Luận án Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến

ổi biểu thị mối quan hệ giữa công suất cung cấp cho lò và nhiệt độ lò, nó là một khâu quán tính bậc nhất có trễ, trong đó khâu trễ đã được xấp xỉ bằng một khâu quán tính bậc nhất theo xấp xỉ Taylor.
 Ngoài ra, [10] xét đối với trường hợp khâu quán tính bậc nhất có trễ có thời gian trễ (t) là khá nhỏ so với hằng số thời gian (T) của nó, cụ thể là tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện T/t > 10 [7]. Sau khi đưa thêm vào khâu chuyển đổi, hàm điều khiển tối ưu cần tìm là p*(t) chính là công suất cung cấp cho lò chứ không phải là nhiệt độ lò v(t). Như vậy, dù hàm điều khiển tối ưu p*(t) có dạng bang-bang (dạng xung vuông) tức là có dạng biến thiên nhảy cấp thì hoàn toàn có thể thực hiện được vì quán tính của các phần tử điện là rất nhỏ so với các phần tử nhiệt. 
Nội dung luận án [10] đã giải quyết được một số vấn đề chính như sau:
- Xét với công nghệ gia nhiệt cho các lò nung phôi cán được cung cấp năng lượng bằng việc đốt nguyên liệu là dầu nặng FO. Việc điều chỉnh công suất cung cấp cho lò là điều chỉnh lưu lượng dầu để phối hợp với lượng không khí trong quá trình đốt.
- Xét với đối tượng có trễ nhỏ, cụ thể là đối tượng có tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện T/t ³ 10 [7], khâu trễ được thay thế bằng khâu quán tính bậc nhất theo xấp xỉ Taylor.
- Đã giải được bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ khi xét các hệ số a, l, k của lò và vật nung là hằng số. 
- Chưa đề cập đến phần phi tuyến, cụ thể là chưa giải bài toán điều khiển tối ưu khi xét các hệ số a, l, k là phi tuyến (thực tế các hệ số này luôn thay đổi theo nhiệt độ của môi trường không khí trong lò nung, tức là chúng có tính phi tuyến).
1.3. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến và hướng nghiên cứu của luận án
Một số vấn đề tồn tại cần được tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện:
Cho đến thời điểm này, tác giả vẫn chưa tìm thấy được nhiều công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến, đặc biệt hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò điện trở để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất (áp dụng cho một số công nghệ như ủ vật liệu từ, tôi ram nhiệt luyện các chi tiết cơ khí,). Ngoài ra, hiện nay cũng chưa có nhiều công trình khoa học ở trong và ngoài nước đưa ra một cách chính xác biểu thức toán học mô tả các hệ số a, l, k trong phương trình truyền nhiệt là phi tuyến, các hệ số này chủ yếu được xác định gần đúng thông qua thực nghiệm.
Hướng nghiên cứu mới của luận án là:
- Thành lập bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến
- Nghiên cứu đối tượng có trễ khá lớn, cụ thể là đối tượng có tỷ số T/t thỏa mãn điều kiện 6 £ T/t < 10 [7]. Thay thế khâu trễ trong khâu quán tính bậc nhất, có trễ (lò điện trở) bằng phép xấp xỉ Pade bậc một. 
- Phân tích tính phi tuyến của hệ số truyền tĩnh k của lò theo nhiệt độ bằng cách nhận dạng lò điện trở thực tế.
- Sau đó tiến hành giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò điện trở để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng (xét với vật dầy) theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất. 
- Lập các chương trình tính và xây dựng các thuật toán, sau đó tiến hành mô phỏng trên Matlab để kiểm tra lời giải của bài toán điều khiển tối ưu.
- Tiến hành thí nghiệm trên mô hình hệ thống thực là lò điện trở và vật nung để kiểm tra các kết quả mô phỏng.
1.4. Kết luận chương 1
Chương 1 của luận án đã tập trung nghiên cứu tổng quan về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến; đề cập và phân tích các công trình, các bài báo của các tác giả trong và ngoài nước xung quanh vấn đề này. Căn cứ vào việc phân tích, tổng hợp và nghiên cứu kỹ lưỡng những vấn đề mà các nhà nghiên cứu đã đưa ra, cuối chương tác giả đã đưa ra những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến và hướng nghiên cứu mới của luận án.
