đa tinh thể cấu tạo từ vô số các đơn tinh thể có cấu trúc orthorhombic liên 
kết hỗn độn với nhau gọi là đối xứng tinh thể orthorhombic. Tinh thể orthorhombic 
có các mặt bên và 2 mặt đáy là hình chữ nhật, với các kích thước cạnh tương ứng là 
a, b, c (hình 3.1). Trong không gian 2D ta xét các mặt tương ứng của nó. 
 Đơn giản Tâm diện Tâm khối Tâm mặt 
Hình 3.1: Đối xứng tinh thể orthorhombic 
55 
Đối xứng tinh thể này có 4 hệ số đàn hồi độc lập khác không, biểu diễn dạng 
ma trận: 
11 12
22
33
0
0
C C
C
DX C
C
(3.5) 
a. Đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích 
Tính toán các số hạng cụ thể trong (2.64) cho tinh thể orthorhombic như sau: 
 11 11 12
1
1
4 2 4
K V
bkb
C C C 
,
 22 22 12
1
1
4 2 4
K V
bkb
C C C 
, 
12 21
0K KC C ,
 ' '1111 11 11 1 2 11 12 3 6 11 33 4 5A AC C C B B C C B B C C B B ,
 '22 22 1 2 22 12 3 6 22 33 4 5AC C B B C C B B C C B B , 
 '33 33 1 12 2 11 33 5 11 12 6AC C B C B C C B C C B , 
 '12 12 1 33 2 11 12 3 11 33 4AC C B C B C C B C C B ,
 '21 12 1 33 2 22 12 3 22 33 4AC C B C B C C B C C B , 
' ' ' '
13 31 23 32
0A A A AC C C C . (3.6) 
Đặt các biểu thức của C’A và D vào (2.61), nhận được ma trận có dạng giống ma 
trận hệ số đàn hồi: 
11 12
22
33
0
0
A A
A
A
A
(3.7) 
Tương tự như C và S ta có tính chất sau [70]: 
   1 1; , , , 1,2A Apq rsS C p q r s A (3.8) 
Tính các thành phần trong dấu trung bình trong (2.61): 
1 : AC
K K 
 A C C , 
11 11 1111 11 1122 22 11 11 12 22
AC A K A K A K A K A K
K kl kl
C S C S C S C S C S C , 
22 12 11 22 22
AC A K A K
K
C S C S C ,
12 33 12
1
2
AC A K
K
C S C , 
56 
1: : :CAC AC
K K K K K
C 
 C A C C C ,
11 11 22 22 12 12
2CAC K AC K AC K AC
K K K K
C C C C C C C . (3.9) 
Lấy trung bình các biểu thức theo α. 
 ij ,kl V VC k
 T ,
 ij ij ik il ij
1
,
2
kl R kl R jl jk kl
T k k         
,
  1 1 1
1 1
,
4 4
A A
R pq R pq 
   
A T S S ,
 1 11 22 122A A A AR pqS S S S K ,  
1
11 22 22 33
1
2
2
A A A A A
R pq
S S S S S M ,
   
1
1 ,A A
R pq R pq
S S 
  A T
,
 1 11 22
1
:
2
AC AC
K k k
C C 
 A C I ,
 
1 1 2
1 1 1
11 33
: : : 2AC AC A
K K K K R pq
C C S 
 C A A A C K . (3.10) 
Đặt các biểu thức vừa tính được từ (3.6) đến (3.10) vào đánh giá tổng quát 
(2.64) ta được công thức đánh giá trên cho mô đun đàn hồi diện tích đa tinh thể 
orthorhombic 2D: 
1 1
eff U
1 1
,
ax min , , ,
bf g
K m K f g b C ,
 
