Luận án Nghiên cứu dao động của kết cấu tấm và vỏ Composite có tính đến tương tác với chất lỏng

 số dao động riêng của tấm Kim loại cũng nhƣ tấm 
Composite lớp. Cụ thể: 
 + Khi tiếp xúc với chất lỏng (tấm đặt nổi trên mặt chất lỏng, khi h1/a=0) tần số (1,1) của 
tấm Kim loại giảm 14.22%, tần số (1,2) giảm 4.46% so với tấm kim loại đặt trong không khí. Với 
tấm Composite lớp khi đặt nổi trên nƣớc, tấm cấu hình [450/-450/450/450] tần số (1,1) giảm 
67.22%, tần số (1,2) giảm 62.05% so với khi tấm Composite đặt trong không khí. Phần trăm giảm 
cũng thay đổi khi tấm Composite có cấu hình khác, với tấm Composite lớp cấu hình 
[0
0
/90
0
/0/90
0
] tần số (1,1) giảm 69.22%, tần số (1,2) giảm 61.35% so với tấm đặt trong không khí. 
 + Khi h1/a tăng lên, các tần số đều giảm, phần trăm giảm ít thay đổi khi h1/a = 0.3-0.5. 
 + Khi h1/a ≥0.5 thì phần trăm giảm gần nhƣ là hằng số. 
- Các ảnh hƣởng của các thông số hình học của tấm, các thông số vật liệu hay điều 
kiện biên khi tấm Composite đặt trong một mức nƣớc nhất định cũng tƣơng tự nhƣ khi tấm 
đặt trong không khí. 
2.2. TẤM COMPOSITE LỚP ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 
2.2.1. Cơ sở lý thuyết và thuật toán 
 Trong thực tế kỹ thuật chúng ta gặp một số dạng kết cấu cầu phao hoặc một số kết 
cầu nổi khác, là các mô hình tấm đặt trên nền đàn hồi. Từ thuật toán tính dao động của 
tấm Composite ngâm trong chất lỏng đã đƣợc xây dựng, ta dễ dàng phát triển cho bài toán 
tấm Composite đặt trên nền đàn hồi. Tấm composite lớp khi đặt trên nền đàn hồi sẽ có 
phƣơng trình chuyển động khác biệt so với tấm thông thƣờng tùy thuộc vào mô hình nền. 
Trên cơ sở các hệ thức cơ bản, phƣơng trình quan hệ của tấm composite lớp đã trình bày 
trong mục 2.1, tác giả sẽ xây dựng thuật toán phần tử liên tục để xác định tần số dao động 
riêng của tấm Comoposite lớp đặt trên nền đàn hồi. Đồng thời, trong nội dung nghiên cứu 
này tác giả sẽ phát triển cho các bài toán dao động của tấm Composite đặt trên nền đàn hồi 
không thuần nhất. 
47 
2.2.1.1. Phương trình chuyển động của tấm đặt trên nền đàn hồi 
Khảo sát một tấm Composite có kích thƣớc axbxh, hai cạnh đối diện y=0 và y=b chịu 
điều kiện biên khớp, trên hai cạnh còn lại chịu điều kiện biên bất kỳ: ngàm, khớp hay tự do, 
tấm đặt trên nền đàn hồi. 
Qui ƣớc thứ tự gọi các điều kiện biên của tấm nhƣ trong 2.1. 
Hình 2.20. Mô hình tấm trên nền đàn hồi Pasternak. 
Với mô hình nền Pasternak hai hệ số nền là k1, k2, phƣơng trình cân bằng theo lý 
thuyết tấm bậc nhất biểu diễn nhƣ sau: 
2 2
0 12 2
   
