Luận án Điều khiển thích nghi phi tuyến cho robot công nghiệp trên cơ sở mạng nơ ron nhân tạo

ó thể được biểu diễn như sau: 
qHHvH 1ˆˆ 1 NN vHHIvH () 1 1 (1.110) 
Định nghĩa 
EHHI 1 ˆ (1.111) 
 Ev H 1 N (1.112) 
Phương trình (1.110) có dạng 
qv  (1.113) 
Việc thiết kế tín hiệu điều khiển sẽ dựa trên giả thiết rằng mặc dù các thông số động lực 
học không biết chính xác nhưng có thể đánh giá được giới hạn của chúng trong trường hợp 
xấu nhất. Chúng ta đưa ra các giả thiết như: 
Giả thiết 1: sup qQd 1 
Giả thiết 2: EHHI 1 ˆ  1 
Giả thiết 3: N (,)et 
Định nghĩa các véc tơ sai số vị trí và tốc độ 
 e1 q qd
 (1.114) 
 e2 q qd
Đạo hàm (1.114), ta có: 
 ee12 
 (1.115) 
 e2 v  qd
Phương trình (1.115) có thể được viết dưới dạng không gian trạng thái như: 
e Ae B{} v  qd (1.116) 
trong đó 
 00I 
AB ; (1.117) 
 00 I 
Ban đầu tín hiệu điều khiển v được thiết kế như sau: 
v qd K p()() q q d K d q q d v (1.118) 
Trong đó 
KP diag{ K p11 ,..., K pnn }
 (1.119) 
KD diag{ K d11 ,..., K dnn }
với KKK  PD,  
Do vậy (1.116) có thể biểu diễn dưới dạng: 
e Ae B{} v  (1.120) 
 43 
hoặc dưới dạng véc tơ như sau: 
 ee12 
 (1.121) 
 ev2 
trong đó A A BK là ma trận Hurwitz và 
 1
 E v E() qd Ke H N (1.122) 
Giả thiết rằng chúng ta có thể tìm được hàm liên tục et, thỏa mãn bất đẳng thức sau 
 v (,) e t
 (1.123) 
 (,)et
Sử dụng giả thiết 1÷3 dẫn đến 
 1
 vEqKeH()(,)(,)(,)d N  et  QKeHet1  et (1.124) 
Giải (1.124) để tìm , ta có: 
 1
 (,)()e t Q K e H  (1.125) 
 1  1
Phương trình (1.121) cho thấy có thể sử dụng backstepping để ổn định hệ động lực học 
kín. Đại lượng e2 có thể được thiết kế như tín hiệu điều khiển đề đảm bảo hội tụ về 0 cho 
e1 nếu: ee21  (1.126) 
với  là hằng số dương. 
Hàm Lyapunov được chọn như sau: 
 T
V1 e 1 e 1 /2 (1.127) 
Đạo hàm theo thời gian V1 ta có: 
 TT
V1( e 1 ) e 1 e 1  e 1 e 1 0 (1.128) 
Mặt trượt được chọn như sau: 
S e21 e (1.129) 
Trong đó  là hằng số dương. 
Đạo hàm s theo thời gian ta có: 
S e2  e 1 v   e 1 (1.130) 
Tín hiệu điều khiển α được định nghĩa như sau: 
 ve  1 (1.131) 
Thay (1.131) vào (1.130) ta có: 
S  (1.132) 
Hàm Lyapunov V2 đươc chọn như sau: 
 T
V2 ( s ) S S / 2 (1.133) 
 44 
Đạo hàm và kết hợp với (1.132) ta có: 
 TT
V2 ()() s S S S  (1.134) 
Để Vs2 ( ) 0 , tín hiệu α được thiết kế như sau: 
 S 
 nếu S 0 ; 0 nếu S 0 (1.135) 
 S
Thay (1.135) vào (1.134) và kết hợp (1.123) dẫn đến 
V2 ( s ) S S  S (  ) 0 (1.136) 
Như vậy chúng ta có thể kết luận: 
 e1 qd q 0
 khi t (1.137) 
 e2 qd q 0
Tín hiệu điều khiển được đưa vào thuật toán động lực học đảo để áp chế các tham số 
động lực học bất định, tuy nhiên do tín hiệu này là hàm dấu sẽ dẫn đến hiện tượng rung 
(chattering phenomenon) là đặc điểm điển hình của các tín hiệu điều khiển gián đoạn. 