CHƯƠNG 2
ĐỀ XUẤT VÀ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ VỚI THAM SỐ PHÂN BỐ, CÓ TRỄ, PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1. Thành lập bài toán điều khiển tối ưu
2.1.1. Mô hình đối tượng 
Quá trình đốt nóng một phía cho vật nung có dạng tấm phẳng trong lò điện trở được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng [10], [79]. 
 	 	 (2.1)
trong đó: q(x,t) là phân bố nhiệt độ trong vật nung, phụ thuộc vào tọa độ không gian x với (0 £ x £ L) và thời gian t với (0 £ t £ tf ), L là bề dầy của vật (m), tf là thời gian nung cho phép (s), a là hệ số dẫn nhiệt độ (m2/s).
Các điều kiện đầu và điều kiện biên [10,79]:
 	 (2.2)
 (2.3) 
 	 (2.4)
Với a là hệ số trao đổi nhiệt giữa môi trường không khí trong lò và vật (w/m2.độ); v(t) là nhiệt độ của môi trường không khí trong lò (0C); q(0,t) là phân bố nhiệt độ tại bề mặt vật; q0(x) là hàm phân bố nhiệt độ ban đầu của vật (hằng số, coi như bằng nhiệt độ môi trường); l là hệ số dẫn nhiệt của vật (W/m.độ).
Nhiệt độ của môi trường không khí trong lò v(t) là đại lượng trung gian được điều khiển bởi đầu vào là điện áp cung cấp u(t), phân bố nhiệt độ trong vật q(x,t) được điều khiển thông qua nhiệt độ của môi trường không khí trong lò v(t), nhiệt độ v(t) này lại được điều khiển bởi điện áp u(t). Như vậy, thực chất sự phân bố nhiệt trong vật nung q(x,t) sẽ phụ thuộc vào điện áp cung cấp u(t).
Quan hệ giữa điện áp cung cấp cho lò u(t) và nhiệt độ lò v(t) thường gặp là một khâu quán tính bậc nhất, có trễ theo phương trình [6,8,10,79]:
 	 	 (2.5)
trong đó: T là hằng số thời gian của lò (s), t là thời gian trễ của lò (s), k là hệ số truyền tĩnh của lò (hằng số), u(t) là điện áp cung cấp cho lò (hàm điều khiển của hệ thống). 
	Tuy nhiên, trong biểu thức (2.5), lúc này k là hệ số thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò, tức là k là một hàm số theo nhiệt độ v, khi đó hệ số truyền tĩnh có thể được biễu qua phương trình: , do đó là một hệ số phi tuyến. 
	Thực tế qua việc nhận dạng lò điện trở thì k thay đổi khá nhiều, ví dụ như trong lò điện trở với dải nhiệt độ thay đổi từ 0-5000C. ( Việc này sẽ được chứng minh ở phần sau). 
Lúc đó quan hệ giữa u(t) và v(t) có thể được biểu diễn theo phương trình:
 	 (2.6)
với là hệ số truyền tĩnh phi tuyến của lò. 
Như vậy, đối tượng điều khiển (lò điện trở - vật nung) được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai-dạng parabolic (2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (2.2), (2.3), (2.4) kết hợp với phương trình vi phân thường, có trễ, phi tuyến (2.6). Có thể thấy đây là một dạng bài toán điển hình của một hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. 
Tuy nhiên, khi hệ số là phi tuyến thì rất khó tìm được lời giải và không áp dụng được phép biến đổi Laplace. Vì vậy, luận án sẽ thực hiện tuyến tính hóa hệ số thành N giá trị là: . Giả thiết,là các hằng số.
2.1.2. Phiếm hàm mục tiêu
Bài toán điều khiển tối ưu được đặt ra như sau: tìm một hàm điều khiển u(t), với 0 £ t £ tf sao cho cực tiểu hoá sai lệch nhiệt độ giữa phân bố nhiệt độ mong muốn q*(x) với nhiệt độ thực của vật tại thời điểm t = tf cho trước q(x,tf ), tức là hàm mục tiêu:
 ® min (2.7)
Trong hàm mục tiêu cần cực tiểu thì q*(x) là phân bố nhiệt độ mong muốn (cho trước), còn q(x,tf) là hàm chưa biết. Rõ ràng hàm q(x,tf) là giá trị của hàm q(x,t) tại thời điểm t=tf, được hiểu là cuối quá trình gia nhiệt đảm bảo sự đồng đều nhiệt độ nhất trong toàn bộ vật nung. Bài toán loại này được gọi là bài toán nung chính xác nhất. Hàm q(x,t) là nghiệm của phương trình vi phân (2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (2.2), (2.3), (2.4), hàm q(x,t) sau khi tính được chắc chắn phải phụ thuộc vào điện áp cung cấp cho lò u(t).
