Luận án Nghiên cứu bình sai kết hợp trị đo GPS và trị đo mặt đất trong hệ tọa độ vuông góc không gian địa diện chân trời áp dụng cho các mạng lưới trắc địa công trình

 điểm trong hệ địa tâm. 
ðể tính sai số trung phương vị trí mặt bằng và độ cao của điểm, sử dụng ma 
trận xoay R để xác định ma trận hiệp phương sai trọng số đảo trong hệ địa 
diện xác lập tại các điểm lưới. Ma trận xoay Ri của điểm i cĩ dạng: 










−
−−
=
ii
iiiii
iiiii
i
Bsin0Bcos
LsinBcosLcosLsinBsin
LcosBcosLsinLcosBsin
R (3.7) 
Ma trận hiệp phương sai trọng số đảo của tọa độ điểm i trong hệ địa 
diện được tính theo cơng thức: 










==
)i(
HH
)i(
yH
)i(
xH
)i(
yH
)i(
yy
)i(
xy
)i(
xH
)i(
xy
)i(
xx
ii
T
ii
qqq
qqq
qqq
RQRq (3.8) 
Trong đĩ, Qi cĩ kích thước (3x3) là ma trận hiệp trọng số đảo của tọa 
độ điểm i, lấy từ ma trận hiệp phương sai trọng số đảo của các ẩn số Q : 
1T )PAA(Q −= (3.9) 
Sai số trung phương vị trí mặt bằng điểm i được tính theo cơng thức: 
)i(
yy
)i(
xx
)i(
P qqM +µ= (3.10) 
Sai số trung phương độ cao trắc địa H của điểm i được tính theo cơng thức: 
)i(
HH
)i(
H qM µ= (3.11) 
trong đĩ: µ là sai số trung phương đơn vị trọng số: 
 )mn(3
PVVT
−
±=µ (3.12) 
Tỷ số giữa sai số độ cao và sai số mặt bằng được tính theo cơng thức: 
 )i(
P
)i(
H
i M
MK = (3.13) 
Tỷ số sai số Ki cho biết mức độ sai khác giữa sai số độ cao và sai số 
mặt bằng trong lưới GPS. Cĩ thể tính giá trị tỷ số K trung bình từ các tỷ số Ki 
 69 
của các điểm trong lưới. Phương án bình sai lưới với trọng số như trên là 
phương án một, đĩ là phương án bình sai chặt chẽ nhất. Ngồi phương án thứ 
nhất sẽ khảo sát bình sai lưới theo 2 phương án nữa với trọng số được lấy đơn 
giản được gọi là phương án hai và phương án ba. 
Phương án hai, chỉ lấy thành phần trên đường chéo của ma trận hiệp 
phương sai, bỏ qua các thành phần hiệp phương sai (Cov). Ma trận C cĩ 
dạng : 