   
xyxx o x
NN u
I I
x y t t 
22
12 2
   
   
xy yy yo
o
N N v
I I
x y t t
2 2 2
0 0
1 0 2 2 2 2
    
     
yx o
o
QQ w w w
kw k I
x y x y t
 (2.59) 
2 2
2 12 2
  
   
xyxx x o
x
MM u
Q I I
x y t t 
2 2
2 12 2
   
   
xy yy y o
y
M M v
Q I I
x y t t 
trong đó: 
1
1
0 1 2
  , 
( ) , ,
k
k
zN
k i
i
k z
I z dz i 
k1: hệ số đàn hồi tuyến tính của nền. 
 k2: mô đun trƣợt của lớp nền. 
Với (k) là khối lƣợng riêng của lớp thứ k. 
Chú ý rằng với mô hình nền Winkler thì k1 ≠0, k2 = 0. 
x 
y 
k2 
z 
Tấm Composite 
k1 
48 
2.2.1.2. Phân tích dao động của tấm Composite lớp đặt trên nên đàn hồi bằng 
phương pháp Phần tử liên tục 
Vec-tơ trạng thái: {y}m = {um, vm,wm, xm, ym, Nxxm, Nxym, Qxm, Mxxm, Mxym}
T
Vec-tơ trạng thái đƣơc biểu diễn theo chuỗi Levy giống hệ thức (2.43) với tấm 
Composite lớp lệch trục và (2.44) với tấm Composite lớp đúng trục. 
Cũng với qui trình biến đổi tƣơng tự nhƣ đã trình bày ở mục 2.1.1.4, sau khi lấy các 
đạo hàm riêng của vec-tơ trạng thái với biến x, ta thiết lập đƣợc hệ 10 phƣơng trình vi phân 
bậc nhất của véc tơ trạng thái nhƣ sau: 
*Tấm Composite lớp đồng phương lệch trục trên nền đàn hồi: 
66 16
2
1 1
m
m xxm xym
du D B
c V N M
dx c c
11 16
5
4 4
m
m y xym xxm
dv D B
u c N M
dx c c
55
1m
xm xm
dw
Q
dx fA
xxmxymym
xm M
c
A
N
c
B
c
dx
d
4
66
4
16
6 
16 11
3
1 1
ym
m xm xx xym
d B A
c v N M
dx c c

(2.60) 
2
0
xxm
m xym
dN
I u N
dx
 
2
2
xm
xm xym xm
dM
I M Q
dx
 
 2 20 7 2 3
xym
m xxm xym
dN
I c v c N c M
dx
 
 2 244 2 8 44 5 6
xym
m ym xym xxm
dM
fA w I c fA c N c M
dx
  
 2 20 2 44 1 44 2 6 16 2 66 2
0 0 1 0 4 0
xm
m ym xy xx
I k fA kdQ fA k c B k A k
w N M
dx c c c c c c
 
Với:
16 26 12 66
1 11 66 16 16 2
1
16 12 11 26
3 4 66 11 16 16
1
16 12 11 26 16 26 12 66
5 6
4 4
7 12 2 22 26 3 8 26 5 22 12 6
2
0
55
1
, 
, 
,
,
, ,
,
B B A D
c A D B B c
c
B A A B
c c A D B B
c
B D D B B B D A
c c
c c
c A c A B c c B c D D c
k
c
fA
49 
* Tấm Composite lớp đúng trục trên nền đàn hồi: 
11 11
4 5
1 1
m
m y xxm xym
du D B
c v c N M
dx c c
66 66
10 10
m
m xym xym
dv D B
u N M
dx c c
55
1m
xm xm
dw
Q
dx fA
11 11
2 3
1 1
xm
ym ym xxm xxm
d B A
c v c N M
dx c c
2
0
xxm
m xym
dN
I u N
dx
 
(2.61)
xymxymxm
ym
M
c
A
N
c
B
dx
d
10
11
10
66 
 2 2 20 6 7 4 2
xym
m ym xxm xxm
dN
I c v c c N c M
dx
 
xmxymxm
xm QMI
dx
dM
  22
 2 2 28 44 2 9 44 5 3
xym
m m ym xxm xxm
dM
c v fA w I c fA c N c M
dx
  
 2 20 2 44 1 44 2 32 2 11 2 11 2
0 0 0 1 0 1 0
xm
m m ym xxm xxm
I k fA kdQ fA k cc k B k A k
v w N M
dx c c c c c c c
 