2
11 22
KU AC AC A CAC
V K K R pq K
K K C C S C . (3.11) 
b. Đánh giá dưới mô đun đàn hồi diện tích 
Tương tự, tính toán các số hạng cụ thể trong (2.73) cho tinh thể orthohombic 2D 
như sau:
 11 11 12
4 3
4 8
K b bC S S 
, 22 11 22
4 3
4 8
K b bC S S 
, 
12 21
0K KC C ,
11 1111 1 2
D D D D ,
 22 11
D D ,
 33 1212 2
4 2D D D , 
12 21 13 31 23 32
0D D D D D D ,
 1 1 1 11 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3
1 1 1 1
4 4 4 2
R R R R
D k f F g G f F g G k f F g G  
2
1 1 1
2 4 2 2 7 7
1 1 1 5 1 3
1
4 2 2 8 4 4
R R R
b
k f F g G F G k 
,
 1 12 2 1 2 1 2 2 2 2
1 1
2 4
R R
D f F g G k f F g G 
57 
1 1 1
2 3 2 3 2 6 2 2 8 8
1 1 1 1 5
4 2 2 2 8
R R R
k f F g G k f F g G F G 
,
 ' '1111 1111 11 1 2 11 12 3 6 11 33 4 5
1
4
AS A S B B S S B B S S B B 
,
 '22 22 1 2 22 12 3 6 22 33 4 5
1
4
AS S B B S S B B S S B B 
,
 ' '33 1212 33 1 12 2 11 33 5 11 12 64 4 4 4AS A S B S B S S B S S B , 
 ' '12 1122 12 1 33 2 11 12 3 11 33 4
1 1
4 4
AS A S B S B S S B S S B 
,
' '
21 12
A AS S ,
' ' ' '
13 31 23 32
0A A A AS S S S .
 (3.12) 
Tính các thành phần trong dấu trung bình của (2.73): 
1 : AC
K K
 A C C ,
11 11 1111 11 1122 22 1112 12 11 11 12 22 13 12
2 2AC A K A K A K A K A K A K A K
K kl kl
C C C C C C C C C C C C C C C ,
22 12 11 22 22 13 12
2AC A K A K A K
K
C C C C C C C 
, 12 13 11 22 33 122AC A K K A KKC C C C C C , 
1: : :CAC AC
K K K K K
C 
 C A C C C ,
11 11 12 12 22 22
2CAC CA K CA K CA K
K K K K
C C C C C C C .
 (3.13) 
Lấy trung bình theo α. 
   1 ,A AV pq R pqK C M C 
 A T ,  
1
1 1 11 1,
4 4
A A
V pq V pq
C C 
   
A T
 1 11 22
1
:
2
AC AC
K K K
C C 
 A C I ,
1
11 11 12 12 22 22
: : 2CA K CA K CA K CAC
K K K K K K
C C C C C C C 
 C A C , 
1 1 1 1
1 1
0 0 2
2 8
 ,f f g f b ,
  11 12 22
1 1
2
4 4
A A A A A
V pq iijj
C C C C C ,
  11 22 12 33
1 1 1 1 1
4 2 8 4 2
A A A A A A A
V pq ijij iijj
C C C C C C C
 
.
 (3.14) 
Thay các biểu thức từ (3.12) đến (3.14) vào (2.73) nhận được công thức đánh giá 
cận dưới cho mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu đa tinh thể orthorhombic 2D: 
58 
 1 1
eff
,
min ax Lfgb
f g b
K m K ,
 
1
2
1 1
11 22
1
K
4
Lfgb AC AC A CAC
R K K V pq K
K K C C C C
(3.15) 
c. Kết quả các đánh giá và so sánh 
Xét một số đa tinh thể 2D orthorhombic với các hệ số đàn hồi thành phần 
tương ứng được cho trong bảng số liệu đầu vào sau (đơn vị tính GPa): 
Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể 2D orthorhombic 
Tinh thể 
C11 
(GPa) 
C22 
(GPa) 
C12 
(GPa) 
C33 
(GPa) 
S(1) 2.05 4.83 1.59 0.43 
S(2) 2.40 2.05 1.33 0.76 
U(1) 19.86 26.71 10.76 12.44 
U(2) 21.47 19.86 4.65 7.43 
TiO2 27.3 48.4 14.9 12.5 
Ở đây: S(1) là đối xứng tinh thể lưu huỳnh (S) xét trong mặt phẳng {x2, x3}; S(2) 
ứng với mặt phẳng {x1, x3}; các tinh thể khác tương tự. 
Sử dụng các số liệu trong Bảng 3.1, các công thức (3.11) và (3.15), tính toán 
số bằng Matlab (quy trình tính toán chung theo Hình 3.2) và so sánh với các đánh 
giá V-R tính từ các công thức (1.1), (1.2), đánh giá cho các đa tinh thể từ các tinh 
thể dạng hạt tròn [75], ta nhận được kết quả trong Bảng 3.2 bên dưới. Các ký hiệu 
cụ thể: 
 