=
)Z(Var
)Y(Var
)X(Var
C (3.14) 
Phương án ba, coi các trị đo k,ik,ik,i Z,Y,X ∆∆∆ là độc lập nhau và cùng 
độ chính xác, khi đĩ ma trận C chính là ma trận đơn vị (C=E). 
3.1.1.3. Tính tốn khảo sát các mạng lưới GPS thực tế 
Khảo sát 2 mạng lưới trắc địa cơng trình được đo bằng cơng nghệ GPS, 
đĩ là mạng lưới KCN Dung Quất (Quảng Ngãi) được đo tháng 6 năm 2001 và 
mạng lưới MNXM Bút Sơn , được đo tháng 4 năm 2008. Một số đặc trưng kỹ 
thuật của hai mạng lưới này như sau: 
Bảng 3.1. Một số đặc trưng kỹ thuật của các mạng lưới khảo sát 
TT Yếu tố Lưới KCN Dung Quất 
Lưới NMXM 
Bút Sơn 
1 Số điểm cần xác định 14 11 
2 Số điểm khởi tính 1 (ðiểm 81449) 1 (ðiểm M9) 
3 Diện tích khống chế 30 km2 0,5 km2 
4 Tổng số véc tơ cạnh 34 31 
5 Cạnh dài nhất 6290 m 657 m 
6 Cạnh ngắn nhất 882 m 97 m 
7 RATIO nhỏ nhất 2,6 1,7 
8 Phương sai lớn nhất 21,837 15,442 
9 Máy thu sử dụng Trimble 4600LS Trimble 4600LS 
10 ðộ dài ca đo trung bình 60 phút 60 phút 
 70 
Sơ đồ mạng lưới GPS KCN Dung Quất và lưới GPS NMXM Bút Sơn 
thể hiện trên hình 3.1 và hình 3.2. 
Các mạng lưới được bình sai trong hệ tọa độ địa tâm WGS-84, với một 
điểm gốc theo 3 phương án trọng số như đã nêu ở trên. Tọa độ địa tâm (X, Y, 
Z) sau bình sai được tính đổi về tọa độ trắc địa (B, L, H). Sau đĩ tính tọa độ 
vuơng gĩc phẳng y,x theo phép chiếu UTM, với kinh tuyến trung ương Lo 
phù hợp cho từng lưới và tỷ lệ chiều dài trên kinh tuyến trung ương là 
mo=0,9999. 
 Hình 3.1- Lưới KCN Dung Quất Hình 3.2 - Lưới NMXM Bút Sơn 
a. Kết quả bình sai lưới KCN Dung Quất 
 Mạng lưới được bình sai theo 3 phương án trọng số khác nhau với cùng 
1 điểm khởi tính là điểm 81449. Sau đây là bảng thống kê các chỉ tiêu kỹ 
thuật của lưới sau bình sai. 
Bảng 3.2- Các yếu tố sau bình sai lưới theo 3 phương án trọng số 
TT Yếu tố của lưới Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 
1 Sai số TPðVTS µ 3,896 3,263 6,448 
2 Sai số M3D lớn nhất 10,1 mm 8,7 mm 9,8 mm 
3 Sai số MP lớn nhất 4,2 mm 5,1 mm 8,0 mm 
 71 
4 Sai số MH lớn nhất 9,2 mm 7,0 mm 5,7 mm 
5 Tỷ lệ K trung bình 2,02 1,32 0,71 
Bảng 3.3- Sai khác lớn nhất về tọa độ và kết quả đánh giá độ chính xác 
Yếu tố so sánh (P.án 1) – (P.án 2) (P. án 1) – (P. án 3) 
Tọa độ x, y và độ cao H (mm) 1,2 0,6 3,9 1,7 1,1 9,3 
Sai số mx, my và mH (mm) 0,6 1,0 2,2 3,6 3,1 4,7 
Chiều dài cạnh 1,2 mm 1,8 mm 
Phương vị cạnh 0,27” 0,71” 
b. Kết quả bình sai lưới NMXM Bút Sơn 
 Mạng lưới NMXM Bút Sơn cũng được bình sai theo 3 phương án trọng 
số khác nhau với cùng 1 điểm khởi tính là điểm M9. Sau đây là bảng thống kê 
các chỉ tiêu kỹ thuật của lưới sau bình sai. 
Bảng 3.4- Các yếu tố sau bình sai lưới theo 3 phương án trọng số 
