Luận án Nghiên cứu sự làm việc của cọc chịu tải trọng ngang và tải trọng động đất

= 0 (2.52) 
trong đó δ là dấu lấy biến phân. 
 53
Chú ý ở đây khối đất chứa ba hàm ẩn u, v, w, cho nên từ (2.52) ta nhận được 
hệ 3 phương trình: 
⌡

⌠
V*
(σx-σx
0) δ(
∂u
 ∂x)dV
* + 
⌡

⌠
V*
 (τxy-τxy
0) δ(
∂u
 ∂y
) dV* + 
⌡

⌠
V*
 (τxz-τxz
0) δ(
∂u
 ∂z
 )dV* = 0 
⌡

⌠
V*
(σy-σy
0) δ(
∂v
 ∂y)dV
* +
⌡

⌠
V*
 (τxy-τxy
0) δ(
∂v
 ∂x
)dV* +
⌡

⌠
V*
 (τyz-τyz
0) δ(
∂v
 ∂z
 )dV* =0 (2.53) 
⌡

⌠
V*
(σz- σz
0) δ(
∂w
 ∂z)dV
* + 
⌡

⌠
V*
 (τxz-τxz
0) δ(
∂w
 ∂x
)dV* + 
⌡

⌠
V*
 (τyz-τyz
0) δ(
∂w
 ∂y
)dV* = 0 
Thực hiện phép tính biến phân [34] đối với (2.53) nhận được ba phương trình sau: 
∂σx
 ∂x + 
∂τxy
 ∂y +
∂τxz
 ∂z = 
∂σx
0
 ∂x + 
∂τxy
0
 ∂y +
∂τxz
0
 ∂z 
∂σy
 ∂y + 
∂τxy
 ∂x +
∂τyz
 ∂z = 
∂σy
0
 ∂y +
∂τxy
0
 ∂x +
∂τyz
0
 ∂z (2.54) 
∂σz
 ∂z + 
∂τxz
 ∂z +
∂τyz
 ∂y = 
∂σz
0
 ∂z +
∂τxz
0
 ∂z +
∂τyz
0
 ∂y 
Vế phải của (2.54) thỏa mãn phương trình cân bằng khi có lực ngang P tác 
dụng trong hệ so sánh gây ra (hình 2.4), cho nên các vế trái của (2.54) cũng là 
phương trình cân bằng khi có lực nằm ngang P tác dụng trong hệ cần tính (hình 2.3) 
gây ra. 
Như vậy bằng cách dùng hệ so sánh, ta lại nhận được ba phương trình vi 
phân cân bằng của hệ cần tính. 
- Phương pháp dùng hệ so sánh trình bày ở trên có các ưu điểm nổi bật sau: 
+ Khối đất mở rộng V* lớn hơn khối đất cần tính V cho nên ta xác định được 
trạng thái ứng suất không những trong khối đất V mà cả trên biên của nó. Điều này 
có nghĩa rằng các điều kiện biên trên khối đất được tự động thỏa mãn chính xác. 
+ Do khối đất V nằm trong nửa không gian vô hạn cho nên điều kiện biên ở 
vô cùng cũng tự động được thỏa mãn. 
Để thấy rõ hơn hai ưu điểm nêu trên xin trình bày sơ đồ tính sau (hình 2.6): 
 54
Hình 2.6 Sơ đồ tính khối đất thường dùng 
Do có lực P tác dụng nằm ngang trên khối đất, cho nên để cho khối đất 
không bị biến hình ta đặt thêm các lò xo nằm ngang có độ cứng kh trên các mặt bên 
khối đất. Hệ số kh này là không xác định (giống như các hệ số độ cứng lò xo của 
cọc trình bày trong chương 1). 
Nền móng công trình được xem nằm trong nửa không gian vô hạn, do đó sơ 
đồ tính trên chưa xét tác dụng của ứng suất tiếp trên các mặt biên khối đất. Khối đất 
bị tách ra khỏi môi trường, nên không bảo đảm điều kiện tương tác với môi trường. 
Do đó trạng thái ứng suất tính được theo sơ đồ trên không bảo đảm điều kiện ở vô 
cùng của nửa không gian vô hạn. 