Hiện tượng rung là không mong muốn, do thành phần tần số cao trong điều khiển có thể 
kích hoạt hiệu ứng động lực học không mô hình được. Để giảm hiện tượng này, tín hiệu 
điều khiển α trong (1.135) được thay thế như sau: 
 S S 
 nếu S  ; nếu S  (1.138) 
 S 
c) Kết luận 
 Phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững kết hợp kỹ thuật cuốn chiếu trong chuyển 
động bám quỹ đạo của robot khi có nhiễu tác động đảm bảo sự ổn định của hệ kín theo 
tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Phương pháp này có thể sử dụng để thiết kế bộ điều khiển 
cho robot có số bậc tự do lớn, có mô hình xác định và có nhiễu tác động. 
1.2.2.5 Điều khiển thích nghi robot trên cơ sở mờ và mạng nơ ron 
 Sử dụng mạng nơ ron (NN) thiết kế điều khiển cho tay máy robot ngày càng được các 
nhà khoa học quan tâm nghiên cứu; các thuật toán điều khiển sử dụng mạng nơ ron thực 
hiện được trong cả hệ liên tục và rời rạc; đặc tính thụ động chặt của NN tránh sự tác động 
dư thừa. Nếu cấu trúc điều khiển NN sử dụng luật học on-line theo thời gian thực và đồng 
thời đảm bảo rằng sai lệch bám và các sai lệch ước lượng trọng số là bị chặn thì kết quả bộ 
điều khiển mang lại là đặc tính bền vững kể cả khi đối tượng có tính phi tuyến, chưa biết 
đầy đủ thông tin về mô hình động lực học và cũng như khi có nhiễu tác động. Ứng dụng 
NN điều khiển tay máy robot là rất phù hợp vì do chính tính động lực học của robot đáp 
ứng được một số tính chất quan trọng của NN. Vì vậy, đây cũng là một trong các ứng dụng 
robot để phát hiện ra đặc tính mới của NN [24]. 
 Ngoài ra, NN có một ưu điểm cơ bản là tính xấp xỉ vạn năng với mọi hàm trơn, bị chặn 
 V2
với độ chính xác tùy ý. Do vậy, NN là công cụ hữu hiệu để tổng hợp các bộ điều khiển 
 45 
thích nghi cho các đối tượng bất định kiểu hàm số mà robot công nghiệp là một trong các 
đối tượng đó [12], [14], [15]. 
1.3 Hướng nghiên cứu của luận án 
1.3.1 Phát biểu bài toán 
 Đối tượng robot n bậc tự do: Như đã trình bày ở phần 1.1, việc xác định chính xác mô 
hình của robot công nghiệp gặp nhiều khó khăn, đó là sự phức tạp trong việc xác định khối 
lượng, mô men cũng như kích thước hình học của robot, ngoài ra các tham số còn có thể bị 
thay đổi phụ thuộc vào chế độ công tác của robot... Do đó, mô hình động lực học tổng quát 
nhất của robot là mô hình trạng thái bất định kiểu hàm số. Đây cũng là mô hình của đối 
tượng trong bài toán điều khiển được đề cập đến trong luận án. 
 Mục tiêu điều khiển: là xây dựng bộ điều khiển bám quỹ đạo đặt trước cho robot có mô 
hình bất định kiểu hàm số đảm bảo hệ kín ổn định bền vững toàn cục (GAS), sai lệch bám 
tiến về không và không chịu ảnh hưởng của nhiễu. 