TT Yếu tố của lưới Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 
1 Sai số TPðVTS µ 5,109 6,321 6,868 
2 Sai số M3D lớn nhất 9,2 mm 12,1 mm 9,3 mm 
3 Sai số MP lớn nhất 4,2 mm 8,3 mm 7,6 mm 
4 Sai số MH lớn nhất 8,3 mm 8,9 mm 5,4 mm 
5 Tỷ lệ K trung bình 1,95 1,16 0,71 
Bảng 3.5- Sai khác lớn nhất về tọa độ và kết quả đánh giá độ chính xác 
Yếu tố so sánh (p.án 1) - (p.án 2) (P. án 1) - (p. án 3) 
Tọa độ x, y và độ cao H (mm) 0,6 3,3 2,3 2,6 2,3 27,1 
Sai số mx, my và mH (mm) 3,3 2,4 0,6 3,4 3,2 4,3 
Chiều dài 2,1 mm 2,76mm 
Phương vị 3,60” 3,09” 
 72 
c. Nhận xét 
1. Khi bình sai chặt chẽ lưới GPS với trọng số véc tơ cạnh theo cơng 
thức (3.4) (phương án 1), sai số trung phương đơn vị trọng số µ nhận được 
sau bình sai thường cĩ giá trị lớn hơn 1 nhiều lần và kiểm định Chi-bình 
phương ( 2χ ) khơng đạt (Failed), điều đĩ chứng tỏ ma trận hiệp phương sai C 
của các véc tơ cạnh đo chỉ thể hiện quy luật tương quan (phụ thuộc) của các 
thành phần véc tơ cạnh mà chưa thể đúng độ lớn của các giá trị phương sai, 
hiệp phương sai thực tế. ðây chính là đặc điểm cần lưu ý khi tính trọng số để 
bình sai kết hợp trị đo GPS với các trị đo mặt đất. 
2. Khi sử dụng trọng số đơn giản theo phương án 2 và phương án 3 
khơng chỉ làm thay đổi tọa độ, độ cao, chiều dài cạnh và phương vị cạnh sau 
bình sai mà cịn làm thay đổi kết quả đánh giá độ chính xác. Mối quan hệ giữa 
sai số độ cao và sai số mặt bằng (tỷ số K) nhận được sau bình sai bị sai lệch 
đáng kể khi bỏ qua thành phần hiệp phương sai (ngồi đường chéo chính) 
trong ma trận hiệp phương sai của các véc tơ cạnh. 
3. Phương án 3 cho kết quả sai khác với phương án 1 (là phương án 
bình sai chặt chẽ) nhiều nhất. Ngay đối với lưới cạnh ngắn (lưới Bút Sơn) 
cũng làm thay đổi độ cao đến 27,1 mm và các kết quả đánh giá độ chính xác 
cũng cĩ sự sai lệch đáng kể. 
4. ðể nhận được kết quả bình sai chặt chẽ với độ tin cậy cao, khi bình 
sai lưới cần xét đến ma trận hiệp phương sai CXYZ của các trị đo một cách đầy 
đủ. Chỉ cĩ thể lược bỏ thành phần hiệp phương sai trong ma trận CXYZ hay 
dùng ma trận C=E trong trường hợp bình sai gần đúng lưới GPS. 
 73 
3.1.2. Kiểm tra sai số khép trong lưới GPS 
Việc kiểm tra trị đo trước khi bình sai nhờ sai số khép tương đối giới 
hạn nhằm phát hiện để loại bỏ sai số thơ. ðây là một cơng việc quan trọng cần 
được tiến hành trước khi bình sai lưới để cơng tác bình sai cho kết quả chính 
xác và tin cậy. 
Sai số khép tương đối tọa độ thành phần và sai số khép tương đối chiều 
dài của các vịng đo độc lập phải phù hợp với các quy định sau đây [4]: 
 nm2W DX ≤ 
 nm2W DY ≤ (3.15) 
 nm2W DZ ≤ 
n3m2W D≤ (3.16) 
trong đĩ : 222D )D.b(am += (3.17) 
a, b là tham số kỹ thuật của máy thu GPS và D là chiều dài véc tơ cạnh 
