Luận án Nghiên cứu phương pháp mô hình hóa mặt cong tham số từ mặt lưới

c đỉnh điều khiển của mặt 
cong tham số, nhờ vậy mà mặt cong tham số tái tạo sẽ có bậc giảm hơn 
so với việc sử dụng lưới gốc ban đầu như lưới điều khiển. Kết quả, mặt 
cong tham số thu được trơn mượt, tránh hiện tượng nhấp nhô ngoài ý 
muốn của các mặt cong tham số bậc cao. 
 Bên cạnh đó, mô hình đề xuất sử dụng phương pháp xấp xỉ hình học 
cục bộ để dịch chuyển mặt cong tham số hội tụ dần về các điểm dữ liệu 
của lưới tam giác ban đầu thông qua một số bước lặp, điều chỉnh việc 
xấp xỉ mặt cong một cách trực quan và chính xác cho đến khi mặt cong 
đi qua hầu hết các điểm dữ liệu ban đầu. 
 6 
1.6. Kết luận chƣơng 1 
 Trên cơ sở tìm hiểu về ưu điểm của các mô hình hình học 3D và 
phương pháp hình học, luận án đã đề xuất hướng nghiên cứu nhằm tái 
táo mặt cong tham số bậc thấp dựa trên lược đồ tái hợp mảnh và phương 
pháp xấp xỉ hình học cục bộ. 
 Trong các chương 2 và 3, luận án đi sâu vào trình bày và xử lý các 
đối tượng liên quan đến hướng nghiên cứu, cụ thể như: phân mảnh và 
tái hợp mảnh trên lưới tam giác, mặt cong trên miền tham số tam giác; 
từ đó đề xuất phương pháp tạo lưới điều khiển dựa trên tái hợp mảnh, 
đưa ra các giải thuật dựng mặt cong trên miền tham số tam giác; làm cơ 
sở cho việc xây dựng mô hình tái tạo mặt cong tham số từ lưới tam giác 
được đề xuất trong chương 4. 
 CHƢƠNG 2 
 XÂY DỰNG LƢỚI ĐIỀU KHIỂN MẶT CONG THAM SỐ 
 DÙNG TÁI HỢP MẢNH 
 Nhằm tái tạo mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác, chương 
này trình bày về lược đồ phân mảnh lưới, so sánh các lược đồ để xác 
định lược đồ phân mảnh phù hợp với hướng tiếp cận. Từ đó xác định 
lược đồ tái hợp mảnh trên lưới tam giác và đề xuất phương pháp tạo 
lưới điều khiển của mặt cong tham số tái tạo dựa trên lược đồ tái hợp 
mảnh. 
2.1. Phân mảnh trên lƣới tam giác 
 Phân mảnh lưới cho phép biểu diễn bề mặt của đối tượng thực có 
hình dạng bất kỳ với nhiều mức phân giải khác nhau. Sự xuất hiện của 
lưới phân mảnh trong lĩnh vực mô phỏng bề mặt đã tạo một bước đột 
phá mới trong công nghệ làm phim, trò chơi 3D, Đối với những ứng 
dụng chỉ yêu cầu biểu diễn bề mặt mềm mịn thì lưới phân mảnh là lựa 
chọn phù hợp để thay thế cho mặt cong tham số. 
 Nhận thấy phân mảnh Loop có các ưu điểm vượt trội. Đây là phân 
mảnh xấp xỉ nên lưới tam giác thu được sau phân mảnh sẽ có xu hướng 
 7 
co lại so với các lưới ở những bước phân mảnh trước đó. Điều này cũng 
có nghĩa là nếu áp dụng tái hợp mảnh cho một lưới tam giác thì lưới thu 
được sau mỗi bước tái hợp mảnh sẽ có xu hướng phồng lên và trở thành 
bao lồi của lưới tam giác này. Đây cũng chính là phát hiện quan trọng để 
chọn tái hợp phân mảnh Loop trong hướng tiếp cận của luận án, nhằm 
sử dụng lưới sau khi được tái hợp mảnh làm lưới điều khiển của mặt 
cong tham số tái tạo. 