2.1.3. Điều kiện ràng buộc
2.1.4. Các bước giải
Quá trình tìm lời giải tối ưu gồm hai bước sau:
	- Bước 1: Tìm quan hệ giữa phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t) và tín hiệu điều khiển điện áp u(t). Đây chính là việc giải phương trình truyền nhiệt (phương trình đạo hàm riêng Parabolic) với điều kiện biên loại 3 (cho biết quy luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt của vật với môi trường xung quanh và nhiệt độ của môi trường xung quanh) kết hợp với phương trình vi phân thường có trễ, phi tuyến (quan hệ giữa u(t) và v(t))
	- Bước 2: Phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t) tìm được sẽ phụ thuộc vào hàm điều khiển u(t). Thay q(x,t) tìm được ở bước 1 vào phiếm hàm mục tiêu (2.7), sau đó dùng phương pháp số để thay cho việc cần cực tiểu một phiếm hàm thành việc cực tiểu một hàm nhiều biến để tìm ra nghiệm tối ưu u*(t).
2.2. Giới thiệu phương pháp xấp xỉ Pade
2.2.1. Đặt vấn đề
2.2.2. Phương pháp xấp xỉ Pade
Xét một đối tượng có trễ dạng được khai triển thành chuỗi lũy thừa:
 (2.17) 
- Với r = 1, ta có xấp xỉ Pade bậc một (Pade 1): 
 (2.21)
- Với r = 2, ta có xấp xỉ Pade bậc hai (Pade 2):
 (2.22)
- Với r = 3,4,...ta có xấp xỉ Pade với bậc cao hơn.
với r là số bậc cần thay thế; t là thời gian trễ của đối tượng.
2.3. Phương pháp tính gần đúng tích phân xác định
2.4. Nhận dạng mô hình lò điện trở
2.4.1. Mô hình lò điện trở
Input
Output
Điện áp
Nhiệt độ
Hình 2.5. Mô hình lò điện trở
Lò điện trở
2.4.2. Hàm truyền lò điện trở 
	Theo Ziegler – Nichols thì mô hình lò điện trở có thể được biểu diễn dưới dạng hàm truyền là một khâu quán tính bậc nhất có trễ như sau [6]:
 (2.35)
trong đó: T là hằng số thời gian của lò (s); là thời gian trễ của lò (s); k là hệ số khuếch đại (hệ số truyền tĩnh) của lò; V(s) là nhiệt độ của lò (0C); U(s) là điện áp đặt vào lò (V).
Nhận dạng mô hình lò điện trở: Sơ đồ khối hệ thống thí nghiệm để nhận dạng như hình 2.7
Hình 2.7. Sơ đồ hệ thống thu thập dữ liệu.
Đặt vào lò một điện áp dạng bước nhảy: u(t) = 220.1(t) ta thu được ở đầu ra đáp ứng nhiệt độ trong lò như hình 2.8:
Hình 2.8. Đáp ứng nhiệt độ của lò với u = 220.1(t)
Nhận xét: Từ kết quả hình 2.8, ta thấy: Đặc tính của lò có dạng của một khâu quán tính bậc nhất có trễ, các hằng số thời gian của lò được xác định như sau: T»1200 (s); τ »130 (s)
- Hệ số truyền tĩnh k của lò: 
trong đó vf là nhiệt độ đặt, U là điện áp cung cấp cho lò
- Khi nhiệt độ lò v(t) bằng vf thì, tuy nhiên v(t) phụ thuộc vào thời gian t, khi v(t) thay đổi từ nhiệt độ môi trường v0 đến nhiệt độ đặt vf thì k cũng thay đổi phụ thuộc vào v(t), tức là . Để xác định chính xác hệ số k tại mỗi thời điểm t là rất khó khăn
Mục tiêu của luận án là tìm lời giải cho bài toán (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) và (2.6) khi xét hệ số truyền tĩnh của lò là phi tuyến và coi các hệ số a, l của vật là hằng số. Để phân tích sự thay đổi hệ số theo nhiệt độ v(t), về lý thuyết có thể thực hiện như sau:
- Giữ nhiệt độ đặt vf = const, gọi các khoảng thay đổi điện áp là Δu (V), các khoảng thay đổi của nhiệt độ lò là Δv (0C). Đặt vào lò các điện áp thay đổi theo dạng bậc thang, sau một khoảng thời gian Δt, điện áp tăng lên một lượng Δu cho tới điện áp u = 220 (V), khi đó hệ số truyền tĩnh của lò ứng với mỗi khoảng thời gian Δt có thể được tính: 
 	 (2.36)
	Từ (2.36), ta thấy với nhiệt độ đặt vf và điện áp hiệu dụng 220V, ứng với mỗi cặp giá trị (Δu, Δv) ta sẽ có N giá trị , do đó khi áp dụng để tìm lời cho bài toán thì khối lượng tính toán sẽ rất lớn. Để đơn giản hóa lời giải cho bài toán, tác giả đã thực hiện như sau:
	Không cung cấp trực tiếp điện áp 220V mà đặt vào lò các điện áp thay đổi theo dạng bậc thang, sau mỗi khoảng thời gian Δt = 4500 (s), nếu điện áp tăng lên một lượng Δu thì nhiệt độ lò sẽ tăng tương ứng một lượng là Δv cho tới điện áp U = 220 (V) thì nhiệt độ lò sẽ đạt tới nhiệt độ đặt vf =500 (0C), thời gian thí nghiệm là t = 13500 (s). Thực tế ta sẽ có vô số cặp giá trị (Δu, Δv) tương ứng sẽ có nhiều giá trị , qua nhận dạng lò điện trở thực tế, nhận thấy có thể chỉ cần 3, 4 hoặc 5 giá trị đã đảm bảo độ chính xác (nhiệt độ đầu ra sẽ đạt nhiệt độ đặt là vf »5000C). Do đó trong khoảng nhiệt độ đặt vf, để đơn giản hóa lời giải cho bài toán tối ưu về sau, luận án chỉ xét với 3 giá trị của hệ số, đó là . Ta có đường cong thực nghiệm như hình 2.9.
Hình 2.9. Kết quả thực nghiệm nhận dạng mô hình lò điện trở
Nhận xét: Từ đường đặc tính thực nghiệm hình 2.9 và công thức (2.36), ta thấy hệ số truyền tĩnhcủa lò không phải hằng số mà thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò. Việc chia hệ số truyền tĩnhcủa lò ra làm 3 giá trị là kết quả sau khi nhận dạng lò điện trở thực tế. Để xác định các hệ số như hình 2.9, ta có sơ đồ hình 2.10.
Hình 2.10. Đáp ứng nhiệt độ của lò để xác định các Δv .
Từ hình 2.9 và hình 2.10, ta xác định được các khoảng thay đổi nhiệt độ Δv và các khoảng thay đổi điện áp Δu, từ đó tính được các hệ số truyền tĩnhcủa lò ứng với mỗi khoảng thời gian Δt như sau:
Bảng 2.3. Bảng xác định hệ số truyền tĩnh 
STT
Δv (0C)
Δu (V)

1
350
185
1,8
2
100
30
3,3
3
25
5
5

Từ hình 2.10 và bảng 2.3, ta thấy hệ số truyền tĩnh của lò sẽ tăng khi nhiệt độ trong lò tăng lên theo thời gian. Khi nhiệt độ lò thay đổi từ nhiệt độ môi trường đến khoảng 500 (0C) thì giá trị của thay đổi khá lớn. 
Như vậy, qua việc phân tích ở trên, ta thấy hệ số truyền tĩnh thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ lò v(t) mà nhiệt độ lò v(t) lại thay đổi theo thời gian t tức là hệ số truyền tĩnh cũng thay đổi theo thời gian t . Trong khoảng nhiệt độ cho trước, chính sự tuyến tính hóa hệ số ra làm 3 giá trị là sẽ làm cho lời giải của bài toán trở nên đơn giản hơn mà độ chính xác có thể chấp nhận được (kết quả của lời giải sẽ được chứng minh ở nội dung chương 3)..