tính ở đơn vị km. 
 Với sai số khép các thành phần tọa độ tính theo cơng thức: 
 ∑∆=
=
n
1i
iX XW 
 ∑∆=
=
n
1i
iY YW (3.18) 
 ∑∆=
=
n
1i
iZ ZW 
Sai số khép tọa độ tổng hợp: 2Z2Y2XXYZ WWWW ++= (3.19) 
Sai số khép tương đối : 
 ]D[
WXYZ
=
T
1
 (3.20) 
 trong cơng thức (3.18) iii Z,Y,X ∆∆∆ là các gia số tọa độ khơng gian 
của véc tơ cạnh i tham gia trong hình khép kín. 
 74 
 n là số lượng véc tơ cạnh trong hình khép kín. 
Từ cơng thức (3.20) tính sai số khép tương đối chiều dài cạnh của bất kỳ trong 
hình khép kín nào cũng khơng được vượt quá quy định nêu ở bảng 3.6 [4]. 
Bảng 3.6- Sai số khép tương đối giới hạn trong vịng khép GPS 
D (km) 
n 
0,10 0,15 0,20 0,50 1,00 2,00 3,00 4,00 
3 1:8 160 1:12 200 1:16 300 1:40 600 1:80 000 1:151 600 1:210 000 1:255 000 
4 1:9 430 1:14 100 1:18 800 1:46 900 1:92 400 1:175 000 1:242 500 1:294 500 
5 1:10 500 1:15 800 1:21 000 1:52 400 1:103 400 1:195 700 1:271 200 1:329 200 
6 1:11 500 1:17 300 1:23 000 1:57 400 1:113 200 1:214 400 1:297 000 1:360 700 
D là chiều dài trung bình các cạnh trong hình, n là số cạnh trong hình khép 
3.2. BÌNH SAI LƯỚI GPS TRONG HỆ TỌA ðỘ VUƠNG GĨC KHƠNG 
GIAN ðỊA TÂM 
3.2.1. Khái quát chung 
Lưới GPS là lưới khơng gian 3 chiều (3D), cĩ thể bình sai lưới GPS 
trong hệ địa tâm, các trị đo sẽ là gia số tọa độ ∆X, ∆Y, ∆Z. Số liệu gốc tối 
thiểu cho một mạng lưới GPS là giá trị tọa độ X, Y, Z của một điểm trong 
lưới. Khi cĩ từ hai điểm gốc trở lên là lưới phụ thuộc và khi cĩ ít hơn ba giá 
trị tọa độ sẽ là lưới tự do cĩ số khuyết và mạng lưới GPS cũng được bình sai 
theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất, tức là thỏa mãn điều kiện: 
VTPV = min 
3.2.2. Thuật tốn bình sai gián tiếp lưới GPS trong hệ tọa độ vuơng gĩc 
khơng gian địa tâm 
Ký hiệu 
Xi, Yi, Zi : tọa độ địa tâm của điểm i 
Xj, Yj, Zj : tọa độ địa tâm của điểm j 
 75 
tương ứng cĩ 0iX , 0iY , 0iZ , 0jX , 0jY , 0jZ : là tọa độ gần đúng của các điểm i, j 
dXi, dYi, dZi ; dXj, dYj, dZj : là các số hiệu chỉnh tọa độ của các điểm i, j 
∆Xij, ∆Yij, ∆Zij: gia số tọa độ địa tâm giữa hai điểm i, j 
ðể bình sai gián tiếp lưới GPS trong hệ địa tâm thực hiện các bước sau: 
Bước 1: Xử lý cạnh 
Bước 2: Kiểm tra sai số khép trước khi bình sai theo các cơng thức (3.18) đến 
(3.20) 
Bước 3: Lập phương trình số hiệu chỉnh 
với mỗi cạnh đo GPS giữa hai điểm i, j xác định được ba trị đo ∆Xij, ∆Yij, 
∆Zij và ma trận hiệp phương sai CXYZ lập được 3 phương trình số hiệu chỉnh 
sau: 
=∆ ijXV -dXi + dXj + ( 0jX - 0iX ) - ∆Xij 
=∆ ijYV -dYi + dYj + ( 0jY - 0iY ) - ∆Yij (3.21) 
=∆ ijZV -dZi + dZj + ( 0jZ - 0iZ ) - ∆Zij 
 Và cĩ thể viết dưới dạng ma trận như sau: 
 V=A.∆X + L (3.22) 
trong đĩ: 