V
K ,
R
K : tương ứng là các đánh giá Voigt- Reuss, 
 U
cir
K , L
cir
K : tương ứng là đánh giá trên và dưới cho đa tinh thể từ các tinh thể dạng 
tròn (circular cell polycrystals), 
 UK , LK : tương ứng đánh giá trên và dưới của luận án, 
 Ub ,
1
Uf , 
1
Ug , Lb , 
1
Lf ,
1
Lg : là các giá trị các biến b, f1, g1 (các thông số hình học vật 
liệu) đạt được ứng với đánh giá trên và dưới của luận án, cụ thể: 
59 
Ub ,
1
Uf ,
1
Ug : tương tứng là giá trị nhỏ nhất của b, giá trị lớn nhất của f1, g1 mà mô 
đun đàn hồi diện tích đạt cực đại, chính là đánh giá trên KU của luận án. Trong 
chương trình tính, luận án chia mỗi khoảng của b, f1, g1 thành n đoạn (n =100) 
như vậy sẽ có n3 đoạn cần tối ưu. 
Lb ,
1
Lf ,
1
Lg : tương tứng là giá trị lớn nhất của b, giá trị nhỏ nhất của f1, g1 mà mô 
đun đàn hồi diện tích đạt cực tiểu, chính là đánh giá dưới KL của luận án. 
 LA
k
S , irc
k
S , VR
k
S : tương ứng là các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích 
của Luận án, dạng hạt tròn và V-R. 
Hình 3.2: Quy trình tính các đánh giá bằng Matlab
60 
Bảng 3.2: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D 
Tinh thể 
Orthorhombic 
2D 
R
K LK L
cir
K U
cir
K UK 
V
K 
Lb , 
1
Lf , 
1
Lg
Ub , 
1
Uf , 
1
Ug 
LA
k
S 
(%)
irc
k
S 
(%)
VR
k
S 
(%)
S(1) 1.9928 2.1365 2.1365 2.1612 2.1612 2.5150 
-1.4025 
0.0671 
0.5140 
-0.6785 
0 
0.2014 
0.57 0.57 11.58 
S(2) 1.7604 1.7678 1.7678 1.7680 1.7774 1.7775 
-0.5230 
0 
0.4102 
-0.8850 
0.0125 
0.0450 
0.27 0.01 0.48 
U(1) 16.5542 16.7399 16.7399 16.7489 16.7489 17.0225 
-1.0240 
0.1605 
0.5141 
-0.9765 
0.3120 
0.4121 
0.03 0.03 1.39 
U(2) 12.6373 12.6434 12.6434 12.64341 12.64341 12.6575 
-0.0513 
0 
0.3105 
-1.2550 
0.1667 
0.1435 
30.04.10 30.04.10 0.08 
TiO2 23.9501 24.7672 24.7672 24.8078 24.8078 26.3750 
-0.1455 
0.2037 
0.4136 
-0.6857 
0 
0.1034 
0.08 0.08 4.82 
61 
Nhận xét Bảng 3.2: 
 Đánh giá mới của luận án luôn nằm trong khoảng các đánh giá Voigt- Reuss, 
chứng tỏ kết quả của luận án là tốt hơn. 
 Đánh giá của luận án nằm gần sát với đánh giá cho đa tinh thể dạng hạt tròn, 
chứng tỏ kết quả của luận án là hợp lý và đánh giá cho tinh thể hạt tròn có thể sử 
dụng như xấp xỉ đơn giản dùng trong ứng dụng. 
 Các giá trị tham số phân tán của luận án LA
k
S gần như bằng với tham số cho tinh 
thể dạng hạt tròn irc
k
S và nhỏ hơn nhiều lần VR
k
S của V-R (chẳng hạn: tinh thể U(2) 
có LA
k
S , irc
k
S nhỏ hơn VR
k
S đến 2.000 lần ), chứng tỏ biên đánh giá của luận án và 
dạng hình tròn sát nhau và hẹp (tốt) hơn rất nhiều so với V-R. 
3.1.2. Đối xứng tinh thể hình vuông (Square) 
Đối xứng tinh thể này có 3 hệ số đàn hồi độc lập khác không, là trường hợp 
riêng của orthorhombic, có biểu diễn dạng ma trận: 
11 12
11
33
0
0
C C
C
DX C
C
(3.16) 
a. Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích 
Từ công thức (3.11) khi cho C22 =C11, qua một số bước biến đổi toán học ta 
có thể nhận được công thức đánh giá trên cho mô đun đàn hồi diện tích đa tinh thể 
square 2D (hoặc có thể thực hiện các bước tính toán tương tự như orthorhombic): 
 11 12
1
2
effK C C 
(3.17) 
Ta nhận thấy vế phải của công thức (3.17) trên chính là trung bình cộng số học 
Voigt cho vật liệu đa tinh thể trong không gian 2 chiều. 
 Tương tự lập luận cho đánh giá trên, cho C22 =C11 từ (3.15) ta nhận được 
công thức đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi thể tích đa tinh thể square (trùng với 
đánh giá trên): 
62 
 11 12
1
2
effK C C 
(3.18) 
Kết quả này hoàn toàn hợp lý với các đánh giá kinh điển trước đây của V-R, HS. 
b. Đánh giá mô đun đàn hồi trượt 
 Đánh giá trên 
Tính toán các số hạng cụ thể trong (2.79) cho tinh thể square như sau: 
11 11 12
1 3
2 8 8
M b bC C C 
, 
12 12 11
1 3
2 8 8
M b bC C C 
, 
33 33
1
2 4
M bC C 
, 
2
'
11 11 1 1 2 1 1 2 11 33 1 4 5
1
1
4 2
A bC C f F F g G G C C f F F 
2
1 2 5 11 12 1 3 4 1 2
8 16
b b
g G G C C f F F g G 
, 
2
'
12 12 1 1 1 1 33 1 2 1 2
1
1
4 2
A bC C f F g G C f F g G 
2
11 33 1 4 1 2 11 12 1 3
8 16
b b
C C f F g G C C f F 
, 
2
'
33 33 1 1 1 1 11 33 1 2 1 2
1 1
1
4 2 2
A bC C f F g G C C f F g G 
 11 33 1 5 1 5 11 12 1 4 1 2
1 1
2 2
C C f F g G C C f F g G , 
11 1 2
D D D , 
12 1
D D , 
33 2
1
2
D D ,
 
