Luận án Nghiên cứu tối ưu hóa thông lượng và độ trễ trong mạng vô tuyến hướng nội dung sử dụng kỹ thuật đệm dữ liệu

ữới dũng bĐt ký yảu cƯu tÊi tằp dỳ liằu
m 2 M.
 46
 Tữỡng tỹ nhữ [1], số lữủng tằp dỳ liằu trung bẳnh i qua mởt ổ tá b o bĐt
  q 
ký ð mội khe thới gian ữủc tẵnh bði cổng thực O n PM p a(n) . Tứ
 m=1 m Am+Bm
õ, thổng lữủng tÔi mội thiát bà ngữới dũng trung bẳnh ữủc tẵnh bði
 0 1
 1
 (2.20)
 λ(n) = Θ @ q A ;
 n PM p a(n)
 m=1 m Am+Bm
thổng lữủng Ôt ữủc tối ữu khi  log n 
. Do õ, sỷ dửng (2.19) v 
 a(n) = Θ n
(2.20) s³ dăn tợi kát quÊ (2.18). ành lỵ Â ữủc chựng minh.
 ành lỵ 2.3.1 ch¿ ra rơng mực cƠn bơng thổng lữủng v  ở trạ cừa mÔng
bà Ênh hữðng bði tờng số bÊn ghi cừa tằp dỳ liằu m trong mÔng, Am + Bm.
Tứ cĂc giợi hÔn tÔi (2.3) v  (2.4), tối ữu quĂ trẳnh lữu trỳ cĂc tằp dỳ liằu tÔi
bữợc ằm dỳ liằu M v  M s³ dăn án viằc nƠng cao hiằu nông
 fAmgm=1 fBmgm=1
mÔng thổng qua mực cƠn bơng thổng lữủng v  ở trạ. Trong phƯn tiáp theo
cừa luên Ăn s³ giợi thiằu phữỡng phĂp lữu trỳ dỳ liằu tối ữu tÔi bở nhợ cừa
cĂc thỹc thº mÔng sao cho Ôt ữủc mực thổng lữủng v  ở trạ tối ữu nhĐt.
Chú ỵ 2.3.1. Tứ kát quÊ ð trản, náu cĂc tằp dỳ liằu ữủc truyãn i tÔi bữợc
truyãn tin ữủc thỹc hiằn theo phữỡng phĂp a ch°ng, mực cƠn bơng giỳa
thổng lữủng v  ở trạ cừa mÔng ối vợi mÔng vổ tuyán di ởng v  mÔng vổ
tuyán cố ành [36] hữợng nởi dung l  tữỡng ữỡng vợi nhau. Cõ nghắa l , hiằu
nông cừa mÔng mực cƠn bơng thổng lữủng v  ở trạ trong mÔng vổ tuyán
hữợng nởi dung l  khổng thay ời dũ thiát bà ngữới dũng cõ tẵnh di ởng hay
khổng khi phữỡng phĂp ành tuyán truyãn tin a ch°ng ữủc sỷ dửng trong
bữợc truyãn tin.
 PhƠn tẵch tữỡng tỹ nhữ [36] khi α ≥ 3=2, mực cƠn bơng thổng lữủng v 
ở trạ mÔng tối ữu tÔi ành lỵ 2.3.1 ữủc tẵnh bði λ(n) = Θ (D(n)). Do õ,
 47
trong phƯn cỏn lÔi cừa nghiản cựu n y ch¿ têp trung phƠn tẵch trữớng hủp
α < 3=2 trong b i toĂn tối ữu hõa vĐn ã lữu trỳ dỳ liằu trong bữợc ằm dỳ
liằu.