Đối với bài toán động lực học của khối đất V, theo PPNLCT Gauss trong 
phiếm hàm lượng cưỡng bức chỉ cần xét thêm lực quán tính của khối V và lực quán 
tính của hệ so sánh. Điều kiện biên ở vô cùng trong trường hợp này chính là điều 
kiện bức xạ ở vô cùng cũng được thỏa mãn một cách tự động (sẽ được trình bày ở 
chương 4) 
2.3.2 Hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi 
 Hệ so sánh được dùng là không gian vô hạn đàn hồi với lời giải Kelvin đã 
được trình bày ở trên. Trong trường hợp này thì việc đầu tiên cần làm là dùng hệ 
không gian để tính nửa không gian, rồi dùng hệ nửa không gian để tính khối đất như 
phương án đầu (mục 2.4.1). Trong nội dung nghiên cứu luận án, trình bày các bài 
toán tương tác động lực học của cọc với nền đất, tác giả sẽ dùng phương án hai 
(mục 2.4.2), bởi vì chỉ có lời giải giải tích động lực học đối với không gian vô hạn, 
mà không có lời giải giải tích động lực học đối với nửa không gian vô hạn khi có 
lực đặt bất kỳ trong nửa không gian. 
P c 
Khối đất cần tính 
Lò xo có hệ số độ cứng kh 
 55
- Xét trường hợp lực P tác dụng thẳng đứng lên khối đất V nằm trong nửa 
không gian vô hạn đàn hồi (hình 2.7a). 
(a) (b) (c) 
Hình 2.7 Mô hình bài toán tính khối đất chịu tác dụng lực thẳng đứng khi dùng hệ 
so sánh là không gian vô hạn đàn hồi 
Cho lực P tác dụng lên không gian vô hạn đàn hồi, dùng lời giải Kelvin tính 
được trạng thái ứng suất σij
0 trong nó. Vì hệ cần tính nằm trong nửa không gian cho 
nên chỉ có thể dùng trạng thái ứng suất nửa dưới của không gian vô hạn (hình 2.7b) 
để làm hệ so sánh. Tuy nhiên trạng thái ứng suất σij
0 của nửa không gian chỉ tương 
đương với lực P/2, vì vậy phải đặt 2 lực P để tính σij
0. Trường hợp lực P đặt sâu so 
với mặt thoáng thì ta dùng hai lực P đặt đối xứng qua mặt AB ( hình 2.7c). Trường 
hợp lực đặt trên thì trên bề mặt AB còn có các ứng suất τxz
0 và τyz
0 tác dụng. Lời 
giải Mindlin đối với nửa không gian đàn hồi cũng xuất phát từ lời giải Kelvin với sơ 
đồ tính trên và tìm cách triệt tiêu các ứng suất τxz
0 và τyz
0 trên bề mặt AB [68]. 
- Xét trường hợp lực P tác dụng nằm ngang trên khối đất V (hình 2.8a). Mặt 
AB là mặt thoáng. 
(a) (b) (c) 
Hình 2.8 Mô hình bài toán tính khối đất chịu tác dụng lực nằm ngang khi dùng hệ 
so sánh là không gian vô hạn đàn hồi 
P 
A B 
Khối đất cần tính 
P 
Khối đất cần tính 
 A B 
P A B 
σij
0 σij
0 
P 
P 
c 
c A B 
τxz
0,τyz
0 τxz
0,τyz
0 
P P 
c 
c A B A B 
σij
0 σij
0 σz
0 σz
0 
P 
 56
Cho lực ngang P tác dụng lên không gian đàn hồi, dùng lời giải Kelvin tính 
được trạng thái ứng suất σij
0 trong nó. Vì hệ cần tính nằm trong nửa không gian 
(hình 2.8a) cho nên chỉ có thể dùng nửa dưới của không gian vô hạn (hình 2.8b). 
