Luận án Nghiên cứu sự suy giảm độ tin cậy theo thời gian của chân đế công trình biển cố định bằng thép đo ảnh hưởng của tổn thất mỏi

n m i
i i
i o
M mD T P
A M
DP M
= =
+ 
= = Γ 
 
∑ ∑ (2.65) 
b) Tuổi thọ mỏi trung bình lớn nhất của điểm nóng đang xét 
 Chấp nhận tổn thất mỏi của kết cấu trong mỗi năm là như nhau. Điều kiện an 
toàn về mỏi của điểm nóng trong kết cấu là tổng tổn thất mỏi D sau Τ năm không 
được lớn hơn tổn thất mỏi cho phép [D], thể hiện như sau [14]: 
 [ ]1 ăn mD T D D= × ≤ (2.66) 
	 ≤ 1 có giá trị phụ thuộc vào hệ số an toàn quy định trong tiêu chuẩn thiết kế. 
Tuổi thọ mỏi trung bình m năm của điểm nóng: 
1 ă
1
n mD
τ =
 (2.67) 
2.6. Kết luận của chương 2 
 Chương 2 đã thực hiện được các nội dung chính như sau: 
- Hệ thống các nội dung cơ bản của phương pháp luận đánh giá an toàn của 
kết cấu jacket dựa trên hai điều kiện an toàn độc lập về bền và mỏi theo 
-34 - 
quan niệm truyền thống đang được sử dụng trong các tiêu chuẩn thiết kế 
hiện hành. Trong đó đã sử dụng đồng thời mô hình sóng tiền định và mô 
hình sóng ngẫu nhiên cho trường hợp đơn giản là sóng có phổ dải hẹp. Tuy 
nhiên ứng suất lớn nhất trong kết cấu xác định theo chương này mới chỉ là 
giá trị gần đúng và tỷ số tổn thất mỏi cũng như tuổi thọ mỏi mới chỉ là giá trị 
trung bình. 
- Các nội dung trong chương 2 sẽ được sử dụng để đối chiếu với kết quả 
nghiên cứu mới của luận án (chương 3) trong các tính toán áp dụng vào ví 
dụ thực tế (chương 4). 
- Đã đưa ra cơ sở của mô hình xác suất và quá trình ngẫu nhiên để giải bài 
toán trong miền tần số và trong miền thời gian phục vụ cho việc xây dựng 
phương pháp luận của luận án trong chương 3. 
-35 - 
CHƯƠNG 3 
PHƯƠNG PHÁP LUẬN ĐÁNH GIÁ MỨC SUY GIẢM ĐỘ TIN CẬY THEO 
THỜI GIAN CỦA KẾT CẤU JACKET CÁC CÔNG TRÌNH BIỂN CỐ ĐỊNH 
3.1. Mở đầu 
Từ các nội dung như đã trình bày trong chương 2 và vận dụng sáng chế của 
GS. Phạm Khắc Hùng, luận án xây dựng phương pháp luận nhằm đánh giá sự 
suy giảm độ tin cậy, tức là mức an toàn của kết cấu jacket do ảnh hưởng của tổn 
thất mỏi. 
Trong luận án này, khi nói “Độ tin cậy của kết cấu” thì được hiểu là “Độ tin 
cậy của kết cấu tại điểm nóng đang xét”. 
3.1.1. Dạng tổng quát của độ tin cậy theo điều kiện bền truyền thống 
 Độ bền được kiểm tra tại các mặt cắt nguy hiểm của phần tử dạng thanh và tại 
nút liên kết các thanh với nhau. Độ tin cậy của thanh được xác định dựa trên xác 
suất an toàn như sau [27, 28]: 
 0Z R σ= − ≥ (3.1) 
 ( ) ( )
0
0 [ ]B PP Prob Z R f z dz
∞
σ= = − ≥ = ≥∫ (3.2) 
 trong đó: PB xác suất theo điều kiện bền; kn hàm mật độ xác suất của Z. 
3.1.2. Dạng tổng quát của độ tin cậy theo điều kiện mỏi truyền thống 
 Độ tin cậy về mỏi của điểm nóng khảo sát sau thời gian T được biểu diễn bởi 
xác suất như sau [27, 28]: 
 [ ]( )
[ ]
( )
0
[P]
D
mT T TP Prob D D f D dD= < = ≥∫ (3.3) 
 trong đó: [D] là tỷ số tổn thất mỏi giới hạn cho phép; DT là tỷ số tổn thất mỏi 
tích luỹ trong thời gian T; f(DT) là hàm mật độ xác suất của DT. 
3.2. Dạng tổng quát đánh giá mức suy giảm độ tin của kết cấu jacket 
3.2.1. Dạng tổng quát của độ tin cậy dựa trên điều kiện bền mở rộng 
 Thay các công thức (3.2) và (3.3) vào (1.1) ta có dạng tổng quát của độ tin cậy 
của kết cấu CTB (tại điểm xét), khi đồng thời kể đến điều kiện an toàn về bền và 
-36 - 
mỏi, được gọi là độ tin cậy của kết cấu CTB dựa trên điều kiện bền mở rộng: 
 ( ) ( )
[ ]
( )
0 0
[ ]
D
BTot B mT tP t P P f z dz f D dD P
∞
= × = × ≥∫ ∫ (3.4) 
Tổn thất mỏi tích lũy trong kết cấu tăng theo thời gian khai thác đồng nghĩa 