 Phân mảnh Loop là một lược đồ phân mảnh chèn đỉnh xấp xỉ dựa 
trên cơ sở mặt cong spline trên miền tham số tam giác. Phân mảnh này 
cho phép làm mịn lưới tam giác bất kỳ và sinh ra mặt cong giới hạn 
spline liên lục C2 trên miền lưới đều, loại trừ tại vị trí của các đỉnh đặc 
biệt đạt liên tục C1. Trong phân mảnh Loop, sau bước phân mảnh thứ i, 
các đỉnh của lưới tam giác Mi được chia thành hai loại: 
 - Điểm đỉnh: là các đỉnh cũ được hiệu chỉnh lại vị trí; 
 - Điểm cạnh: là các đỉnh mới được chèn thêm vào cạnh. 
 Khi đó, vị trí của điểm đỉnh pi + 1 sau mỗi bước áp dụng phân mảnh 
Loop được xác định như sau: 
 l
 i 1 i i
 p p  p j (2.1) 
 j 1 
 i 1 i 1 i 1
 Vị trí các điểm cạnh p1 , p2  pk sau mỗi bước phân mảnh 
Loop được xác định như sau: 
 i 1 3 i 3 i 1 i 1 i
 pj p p j p j 11 p j (2.2) 
 8 8 8 8 
 với j=1..l và l là số bậc tương ứng của đỉnh pi. 
2.2. Tái hợp mảnh trên lƣới tam giác 
 Tái hợp mảnh cho phép chuyển một lưới mịn thành lưới thô hơn, ít 
dữ liệu hơn nhưng vẫn không mất đi dạng hình học và cấu trúc hình học 
của lưới, đồng thời có thể phục hồi lại hoàn toàn bằng cách sử dụng 
lược đồ phân mảnh. Điều này cho phép tiết kiệm không gian lưu trữ, 
giảm băng thông, phù hợp cho các ứng dụng đồ họa trên thiết bị di động 
và biểu diễn đa mức phụ thuộc vào điểm quan sát. 
 8 
 Đặc biệt, với phân mảnh xấp xỉ Loop, nếu áp dụng tái hợp mảnh, 
lưới thu được sẽ có số điểm dữ liệu giảm và có xu hướng phồng lên so 
với lưới trước khi tái hợp mảnh. Do đó, lưới sau tái hợp mảnh phù hợp 
cho việc mô hình hóa mặt cong tham số khi sử dụng lưới này như lưới 
điều khiển, như bao lồi của mặt cong, tránh làm việc trên đa thức bậc 
cao, giảm mấp mô ngoài mong muốn của mặt cong tham số thu được. 
 Gọi  là trọng số của đỉnh pi + 1 và  là trọng số của các đỉnh lân 
cận, ta có công thức để xác định pi như sau: 
 l
 i i 11 i 
 p .. p  p j (2.3) 
 j 1
 với 
 51 
  và  
 83 3 (2.4) 
 l 
 8
2.3. Sử dụng tái hợp mảnh tạo lƣới điều khiển của mặt cong 
 Để tái tạo mặt cong tham số bậc thấp từ lưới tam giác, hướng tiếp 
cận của luận án dựa trên tái hợp mảnh và sử dụng lược đồ lưới tái hợp 
mảnh để tạo lưới điều khiển của mặt cong. Các mặt cong trên miền tham 
số tam giác cần tái tạo cụ thể là Bézier tam giác, B-patch và B-spline 
tam giác. Do đó, yêu cầu lưới tam giác ban đầu phải được hiệu chỉnh 
cho phù hợp với điều kiện của lưới phân mảnh và lưới điều khiển của 
mặt cong trên miền tham số tam giác. 
 Để thỏa các các điều kiện này, luận án đề xuất quá trình xây dựng 
lưới điều khiển của mặt cong tham số từ lưới tam giác như sau: 
 - Bước 1: Hiệu chỉnh phù hợp với lưới điều khiển của mặt cong; 
 - Bước 2: Cập nhật cấu trúc lưới phù hợp với lưới phân mảnh; 
 - Bước 3: Đơn giản lưới dùng lược đồ tái hợp mảnh Loop. 