Trạng thái ứng suất σij
0 chỉ tương đương với lực P/2 , cho nên phải đặt 2 lực P để 
tính ứng suất σij
0 theo lời giải Kelvin. Trường hợp lực nằm ngang P đặt ở độ sâu c 
so với mặt thoáng thì dùng hai lực P đặt đối xứng qua bề mặt AB (hình 2.8c). Khi 
tính sơ đồ trên thì trên bề mặt AB còn có các ứng suất σz
0 tác dụng 
Lời giải Mindlin đối với nửa không gian đàn hồi khi chịu lực nằm ngang P 
xuất phát từ lời giải Kelvin với sơ đồ tính như hình 2.8c và tìm cách bảo đảm σz
0 = 
0 trên bề mặt AB. Lời giải nhận được là lời giải giải tích. 
Tác giả luận án sử dụng sơ đồ hình 2.8c để tính σij
0. Do có ứng suất σz
0
 tác 
dụng lên bề mặt AB của nửa dưới cho nên cần xét tác dụng của biến này bằng cách 
viết lượng cưỡng bức như sau: 
ZAB = 
⌡
⌠
ΩAB
 [(σz-σz
0) w
 dΩAB → min (2.55) 
với ΩAB là diện tích bề mặt AB. 
Ngoài ra còn cần phải đảm bảo điều kiện σz = 0 trên bề mặt AB. Tóm lại, bài 
toán xác định trạng thái ứng suất của khối đất đàn hồi V khi dùng lời giải Kelvin 
được viết như sau: 
Z = ZV + ZAB → min (2.56) 
Với ràng buộc σz = 0 trên mặt AB. 
ZV=⌡
⌠
V*
 (σx-σx
0) εxdV
* +⌡
⌠
V*
 (σy-σy
0) εydV
* +⌡
⌠
V*
 (σz-σz
0) εzdV
* 
+⌡
⌠
V*
 (τxy-τxy
0) γxy dV
* +⌡
⌠
V*
 (τxz-τxz
0) γxz dV
* +⌡
⌠
V*
 (τyz-τyz
0) γyz dV
* → min (2.57) 
Trong (2.57), V* là thể tích khối đất mở rộng để xét điều kiện biên; V là thể 
tích khối đất cần tính (V<V*); εij là các biến dạng của khối đất; các ứng suất σx
0, σy
0, 
σz
0, τxy
0, τxz
0, τyz
0 là trạng thái ứng suất của hệ so sánh xác định theo lời giải Kelvin 
với hai lực P (hình 2.8c); các ứng suất σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz là trạng thái ứng suất 
của khối đất của hệ cần tính (hình 2.8a). Bằng cách viết phiếm hàm mở rộng 
 57
P/4
P/4
y
P
4
3
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
11
7
6
5
z
20
19
18
17
16
15
14
13
12
21
x
10 11 12 13 14 15 16 17
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617
P/4
P/4
Lagrange, đưa bài toán cực trị có ràng buộc về bài toán cực trị không ràng buộc như 
sau: F = ZV + ZAB
 + λσz → min (2.58) 
λ = λ(x,y) là thừa số Lagrange là hàm ẩn mới của bài toán. 
Điều kiện cực trị của F sẽ là: δF = δZV + δZAB
 + δλσz = 0 (2.59) 
2.4 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 
Tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) để tính khối đất 
chữ nhật có thể tích V nằm trong nửa không gian vô hạn đàn hồi chịu tác dụng của 
lực nằm ngang P (hình 2.4). Xét hai trường hợp: Hệ so sánh là khối đất nằm trong 
bán không gian vô hạn đàn hồi (hình 2.5) và hệ so sánh là khối đất nằm trong không 
gian vô hạn đàn hồi (hình 2.8c). Trong cả hai trường hợp, khối đất cần tính cũng 
như khối đất của hệ so sánh được chia thành các phần tử khối chữ nhật (bài toán 3 
chiều) có kích thước phần tử bất kỳ. Để có thể xét được điều kiện biên trên hệ cần 
tính, hệ so sánh có số phần tử nhiều hơn so với hệ cần tính 1 phần tử theo chiều sâu 
z và theo chiều x, chiều y ( hình 2.9). 