với việc độ tin cậy theo điều kiện mỏi PmT là một hàm giảm theo thời gian. Từ (3.4) 
cho thấy độ tin cậy tổng thể của kết cấu PBTot là hàm đơn điệu giảm theo thời gian, 
phản ảnh đúng thực tế về khả năng chịu lực của kết cấu khi xuất hiện tổn thất mỏi 
tích luỹ. Trên Hình 3.1 biểu diễn đồ thị của độ tin cậy tại vị trí xét, thay đổi theo 
thời gian khai thác [2,3,4]. 
Hình 3.1 Độ tin cậy theo điều kiện mở rộng thay đổi theo thời gian 
Các công thức (3.4) mới dừng lại ở dạng nguyên lý tính toán dùng cho các 
công trình biển nói chung. Chương này thiết lập các công thức chi tiết để khảo sát 
sự thay đổi độ tin cậy của kết cấu jacket thông qua các nội dung sau: 
- Xác định các đặc trưng ngẫu nhiên của ứng suất tại điểm xét; 
- Xác định các đặc trưng ngẫu nhiên của tổn thất mỏi tại điểm xét; 
- Thiết lập các công thức tính độ tin cậy theo điều kiện bền truyền thống PB; 
- Thiết lập công thức tính tổn thất mỏi phụ thuộc vào thời gian Pm(t); 
- Thiết lập công thức và khảo sát sự suy giảm của độ tin cậy theo điều kiện 
 bền mở rộng  theo thời gian. 
3.2.2. Dạng tổng quát của độ tin cậy theo điều kiện mỏi mở rộng 
 Tỷ số tổn thất mỏi tại thời điểm bão cực đại được xác định theo công thức (1.2) . 
 Thay (3.3) vào (1.2) ta được độ tin cậy của kết cấu tại điểm xét tính theo điều 
kiên mỏi mở rộng như sau [28]: 
-37 - 
 [ ]( )
[ ]
( )
0
[ ]
D
mT Tot TotP Prob D D f D PdD= < = ≥∫ (3.5) 
 Công thức này cho phép xác định được tổn thất mỏi và độ tin cậy theo điều 
kiện mỏi có kể đến các tổn thất do bão cực đại gây ra. PmT là một hàm giảm theo 
thời gian. Luận án sẽ triển khai các nội dung sau: 
- Xác định các đặc trưng ngẫu nhiên của tỷ số tổn thất mỏi do bão cực đại gây 
 ra (De); 
- Xác định các đặc trưng ngẫu nhiên của tỷ số tổn thất mỏi tổng cộng (DTot); 
- Khảo sát sự thay đổi độ tin cậy theo thời gian của kết cấu khi bão cực đại 
 xảy ra ở các thời điểm khai thác khác nhau. 
3.3. Xác định độ tin cậy về bền của kết cấu jacket trong trạng thái biển ngắn 
hạn cực đại 
3.3.1. Ứng suất ngẫu nhiên trong kết cấu 
 Trong các bài toán độ bền của kết cấu jacket, kết cấu chịu tải trọng cực hạn 
của bão thiết kế (tần suất lặp 100 năm) tổ hợp với các tải trọng khác như tải trọng 
do gió, tải trọng bản thân, tải trọng thượng tầng, tải trọng đẩy nổi Tuy nhiên, như 
đã đề cập trong chương 1, chỉ tải trọng sóng là tải trọng ngẫu nhiên, các tải trọng 
còn lại được coi là tải trọng tiền định, ứng suất do các tài trọng này gây ra là ứng 
suất tĩnh. Ứng suất tổng cộng tại điểm xét trong kết cấu được tính như sau: 
 TC wσ σ σ= + (3.6) 
 trong đó: 
8 là ứng suất tổng cộng tại điểm xét trong kết cấu; 
Z là ứng suất 
do các tải trọng tiền định gây ra (hằng số);	
2 là ứng suất do tải trọng sóng gây ra. 
Điều kiện để kết cấu đảm bảo an toàn theo phương pháp ứng suất cho phép 
 TC a Rσ σ= + ≤ (3.7)
 trong đó: R là ứng suất cho phép của kết cấu (giả thiết là hằng số); a là biên độ 
của quá trình ngẫu nhiên ứng suất 
2. 
 Xác suất an toàn (độ tin cậy) tại điểm xét của kết cấu trong theo điều kiện bền 
(độ tin cậy về bền  ) được tính theo công thức sau [28]: 
-38 - 
 { }B TCP Prob Rσ= ≤ (3.8) 
 Biên độ a của ứng suất do sóng gây ra là đại lượng ngẫu nhiên với phân phối 
phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu nhiên ứng suất là dải rộng hay dải hẹp. 
Sau đây ta xét trong từng trường hợp cụ thể. 
3.3.2. Độ tin cậy về bền của kết cấu jacket khi ứng suất có phổ dải hẹp 
 Trong trường hợp phổ ứng suất -- là phổ dải hẹp thì biên độ ứng suất 
tuân theo luật phân phối Rayleigh [4, 20]: 
 ( )
2
2 2
1
exp
2
w w
a af a
σ σδ δ
 