−
=
 ... ... ... ... ...
.... ... ... ... ...
... 0 1- 0 0 
... 0 0 1- 0 
... 1 0 0 1
A ; ∆X=
















...
...
dZ
dY
dX
i
i
i
; L=
















...
...
lz
ly
lx
ij
ij
ij
 (3.23) 
 với lxij = ( 0jX - 0iX ) - ∆Xij 
 lyij = ( 0jY - 0iY ) - ∆Yij (3.24) 
 lzij = ( 0jZ - 0iZ ) - ∆Zij 
Bước 4: Tính ma trận trọng số P của hệ phương trình : 
 76 
















=
−
−
−
−
 C 
... 
C 
C 
C
P
1
n
1
3
1
2
1
1
 (3.25) 
với ma trận hiệp phương sai Ci theo cơng thức (3.2) 
Bước 5: Lập hệ phương trình chuẩn 
ATPA.X+ ATPL =0 (3.26) 
Bước 6: Giải hệ phương trình chuẩn 
 X = -(ATPA)-1.(ATPL) (3.27) 
Bước 7: Tính số hiệu chỉnh cho trị đo và trị bình sai 
Sau khi tìm được X theo cơng thức (3.27) ta thay vào cơng thức (3.22) 
ta tính được số hiệu chỉnh cho trị đo và trị bình sai. 
Bước 8: ðánh giá độ chính xác sau bình sai 
)mn(3
PVVT
−
±=µ
 (3.28) 
 n: số baselines; m: số điểm cần xác định 
 Sai số vị trí điểm Mpi=
iii ZYX
QQQ ++µ (3.29) 
iii ZYX
Q,Q,Q là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận nghịch 
đảo Q=(ATPA)-1 
 Sai số trung phương của hàm số: QFFm TF µ= (3.30) 
F: là ma trận hệ số của phương trình số hiệu chỉnh 
3.3. BÌNH SAI LƯỚI GPS KẾT HỢP TRỊ ðO MẶT ðẤT TRONG HỆ 
TỌA ðỘ ðỊA DIỆN CHÂN TRỜI 
3.3.1. Bình sai lưới GPS trong hệ tọa độ địa diện chân trời 
3.3.1.1. Khái quát chung 
Vấn đề bình sai lưới GPS trong hệ địa diện đã được đề cập đến trong 
một số tài liệu trong và ngồi nước [8],[12],[59]. 
 77 
Các mạng lưới TðCT thường cĩ chiều dài cạnh ngắn, cho nên cĩ thể sử 
dụng máy thu GPS một tần số để đo lưới với thời gian ca đo trong khoảng từ 
30 phút đến 60 phút. Trong thực tế, sau bước giải cạnh cĩ thể phải bỏ đi một 
số cạnh do khơng nhận được lời giải cĩ chất lượng tốt (lời giải FIX) do điều 
kiện đo (thu tín hiệu) bị hạn chế. Trong trường hợp này cĩ thể phải đo bổ 
sung chiều dài cạnh và gĩc ngang bằng TððT. Trong một số trường hợp cần 
xây dựng lưới TðCT độ chính xác cao như lưới quan trắc chuyển dịch, biến 
dạng cơng trình, lưới phục vụ thi cơng lắp đặt các kết cấu cơng trình vv... 
thường phải phối hợp các trị đo GPS với trị đo bằng TððT để tăng cường độ 
chính xác và độ tin cậy mạng lưới. Như vậy, vấn đề bình sai hỗn hợp các trị 
đo GPS và các trị đo mặt đất được đặt ra và cần được giải quyết theo thuật 
tốn bình sai chặt chẽ. 
Trước hết sẽ giới thiệu quy trình bình sai lưới GPS trong hệ địa diện 
chân trời, sau đĩ sẽ mở rộng thuật tốn để bình sai kết hợp với các trị đo mặt 
đất truyền thống như chiều dài cạnh và gĩc ngang. 
3.3.1.2. Lý thuyết bình sai lưới GPS trong hệ địa diện chân trời 
Như đã biết, lưới GPS được hình thành bởi các véc tơ cạnh là kết quả 
của các ca đo theo nguyên tắc định vị tương đối. Các trị đo trong lưới GPS là 
các thành phần của các véc tơ cạnh ∆X, ∆Y, ∆Z xác định trong hệ địa tâm 
(của hệ WGS-84) kèm theo ma trận hiệp phương sai (trong hệ địa tâm) của 
chúng, ký hiệu là CXYZ theo cơng thức (3.2). 
Ký hiệu, tọa độ trắc địa của điểm gốc hệ địa diện là BG, LG, HG (điểm 
gốc cịn được gọi là điểm quy chiếu), sẽ xác định được ma trận xoay R theo 
cơng thức (3.7) xét cho điểm quy chiếu G. Nhờ ma trận xoay R các trị đo ∆X, 
∆Y, ∆Z trong hệ địa tâm sẽ được tính chuyển về hệ địa diện theo cơng thức: 