Hình 2.9 Chia khối đất hệ cần tính thành các phần tử khối 
 58
1 9 2
13
3
19
7 12 8
16
6
18
14
17
15
10
11 20
4
5
0 x
zy
* Phần tử khối chữ nhật 20 nút 
Có thể dùng phần tử khối chữ nhật 8 nút [38], nhưng để có được xấp xỉ tốt 
hơn, tác giả sử dụng phần tử khối chữ nhật 20 nút như hình 2.10 trong hệ tọa độ tự 
nhiên với kích thước phần tử ∆x = ∆y = ∆z = 2 và dùng chuyển vị làm ẩn. Tọa độ 
các nút được cho trong bảng 2.1. 
Hình 2.10 Phần tử khối chữ nhật 20 nút 
Bảng 2.1 Bảng tọa độ nút phần tử khối chữ nhật 20 nút. 
Nút 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
xp -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 
yp -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1 -1 1 1 
zp -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 
Mỗi nút có 3 thông số (ẩn) cần xác định là chuyển vị u theo chiều x, v theo 
chiều y, w theo chiều z. Như vậy trong phần tử có 3 x 20 = 60 thông số chuyển vị ( 
60 ẩn) cần xác định. Biết được chuyển vị các nút thì chuyển vị tại điểm bất kỳ nằm 
trong phần tử được xác định theo các hàm nội suy [39],[60] 
Các hàm nội suy: 
- Đối với các nút i =1÷8 
Ni = 
(1+x.xpi)(1+y.ypi)(1+z.zpi)( x.xpi+ y.ypi+ z.zpi -2)
8 (2.60a) 
- Đối với các nút i =9÷12 
Ni = 
(1-x2)(1+y.ypi)(1+z.zpi)
4 (2. 60b) 
- Đối với các nút i =13÷16 
 59
Ni = 
(1-y2)(1+x.xpi)(1+z.zpi)
4 (2. 60c) 
- Đối với các nút i =17÷20 
Ni = 
(1-z2)(1+x.xpi)(1+y.ypi)
4 (2. 60d) 
 Gọi θc là vecto cột chứa 60 ẩn phần tử sắp xếp theo tọa độ: 
θc = [ u1 u2 ... u20 v1 v2... v20 w1 w2... w20] 
Gọi fu là vecto dòng chứa 20 hàm nội suy để xác định chuyển vị u
e tại mỗi 
điểm trong phần tử; fv là vecto dòng chứa 20 hàm nội suy để xác định chuyển vị v
e; 
fw là vecto dòng chứa 20 hàm nội suy để xác định chuyển vị w
e. 
fu = [ f1 f2... f20 , (40 số 0)] 
fv = [ (20 số 0), f1 f2 ...f20, (20 số 0)] (2.61) 
fw = [(40 số 0), f1 f2... f20 ] 
thì chuyển vị tại mỗi điểm trong phần tử được viết dưới dạng: 
ue = fu θc; v
e = fv θc; w
e = fw θc (2.62) 
Biết được chuyển vị xác định các biến dạng: 
εx = 
∂fu
 ∂x θc; εy = 
∂fv
 ∂y θc; εz = 
∂fw
 ∂z θc 
γxy =( 
∂fu
 ∂y
 + 
∂fv
 ∂x
 )θc; γxz = (
∂fu
 ∂z
 + 
∂fw
 ∂x
 )θc; γyz = (
∂fv
 ∂z
 + 
∂fw
 ∂y
 )θc (2.63) 
Biết được các biến dạng, theo các liên hệ cơ bản (2.1), sẽ xác định được 
trạng thái ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử. 