= −  
 
 (3.9) 
 trong đó: #:op là phương sai và #-q là độ lệch chuẩn của ứng suất 
: 
( )2 0
0
w
M S d
∞
σ σσδ ω ω= = ∫ (3.10) 
Từ (3.7) ở trên ta có điều kiện an toàn về bền tại điểm xét của kết cấu như sau: 
aa R Rσ≤ − = (3.11) 
Kết hợp (3.9) và (3.11) ta có độ tin cậy về bền  của điểm xét như sau: 
 { }
2
2 2
0
1
exp
2
a
w w
R
B a
a aP Prob a R da
σ σδ δ
 
= ≤ = −  
 
∫ (3.12) 
 Tính tích phân trên ta được xác suất an toàn của kết cấu như sau: 
( )22
2 21 exp 1 exp2 2
w w
a
B
RRP
σ σ
σ
δ δ
 
−   
= − − = − −         
 (3.13) 
 Xác suất phá hủy  của điểm xét: 
( )2
21 exp 2
w
fB B
R
P P
σ
σ
δ
 
− 
= − −

=

 
 (3.14) 
3.3.3. Độ tin cậy về bền của kết cấu jacket khi ứng suất có phổ dải rộng 
 Trường hợp ứng suất trong kết cấu là QTNN có phổ là dải rộng thì biên độ 
ứng suất (a) chấp nhận tuân theo luật phân phối Gauss [20]: 
-39 - 
 ( ) ( )
2
2
1 1
exp
22 aa
a a
f a δδ pi
 