 9 
 Hình 2.34. Lưới gốc (a) và lưới kết quả sau 1, 2, 3 bước 
 tái hợp mảnh Loop (b,c,d) 
 Hình 2.34 minh họa các kết quả thu được sau khi áp dụng lược đồ 
tái hợp mảnh Loop trên lưới tam giác mô tả bề mặt của các đối tượng 
baseball cap, mountain và pawn. Từ lưới mịn ban đầu (Hình 2.34a), 
bằng cách áp dụng lược đồ tái hợp mảnh Loop, sau i=1, 2, 3 bước tái 
hợp mảnh (Hình 2.34bcd), lưới gốc đã được “thô hóa” với kích thước 
giảm mạnh theo cấp số nhân sau mỗi bước tái hợp mảnh. Cụ thể, số mặt 
 10 
giảm chỉ còn 1/4 so với lưới ở bước tái hợp mảnh trước đó. Lưới thô thu 
được có kích thước nhỏ, số đỉnh, mặt và cạnh giảm hẳn nhưng vẫn đảm 
bảo dạng và cấu trúc hình học của lưới. Đồng thời vẫn có thể khôi phục 
trở lại lưới mịn ban đầu bằng cách áp dụng lược đồ phân mảnh Loop. 
 Với kết quả này, luận án sẽ sử dụng lưới sau khi tái hợp mảnh như 
lưới điều khiển của mặt cong trong quá trình tái tạo mặt cong trên miền 
tham số tam giác được trình bày trong chương 4. 
2.4. Kết luận chƣơng 2 
 Trong chương này, luận án đã tìm hiểu, phân tích, so sánh và cài đặt 
thử nghiệm để thấy được lược đồ phân mảnh Loop có nhiều ưu điểm và 
thích hợp cho sử dụng tái hợp mảnh Loop nhằm thô hóa lưới điều khiển. 
Từ đó đề xuất thuật toán đơn giản lưới dựa trên tái hợp mảnh nhằm sử 
dụng lưới thô này như lưới điều khiển của mặt cong tham số, giảm bậc 
của mặt cong tham số tái tạo. Để lưới tam giác ban đầu thỏa điều kiện 
của lưới điều khiển (đáp ứng yêu cầu về số đỉnh điều khiển) và lưới 
phân mảnh (đáp ứng yêu cầu về cấu trúc dữ liệu), luận án cũng đã đề 
xuất thuật toán hiệu chỉnh lưới và cập nhật cấu trúc dữ liệu của lưới ban 
đầu trước khi tiến hành tái hợp mảnh Loop để đơn giản lưới. Kết quả 
phân tích và đạt được của chương này sẽ được sử dụng để dựng các mặt 
cong tham số Bézier tam giác, B-patch và B-spline tam giác trong 
chương 3 tiếp theo. 
 CHƢƠNG 3 
 BIỂU DIỄN MẶT CONG TRÊN MIỀN THAM SỐ TAM GIÁC 
 Nội dung chương tập trung trình bày về biểu diễn, tính chất hình 
học và cách xác định điểm thuộc mặt cong tham số tam giác. Cách xác 
định vector nút trên miền tham số của mặt cong được đề xuất ở cuối 
chương. 
3.1. Mặt cong tham số tam giác 
 Mặt cong tham số tam giác với lưới điều khiển là lưới tam giác, đây 
là dạng lưới phổ biến và cho phép biểu diễn bề mặt của đối tượng có 
 11 
dạng bất kỳ. Do đó mặt cong này có nhiều ưu điểm hơn trong việc mô 
phỏng bề mặt đối tượng 3D trên máy tính. Mặt khác đa thức Bernstein 
trên miền tham số tam giác phức tạp hơn đa thức Bernstein một biến và 
B-spline tứ giác nên mặt cong trên miền tham số tam giác vẫn đang là 
vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu và ứng dụng. Mục đích của luận 
án là tái tạo mặt cong tham số từ lưới tam giác, nên phần tiếp theo của 
luận án sẽ tập trung trình bày chi tiết về dạng mặt cong này. 