1.3.2 Phương pháp luận 
 Căn cứ vào việc phân tích đặc tính động học của mô hình trạng thái robot, trên cơ sở 
nghiên cứu các phương pháp điều khiển phi tuyến, thích nghi và mạng nơ ron nhân tạo để 
từ đó đề xuất các giải thuật điều khiển đạt được mục tiêu điều khiển. Do vậy, định hướng 
nghiên cứu của luận án là đề xuất bộ điều khiển thích nghi bền vững mới trên cơ sở kết 
hợp điều khiển phi tuyến với mạng nơ ron nhân tạo. 
1.4 Kết luận chương 1 
 Chương 1 của luận án trình bày về phương pháp xây dựng mô hình động lực học của 
robot, phân tích các đặc tính đặc trưng của mô hình robot. Nghiên cứu một số phương 
pháp tổng hợp bộ điều khiển đặc trưng cho robot công nghiệp, mô phỏng và từ đó đánh 
giá khả năng phát triển thuật toán điều khiển mới trên cơ sở các phương pháp điều khiển 
này. Tuy nhiên, phần lớn các phương pháp nghiên cứu đến thời điểm hiện nay mới chỉ giải 
quyết được triệt để bài toán tổng hợp bộ điều khiển cho robot có mô hình xác định hoặc 
mô hình bất định kiểu hằng số, còn rất ít các đề xuất tổng hợp bộ điều khiển cho robot có 
mô hình bất định kiểu hàm số. 
Kết quả nghiên cứu trong chương này được công bố qua 3 bài báo: 
 - Application of the Exact Linearization Method to Robot. The tenth international 
 Confevence on control Automation, Robotics an vision, ICARCV-2008. 
 - Thiết kế bộ điều khiển bám quỹ đạo cho robot bằng phương pháp Jacobian xấp xỉ 
 thích nghi. Hội nghị toàn quốc lần thứ 6 về Cơ Điện tử, VCM-2012. 
 - Áp dụng phương pháp backstepping trong điều khiển bền vững chuyển động của 
 Robot. Hội nghi toàn quốc lần thứ 2 về Điều khiển và Tự động hóa, VCCA-2013. 
 46 
 Chương 2 
 ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI TAY MÁY ROBOT SỬ DỤNG MẠNG 
 NƠ RON TRÊN CƠ SỞ KỸ THUẬT BACKSTEPPING 
 Từ các kết luận ở chương 1, ta thấy robot là đối tượng có mô hình bất định kiểu hàm 
số chịu ảnh hưởng của nhiễu bên ngoài tác động. Nghiên cứu phát triển các thuật toán điều 
khiển cho hệ phi tuyến bất định kiểu hàm số luôn là một lĩnh vực thu hút được sự quan tâm 
của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Cho đến nay, những thành tựu đã được công bố ở 
lĩnh vực điều khiển này còn rất ít. 
 Từ những tính chất đặc trưng của robot, luận án tập trung vào việc nghiên cứu chuyển 
đổi mô hình động lực học của robot về dạng thích hợp với các phương pháp điều khiển phi 
tuyến đã được ứng dụng thành công trong thực tế kết hợp với khả năng xấp xỉ vạn năng 
của mạng nơ ron để áp dụng được bộ điều khiển nơ ron thích nghi trên cơ sở kỹ thuật 
backstepping. Một số kết quả được công bố như trong các công trình [39], [40], [41], [42], 
[43], [44], [45], [46]... Bộ điều khiển ANNC được đề xuất bởi Tao Zhang, S.S. Ge và C.C. 
Hang, trong tài liệu [37], [38] thích hợp cho lớp đối tượng phi tuyến truyền ngược chặt bất 
định kiểu hàm số. Sau đây là các bước thiết kế bộ điều khiển ANNC. 