- Ma trận độ cứng phần tử (dùng để tính tích phân ZV) 
Xem phần tử như là công trình, viết phiếm hàm lượng cưỡng bức trong 
trường hợp dùng hệ so sánh như sau: 
Z= ∫∫∫
−−−
1
1
1
1
1
1
[(σx-σx
0) εx + (σy-σy
0) εy + (σz-σz
0) εz + (τxy-τxy
0) γxy + (τxz-τxz
0) γxz + (τyz-
τyz
0) γyz]dxdydz → min (2.64) 
 60
Bởi vì dạng các hàm biến dạng đã biết, nên bài toán (2.64) không còn là bài 
toán biến phân mà trở thành bài toán tối ưu thông số tìm các ẩn θi (60 ẩn) sao cho Z 
đạt cực tiểu. Vì vậy điều kiện cực trị của (2.64) được viết dưới dạng sau: 
δZ= ∫∫∫
−−−
1
1
1
1
1
1
(σx-σx
0)
∂εx
∂θi
 + (σy-σy
0) 
∂εy
∂θi
 + (σz-σz
0) 
∂εz
∂θi
 + (τxy-τxy
0) 
∂γxy
∂θi
 + (τxz-τxz
0) 
∂γxz
∂θi
+ (τyz-τyz
0)
∂γyz
∂θi
 ]dxdydz = 0 (2.65) 
(i=1,2,...,60) 
Thực hiện tích phân trên ứng với mỗi i, nhận được một phương trình cân 
bằng, có vế trái là dòng chứa 60 cột và vế phải là một số. Cho i thay đổi từ 1÷60 sẽ 
nhận được phương trình ma trận sau: ae θc = b
e (2.66) 
trong đó: ae là ma trận độ cứng phần tử có kích thước a(60x60) 
 be là véc tơ cột có kích thước b(60,1). 
Trong tính toán cụ thể, ma trận độ cứng phần tử được tính bằng cách tích 
phân trực tiếp các phương trình (2.65) 
Khối đất V bao gồm nhiều phần tử khác nhau. Ta dùng ma trận độ cứng phần 
tử để xây dựng ma trận tổng thể của khối đất V (tính thành phần ZV) với chú ý rằng 
các ẩn chuyển vị nút của một phần tử này có thể nằm trong các phần tử liền kề. 
Trong trường hợp dùng hệ so sánh là không gian vô hạn đàn hồi (lời giải 
Kelvin) do có ứng suất σ0z tác dụng lên mặt thoáng AB của khối đất V nên phải xét 
thêm biểu thức (2.55) và điều kiện σz = 0 trên mặt thoáng AB. 
 61
* Chương trình tính 
Hình 2.11 Chương trình tính khối đất 
2.5 Kiểm tra kết quả và các nhận xét 
Như đã trình bày trên, các ẩn của bài toán là các chuyển vị u, v, w tại các nút của 
phần tử. Biết được các chuyển vị thì tính được các biến dạng εij và các ứng suất σij 
tại các điểm của khối đất V. Tương tự dựa vào các công thức của Mindlin hay 
Kelvin tính được các chuyển vị u0, v0, w0 tại các nút và từ đó tính được các biến 
dạng ε0ij và các ứng suất σ
0
ij tại các nút của hệ so sánh. 
2.5.1 Bài toán dùng hệ so sánh là nửa không gian vô hạn đàn hồi 
Xét bài toán tương tác giữa khối đất V có mô đun đàn hồi E1 và hệ số Poisson 
ν1 với nửa không gian vô hạn đàn hồi có mô đun đàn hồi E0 và hệ số Poisson ν0 
- Nhập dữ liệu đầu vào đặc trưng cho kích thước hình học, tính chất vật 
liệu khối đất và tải trọng tác dụng cũng như vị trí của nó: ptz, ptx, pty, dx, 
dy,dz, Ed1, Ed2, ν, P, c... 
- Các công thức tính theo lời giải của Mindlin 
Chia khối đất thành các phần tử khối chữ nhật 20 nút. Xác định số ẩn 
chuyển vị nút u, v, w. 
Dùng lời giải Mindlin tính các chuyển vị nút u0, v0, w0, từ đó xác định 
trạng thái ứng suất σij
0 của mỗi phần tử. 
Xây dựng ma trận độ cứng phần tử để tính tích phân ZV của bài toán cho 
toàn bộ thể tích khối đất V. 
Kết quả tính toán cho hệ phương trình bậc nhất dưới dạng ma trận: 
AX=B. 
Véc tơ chuyển vị nút X được xác định theo hàm: X=A\B 
( hàm giải hệ phương trình bậc nhất). 