2.5. Lời giải của bài toán tối ưu
Luận án đề xuất phương án giải bài toán tối ưu cho hệ trên như sau: chia khoảng thời gian nung vật từ 0÷tf ra làm 3 khoảng thời gian bằng nhau Δt1 = Δt2 = Δt3 và gọi:
+ Δt1 = 0÷t1 ứng với khoảng nhiệt độ lò thay đổi từ v0÷v1 là Δv1, ta có hệ số 
+ Δt2 = t1÷t2 ứng với khoảng nhiệt độ lò thay đổi từ v1÷v2 là Δv2, ta có hệ số 
+ Δt3 = t2÷tf ứng với khoảng nhiệt độ lò thay đổi từ v2÷vf là Δv3, ta có hệ số 
với: tf là thời nung cho phép; v0 là nhiệt độ môi trường, vf là nhiệt độ xác lập (nhiệt độ yêu cầu). Cụ thể xét trong khoảng thời gian Δt1 =0÷t1 như sau:
2.5.1. Tìm quan hệ giữa q1(x,t) và tín hiệu điều khiển u1(t) 
	Để tìm quan hệ giữa q1(x,t) và u1(t), ta dùng phép biến đổi Laplace thuận đối với tham số thời gian t (khi áp dụng phép biến đổi Laplace với tham số thời gian t thì phương trình vi phân đạo hàm riêng (2.1) đã được đưa về phương trình vi phân thường đối với biến x), sau đó dùng phương pháp số để đưa ra lời giải cho quá trình truyền nhiệt.
Để giải phương trình đạo hàm riêng (2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (2.2), (2.3), (2.4), áp dụng phép biến đổi Laplace đối với tham số thời gian t, được phương trình:
 	(2.38)
hoặc	 	 (2.39)
trong đó: 
Sau khi biến đổi các điều kiện biên (2.3), (2.4), ta được:	
	 	 (2.40)
 	 	 (2.41)
Từ phương trình (2.6), dùng phép biến đổi Laplace, trong đó ta coi khâu trễ e-ts được thay thế gần đúng bằng một khâu xấp xỉ Pade bậc một, ta được:
 	 (2.42)
Trong đó: ; 
Nghiệm tổng quát của (2.39) là:
	 (2.43)
Giải phương trình (2.43), cuối cùng ta được :
 (2.58)
Từ (2.42), ta có: 
	 	 (2.59)
Thay (2.59) vào (2.58), ta được:
 (2.61) 
Đặt: 
 (2.62)
Từ (2.61) và (2.62), suy ra: 	 (2.63)
	 Như vậy ta đã xây dựng được mối quan hệ giữa tín hiệu điều khiển điện áp U1(s) và phân bố nhiệt độ Q1(x,s) dưới dạng toán tử.
	Từ (2.63), theo định lý về tích chập [8,10,12,79], ta có: q1(x,t) = g1(x,t)* u1(t)
	Vậy ta có thể viết: 
	 (2.64)
hoặc: 	 	 (2.65)
trong đó: 	 (2.66)
	Vì vậy, nếu ta biết được hàm g1(x,t) ta sẽ tính được phân bố nhiệt q1(x,t) từ hàm điều khiển u1(t). Ta sẽ đi tìm hàm . Để tìm hàm gốc g1(x,t), ta áp dụng công thức biến đổi ngược [8,10,14,79]. Sau khi biến đổi, cuối cùng ta được:
Hàm g1(x,t) theo Pade 1:
 (2.94) 
Để tìm phân bố nhiệt độ q2(x,t) với t nằm trong khoảng Δt2 =t1÷t2 và phân bố nhiệt độ q3(x,t) với t nằm trong khoảng Δt3 =t2÷tf , ta cũng biến đổi tương tự như trường hợp tìm q1(x,t), cuối cùng ta cũng được kết quả như sau:
Hàm g2(x,t) theo Pade 1:
 (2.95) 
Hàm g3(x,t) theo Pade 1:
 (2.96) 
; là các hệ số truyền tĩnh của lò ứng với các khoảng thời gian Δt1; Δt2; Δt3. Trường hợp khâu trễ được thay thế bằng phép xấp xỉ Taylor thì phương trình (2.42) trở thành: 
 	 (2.42)’ 
Để tìm các hàm gμ(x,t) () ứng với 3 trường hợp của hệ số , ta biến đổi tương tự như trường hợp Pade 1, cuối cùng ta cũng được kết quả các hàm gμ(x,t) theo khai triển Taylor.