2.1 Tổng hợp bộ điều khiển thích nghi sử dụng mạng nơ ron 
Xét đối tượng phi tuyến có cấu trúc truyền ngược [21], [22]: 
 xi f i x1, x 2 ,..., x i g i x 1 , x 2 ,..., x i x i 1
 xn f n xx g n u (2.1) 
 yx 
 1
 T
 TTnn ( 1)
xx xxxuR1, 2 ,...,n ; ; d  xx d 1 , d 2 ,..., x dn yyy d , d ,..., d ; yRi ; 1,2,..., n 1. 
tương ứng là biến trạng thái, tín hiệu điều khiển, tín hiệu đặt (tín hiệu ra mong muốn) và 
tín hiệu đầu ra của hệ thống. 
Trong đó ffin(.), (.) và ggin(.), (.) là những hàm số trơn bị chặn và bất định. Để sử dụng 
được kỹ thuật backstepping yêu cầu các hàm số và cần phải được 
ước lượng chính xác. Để thực hiện vấn đề này luận án đề xuất sử dụng mạng nơ ron truyền 
thẳng để ước lượng cho các hàm số bất định nói trên. 
2.1.1 Xấp xỉ hàm số bằng mạng nơ ron nhân tạo 
 Để khối lượng tính toán không quá lớn và đảm bảo độ chính xác cần thiết (cho trước) 
khi xấp xỉ các hàm bất định cần phải chọn mạng nơ ron có cấu trúc đơn giản, số lượng 
phần tử trong mỗi lớp càng ít càng tốt. Dựa trên các phân tích trong tài liệu [23], [37], [38], 
mạng nơ ron 3 lớp truyền thẳng (MNN) được biểu diễn trong Hình 2.1 là sự lựa chọn hợp 
lý với các giả thiết sau: 
 47 
 Giả thiết 1: Biết dấu của gii x , tồn tại một hằng số gi0 0 và biết trước các hàm 
 i
trơn gxii , như vậy: gi x i g i x i g i0 ,  x i R . 
Điều kiện đảm bảo để hệ (2.1) điều khiển được là gii x 0. 
 Giả thiết 2: véc tơ trạng thái mong muốn xdi với in 1,2,..., 1 là liên tục và biết 
 i
trước. xdi  di  R với di là những tập compact biết trước. 
 Giả thiết 3: Cho một hàm trơn hZ và một xấp xỉ MNN (2.3) để có   với 
 ˆˆ
 0; Z z . W * và V * là trọng số lý tưởng; W,V là trọng số ước lượng của và 
V *. Sai số ước lượng trọng số đuợc xác định như sau: 
WWW ˆˆ **; VVV . (2.2) 
Sử dụng MNN để xấp xỉ hàm trơn bất định h(): Z Rm R 
ta có cấu trúc mạng: hˆ() Z W TTSVZ (2.3) 
với véc tơ đầu vào là: Z (Z TT ,1) (2.4) 
 T
  ii 11 2i 1T 3
trong đó Zi x i, ,, , i 1  R ;2,...,; i n Z 1  x 1 ,, y d y d   R (2.5) 
 xx11i 
   i 1  
và  i 1x i 1Wvˆ i 1 ˆ (2.6) 
 i 1x diˆ i 1 vˆ i 1 
 diWi 1 1 i 1 
 T m 1 
ma trận trọng số từ lớp vào đến lớp 2 là V v12, v ,..., v R (2.7) 
 T
ma trận trọng số từ lớp 2 đến lớp ra là W ( w12 , w ,..., w ) R (2.8) 
Số lượng nơ ron trong một lớp luôn thỏa mãn 1. 
Véc tơ tín hiệu ra của lớp 1 có dạng như sau: 
 T
SVZZZZTTTT s v, s v ,..., s v ,1 (2.9) 
 1 1 1 
 1
 với: sz a ; hằng số  0 (2.10) 
 1 e  za
Nếu điều kiện Stone-Weierstrass được thỏa mãn thì (2.3) có thể xấp xỉ bất cứ hàm liên tục nào 
trong tập compact [37], [38]. Với hàm xấp xỉ: h()() Z W **TTSVZ  (2.11) 
 m
trong đó ZR z  và  là sai số xấp xỉ của MNN và z là tập compact. 