 Mặt cong Bézier tam giác là mặt cong tham số với hàm đa thức theo 
tham số u được định nghĩa trên miền tham số có dạng tam giác. Bậc của 
đa thức phụ thuộc vào số đỉnh điều khiển được dùng để định nghĩa mặt 
cong. Mặt cong Bézier tam giác không đi qua các đỉnh điều khiển mà 
nằm trong bao lồi được tạo bởi các đỉnh này. Đồng thời, nhờ vào các 
đỉnh điều khiển mà hình dạng của mặt cong có thể hiệu chỉnh một cách 
dễ dàng, đây cũng chính là lý do mà mặt cong Bézier được sử dụng phổ 
biến. 
 Mặt cong B-patch được xây dựng dựa trên ý tưởng “kéo nút” tại 3 
góc trên miền tham số của mặt cong Bézier tam giác. Tập các nút ứng 
với mỗi góc của miền tham số được xem như là một vector nút. Hình 
3.6 biểu diễn miền tham số tam giác của mặt cong B-patch bậc 3. Tại 
các góc của miền tham số là các vector nút. Bên cạnh lưới điều khiển, 
các vector nút đóng vai trò quan trọng trong việc điều chỉnh hình dáng 
của mặt cong. 
 Mặt cong B-spline tam giác, hay còn gọi là DMS-splines, là sự kết 
hợp trơn mềm toàn cục của mặt cong Splines đơn hình và sự điều khiển 
cục bộ của mặt cong B-patch. Mặt cong B-spline tam giác bậc n là sự 
kết hợp tuyến tính của các Spline đơn hình đạt liên tục Cn-1 tự động mà 
không cần phải kết nối giữa các mảnh cong. 
3.2. Xác định các vector nút trên miền tham số tam giác 
 Đối với mặt cong B-patch và B-spline tam giác, hình dáng của mặt 
cong không chỉ phụ thuộc vào vị trí của các đỉnh điều khiển mà còn ảnh 
hưởng bởi cấu hình của các vector nút trên miền tham số. Luận án đề 
 12 
xuất cách xác định vị trí của các nút trong vector nút trên miền tham số 
của các mặt cong bậc 2, 3 và 4. Từ đó hỗ trợ cho việc dựng các mặt 
cong trên miền tham số tam giác và điều chỉnh các vector nút trong quá 
trình xấp xỉ hình học được sử dụng trong mô hình tái tạo mặt cong tham 
số đề xuất ở chương 4 của luận án. 
3.3. Kết luận chƣơng 3 
 Dựa trên mô hình tham số, đặc biệt là các mặt cong tham số tam 
giác, luận án nhận thấy các mặt cong Bézier tam giác, B-patch và B-
spline tam giác có nhiều ưu điểm, phù hợp cho cho mục đích tái tạo bề 
mặt có hình dạng bất kỳ và có thể điều chỉnh hình dạng thông qua các 
đỉnh điều khiển. Do đó, luận án sẽ sử dụng các mặt cong này như mặt 
cong tái tạo nhận được. Hình dạng của mặt cong không chỉ chịu ảnh 
hưởng bởi vị trí các đỉnh điều khiển, mà còn phụ thuộc vào vị trí các nút 
trong vector nút trên miền tham số. Do đó, đóng góp của luận án trong 
chương này là đề xuất cách xác định vị trí các nút trong vector nút, làm 
cơ sở cho việc dựng mặt cong và điều chỉnh hình dạng của mặt cong 
trong quá trình tái tạo, theo mô hình đề xuất ở chương 4 của luận án. 
 CHƢƠNG 4 
 TÁI TẠO MẶT CONG THAM SỐ 
 DỰA TRÊN LƢỢC ĐỒ TÁI HỢP MẢNH 
 Dựa trên các kết quả đạt được ở chương 2 và 3, trong chương này, 
luận án đề xuất mô hình tái tạo mặt cong tham số từ lưới tam giác dựa 
trên hướng tiếp cận sử dụng lược đồ tái hợp mảnh Loop, cùng với áp 
dụng phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ. Các mặt cong tham số Bézier 
tam giác, B-patch và B-spline tam giác được tái tạo có bậc thấp và xấp 
xỉ với lưới dữ liệu ban đầu. 