− 
= −
  
 
 (3.15) 
 trong đó: #3, #3p, /Z tương ứng là độ lệch chuẩn, phương sai và kỳ vọng của 
biên độ ứng suất a, các đặc trưng xác suất của a được xác định bằng phương pháp 
sau: 
- Sử dụng quy trình biến đổi tương tự như trình bày trong mục 2.4.2.2 chương 
2 (dùng cho phổ sóng) để chuyển phổ ứng suất của điểm xét --r sang dạng thể 
hiện theo biến thời gian t. Sau đây sử dụng tính chất Ergodic của 1 QTNN dừng 
( )tσ , việc xét QTNN dừng được thay bằng xét 1 thể hiện của nó trong khoảng thời 
gian đủ dài (với thời lượng 3h cho 1 cơn bão) như Hình 3.2 dưới đây; 
- Dùng thuật toán sắp xếp các mức ứng suất thành các nhóm như hình 3.3 và 
tính toán các đặc trưng của a theo các công thức sau: 
( ) ( )1
1
2
1
.. .
n
j n
j
E a
n
a a a a a
=
= = + +  +∑ ; 
1
1 j
k
n
j kj
jn
a a
=
= ∑ (3.16) 
( )
( ) ( )
1
2
1
2
2
1 ( )
1
1
j
j
n
a j kj j
j
n
a j
k
j
Var a a
n
Var a Var a
n
aσ
σ
=
=
= = −
−
= =
∑
∑
 (3.17) 
Hình 3.2 Một thể hiện của ứng suất điểm nóng theo thời gian 
-40 - 
Hình 3.3 Ứng suất được sắp xếp thành các nhóm 
Độ tin cậy về bền của điểm xét: 
{ } ( ) ( )
( )
( )
2
0 0
1 1
exp
22
a aR R
B a
a
P Prob a R p a da da
Var aVa a
a
rpi
 