 48 
Cấu trúc của MNN: V 
 W 
 hZˆ() 
 Z 
 Lớp ra 
 Lớp vào Lớp ẩn 
 Hình 2.1. Cấu trúc mạng nơ ron truyền thẳng 3 lớp 
Bổ đề 2.1 [37], [38]: Sai số ước lượng MNN (2.3) có thể biểu diễn như sau: 
 ˆTTTTTTTT ˆ**''ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
WSVZSVZSSVZSVZ()()() W W W du (2.12) 
 ˆˆˆ T ''''
ở đây: SSVZS ( );diag sˆ12 ,s ˆ ,...,s ˆ ,; (2.13) 
 ''T
với: sˆˆi s( v iZ ) d s ( z a ) / dz a T , i 1,2,..., (2.14) 
 zvai ˆ Z
 *'*'*ˆˆTTˆˆ
và giới hạn dư du là bị chặn bởi: du VZSSVZ W W W (2.15) 
 F F 1
Chứng minh [38]: 
Khai triển chuỗi Taylor đối với SVZ *T quy về VZˆ T có thể được viết như sau: 
 2
SVZSSVZVZ *'TTT ˆˆ O (2.16) 
 2
với O VZT thể hiện tổng của các điều kiện bậc cao trong khai triển chuỗi Taylor. 
Trong phương trình (2.12) chứa thành phần 
 2
 TTTTˆ '**
du WSVZVZ W O (2.17) 
Từ phương trình (2.12) du cũng có thể được thể hiện như: 
 TT
 ˆTTTTTˆ***''* ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
du WSSVZSSVZSVVZ W W W W 
 (2.18) 
 ˆˆTTTTTTˆ'**'** ˆ ˆ
 WWWSVZSVZSSVZ 
Chú ý rằng tất cả các yếu tố của SSVZˆ *T là bị chặn bởi 1, ta có: 
 ***TT
WW SSVZˆ (2.19) 
 1
Xét WˆTTTTTSVZVZSVZSˆ'**'*' tr W ˆ ˆ W ˆ ˆ (2.20) 
  F F
ta có được (2.15) điều phải chứng minh. □ 
Từ cơ sở xác định các tham số MNN như trên, ta xác định các tham số MNN cho bậc thứ i 
như sau: hàm xác định dương i(x i ) g i ( x i ) /g i ( x i ), i 2,..., n (2.21) 
 49 
và cho hZii() cùng với vec tơ đầu vào Zi là hàm trơn trong tập compact zi . 
Theo các thuộc tính xấp xỉ của MNN, ta có: 
 **TT
hi( Z i ) W iSVZ i ( i i )  i ;  Z i  zi , i 1,2,..., n , (2.22) 
 * *
trong đó Wi và Vi là trọng số hằng lý tưởng và ii  với hằng số i . 
Theo bổ đề 2.1 sai lệch hàm ước tính  i có thể được thể hiện: 
 ˆTTTTTT ˆˆ ˆ'' ˆ ˆ ˆ
i W iiiiSVZSSVZSVZ()()() h ii Z W ii iii W iiiiui d i (2.23) 
 ˆ T i ˆ (mii 1)
ở đây Wi [ w i,1 , w i ,2 ,..., w i , i ] R và Vi [vˆi,1 , v ˆ i ,2 ,..., v ˆ i , i ] R là trọng số ước tính 
 * *
của Wi và Vi ; 
SSVZSˆˆ (ˆ T );''''diag sˆ , s ˆ ,..., s ˆ (2.24) 
 ii i i i i,1 i ,2 i , i 
với sˆˆ'' s( vT Z ) d s ( z ) / dz ; j 1,2,..., ; 1 (2.25)
 i,, j i j i a azv ˆT Z i i
 a i, j i 
và các điều kiện còn lại dui bị chặn bởi 
 *'*'*ˆˆTTˆˆ
dui VZSSVZ i iii W W iiii W i (2.26) 
 F F 1
2.1.2 Tổng hợp bộ điều khiển thích nghi trên cơ sở kỹ thuật backstepping 
 Thiết kế bộ điều khiển thích nghi sử dụng mạng nơ ron nhân tạo trên cơ sở kỹ thuật 
backstepping [21], [22], [37] được thực hiện theo các bước sau đây: 
Bước 1: Xét (2.1), với i 1 ta có: x1 f 1()() x 1 g 1 x 1 x 2 , (2.27) 
bằng cách xem x2 như là một đầu vào điều khiển ảo, ta chọn biến sai lệch mới: 
zx2 2 1 và z11 x yd z1 f 1( x 1 ) g 1 ( x 1 )( z 2 1 ) yd . (2.28) 
với 11 u là đầu vào điều khiển. 