Với: 
12 11 11 12
1 11 11 11 11 2
1
11 12 11 12 11 12 12 11
3 4
1 1
11 12 12 11
5 6 12 4 22 12 2
1
7 12 5 22 12 3 8 12 4
, 
, 
,
, ,
,
A B A B
c A D B B c
c
B B A D B B A D
c c
c c
B D B D
c c A c A B c
c
c A c B B c c B c
22 12 2
 B D c
9 12 5 22 12 3 10 66 66 66 66
2
0
55
1
,c B c D D c c B B A D
k
c
fA
Phƣơng trình (2.60) và (2.61) đƣợc viết dƣới dạng ma trận cho mỗi dạng dao động m: 
x
y
A ym m m
d
d
 (2.62) 
Với Am là ma trận kích thƣớc 10x10. 
50 
 Aa
m
66 16
2
1 1
11 16
5
4 4
55
16 66
6
4
16 11
3
1 1
2
0
0
2 3
7
0
44
1 2 6 16 2
0 0 1 0
4
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0
2
2
2
0 0 0 0 0
 
 
 
-
-
-
44 2
D B
c
c c
D B
c
c c
fA
B A
c
c c
B A
c
c c
I
I
c c
c
I
fA +k fA
k k c B k
c c c c
66 2
4 0
2
2
0
44 8 5 6
44
0
0 0 0 0 0 0 1 0
2
20 0 0 0 0 0
  
 
-
A k
c c
I
I
fA c c c
fA
 Ac
m
11 11
4 5
1
66 66
10 10
55
11 11
2 3
1 1
66 66
10 10
0
0
7 4 2
6
0
44 2 44
22 2 1
0 0
0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0 0
2
2
0 0 0 0 0 0
2
0 0
2
2
 
 
 
-
-
-
B
c c
c
D B
c c
fA
A
c c
c
B A
c c
I
I
c c c
c
D
c
B
c
I
fA k fA
k cc k k
c c
3 11 2
0 1 0 1 0
2
0
8 44 9 3
44
11 2 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 1 0
2
2 2
0 0 0 0 05
  
 
-
B k A k
c c c c
I
I
c fA c c c
fA
c
Trong đó: Acm là ma trận của tấm Composite lớp đồng phƣơng, đúng trục. 
Aam là ma trận của tấm Composite lớp đồng phƣơng, lệch trục. 
51 
2.2.1.3. Xây dựng ma trận độ cứng động 
m
K 
Bằng phép biến đổi tƣơng tự nhƣ với tấm Composite tƣơng tác chất lỏng đã trình bày 
trong mục 2.1.1.4 ta nhận đƣợc: 
Ma trận truyền 
m
T 
m  AT am e (2.63) 
và ma trận độ cứng động mK )( : 
1 1
12 11 12
m 1 1
21 22 12 11 22 12
T 