−
 = < = = −
 
 
∫ ∫ (3.18) 
 Tích phân trên có dạng hàm Laplace ( )
2
0
1
exp
22
x
L
t
x dt
pi
 
Φ = − 
 
∫ ta có: 
 ( )0.5B LP β= + Φ (3.19) 
 là chỉ số độ tin cậy của điểm xét: ( )aR
σ
σβ δ
− +
=
 (3.20) 
3.4. Xác định độ tin cậy theo điều kiện mỏi tại một điểm nóng của kết cấu 
jacket phụ thuộc vào thời gian khai thác 
Tổn thất mỏi trong kết cấu công trình biển là một đại lượng ngẫu nhiên phụ 
thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên trong đó có ứng suất gây mỏi. Cho đến nay các 
phương pháp hiện hành tính mỏi mới chỉ đưa vào tính ngẫu nhiên của các yếu tố 
khác mà chưa tính được đầy đủ tính ngẫu nhiên do ứng suất điểm nóng gây ra (mới 
chỉ tính được tổn thất mỏi trung bình). Luận án sẽ trình bày phương pháp xác định 
các đặc trưng xác suất quan trọng của tổn thất mỏi mà yếu tố ngẫu nhiên là ứng 
suất điểm nóng, từ đó tính được độ tin cậy theo điều kiện an toàn mỏi. 
3.4.1. Xác định kỳ vọng và phương sai của tổn thất mỏi trong trạng thái biển 
ngắn hạn tại một điểm nóng 
3.4.1.1. Biểu diễn ứng suất ngẫu nhiên tại điểm nóng trong miền thời gian 
 Để có thể tính được các đặc trưng xác suất của tổn thất mỏi tại điểm nóng 
đang xét, bắt buộc phải sử dụng phương pháp tính mỏi từ thể hiện theo thời gian của 
ứng suất điểm nóng, thể hiện theo thời gian của ứng suất có được từ các cách sau: 
a) Phương pháp 1: Khi ứng suất điểm nóng được tính theo miền thời gian 
từ phổ sóng sttu 
 Mục 2.4.2.2 chương 2 đã trình bày phương pháp luận tính toán nội lực N, M, 
Q của kết cấu theo miền thời gian từ phổ sóng đầu vào , gồm các bước [7]: 
-41 - 
- Bước 1: Rời rạc phổ tải trọng sóng thành N con sóng điều hòa, phụ thuộc 
vào độ chính xác yêu cầu của bài toán 
( ) ( )
1
cos
N
i
i
i it a tη ω ϕ
=
= +∑ 
- Bước 2: Giải N bài toán kết cấu chịu tải trọng sóng điều hòa 
( ) ( )cosi i i it a tη ω ϕ= + 
Bài toán này được giải trong miền thời gian có kết hợp với phương pháp 
chồng mode. Từ đó ta có được phản ứng đầu ra của kết cấu (chuyển vị, nội lực, ứng 
suất, gọi chung là các phản ứng đầu ra vO). 
( ) ( )cosi oi i i iU t U tω ϕ α= + − 
- Bước 3: Xử lý thống kê kết quả đầu ra thu được 
( ) ( )
1
icos
N
oi
i
i iU t U tω ϕ α
=
= + −∑ 
Thực hiện phép gieo ngẫu nhiên để 1 nhận các giá trị trong khoảng (–pi; +pi) 
ta sẽ nhận được một tập hợp các thể hiện của U(t) theo thời gian, như Hình 3.4. 
. 
Hình 3.4: Một thể hiện của lực dọc (FYA) và mô men (MYA) trong kết cấu 
Từ nội lực ngẫu nhiên trong các phần tử thanh ta xác định được ứng suất danh 
nghĩa (
w6	và ứng suất điểm nóng (
xy	 đang xét như sau: 
- Ứng suất điểm nóng đang xét: 
A
HOT N bx by
x y
N Mx MySCF SCF SCF
A W W
σ = ± ± (3.21)
 trong đó: SCFN, SCFbx, SCFby là các hệ số tập trung ứng suất tại điểm nóng [22] 
-42 - 
Hình 3.5 dưới đây là ví dụ một thể hiện của ứng suất tại điểm nóng theo thời gian t. 
Hình 3.5 Một thể hiện của ứng suất tại điểm nóng theo thời gian 
b) Phương pháp 2: Khi ứng suất điểm nóng được tính theo phương 
pháp phổ 
 Sử dụng phương pháp phổ để tìm phổ ứng suất tại tại một điểm nóng -- 
từ phổ sóng đầu vào . Ví dụ phổ ứng suất tại một điểm nóng tính được như 
trong Hình 3.6. 
Hình 3.6 Phổ ứng suất tại điểm nóng -- 
 Sử dụng phương pháp mô phỏng Monter-Carlo tương tự như thuật toán 
chuyển đổi phổ sóng đã trình bày trong mục 2.4.2.2 để chuyển phổ ứng suất sang 
dạng thể hiện theo thời gian bằng thuật toán sau: 
- Bước 1: Rời rạc phổ ứng suất -- thành N hàm điều hòa: 
 ( ) ( )cosi oi i it tσ σ ϖ ϕ= + (3.22) 
trong đó: 
 là biên độ của hàm ứng suất thứ i. 
( )0 2i iSσσσ ω ϖ= ∆ (3.23) 
- Bước 2: Ứng suất điểm nóng thể hiện theo thời gian như sau 
 ( ) ( )
1
0 cos
N
i
i
i it tσ σ ϖ ϕ
=
= +∑ (3.24) 
-43 - 
 trong đó: 1 là góc lệch pha ngẫu nhiên nhận giá trị trong khoảng (–pi ; +pi) ta 
sẽ nhận được một tập các thể hiện 
O. 
 Dựa trên tính chất Ergodic của QTNN, sau đây sử dụng một thể hiện của ( )tσ 
để tính toán mỏi ngẫu nhiên của điểm nóng đang xét. 