6
1
, 1
A
pq p q
A S 
 ,
11
11 2 2
11 12
A
A
A A
C
S
C C
, 
12
12 2 2
11 12
A
A
A A
C
S
C C
, 
33
33
1A
A
S
C
 .
(3.19) 
Tính các số hạng trong dấu 
trong (2.79):
 1 1: : ACM M MpqC C A A C , 1: : CACM M MpqC C A C , 
11 11 11 11 12 12
AC A M A M A M
M kl kl
C S C S C S C , 
12 11 12 12 11
AC A M A M
M
C S C S C , 
33 33 33
1
2
AC A M
M
C S C , 
63 
11 11 11 12 12
CAC M AC M AC
M M M
C C C C C , 
12 12 11 11 12
CAC M AC M AC
M M M
C C C C C , 
33 33 33
2CAC M AC
M M
C C C . (3.20) 
Vì giả thiết đẳng hướng thống kê nên tất cả các trung bình 
 trong (2.79) là ten 
xơ đẳng hướng bậc bốn: 
 ij ,kl V VC k
 T ,
 ij ij ik il ij
1
,
2
kl R kl R jl jk kl
T k k         
,
 1 11 12 11 12 33
1 1 1
,
2 4 2
A A A A AS S S S S 
A T ,
1
1 1
1
11 12 11 12 33
1 1
,
2 2
A A A A AS S S S S 
A T ,
 1 1 11 12 11 12 33
1 1
: : , 2
2 4
AC AC AC AC AC
M M
C C C C C 
A C C A T ,
 1 11 12 11 12 33
1 1
: : , 2
2 4
CAC CAC CAC CAC CAC
M M
C C C C C 
C A C T .
 (3.21) 
 Đặt các biểu thức vừa tính được từ (3.19) đến (3.21) vào công thức tổng quát 
(2.79) ta được công thức đánh giá trên mô đun đàn hồi trượt cho đối xứng tinh thể 
square: 
1 1
eff
11 12 33
,
1
ax min 2
4
CAC CAC CAC
V M M M
bf g
m C C C 
1
2
11 12 33 11 12 33
1 1
2
4 2
A A A AC AC AC
M M M
S S S C C C
 (3.22) 
 Đánh giá dưới 
Tính toán các số hạng cụ thể trong (2.84) cho tinh thể square:
11 11 12
1 3 1
8 2 8 2
M b bC S S 
,
12 11 12
3 1 1
8 2 8 2
M b bC S S 
, 
33 33
16
M bC S ,
11 1 2
D D D ,
 22 11
D D ,
 33 1212 2
4 2D D D ,
2
'
11 11 1 1 2 1 1 2 11 33 1 4 5
1
16 4
A bS S f F F g G G S S f F F 
64 
2
1 2 5 11 12 1 3 6 1 6
3
4 16
b b
g G G S S f F F g G 
, 
2
'
12 12 1 1 1 1 33 1 2 1 2
1
16 4
A bS S f F g G S f F g G 
2
11 33 1 4 1 2 11 12 1 3
1 3
4 4 16
b b
S S f F g G S S f F 
, 
2
'
33 12 1 1 1 1 12 33 1 2 1 2
1
2
16 4
A bS S f F g G S S f F g G 
 11 33 1 5 1 5 11 12 1 6 1 2
1
2 2
4
S S f F g G S S f F g G 
.
 (3.23) 
Tính các thành phần trong (2.84) và lấy trung bình: 
1 : AC
M M
 A C C , 1: : :CAC AC