T T
T T T T T T
K
m
( ) (2.64) 
2.2.1.4. Ghép nối các ma trận độ cứng động 
a. Ghép ma trận độ cứng động của tấm 
Để mô hình hóa một kết cấu tấm có chiều dài lớn hoặc tấm trên nền đàn hồi không 
thuần nhất (với các hệ số nền khác nhau), ta cần chia kết cấu ra thành nhiều phần tử liên tục. 
Khi ấy, ma trận độ cứng động của cả kết cấu tấm đƣợc ghép nối từ các ma trận độ cứng động 
của các phần tử. Qui trình ghép nối đƣợc tiến hành tƣơng tự nhƣ qui trình ghép nối các ma 
trận độ cứng (tĩnh) của phƣơng pháp PTHH. 
Hình 2.21. Ghép nối hai phần tử liên tục của tấm trên nền đàn hồi Pasternak. 
Cấu trúc của ma trận độ cứng động lực Km (,k1,k2) của toàn kết cấu gồm ma trận độ cứng 
động lực của hai phần tử liên tục K1m (,k1,k2) và K2m (,k1,k2) ghép nối với nhau. 
b. Ma trận độ cứng động lực của tấm trên nền đàn hồi gồm nhiều đoạn nền có hệ số 
nền khác nhau ghép lại 
Hình 2.22. Tấm trên nền không thuần nhất. 
Mảnh tấm 
1 
k1
(1)
,k2
(1)
Mảnh tấm 
2 
k1
(2)
,k2
(2)
Mảnh tấm 
N-1 k1
 (N-1)
k2
 (N-1)
Mảnh tấm 
N k1
(N)
, 
k2
(N)
a
1 
a
2 
aN-1 aN 
b 
K1m 
(,k1,k2) 
K2m 
(,k1,k2) 
Km (,k1,k2) = 
(15 x 15) 
52 
Hình 2.22 mô tả tấm dài đặt trên nền đàn hồi không thuần nhất, nền gồm N đoạn nền 
khác nhau, các đoạn nền có thông số nền khác nhau: ai, k1
(i)
 và k2
(i)
(i=1N), các thông số này 
đặc trƣng cho tất cả các loại nền. Khi k1
(i)
= k2
(i)
=0: tấm không đặt trên nền đàn hồi; k1
(i) 0, 
k2
(i)
=0: tấm đặt trên nền Winkler; k1
(i) 0, k2
(i) 0: tấm đặt trên nền Pasternak. 
Phƣơng pháp phần tử liên tục áp dụng cho trƣờng hợp này theo trình tự các bƣớc sau: 
Tính từng ma trận độ cứng động lực riêng của từng tấm K1m (), K2m (,k1
(2)
) và 
K3m(,k1
(3)
,k2
(3)
) cho ba đoạn tấm có chiều dài, hệ số nền khác nhau. 
Ma trận độ cứng động lực của toàn tấm Km(,k1
(2)
,k2
(3)
,k3
(3)
) đƣợc tính toán bằng cách 
ghép nối ba ma trận độ cứng động trên theo qui trình nhƣ đã trình bày trong mục 2.1.1.8 
Tần số dao động riêng và đáp ứng điều hòa của tấm Composite đặt trên nền không thuần 
nhất sẽ đƣợc tính toán từ Km(,k1
(2)
,k2
(3)
,k3
(3)
). 
Hình 2.23. Tấm Composite đặt trên nền không thuần nhất gồm 3 đoạn nền. 
Cấu trúc của ma trận độ cứng động lực Km(,k1
(2)
,k2
(3)
,k3
(3)) của toàn tấm. 
Tần số dao động riêng của tấm đƣợc xác định bằng cách vẽ đƣờng cong đáp ứng nhƣ 
đã trình bày trong chƣơng 1. 
2.2.2. Kết quả số 
 Từ thuật toán thiết lập bằng phƣơng pháp PTLT, xây dựng một chƣơng trình tính 
trong môi trƣờng Matlab cho bài toán dao động của tấn Composite lớp đặt trên nền đàn hồi, 
chƣơng trình tính có tên gọi là VplateEF. 
Xét tấm Composite lớp đặt trên nền đàn hồi với hệ số nền k1, k2 theo mô hình nền đàn 
hồi hai hệ số Pasternak. Tần số dao động riêng không thứ nguyên: 2 2  / /a h E tính 
bằng PP PTLT đƣợc thực hiện qua code chƣơng trình viết bằng Matlab. Kí hiệu các hệ số nền 
không thứ nguyên là: 
4
1
1 3
2
k a
r
E h
; 
2
2
2 3
2
k a
r
E h
 Trong phần tính toán này, tác lần lƣợt nghiên cứu dao động của tấm Composite lớp đặt 
trên nền đàn hồi trong các trƣờng hợp khác nhau: 
 + Khi các hệ số nền r1=r2=0, tấm không đặt trên nền đàn hồi. Các tính toán trong 
trƣờng hợp này đƣợc so sánh với khi tấm không đặt trên nền. 
 + Khi r1≠0, r2=0, nền đàn hồi là mô hình nền Winkler. 
K3m(,k1
(3)
, 
k2
(3)
) 
K2m(,k1
(2)
) 
K1m() 
Đoạn tấm 1 
(a1) 
Đoạn tấm 3 
(a3,k1
(3)
,k2
(3) 
Đoạn tấm 2 
(a2,k1
(2)
) 
53 
 + Khi r1≠0, r2≠0, nền đàn hồi là mô hình nền Pasternak. 
 + Nền đàn hồi không đồng nhất: Nền gồm nhiều đoạn nền đàn hồi, mỗi đoạn có hệ số 
nền khác nhau. 
2.2.2.1.Dao động tự do của tấm Composite lớp không đặt trên nền đàn hồi 
+ Bài toán 1: Kiểm tra độ tin cậy của thuật toán và chương trình tính bằng Matlab, tính dao 