3.4.1.2. Xác định số lượng chu trình ứng suất bằng kỹ thuật đếm dòng mưa 
 Có nhiều cách đẻ đếm số trình và tính số gia ứng suất gây mỏi, trong đó 
phương pháp đếm dòng mưa (rain flow counting) được sử dụng rộng rãi nhất. 
 Quay biểu đồ ứng suất theo biến thời gian từ phương ngang sang phương đứng 
với các điểm lồi và các điểm lõm. Tưởng tượng dòng mưa chảy từ trên xuống qua 
các đỉnh như trong Hình 3.7 dưới đây. Đỉnh của mái luôn được quy định là nằm 
phía tay phải của trục thời gian và chân mái luôn nằm bên trái, mỗi lần đường đi của 
dòng mưa đóng kín thì được coi là một chu trình và với một đường đi không đóng 
kín thì được coi là nửa chu trình [7,33]. 
 Ví dụ thực hành đếm trên biểu đồ ứng suất như sau: 
Hình 3.7 Đếm số chu trình ứng suất theo phương pháp dòng mưa 
- Dòng mưa bắt đầu rơi xuống từ điểm lõm xuống các mái phía dưới cho đến 
khi gặp một đường lõm khác lõm hơn điểm bắt đầu. Theo hình trên là bắt đầu từ A 
và kết thúc tại E; 
- Dòng mưa kết thúc khi nó cắt dòng khác bắt đầu trước đó. Ví dụ , dòng mưa 
bắt đầu từ điểm C và kết thúc như trên hình vẽ; 
- Một dòng mới chỉ bắt đầu khi dòng đang xét kết thúc; 
- Các dòng mưa xuất phát từ điểm lõm tạo ra các nửa chu trình ứng suất. Với 
mỗi chu trình, số gia là khoảng cách lớn nhất theo theo phương vuông góc với trục; 
-44 - 
- Lặp lại quá trình trên với dòng mưa xuất phát tử đỉnh lồi để tạo thành các 
nửa chu trình và với quá trình ứng suất đủ dài thì mỗi nửa chu trình tạo bởi từ điểm 
lõm sẽ hợp với nửa chu trình từ điểm lồi để tạo thành một chu trình. 
3.4.1.3. Xác định kỳ vọng và phương sai của tổn thất mỏi tại điểm nóng trong 
một trạng thái biển ngắn hạn 
a) Kỳ vọng và phương sai của tổn thất mỏi trong một trạng thái biển 
ngắn hạn thứ i 
 Như đã chỉ ra trong chương 2, ứng suất điểm nóng 
O là một quá trình ngẫu 
nhiên dừng, có tính chất Ergodic, vì vậy ta chỉ cần sử dụng một thể hiện là đủ để đại 
diện cho các đặc trưng của cả quá trình ngẫu nhiên ứng suất. 
 Với mỗi trạng thái biển thứ i, tính toán với một thể hiện của ứng suất có thời 
gian kéo dài là Ti=3h (thời gian mẫu). Chia biểu đồ ứng suất thành ni đoạn rồi sử 
dụng phương pháp đếm dòng mưa để đếm chu trình và tính giá trị của các số gia 
ứng suất của từng đoạn. Mỗi đoạn có nji chu trình ứng suất. 
Hình 3.8 Biểu đồ chia đoạn và nhóm số gia ứng suất của thái biển i 
 Tỷ số tổn thất mỏi do TTB thứ i trong khoảng thời gian Ti là tổng tổn thất mỏi 
do các đoạn ứng suất gây ra, thể hiện theo công thức sau: 
 1 2
1
... ...
in
i i i ji ni ji
j
D D D D D D
=
= + + + + + =∑ (3.25) 
 Dji là tỷ số tổn thất mỏi do đoạn ứng suất thứ j của trạng thái biển thứ I gây ra, 
được tính theo quy tắc P-M công thức (2.40) như sau: 
-45 - 
ji ji
ji m
ji ji
n n
D
N AS −
= = 
(3.26) 
 trong đó: nji là số chu trình ứng suất trong đoạn thứ j có được từ kết quả đếm 
dòng mưa; sji là giá trị của các số gia ứng suất trong đoạn ứng suất thứ j; A, m là các 
thông số đường cong mỏi S-N 
 Thời gian thực xảy ra TTB thứ i trong 1 năm là: 73,1536 10i iPτ ×= × . Trong đó Pi 
là xác suất xảy ra của TTB thứ i trong thống kê trung bình 1 năm. Từ đó ta xác định được 
tỷ số tổn thất mỏi do đoạn ứng suất thứ j gây ra trong một năm như sau: 
7 73,1536 10 3,1536 10ji ji jii i
ji i m
i ji i ji i ji
n n nP PD
T N T N T AS
τ
−
× × × ×
×
×
= = =
 (3.27) 
73,1536 10i
i
P
T
× ×
 được gọi là hệ số thời gian thực của tỷ số tổn thất mỏi do TTB thứ i 
gây ra. Đặt 
73,1536 10 jii
ji
i
nPA
T A
× ×
= , ta có : 
m
ji ji jiD A S= (3.28) 
 trong đó: mjiS là đại lượng ngẫu nhiên; Aji là một hằng số 
 Dựa vào công thức (3.28) tính được kỳ vọng và phương sai của Dji như sau: 
- Kỳ vọng của z{| : 
m
ji jijiD A S= (3.29) 
1
1 jin
ji kji
kji
S S
n =
= ∑ (3.29a) 
 trong đó: Skji (k=1; nji) là số gia ứng suất thành phần trong đoạn thứ j. 
 Từ các công thức (3.29) và (3.29a) ta có 
7
1 1
( 1)
1
1
3,1536 10
ji ji
ji
m j
m m
n n
kji kjim
k kji ji
m
n
kjim
k
i
ji jiji j
i
i
iji
i j
A
D A S SS A
PD
T
n n
S
A n
= =
−
=
   