∆
∆
∆
=










∆
∆
∆
Z
Y
X
R
U
E
N
T (3.31) 
 78 
Theo đĩ, ma trận hiệp phương sai Mxyz của các thành phần véc tơ trị đo 
trong hệ địa diện được tính dựa vào ma trận xoay R và ma trận hiệp phương 
sai trong hệ địa tâm CXYZ: 
 Mxyz =RT.CXYZ.R (3.32) 
Sau khi tính chuyển, cần tính tốn kiểm tra lại sai số khép trong các 
hình khép kín theo các cơng thức: 
 ∑
=
∆=
n
1i
iN Nf ; ∑
=
∆=
n
1i
iE Ef ; ∑
=
∆=
n
1i
iU Uf (3.33) 
trong đĩ n: là số cạnh trong hình khép kín. 
Các thành phần fN , fE giúp kiểm tra chất lượng về mặt bằng cịn thành 
phần fU kiểm tra đánh giá chất lượng đo cao bằng cơng nghệ GPS 
Sai số khép mặt bằng được tính: 
2
E
2
NP fff += (3.34) 
Sai số khép tương đối mặt bằng được tính: 
 [ ] T
1
D
fP
= (3.35) 
trong đĩ: [ ]D là tổng chiều dài ngang của các cạnh trong hình khép, 
được tính theo cơng thức: 
2
i
2
ii )E()N(D ∆+∆= (3.36) 
Như đã trình bày trong chương 2, để tránh giá trị âm, hai thành phần 
tọa độ địa diện (N, E) sẽ được cộng với các hằng số là tọa độ vuơng gĩc 
phẳng UTM ( oo y,x ) được xác định theo tọa độ trắc địa (BG, LG) của điểm 
gốc với kinh tuyến trục Lo và múi chiếu quy định. Theo mối quan hệ trên, tọa 
độ của điểm gốc hệ địa diện sẽ cĩ giá trị là ooo H,y,x . 
1. Tính tọa độ gần đúng của các điểm lưới GPS 
ðể tính tọa độ gần đúng các điểm lưới GPS trong hệ địa diện cĩ thể áp 
dụng 2 cách tính sau đây: 
 79 
a. Xuất phát từ tọa độ của điểm gốc hệ địa diện và các gia số tọa độ ∆x, 
∆y, ∆z, chúng ta sẽ tính toạ độ gần đúng trong hệ địa diện cho tất cả các điểm 
của lưới GPS. Tọa độ gần đúng được ký hiệu là x0, y0, z0 . 
b. Ngồi cách tính tọa độ gần đúng theo phương pháp tính chuyền như 
trên, chúng ta cĩ thể tính tọa độ gần đúng theo phương pháp lập hệ phương 
trình số hiệu chỉnh với ẩn số là tọa độ của các điểm cần xác định (tọa độ điểm 
gốc đã biết), lập hệ phương trình chuẩn với trọng số P và giải hệ phương trình 
chuẩn để xác định tọa độ gần đúng x0, y0, z0 của các điểm. 
2. Phương trình số hiệu chỉnh trị đo trong hệ địa diện chân trời 
Trong hệ địa diện, lưới GPS được bình sai với thuật tốn bình sai gián 
tiếp như sau: 
 Với mỗi véc tơ cạnh ∆x, ∆y, ∆z lập được 3 phương trình số hiệu chỉnh: 
)zzz(dzdzv
)yyy(dydyv
)xxx(dxdxv
ij
0
i
0
jjiz
ij
0
i
0
jjiy
ij
0
i
0
jjix
ij
ij
ij
∆−−++−=
∆−−++−=
∆−−++−=
∆
∆
∆
 (3.37) 
Với: 
ijx
v∆ , ijyv∆ , ijzv∆ : số hiệu chỉnh cho gia số toạ độ trong hệ địa diện. 
dx, dy, dz: số hiệu chỉnh toạ độ địa diện cho điểm cần xác định 
Như vậy với n cạnh đo (baselines), sẽ cĩ 3n phương trình dạng (3.37), 
với 3m ẩn số (m: số điểm cần xác định toạ độ). Việc bình sai lưới GPS được 
thực hiện với yếu tố gốc là toạ độ của điểm gốc trong hệ địa diện, đây cũng 
chính là lý do cần chọn điểm gốc của hệ này là một điểm cụ thể trong lưới và 
điểm này cần được đo nối với hệ tọa độ Nhà nước. 
Sử dụng ký hiệu ma trận, hệ phương trình số hiệu chỉnh (3.37) được 
viết dưới dạng: V = AX + L (3.38) 
 trong đĩ: X là véc tơ ẩn số 
 V là véc tơ số hiệu chỉnh trị đo 
 L là véc tơ số hạng tự do của hệ phương trình số hiệu chỉnh 
 80 
A là ma trận hệ số phương trình số hiệu chỉnh. Ma trận A chỉ gồm các 
hệ số cĩ giá trị là +1, -1 hoặc 0. Kích thước của ma trận A là 3n x 3m 