4.1. Phƣơng pháp tái tạo mặt cong tham số 
 4.1.1. Đặt vấn đề 
 Lưới tam giác được dùng phổ biến để mô phỏng các đối tượng hình 
học 3D trên máy tính vì nó cho phép biểu diễn bề mặt có hình dạng bất kỳ 
 13 
với độ dốc thay đổi, tốc độ xử lý nhanh. Do đó, luận án tập trung vào tái 
tạo các mặt cong tham số từ các điểm dữ liệu của lưới tam giác đã cho. 
 Phát biểu bài toán: Cho lưới tam giác M được tạo bởi m điểm dữ 
 3
liệu pj|j = 1..m R . Tái tạo mặt cong S trên miền tham số tam giác xấp xỉ 
với lưới M đã cho. 
 4.1.2. Mô hình tái tạo mặt cong tham số đề xuất 
 Dựa vào lược đồ tái hợp mảnh Loop trên lưới tam giác và phương 
pháp xấp xỉ hình học, luận án đề xuất mô hình tái tạo mặt cong tham số 
bậc thấp S (cụ thể là các mặt cong Bézier tam giác, B-patch, B-spline 
tam giác) từ lưới tam giác M (Hình 4.1). Mô hình này bao gồm các 
bước chính như sau: 
 - Bước 1: Hiệu chỉnh lưới tam giác. Từ lưới tam giác M ban đầu, lưới 
 này sẽ được hiệu chỉnh cho phù hợp với lưới điều khiển. Việc hiệu 
 chỉnh thường là bổ sung thêm một vài đỉnh để đủ số điểm cần thiết 
 của lưới điều khiển mặt cong trên miền tham số tam giác. Ngoài ra, 
 để tăng chất lượng lưới, các mặt tam giác yếu của lưới này cũng 
 được đảo cạnh cho thỏa điều kiện Delaunay; 
 - Bước 2: Cập nhật cấu trúc dữ liệu lưới. Lưới M được cập nhật lại cấu 
 trúc dữ liệu để trở thành lưới phân mảnh M0. 
 - Bước 3: Đơn giản lưới dùng tái hợp mảnh. Bằng cách áp dụng lược 
 đồ tái hợp mảnh Loop, lưới tam giác phân mảnh M0 sẽ được tái hợp 
 mảnh sau i bước để trở thành lưới thô Mi. Như vậy, lưới Mi chính là 
 lưới M0 được thô hóa với kích thước giảm mạnh, số mặt chỉ còn lại 
 1/4 so với lưới Mi-1; 
 - Bước 4: Dựng mặt cong tham số. Lưới thô Mi sẽ được dùng như là 
 lưới điều khiển để xây dựng mặt cong tham số Si. Do đó mà mặt 
 cong tham số tái tạo được sẽ có bậc thấp hơn so với việc dùng lưới 
 ban đầu như lưới điều khiển; 
 - Bước 5: Xấp xỉ hình học. Thực hiện dich chuyển hình học mặt cong 
 tham số Si bằng cách cập nhật lại vị trí của các đỉnh điều khiển. Sau 
 mỗi bước dịch chuyển, mặt cong Si sẽ được dịch dần về các điểm dữ 
 liệu của lưới tam giác M ban đầu. 