In kết quả 
 62
(hình 2.12). Dựa trên phần mềm Matlab, tác giả xây dựng chương trình tính 
Mstatic1 khảo sát một số trường hợp sau: 
Hình 2.12 Mô hình bài toán tính khối đất 
* Trường hợp 1: Cho E1 = E0, ν1 = ν0 (mô đun đàn hồi, hệ số Poisson của hệ 
so sánh bằng mô đun đàn hồi, hệ số Poisson của hệ cần tính) 
Trên hình 2.13 trình bày biểu đồ chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm 
khối đất khi lực nằm ngang P tác dụng ở bề mặt (hình 2.13a) và tại chân (hình 
2.13b) khối đất. 
Các đường nét liền có dấu 
 là kết quả tính chuyển vị ngang (ký hiệu là 
U0_M1) theo PPNLCT Gauss. Các đường nét liền trơn là kết quả tính chuyển vị 
ngang (ký hiệu là U_M1) theo công thức của Mindlin. 
Nhận thấy các kết quả tính theo PPNLCT Gauss hoàn toàn trùng khớp với kết 
quả lời giải giải tích của Mindlin (xem Phụ lục 1) 
Khi thay đổi thể tích khối V, kể cả trường hợp khối V chỉ có 1 phần tử, vẫn có 
được kết quả chính xác. Kết quả này có thể nói là hiển nhiên bởi vì đang xét trường 
hợp E1 = E0, ν1 = ν0 nghĩa là khối đất V với môi trường còn lại hợp thành nửa 
không gian đàn hồi đầy đủ. Điều kiện ở vô hạn cũng được thỏa mãn. Như vậy 
phương pháp dùng hệ so sánh trình bày ở trên tự động thỏa mãn các điều kiện biên 
trên khối đất và điều kiện ở vô cùng. 
Miền mở rộng để xét điều 
kiện biên. 
P 
Khèi ®Êt cÇn 
tÝnh 
E0, 
ν
E1, 
ν
c 
 63
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
C
h
u
y
e
n
 v
i 
n
g
a
n
g
 (
c
m
)
U0_M1
U0_M2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
C
h
u
y
e
n
 v
i 
n
g
a
n
g
 (
c
m
)
U0_M1
U0_M2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
C
h
u
y
e
n
 v
i 
n
g
a
n
g
 (
c
m
)
U0_M1
U_M1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
C
h
u
y
e
n
 v
i 
n
g
a
n
g
 (
c
m
)
U0_M1
U_M1
(a) (b) 
Hình 2.13 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất khi lực ngang P tác dụng tại bề mặt 
(a) và chân (b) khối đất, trường hợp E1 = E0, ν1 = ν0. 
* Trường hợp 2: Cho ν1 = ν0; E1 ≠ E0 (giữ nguyên E1 như trường hợp 1, thay 
đổi E0 của hệ so sánh) 
 Trên hình 2.14 trình bày các chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm khối 
đất khi lực nằm ngang P tác dụng tại bề mặt khối đất (hình 2.14a) và tại chân khối 
đất (hình 2.14b). 
Trong đó: U0_M1 là ký hiệu chuyển vị ngang khối đất trong trường hợp 1 theo 
lời giải của PPNLCT Gauss. U0_M2 là ký hiệu chuyển vị ngang trong trường hợp 2 
theo lời giải của PPNLCT Gauss. Ở đây thấy sự trùng khớp hoàn toàn giữa hai kết 
quả tính theo lời giải của PPNLCT Gauss trong trường hợp 1 và trường hợp 2 
(U0_M1 ≡ U0_M2). ( xem Phụ lục 2) 
(a) (b) 
Hình 2.14 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất khi lực ngang P tác dụng tại bề mặt 
(a) và chân (b) khối đất, trường hợp ν1 = ν0; E1 ≠ E0 
 64
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
C
h
u
y
e
n
 v
i 
n
g
a
n
g
 (
c
m
)
U0_M1
U0_M3
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 1 2 3 4 5 6
Chieu sau khoi dat (m)
C
h
u
y
e
n
 v
i 
n
g
a
n
g
 (
c
m
) U0_M1
U0_M3
Khi thể tích V thay đổi ta vẫn nhận được kết quả chính xác như trên. 
Như vậy, qua 2 trường hợp khảo sát trên thấy rằng, dù hệ so sánh có mô đun đàn 
hồi giống hoặc khác mô đun đàn hồi của hệ cần tính thì kết quả chuyển vị của hệ 
cần tính là không đổi. 