−
=
 ... ... ... ... ...
.... ... ... ... ...
... 0 1- 0 0 
... 0 0 1- 0 
... 1 0 0 1
A ; X=
















∆
∆
∆
...
...
z
y
x
i
i
i
; L=
















∆
∆
∆
...
...
zl
yl
xl
ij
ij
ij
 (3.39) 
với l∆xij = ( 0jx - 0ix ) - ∆xij 
 l∆yij = ( 0jy - 0iy ) - ∆yij (3.40) 
l∆zij = ( 0jz - 0iz ) - ∆zij 
3. Lập và giải hệ phương trình chuẩn 
Từ các phương trình số hiệu chỉnh (3.38) và các ma trận hiệp phương 
sai (3.32), tiến hành lập hệ phương trình chuẩn như sau: 
 ATPA.X + ATPL =0 (3.41) 
Trong đĩ, ma trận trọng số P: 












=
n
2
1
P...00
............
0...P0
0...0P
P
 (3.42) 
Với P là ma trận khối tựa đường chéo, Pi là ma trận nghịch đảo của ma 
trận hiệp phương sai Mxyz(3x3): 
1
ii MP
−
=
 (3.43) 
Với cơng thức (3.43), thực chất ta đã lấy hằng số c để tính trọng số 
trong bài tốn bình sai bằng 1. 
Do trong lưới cĩ 1 điểm gốc đã cĩ tọa độ, cho nên ma trận hệ số 
phương trình chuẩn ATPA là ma trận khơng suy biến. Hệ phương trình chuẩn 
(3.43) sẽ được giải theo phương pháp thơng thường. 
PLA)PAA(X T1T −−=
 (3.44) 
 81 
4. Tính trị sau bình sai và đánh giá độ chính xác 
Sau khi giải được hệ phương trình chuẩn, ta cĩ các số hiệu chỉnh cho 
tọa độ gần đúng của các điểm. Tọa độ sau bình sai của các điểm lưới được 
tính theo cơng thức: 
 i
o
ii dxxx += 
 i
o
ii dyyy += (3.45) 
 i
o
ii dzzz += 
Gia số tọa độ địa diện chân trời sau bình sai được tính: 
j,ixj,i
'
j,i vxx ∆+∆=∆ 
j,iyj,i
'
j,i vyy ∆+∆=∆ (3.46) 
j,izj,i
'
j,i vzz ∆+∆=∆ 
trong đĩ zyx v,v,v ∆∆∆ được xác định sau khi thay ẩn số X đã giải được theo 
(3.44) vào phương trình số hiệu chỉnh (3.38). 
Việc đánh giá độ chính xác lưới sau bình sai bao gồm: 
Tính sai số trung phương trọng số đơn vị theo cơng thức (3.28) 
Sai số vị trí điểm i theo cơng thức (3.29) 
Sai số trung phương của hàm số theo cơng thức (3.30) 
Các hàm trọng số thường lập là hàm trọng số chiều dài cạnh ngang 
SF và hàm trọng số phương vị cạnh αF . 
3.3.1.3. Tính tọa độ các điểm trong hệ địa diện cơng trình 
Sau khi bình sai lưới GPS ta được tọa độ sau bình sai (x, y, z) của các 
điểm trong hệ tọa độ địa diện chân trời. ðể tính đổi tọa độ các điểm này về hệ 
tọa độ địa diện cơng trình (x’, y’, z’) cần biết gĩc xoay α và các hằng số cộng 
Cx,Cy (hằng số dịch gốc). 
Tính đổi về tọa độ địa diện cơng trình theo cơng thức sau: 
 82 










+
+










αα
α−α
=










z
Cy
Cx
.
100
0cossin
0sincos
'z
'y
'x
y
x
 (3.47) 
3.3.2. Bình sai lưới GPS kết hợp với trị đo mặt đất trong hệ tọa độ địa 
diện chân trời 
Các trị đo truyền thống mặt đất được bình sai kết hợp với các trị đo GPS gồm: 
- Các trị đo gĩc bằng 
- Các trị đo chiều dài cạnh ngang 
3.3.2.1. Các trị đo gĩc bằng 
Trên mặt phẳng chân trời, gĩc bằng sau bình sai β cĩ mối liên hệ với 
tọa độ vuơng gĩc x,y sau bình sai như sau: 
mt
mt
mp
mp
xx
yy
arctan
xx
yy
arctan
−
−
−
−
−
=β
 (3.48) 
Từ phương trình trị bình sai trên, sẽ dẫn đến phương trình số hiệu chỉnh 
gĩc dạng tuy