 14 
 Hình 4.1.Mô hình tái tạo mặt cong tham số dựa trên lược đồ tái hợp mảnh 
Trong mô hình đề xuất có ba giai đoạn chính: 
- Giai đoạn 1: Xây dựng lưới điều khiển. Gồm các bước 1, 2 và 3. Mục 
 đích của giai đoạn 1 là xử lý lưới tam giác ban đầu và tạo lưới điều 
 khiển của mặt cong tham số. Các bước của giai đoạn này đã được 
 trình bày chi tiết trong mục 3.4 ở chương 2 của luận án; 
- Giai đoạn 2: Dựng mặt cong tham số. Mục đích của giai đoạn này là 
 dựng mặt cong tham số trên miền tam giác với lưới điều khiển của 
 mặt cong là lưới thu được ở giai đoạn 1. Giai đoạn 2 ứng với bước 4 
 15 
 của mô hình đề xuất. Công việc của giai đoạn 2 cũng đã được trình 
 bày ở chương 3 của luận án; 
 - Giai đoạn 3: Xấp xỉ hình học cục bộ. Tại mỗi bước dịch chuyển, giai 
 đoạn này sẽ sinh ra một mặt cong tham số. Mặt cong này được so 
 sánh độ lệch cục bộ trên từng điểm dữ liệu để xác định độ chính xác 
 trong dịch chuyển, đồng thời đưa mặt cong dần hội tụ về lưới dữ 
 liệu ban đầu. Đây cũng chính là bước 5 của mô hình đề xuất và sẽ 
 được tiếp tục làm rõ trong chương này. 
 4.1.3. Phương pháp xấp xỉ hình học 
 Gọi M0, Mi và Si là các lưới và mặt cong tham số thu được sau khi 
thực hiện xong bước 4 trong mô hình đề xuất ở Hình 4.1,  là dung sai. 
Phương pháp xấp xỉ hình học cục bộ đề xuất được biểu diễn trên sơ đồ 
trong Hình 4.3. 
 Hình 4.3. Phương pháp xấp xỉ hình học 
 16 
 Trong quá trình xấp xỉ hình học, một chuỗi các lưới tam giác M* 
được tạo ra và các lưới này được được thô hóa thành lưới Mi. Tương 
ứng, một chuỗi các mặt cong tham số lần lượt cũng được sinh ra. Các 
mặt cong này có xu hướng hội tụ dần về lưới ban đầu. Quá trình dịch 
 i
chuyển dừng khi lỗi trung bình avg bé hơn dung sai . Cuối cùng, mặt 
cong tham số tái tạo được sẽ xấp xỉ với các điểm dữ liệu ban đầu với lỗi 
trung bình nhỏ nhất. 
 4.1.4. Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ hình học 
 Dựa trên phương pháp xấp xỉ hình học đề xuất, phần này phân tích 
sự hội tụ của mặt cong tham số tái tạo được so với các điểm dữ liệu ban 
đầu theo phương pháp xấp xỉ hình học đề xuất. 
4.2. Tái tạo mặt cong Bézier tam giác 
 Dựa trên mô hình đề xuất, mục này đưa ra giải thuật xấp xỉ hình học 
để tái tạo Bézier tam giác bậc thấp cùng với một số kết quả thực nghiệm 
để thấy được tính khả thi của phương pháp đề xuất. 
4.3. Tái tạo mặt cong B-patch 
 Dựa trên mô hình đề xuất, mục này đưa ra giải thuật xấp xỉ hình học 
để tái tạo B-patch bậc thấp cùng với một số kết quả thực nghiệm để thấy 
được tính khả thi của phương pháp đề xuất. 
4.4. Tái tạo mặt cong B-spline tam giác 
 Dựa trên mô hình đề xuất, mục này đưa ra giải thuật xấp xỉ hình học 
để tái tạo B-spline tam giác bậc thấp cùng với một số kết quả thực 
nghiệm để thấy được tính khả thi của phương pháp đề xuất. 
4.5. Đánh giá chung kết quả thực nghiệm tái tạo mặt cong 
 Thông tin chi tiết về lưới ban đầu dùng để thử nghiệm và tương ứng 
là các dạng mặt cong tham số Bézier tam giác, B-patch và B-spline tam 
giác tái tạo được dựa trên mô hình đề xuất được thể hiện trong Bảng 4.5. 
 17 
 Bảng 4.5. Các mô hình thực nghiệm 
 và mặt cong trên miền tham số tam giác tái tạo được 
Hình 4.15. Tái tạo các mặt cong tham số Bézier tam giác, B-patch và B-spline 
 tam giác: (a) lưới gốc, (b,c,d) các mặt cong đạt được 
 so với lưới gốc sau k = 1,5,7 bước dịch chuyển. 