Đặt 1()()/()x 1 g 1 x 1 g 1 x 1 (2.29) 
 z
và hàm số trơn V V 1 ()  y d  (2.30) 
 s1 z 1 0 1 d
 1
bằng cách đổi biến  z ,chúng ta có thể viết V z2 ().  z y d  (2.31)
 1 zd1 10 1 1
Theo giả thiết 1: 1 1 ( z 1 ydd ) g 1 (  z 1 y ) / g 10 (2.32) 
 22
 zz1
ta có: 11 V g ()  z y d  (2.33) 
 zd1 0 1 1
 2 g10
Vì vậy V là hàm xác định dương đối với z và được chọn làm hàm Lyapunov để thiết kế 
 z1 1 
bộ điều khiển phản hồi trạng thái mong muốn. 
 50 
Bổ đề 2.2 [37]: Đối với hệ thống bậc nhất (2.27), nếu bộ điều khiển mong muốn chọn là: 
 * 1
u1  k()(), t z 1 h 1 Z 1  (2.34) 
 g11()x
trong đó hàm trơn 
 1
 T 3
h()()()(), Z  x f x y   z y d  Z11 [,,] x ydd y R (2.35) 
 1 1 1 1 1 1dd 0 1 1 
và k( t ) k* 0 với k * là hằng số dương bất kỳ, sau đó hệ sẽ hội tụ sai lệch bám về tiệm 
cận không. 
Chứng minh 
Chọn trong biểu thức (2.30) làm hàm Lyapunov, đạo hàm nó theo thời gian và kết hợp 
với mô hình (2.27) ta có: 
 z1  ()y
V z() x z y1 d d
 zd1 1 1 1 1 0  
 z1
 zxgxufxyy()[() () ][(   y )|z1  (  yd )]  (2.36) 
 11111111d d 1 d 0 0 1 d
 1
 z g ()()()(). x u  x f x y   z y d 
 1 1 1 1 1 1 1 1dd 0 1 1
 * 2 * 2
thay uu11 vào (2.36) và kết hợp (2.35) ta có V k( t ) z11 k z 0. 
Do đó V là hàm Lyapunov và sai lệch bám z 0 khi t . □ 
 z1 1
Khi chọn bộ điều khiển (2.34), vì do các hàm fx11() và gx11() là bất định nên bộ điều 
 *
khiển u1 không thể thực hiện được. Tuy nhiên, hZ11() là một hàm trơn, bị chặn nên có thể 
xấp xỉ bằng mạng nơ ron: 
 ˆˆTT
h1()() Z 1 W 1SVZ 1 1 1 (2.37) 
Thay (2.37) vào (2.34) ta có tín hiệu điều khiển: 
 1 ˆˆTT
u1 [ k 1 ( t ) z 1 W 1SVZ 1 ( 1 1 )] (2.38) 
 g11()x
 ˆˆTT
Ở đây mạng nơron W1SVZ 1() 1 1 sử dụng để xấp xỉ hàm hZ11(). Bây giờ chúng ta chỉ rõ hệ 
số khuếch đại kt1()và thuật toán thích nghi cho điều chỉnh trọng số NN đảm bảo hệ thống 
ổn định. 