động của tấm composite không đặt trên nền đàn hồi chịu các điều kiện biên khác nhau cho 
các trường hợp điều kiện biên khác nhau 
- Thông số hình học: tấm chiều dài a; chiều rộng b; chiều dày h. 
- Thông số vật liệu: E1/E2 = 15, G12/ E2 = 0.5, G13/ E2 = 0.5, G23/ E2 = 0.5,υ12 = 0.25, k = 5/6. 
- Thông số nền: r1=0; r2=0 
- Các điều kiện biên: K-K-K-K hoặc N-K-N-K hoặc K-K-N-K hoặc TD-K-TD-K hoặc 
TD-K-K-K hoặc TD-K-N-K. 
Tần số dao động không thứ nguyên của tấm Composite lớp với các điều kiện biên, 
góc phƣơng sợi và số lớp khác nhau đƣợc thể hiện trong bảng 2.11. Để xác nhận phƣơng 
pháp PTLT là phƣơng pháp đƣợc sử dụng với nhiều điều kiện biên khác nhau, chúng ta so 
sánh kết quả thu đƣợc với tác giả Khdeir [69] để khẳng định tính chính xác và tin cậy của 
nó. Kết quả của Khdeir dùng lời giải giải tích chính xác, sử dụng lý thuyết tấm bậc nhất 
của Mindlin. 
Bảng 2.11. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm Composite lớp không đặt trên nền đàn hồi với 
các điều kiện biên khác nhau. 
θ 
Phƣơng pháp 
tính 
K-K- 
K-K 
K-K- 
N-K 
N-K- 
N-K 
TD-K- 
TD-K 
TD-K- 
K-K 
TD-K- 
N-K 
[30/-30] 
Khdeir [69] 12.68 13.46 14.41 6.95 8.45 8.65 
PTLT 12.68 13.46 14.41 6.95 8.45 8.65 
[30/-30]2 
Khdeir [69] 17.63 18.27 19.01 9.61 11.72 11.88 
PTLT 17.63 18.27 19.01 9.61 11.72 11.88 
[45/-45] 
Khdeir [69] 13.04 14.23 15.63 4.76 7.13 7.52 
PTLT 13.04 14.23 15.63 4.76 7.13 7.52 
[45/-45]2 
Khdeir [69] 18.46 19.41 20.48 6.26 10.05 10.36 
PTLT 18.46 19.41 20.48 6.26 10.05 10.36 
Từ bảng 2.11 có thể thấy rằng, với tất cả các dạng điều kiện biên khác nhau, tần số dao 
động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp lệch trục cho kết qủa rất sát với kết quả 
của Khdeir, điều này khẳng định độ tin cậy của thuật toán. 
2.2.2.2. Dao động tự do của tấm Composite lớp đặt trên nền đàn hồi 
+ Bài toán 2: Kiểm tra độ tin cậy của thuật toán và chương trình tính bằng Matlab trong bài 
toán dao động tự do của tấm Composite lớp đối xứng, đúng trục, liên kết khớp bốn cạnh đặt 
trên nền Winkler và nền Pasternak. 
54 
* So sánh kết quả tính bằng PTLT với Malekzadeh [87] 
- Thông số hình học tấm: a=b; a/h=100. 
- Cấu hình: đối xứng, đúng trục [00/900/900/00]. 
- Điều kiện biên: Bốn cạnh liên kết khớp. 
- Thông số vật liệu: E1/E2 = 40, G12/ E2 = 0.6, G13/ E2 = 0.6, G23/ E2 = 0.5, υ12 = 0.25, = 1600 kg/m
3
- Thông số nền: với nền Winkler r1=100; với nền Pasternak r1=100, r2=10. 
 Ba tần số dao động không thứ nguyên đầu tiên của tấm Composite lớp, biên khớp trên 
bốn cạnh, tính bằng phƣơng pháp PTLT đƣợc so sánh với các kết quả tính bằng kỹ thuật 
nhiễu xạ của Malekzadeh [87]. 
Bảng 2.12. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp [ 00/900/900/00], liên kết 
khớp bốn cạnh, đặt trên nền đàn hồi Winkler và Pasternak. 
Hệ số nền đàn hồi Phƣơng pháp tính 1 2 3 
r1=100, 
r2=0 
Malekzadeh [87] 21.3748 35.2702 66.8313 
PTLT 21.4871 35.3002 65.9962 
So sánh (%) -0.525 -0.085 1.250 
r1=100, 
r2=10 
Malekzadeh [87] 25.5788 41.6830 72.8324 
PTLT 25.3241 41.4394 72.1354 
So sánh (%) 0.996 0.584 0.957 
Hình 2.24 và 2.25 biểu diễn các tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông 
Composite lớp [ 00/900/900/00], đặt trên nền đàn hồi Winkler và nền đàn hồi Pasternak. Từ 
biểu đồ cho thấy kết quả tính của tác giả và kết quả tính của Malekzadeh [87] với cả hai loại 
nền cho kết quả tƣơng đồng, sai số lớn nhất là 1.25%. 
Hình 2.24. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp đặt trên nền Winkler tính 
bằng PTLT và theo Malekzadeh [87]. 
Hình 2.25. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp đặt trên nền Pasternak 
tính bằng PTLT và theo Malekzadeh [87]. 
20
30
40
50
60
70
1 2 3