Trong các biểu thức (2.94), (2.95) và (2.96) các Yi được tính từ công thức: ; với fi là nghiệm của phương trình: ; Bi là hệ số BIO của vật liệu; a là hệ số truyền nhiệt từ không gian lò vào vật (w/m2.độ); l là hệ số dẫn nhiệt của vật cần gia nhiệt (w/m.độ); L là bề dày vật nung (m); a là hệ số dẫn nhiệt độ (m2/s); t là thời gian trễ của lò (s); T là hằng số thời gian của lò (s)
2.5.2. Tìm lời giải cho hàm phân bố trường nhiệt độ q(x,t)
Tại mỗi thời điểm t (0 ≤ t ≤ tf ), hàm q(x,t) được tính tương ứng với 3 trường hợp:
+ Nếu 0 ≤ t ≤ t1 thì:
	 (2.116)
+ Nếu t1 ≤ t ≤ t2 thì:
 	 (2.117)
+ Nếu t2 ≤ t ≤ tf thì:
	 (2.118)
Kết luận: Ta đã giải được một hệ thống gồm phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng Parabolic với điều kiện biên loại 3 (quan hệ giữa v(t) và q(x,t)) kết hợp với phương trình vi phân thường có trễ, phi tuyến (quan hệ giữa u(t) và v(t)). Như vậy, nếu chưa quan tâm tới bài toán tối ưu thì ta có thể tính được trường nhiệt độ trong vật nung khi biết điện áp cung cấp cho lò (bài toán biết vỏ tìm lõi).
Trường hợp tổng quát: Quan hệ giữa điện áp cung cấp cho lò u(t) và phân bố trường nhiệt độ trong vật nung q(x,t) được tính theo các công thức (2.116), (2.117) và (2.118) tương ứng với 3 miền thời gian phân chia theo hệ số (i=1,2,3).
2.5.3. Lời giải bài toán điều khiển tối ưu
2.5.3.1. Đặt bài toán
Sau khi tìm được quan hệ giữa q(x,t) và u(t) dưới dạng phương trình tích phân như ở mục 2.5.2, bài toán được đặt ra: Hãy xác định hàm điều khiển tối ưu u*(t) với (0 £ t £ tf ) sao cho làm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu: 
 (2.119)
trong đó q*(x) là phân bố nhiệt độ cho trước còn q(x,tf ) là phân bố nhiệt độ trong vật nung tại thời điểm cuối quá trình nung t = tf. 
Thay t = tf vào công thức (2.118) sẽ được hàm q(x,tf ):
 (2.120)
trong đó các hàm g1(x,t), g2(x,t) và g3(x,t) được tính từ các công thức (2.94), (2.95) và (2.96), với tf là thời gian nung cho phép tính bằng giây (s). 
Thay (2.120) vào (2.119) sẽ có dạng thức của Jc.
2.5.3.2. Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu u*(t) bằng phương pháp số
Để tìm u*(t) ta phải cực tiểu hoá phiếm hàm (2.121): 
(2.121)
Trước hết ta dùng phương pháp tích phân số [10,11,13,15], áp dụng công thức Simson đối với tích phân vế trái của phiếm hàm (2.121). Khoảng không gian là bề dày tấm từ 0 đến L ta chia làm n phần bằng nhau (n là một số chẵn).
 	Lúc đó ta có thể biểu thị hàm mục tiêu Jc như sau:
 (2.122)
trong đó: xi là các trọng số gán cho giá trị của hàm dưới dấu tích phân tại điểm xi . Các giá trị xi và trọng số xi là biết trước với mỗi công thức tích phân. Nếu dùng công thức Simson, các giá trị của xi và xi được xác định như sau [10,79]:
 với và n là một số chẵn (2.123) 
Do q(xi,tf ) trong (2.122) được xác định theo (2.120) nên để tính ta áp dụng một lần nữa công thức tích phân số Simson và áp dụng tương tự đối với vế phải của (2.121). 
Khoảng thời gian từ 0 đến tf được chia ra ba khoảng thời gian bằng nhau là 0÷t1; t1÷t2 và t2÷tf , trong đó: - Khoảng thời gian từ 0 đến t1 ta chia ra thành m1 khoảng bằng nhau. 
Khoảng thời gian từ t1 đến t2 ta chia ra thành m2 khoảng bằng nhau.
Khoảng thời gian từ t2 đến tf ta chia ra thành m3 khoảng bằng nhau.
(với m1 , m2 , m3 cũng là một số chẵn). 
Khi đó giá trị của q(xi,tf ) được tính :	 
 	 (2.124)
trong đó: các giá trị của ;; và ;;được xác định như sau:  (2.125)
với ;;.Đặt: 
 ;;;; (2.126) 
 là điểm nối điện áp điều khiển tại thời điểm t1 .
 là điểm nối điện áp điều khiển tại thời điểm t2.
 thay (2.124); (2.125) và (2.126) vào (2.122), ta được :
	 (2.127) 
Ràng buộc của hàm điều khiển (giới hạn điện áp cung cấp cho lò) được viết là: 
 U1 £ uj £ U2 (j = 0,1,2,,m ) với m = m1 + m2 + m3 	 (2.128)