Định lý 2.1 [37]: Xét hệ thống khép kín bao gồm mô hình bậc nhất (2.27) và bộ điều khiển 
(2.38), nếu bộ khuếch đại 
 1 22
 1 ˆˆTTˆˆ''
k1( t ) 1 g 1 (  z 1 yd ) d  Z 1 W 1 S 1 S 1 V 1 Z 1 (2.39) 
 0 F
 1 
 Vz1
hằng số 1 0, trọng số NN cập nhật bởi 
 51 
 ˆˆˆ' ˆT ˆ
 W1 ww 1[(SSVZ 1 1 1 1 ) z 1  1 W 1 ]
 (2.40) 
 ˆ ˆT ˆ ' ˆ
 VZS1 vv 1[] 1W 1 1 z 1  1 W 1
 TT
với w1  w 1 0,  v 1  v 1 0, và w1, v1 >0 , (2.41) 
 ˆ ˆ
điều kiện đầu xW11(0), (0) và W1(0) bị chặn, tất cả tín hiệu trong hệ thống kín bị chặn và 
vec tơ Z1 tồn tại trong 
  (x , y , y ) z ( t ) 2 c e 1t 2 c /  ;x  (2.42) 
 z1 1 d d 1 0 1 1 d 2 d 2
với cc0,, 1 1 hằng số xác định dương. 
Chứng minh 
Đầu tiên chúng ta giả sử rằng có tồn tại một tập compact Ωz1 như vậy Zt11 z ,0  và 
 **TT
hàm xấp xỉ: hW1 Z;Z 1 1SVZ 1 1 1  1  1 Ω z1 (2.43) 
 * *
Ở đây W1 và V1 là trọng số lý tưởng không đổi và 11 μ với hằng số μ1 0 . Chúng ta 
thấy rằng tập compact Ωz1 tồn tại cho các điều kiện ban đầu bị chặn. 
xét hàm Lyapunov 
 1
 TT 11
 V0 Vzw 1 W 1Γ 1 W 1 tr VV 1 Γ v1 1   (2.44) 
 2 
 ˆˆ**
trong đó WWW1 1 1;VVV 1 1 1 và Vz1 được định nghĩa bởi (2.30). Lấy đạo hàm nó 
theo thời gian cùng với (2.36) và (2.38) chúng ta có: 
 VzktzW ˆ TTTTSVZVVˆ hZ WWtrΓΓ. 11ˆˆ (2.45) 
 01 1 11111 11 111w 1v11
Sử dụng (2.43) và bổ đề 2.1, ta có: 
 V z k t z W TTTTTSSVZSVZˆ ˆ'ˆ W ˆ ˆ ' d  W Γ 1W ˆ
 011 111111 1111uw 11 111
 (2.46) 
 tr V T Γ  1Vˆ
 11v 1
xem xét luật thích nghi (2.40) và thực tế là 
 ˆˆTTTTˆˆ''
 W1SVZVZS 1 1 1 tr 1 1 W 1 1 (2.47) 
phương trình trên có thể được viết lại như sau: 
 2 TTˆˆ
 V0 k 11 t z  111 du z  w 111111 W W  v tr VV (2.48) 
Sử dụng biểu thức (2.43) và bổ đề 2.1, ta có 
 2 2
 T * 2 T * 2
 2WWWˆ W và 2tr VVVVˆ , 
 11 1 1 1 1 1F 1 F
theo bất đẳng thức sau: 
 52 
 1
 2 22
 z1 ˆˆTTˆˆ''
V0 1 g 1  z 1 yd d  Z 1 W 1 S 1 S 1 V 1 Z 1
 F
 1 0
 *'*'*ˆˆTTˆˆ
 VZSSVZ1 111W W 1111 W 1  11 z (2.49) 
 F F 1 
 2222
 wv11WW ** VV 
 22 1 1 1F 1 F 
 2
 2 2
 *''*ˆ TTˆˆz11ˆ 
từ VZSZSV1 1W 1 1 z 1 1 W 1 1 1 (2.50) 
 FFFF
 1 4
 2
 z 2
 W*  z 1  W *  2 (2.51) 
 111 1 1 1 1 1 
 21
 2