M M M M M
C 
 C A C C C ,
11
11 2 2
11 12
A
A
M
A A
S
C
S S
, 
12
12 2 2
11 12
A
A
M
A A
S
C
S S
, 
33
33
1A
M A
C
S
 ,
11 11 11 11 12 12
AC A M A M A K
M kl kl
C C C C C C C , 
12 11 12 12 11
AC A M A M
M
C C C C C ,
33 33 33
2AC A M
M
C C C ,
11 11 11 12 12
CAC AC M AC M
M M M
C C C C C ,
12 11 12 12 11
CAC AC M AC M
M M M
C C C C C ,
33 33 33
2CAC AC M
M M
C C C .
(3.24) 
Đặt các biểu thức (3.23), (3.24) vào (2.84) nhận được công thức đánh giá dưới cho 
mô đun trượt của vật liệu đa tinh thể square: 
1 1
eff 1
11 12 33
,
min max 2CAC CAC CAC
R M M M
f g b
C C C  
1
1 2
11 12 33 11 12 33
2 2A A A AC AC AC
M M M
C C C C C C
(3.25) 
c. Kết quả các đánh giá và so sánh 
Xét một số đối xứng tinh thể square với các hệ số đàn hồi thành phần được 
cho trong Bảng 3.3. Tương tự như trường hợp orthorhombic, áp dụng các công thức 
đánh giá (3.22) và (3.25), tính toán theo quy trình Hình 3.2, so sánh với các đánh 
giá V-R tính theo (1.1), (1.2), HS tính theo (1.4), (1.7), giá trị SC tính theo (1.27), 
nhận được kết quả cho mô đun đàn hồi diện tích square (Bảng 3.3) và mô đun trượt 
square (Bảng 3.4). 
65 
Bảng 3.3: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích square 
Bảng 3.4: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt square 
Tinh 
thể 
square 
R
 
(GPa) 
L
HS
 
(GPa)
L 
(GPa) 
SC
 
(GPa) 
U 
(GPa) 
U
HS
 
(GPa) 
V
 
(GPa) 
LAS 
(%) 
HSS 
(%) 
VRS 
(%) 
Ag 23.1 25.17 25.63 25.76 25.94 26.36 30.40 0.61 2.31 13.64 
Ca 6.0 6.462 6.545 6.563 6.60 6.667 8.0 0.41 1.56 14.29 
Cu 35.82 39.41 40.26 40.51 40.89 41.64 49.40 0.77 2.75 15.94 
Ni 67.86 72.43 73.24 73.41 73.71 74.42 84.50 0.32 1.35 10.92 
Pb 5.92 6.772 7.04 7.152 7.302 7.556 9.250 1.82 5.47 21.95 
Li 1.98 2.49 2.73 2.90 3.19 3.41 5.45 7.77 15.59 46.7 
trong đó: VK , RK , V , R tương ứng là các đánh giá V- R; HSK ,
U
HS
 , L
HS
 là các đánh 
giá HS; 
SC
 là giá trị SC; effK , U , L là các đánh giá của luận án; 
LAS , 
HSS , 
VRS 
là các tham số phân tán cho mô đun đàn