 18 
 Hình 4.15 minh họa các lưới ban đầu và các mặt cong trên miền 
tham số đạt được so với lưới gốc sau k = 1,5,7 bước dịch chuyển trong 
giải thuật xấp xỉ hình học. Nhận thấy sau bước dịch chuyển đầu liên k = 
1, độ chênh giữa mặt cong tham số thu được và lưới gốc còn khá lớn, 
đặc biệt là phần biên của mặt cong và đường biên của lưới gốc. Tuy 
nhiên sau k = 5,7 bước dịch chuyển, phần biên của mặt cong được dịch 
dần về các biên 
của lưới gốc. Đồng thời các phần còn lại của mặt cong như được “dãn 
ra” và dịch dần về các điểm dữ liệu của lưới ban đầu. Sự chênh lệch của 
mặt cong thu được so với lưới gốc cũng giảm ở bước dịch chuyển k = 
5,7. Bằng cách áp dụng i = 2 lần tái hợp mảnh, các mặt cong trên miền 
tham số tam giác thu được sau quá trình tái tạo có bậc thấp hơn nhiều so 
với việc sử dụng lưới ban đầu như lưới điều khiển. Thời gian tái tạo rất 
ngắn, mặc dù phải xác định các Spline đơn hình để tính tọa độ của mỗi 
điểm trên mặt cong, nhưng chỉ mất khoảng 1 phút để tái tạo B-spline 
tam giác. 
 Bảng 4.6 Các thông số về độ lệch và độ hội tụ 
 Bảng 4.6 thể hiện chi tiết các thông số về độ lệch và độ hội tụ đạt 
được trong quá trình tái tạo thông qua k=10 bước dịch chuyển đầu tiên. 
 19 
Nhận thấy rằng các độ lệch lớn nhất max và độ lệch trung bình avg tỉ lệ 
nghịch với số bước dịch chuyển k. Trong khi đó, độ hội tụ N lại tỉ lệ 
thuận với k. Điều này cho thấy sau vài bước dịch chuyển, mặt cong 
tham số thu được hội tụ dần về các điểm dữ liệu lưới ban đầu. 
 Hình 4.16: Ảnh hưởng của bước dịch chuyển k 
 đối với độ chính xác của mặt cong tái tạo theo độ lệch lớn nhất max. 
 Hình 4.17: Ảnh hưởng của bước dịch chuyển k đối với độ chính xác của mặt 
 cong tái tạo theo độ hội tụ avg 
 20 
 Các hình Hình 4.16, 4.17 và 4.18 cho thấy sự hội tụ của mặt cong 
tham số trong quá trình xấp xỉ hình học. Độ lệch lớn nhất max và độ lệch 
trung bình avg của cả ba mô hình phụ thuộc mạnh mẽ vào số bước dịch 
chuyển k. Các giá trị này giảm mạnh trong trong năm bước dịch chuyển 
đầu tiên (Hình 4.16 và 4.17 ), sau đó ổn định dần ở các bước dịch 
chuyển còn lại và nằm trong khoảng 0.002 đến 0.004 (đối với max) và 
0.001 đến 0.003 (đối với avg). Điều này cho thấy các mặt cong tham số 
đạt được nhanh chóng hội tụ về các điểm dữ liệu chỉ sau vài bước dịch 
chuyển. Trong khi đó, các đồ thị trong Hình 4.18 cho thấy số bước lặp k 
càng tăng thì độ hội tụ N càng cao. Độ hội tụ N tăng mạnh trong ba 
bước dịch chuyển đầu, sau đó ổn định và dần chạm ngưỡng 92% (đối 
với mặt cong B-spline tam giác), 94% (đối với mặt cong B-patch) và 
98% (đối với mặt cong Bézier tam giác). 
 Hình 4.18: Ảnh hưởng của bước dịch chuyển k đối với độ chính xác của mặt 
 cong tái tạo theo độ lệch trung bình N 
 Mặt cong Bézier tam giác cho kết quả tốt hơn so với hai dạng mặt 
cong còn lại, với độ lệch thấp hơn và độ hội tụ cao