m 
PTLT
Malekzadeh [87]
20
30
40
50
60
70
80
1 2 3

m 
PTLT
Malekzadeh [87]
55 
* So sánh kết quả tính bằng PTLT với Hui-Shen Shen [61] và Akavci [31] 
- Thông số hình học của tấm biên khớp bốn cạnh: a=b; h=0.0254m, a/h=60. 
- Thông số vật liệu: E1/E2=40, G12/ E2=0.6, G13/ E2=0.6, G23/ E2=0.5, υ12=0.25, = 
 =1600 kg/m3 
- Cấu hình đối xứng đúng trục [00/900/00] 
- Các hệ số nền: nền Winkler r1=100; nền Pasternak r1=100, r2=10 
Tần số dao động không thứ nguyên thứ nhất của tấm vuông Composite lớp với tỷ số 
h/a khác nhau, đặt trên nền đàn hồi Winkler và Pasternak đƣợc thể hiện trên bảng 2.13. Kết 
quả tính bằng phƣơng pháp PTLT đƣợc so sánh với kết quả của Hui-Shen Shen [61] và 
Akavci [31] tính theo lý thuyết tấm bậc cao của Reddy. Công thức tính tần số dao động 
không thứ nguyên: 2 2  / /a h E 
Bảng 2.13. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp đặt trên nền đàn hồi, với tỉ số 
h/a thay đổi. 
r1 r2 
Phƣơng pháp 
tính 
h/a 
0.2 0.1 0.05 0.02 
0 0 
Hui-Shen Shen 
[61] 
10.263 14.702 17.483 18.689 
Akavci [31] 10.265 14.7 17.481 18.64 
PTLT 10.288 14.764 17.527 18.609 
100 0 
Hui-Shen Shen 
[61] 
14.244 17.753 20.132 21.152 
Akavci [31] 14.246 17.751 20.131 21.152 
PTLT 14.262 17.803 20.167 21.103 
100 10 
Hui-Shen Shen 
[61] 
19.879 22.596 24.536 25.39 
Akavci [31] 19.88 22.595 24.535 25.39 
PTLT 19.89 22.638 24.556 25.324 
 Từ kết quả tính theo phƣơng pháp phần tử liên tục, theo phƣơng pháp giải tích của 
Hiu-Shen Shen [61] và Akavci [31] trong bảng 2.13, ta vẽ đƣợc đồ thị hình 2.25 và 2.26 biểu 
diễn quan hệ giữa tần số dao động không thứ nguyên  và tỉ số h/a của tấm Composite đặt 
trên các lọai nền khác nhau. 
Hình 2.26 Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp, liên kết khớp 
bốn cạnh, đặt trên nền Winkler tính bằng PTLT, Hui-Shen Shen [61] và Akavci [31]. 
12
14
16
18
20
22
0 0.05 0.1 0.15 0.2