= × = ×     
  
 
→ =   × × 
=
× ×
×

∑ ∑
∑
 (3.29b) 
-46 - 
- Phương sai của Dji: 
Tỷ số tổn thất mỏi do nhóm ứng suất thứ j gây ra tính theo (3.28), đây là quan 
hệ phi tuyến, vì vậy có thể tính gần đúng bằng khai triển Taylor và giữ lại đến số 
hạng bậc 1 như sau: 
( ) ( ) ( )1
i
j
j
im m mD
ji ji ji ji jiji ji ji ji ji ji
S
d
D A S S S A S m S S A S
d
−
≈ + − = ×+ × −× × (3.30) 
Đặt ( )1mji ji jiB A S m× ×= − và ( )1mji ji jim A Sα −× ×= và thay vào (3.30) ta có: 
ji ji ji jiD B Sα= + × (3.31) 
Vậy phương sai của	 } được tính như sau: 
( )( ) ( )212( ) ( ) mjiji ji ji ji jiVar D Var S m A S Var Sα −= × ×= (3.32) 
Phương sai Sji của nhóm ứng suất thứ j (bao gồm nji phần tử) được tính như sau: 
( )
1
21( )
1
ji
k
n
ji kji ji
ji
Var S S S
n
=
= −
−
∑ 
(3.33) 
Thay (3.32) vào (3.33) ta có: 
( )( ) ( )
( )( ) ( )
21
2
21
2
1
1
2 2
( )
1
( )
1
ji
ji
m
njiji
jiji kji
ji
m
nji
jiji j
i
k
k
i kji
j
m A S
Var D S S
n
S
Var D m A S S
n
=
=
−
−
×
= −
−
= × −→
−
×
∑
∑
 (3.34) 
trong đó jiS được xác định theo (3.29a). 
- Kỳ vọng của Di trong 1 năm: 
Từ (3.25), (3.29) và (3.29a) tính được kỳ vọng của Di trong 1 năm như sau: 
( 1)
1 11
( 1)
1
7
1
73,1536 10
3,153 16 10
i jii
jii
m
nn
k
n
i
i ji
i
jim
j kj ji
m
nn
kjim
j kj
i
i
i
i
PD D
T
S
A
P
T
S
A
D
n
n
−
= ==
−
= =
× ×
= ×
 
=   × ×  
 
=  
× ×
→ ×  ×  
∑∑ ∑
∑ ∑
 (3.35) 
-47 - 
trong đó: ni là số nhóm ứng suất trong một thể hiện của trạng thái biển thứ i. 
- Phương sai Di trong 1 năm 
Từ công thức (3.25) và (3.34) ta có: 
( )( ) ( )
21
22
1
2
1 1
( ) ( )
1
jii i
m
nn n ji
jii ji ji kj
ji kj j
i
S
Var D Var D m A S S
n
== =
−
= = × −
−
∑ ∑ ∑ (3.36) 
( )( ) ( )
21
7
2
2
1
2
1
3,1536 10( )
1
jii
m
nn ji
i ji
jii kji
j ki ij
SP n
Var D m S S
T nA
=
−
=
 ×
×  ×
× ×
= −
− 
∑ ∑ (3.37) 
( )( ) ( )2
21
7
1
22
1
3,1536 10( )
1
jii
m
nn jiji
i jii k
ij
ji
ki jA
n SPVar D m S S
T n
= =
−
× 
×  
×
× ×
= −
− 
∑ ∑ (3.38) 
b) Kỳ vọng và phương sai của tổn thất mỏi tại điểm nóng trong một năm 
 Tỷ số tổn thất mỏi trung bình của điểm nóng trong khoảng thời gian 1 năm: 
( 1)
7
1 ă
1
7
1 1 1
( 1)
1 1
1
1
ă
3,1536 10 1
13,1536 10
jii
jii
m
nnn
kjim
i
n
i
n m i
i i
i
n m
i
j kji
m
nnn
kjim
i j kji
PD D
T
PD
A
S
A n
S
nT