* Trường hợp 3: Cho ν1 = ν0; E1 ≠ E0 (giữ nguyên E0 của hệ so sánh như 
trường hợp 1, tăng E1 của hệ cần tính lên gấp hai lần so với trường hợp 1) 
Trên hình 2.15 trình bày các chuyển vị ngang u(z) của điểm nằm gần tâm khối 
đất khi lực nằm ngang P tác dụng tại bề mặt khối đất (hình 2.15a) và tại chân khối 
đất (hình 2.15b). 
Trong đó: U0_M1 là ký hiệu chuyển vị ngang tính trong trường hợp 1 theo lời 
giải của PPNLCT Gauss. U0_M3 là ký hiệu chuyển vị ngang tính trong trường hợp 
3 theo lời giải của PPNLCT Gauss. 
(a) (b) 
Hình 2.15 Biểu đồ chuyển vị ngang khối đất khi lực ngang P tác dụng tại bề mặt 
(a) và chân (b) khối đất, trường hợp ν1 = ν0; E1 ≠ E0 
Ta thấy kết quả chuyển vị của khối đất tính theo PPNLCT Gauss trong trường 
hợp 3 (U0_M3) nhỏ hơn hai lần chuyển vị của khối đất tính theo PPNLCT Gauss 
trong trường hợp 1 (U0_M1) ( xem Phụ lục 3). 
Kết quả nghiên cứu trong trường hợp 2 và 3 cũng có thể xem là hiển nhiên bởi 
vì theo các công thức Mindlin trạng thái chuyển vị (u, v, w) tỷ lệ nghịch với mô đun 
đàn hồi E (công thức (2.41), (2.45)); còn trạng thái ứng suất σij không phụ thuộc 
vào E, chỉ phụ thuộc vào hệ số Poisson ν ( công thức (2.44), (2.46)). 
 65
 Từ các trình bày trên thấy rằng phương pháp dùng hệ so sánh của PPNLCT 
Gauss mà tác giả dùng để xây dựng bài toán cho phép tự động thỏa mãn các điều 
kiện trên biên của khối V và điều kiện ở vô cùng. 
 * Trường hợp 4: Cho E1 ≠ E0, ν1 ≠ ν0 (hệ cần tính và hệ so sánh khác nhau 
về mô đun đàn hồi và hệ số Poisson) 
Ở ba trường hợp trên, hệ số Poisson của khối V và của môi trường bằng nhau 
(ν 1 = ν 0) và cho thể tích khối V thay đổi để nghiên cứu. Bây giờ ta xét trường hợp 
ν1 ≠ ν0 , thể tích khối V không đổi nhưng thay đổi thể tích V
* của khối mở rộng 
(hình 2.16). 
Hình 2.16 Tương tác giữa khối bê tông và nền đất 
Tác giả đã viết chương trình Mstatic2 trong môi trường Matlab cho trường 
hợp này. Dưới đây trình bày kết quả tính cho trường hợp khối V là bê tông có E1 = 
20.000 MPa; ν1 = 0,15 nằm trong nền đất có E0 = 10 MPa ; ν0 = 0,3. Khối V có diện 
tích mặt bằng 4x3 phần tử; chiều cao bằng 2 phần tử. Thể tích khối mở rộng V* luôn 
lớn hơn thể tích khối V tối thiểu là một phần tử theo cả ba chiều x, y, z để có thể xét 
được các ứng suất σij tác dụng lên các mặt biên của khối V. Kết quả ta được giá trị 
chuyển vị ngang (bảng 2.2) và biểu đồ chuyển vị ngang trên trục thẳng đứng đi qua 
điểm gần tâm của khối bê tông V khi chịu lực nằm ngang P= 10kN tác dụng ở bề 
mặt (hình 2.17). Trong đó: U0_M4 là ký hiệu chuyển vị ngang tính trong trường 
hợp 4 theo lời giải của PPNLCT Gauss. 
Bảng 2.2 Giá trị chuyển vị ngang của khối bê tông 
z(m) 0 0.3 0.6 0.9 1.2 
U0_M4 (cm) 0.162 0.0