h/a 
Hui-Shen [61]
Akavci [31]
PTLT
56 
Hình 2.27. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp, liên kết khớp bốn cạnh, 
đặt trên nền Pasternak tính bằng PTLT, Hui-Shen Shen [61] và Akavci [31]. 
Biểu đồ cho thấy các kết quả tính bằng PTLT, Hui-Shen Shen [61], Akaci [31] là 
tƣơng đồng, điều đó chứng tỏ thuật toán và chƣơng trình tính đã xây dựng đƣợc bằng phƣơng 
pháp PTLT là đáng tin cậy. 
+ Bài toán 3: Ảnh hưởng của thông số tấm, thông số vật liệu và thông số nền đến tần số dao 
động của tấm Composite lớp đặt trên nền đàn hồi 
* Ảnh hưởng của tỉ số kích thước tấm (a/h) đến tần số dao động không thứ nguyên của 
tấm Composite đối xứng, đúng trục đặt trên các nền khác nhau 
Từ bảng 2.13, ta có biểu đồ quan hệ giữa tần số dao động không thứ nguyên của tấm 
Compsosite đặt trên nền đàn hồi với tỉ số h/a biểu diễn trên hình 2.30. 
Hình 2.28. Ảnh hưởng của tỉ số h/a đến tần số dao động không thứ nguyên thứ nhất của tấm vuông 
Composite lớp [0o/90o/0o] đặt trên nền đàn hồi. 
 Trên biểu đồ cho thấy, khi tấm Composite càng dày (h/a lớn) tần số dao động không 
thứ nguyên của tấm càng giảm. Với tất cả các loại nền đƣợc xét thì tần số dao động không thứ 
nguyên đều giảm nhiều khi tỉ số h/a tăng. Và tần số dao động không thứ nguyên của tấm 
Composite lớp đặt trên nền Pasternak là lớn nhất, tần số dao động của tấm Composite không 
đặt trên nền đàn hồi là nhỏ nhất. 
* Ảnh hưởng của số lớp đến tần số dao động không thứ nguyên của tấm composite lớp 
phản xứng lệch trục đặt trên các nền đàn hồi khác nhau 
 - Thông số hình học của tấm: a/h=10, a=b. 
15
20
25
30
0 0.05 0.1 0.15 0.2

h/a 
Hui-Shen [61]
Akavci [31]
PTLT
0
5
10
15
20
25
30
0 0.05 0.1 0.15 0.2

h/a 
Tấm Composite không trên nền 
Tấm Composite trên nền Winkler 
Tấm Composite trên nền Pasternak 
57 
- Thông số vật liệu: E1/E2 = 40, G12/ E2 = 0.6, G13/ E2 = 0.6, G23/ E2 = 0.5, υ12 = 
0.25, =1600 kg/m3. 
 - Điều kiện biên: Biên khớp trên bốn cạnh. 
 Bảng 2.14 thể hiện tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite lớp, 
cấu hình phản xứng lệch trục, bốn cạnh liên kết khớp, với số lớp thay đổi, đặt trên các loại 
nền Winkler và nền Pasternak. 
Bảng 2.14. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông Composite có số lớp vật liệu khác nhau, 
liên kết khớp bốn cạnh, đặt trên nền đàn hồi Winkler và Pasternak. 
Hệ số nền [30o/-30o] [30o/-30o]2 [30
o/-30o]3 [45
o/-45o] [45o/-45o]2 [45
o/-45o]3 
r1=100, r2=0 16.088 20.228 20.772 16.621 20.996 21.534 
r1=100, r2=10 21.266 24.595 25.048 21.663 25.232 25.687 
Hình 2.29. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm composite lớp phản xứng, lệch trục đặt trên 
nền đàn hồi khi số lớp vật liệu thay đổi. 
Từ hình vẽ ta thấy, khi số lớp tăng lên, trong phạm vi khoảng 6 lớp tần số dao động 
không thứ nguyên của tấm Composite đặt trên nền Winkler và nền Pasternak đều tăng đáng 
kể. Tần số dao động của tấm đặt trên nền Pasternak lớn hơn khá nhiều so với tấm đặt trên nền 
Winkler. Tuy nhiên sự ảnh hƣởng của góc sợi đến tần số dao động là không nhiều. 
2.2.2.3. Dao động tự do của tấm Composite lớp trên nền đàn hồi không thuần nhất 
Hình 2.30. Tấm Composite trên nền đàn hồi không thuần nhất. 
 Hình 2.30 là mô hình tấm Composite đặt trên nền đàn hồi không thuần nhất, nền gồm 
nhiều đoạn