 2 2
 *''*ˆˆˆˆTTz11
 W1SVZSVZ 1 1 1 z 1 1 1 1 W 1 (2.52) 
 1 4
và 11 μ , bất đẳng thức (2.49) có thể viết lại như sau: 
 2 1
 z 1 22
V 1 gV  z y d  wv11 W c (2.53) 
 0 1 1d 1 1F 1
 1 20 2 2
với hằng số 
 22
 2 2 2 2 2
 11* * * 2wv11 * *
c1  1 W 1 VV 1 W 1 1 W 1 1 (2.54) 
 4 4FF1 2 2
Từ (2.33) và (2.53), ta tiếp tục có: 
 g 22
V 10 V wv 1 W 1 V c (2.55) 
 0z 1 1 1F 1
 1 22
do đó V0  1 V 0 c 1 (2.56) 
trong đó hằng số 
 
 g10wv 1 1
1 min ,, (2.57) 
  ΓΓ 11
  1 max w1 max v1 
Giải bất đẳng thức (2.56) chúng ta có 
 t c
V t V0 e 1t c e  1() t  d c e  1 t 1 ,  t 0 (2.58) 
 0 0 1 0
 0 1
trong đó hằng số dương cV00 0 . 
 2
 z11() t 1t c
Từ (2.33), (2.44) và (2.58) ta có Vz1 t V 0 t c 0 e ,  t 0 (2.59) 
 2 1
 53 
 ˆ ˆ
Điều này khẳng định cho điều kiện ban đầu bị chặn, tất cả các tín hiệu z1 , W1 và V1 , của 
hệ thống kín bị chặn và tồn tại một tập compact Ωz1 như vậy mà Z1 Ω z1 cho mọi thời 
điểm. □ 
Như vậy từ (2.36) sử dụng (2.38) và (2.23) ta có được: 
 2
Vz1 k 1 t z 1  1 z 1 z 1g 1 x 1 z 2 (2.60) 
Bước 2: với phương trình đối tượng (2.1) cho i 2 ta có: 
x2 f 2()()xx 2 g 2 2 x 3 (2.61)
Tương tự như bước 1, xem x3 như một đầu điều khiển ảo, chúng ta có thể thiết kế một đầu 
vào điều khiển 2 cho (2.61). 
Chọn zx3 3 2 và zx2 2 1 (2.62) 
ta có z2 x 2 1 f 2(xx 2 ) g 2 ( 2 )( z 3 2 ) 1 (2.63) 
Chọn một hàm xác định dương 
 z
V V 2 (,)x  d  (2.64) 
 sz2 1 0 2 1 1
Đạo hàm theo thời gian ta có: 
 z
 2 2(,)(,)xx 1  1   2 1  1
V V z().xx z  d  (2.65) 
 sz2 1 2 2 2 2 0 1 1
 x11 
Sử dụng (2.60) và (2.63) ta có: 
(i) 
 zz22(,)(,)xx     
 2 1 1 dd   2 1 1 
 0011
  11
 (2.66) 
 z
 zd ()(,),xx 2   
 1 2 2 2 0 2 1 1
(ii) 
    i  
 1xx ;  1 1Wvˆ 1 ˆ (2.67) 
 1xx 1 1 1 d 2ˆ 1 vˆ 1 
 1d 2W1 1 1 
 ˆ
Với W1 và vˆ1 được định nghĩa ở (2.40), ta có: 
 2
Vs2 ktz 11()  1111122223 zzxzz g () [()( g x z 2 )(), hZ 22 (2.68) 
ở đây 
 xxzz22 (,)  
h()()()(,) Z x f x 1  2 1 1 d  1  x  d 
 2 2 2 2 2 2 00 2 1 1
 zz2x 1 2
 (2.69) 
 11 (,)x z 
 ()()(,).xf x x z 2 1 2 1 d   x  z d 
 222212 00 12121
 x1
 54 
 TT5
với Z2 [,,/,].x 2 1  1  x 1  1 z 2  R (2