2.4. Tối ữu hõa thổng lữủng v  ở trạ
 Trong phƯn n y, mực tối ữu thổng lữủng v  ở trạ cừa mÔng vổ tuyán hộn
hủp di ởng hữợng nởi dung sỷ dửng kÿ thuêt ằm dỳ liằu s³ ữủc tẵnh toĂn
dỹa trản viằc lỹa chồn tối ữu cĂc tham số vã số lữủng bÊn ghi M v 
 fAmgm=1
 M . B i toĂn ã xuĐt tối ữu hõa trữợc hát s³ ữủc giợi thiằu º tối ữu
fBmgm=1
mực cƠn bơng thổng lữủng v  ở trạ mÔng. Sau õ, phữỡng phĂp lữu trỳ dỳ
liằu tÔi bữợc ằm dỳ liằu s³ ữủc ã xuĐt nhớ viằc tẳm ra số lữủng bÊn ghi
tối ữu cừa mội tằp dỳ liằu tÔi cĂc thiát bà di ởng ngữới dũng v  cĂc trÔm
gốc thổng tin, tứ õ cõ thº tẳm ra mực cƠn bơng tối ữu cừa cĂc tham số hiằu
nông mÔng ữủc ã cêp. Cuối cũng, phƯn phƠn tẵch s³ ữủc kiºm tra v  Ănh
giĂ tẵnh úng ưn nhớ viằc thỹc hiằn sỷ dửng cĂc phƯn mãm tẵnh toĂn trản
mĂy tẵnh.
 48
2.4.1. XƠy dỹng b i toĂn tối ữu hõa thổng lữủng v  ở trạ mÔng
 Tứ ành lỵ 2.3.1 v  tứ cĂc mực giợi hÔn (2.3) v  (2.4), b i toĂn tối ữu hõa
ữủc xƠy dỹng nản nhữ sau:
 max λ(n) (2.21a)
 M M
 fAmgm=1;fBmgm=1
 M
 X
 vợi cĂc iãu kiằn: Am ≤ nKn ; (2.21b)
 m=1
 M
 X
 Bm ≤ f(n)KBS ; (2.21c)
 m=1
 Am ≤ n trong õ m 2 M ; (2.21d)
 Bm ≤ f(n) trong õ m 2 M ; (2.21e)
 Am + Bm ≥ 1 trong õ m 2 M : (2.21f)
 Ta nhên thĐy tối ữu hõa thổng lữủng λ(n) v  ở trạ mÔng D(n) tữỡng
  M 
ữỡng vợi tối thiºu hõa n P p pm ð cổng thực (2.18), b i toĂn ð
 m=1 Am+Bm
(2.21) cõ thº ữủc viát lÔi nhữ sau
 M
 X pm
 min p (2.22a)
 M M
 fAmgm=1;fBmgm=1 m=1 Am + Bm
 vợi cĂc iãu kiằn: (2.21b)(2.21f). (2.22b)
 Tham khÊo [42], tữỡng tỹ nhữ nhỳng cổng trẳnh nghiản cựu trữợc Ơy
 PM pm
[1, 15, 36, 43, 46], °t fm = p , ta cõ khÊ vi lƯn thự nhĐt v  lƯn
 m=1 Am+Bm
thự hai cừa theo cĂc têp bián M v  M nhữ sau:
 fm fAmgm=1 fBmgm=1
 M
 0 3
 X − 2
 fm = − pm(Am + Bm)
 m=1
v 
 M
 00 5
 X − 2
 fm = 3pm(Am + Bm) :
 m=1
 49
Ta thĐy rơng, khÊ vi hai lƯn cừa h m tối ữu fm luổn dữỡng. Do õ, ta cõ
h m tối ữu l  h m lỗi. Tứ õ, phữỡng phĂp Lagrange cõ thº ữủc sỷ dửng
º giÊi b i toĂn trản (2.22). Do nghiản cựu thỹc hiằn dỹa trản cĂc ph²p toĂn
vã luêt số lợn v  xĐp x¿ khi giĂ trà n ! 1 nản ta cõ thº giÊ sỷ cĂc têp bián
 M v  M l  cĂc số thỹc dữỡng. Tứ õ ta thĐy rơng, b i toĂn
fAmgm=1 fBmgm=1
(2.22) cõ nghiằm tối ữu to n cửc v  s³ ữủc giÊi ð phƯn nởi dung tiáp theo.
2.4.2. GiÊi b i toĂn tối ữu hõa thổng lữủng v  ở trạ mÔng
 é Ơy, kÿ thuêt giÊi tĂch bián cõ thº Ăp dửng ối vợi cĂc têp bián M
 fAmgm=1
v  M , nhớ õ cõ thº ỡn giÊn hõa lới giÊi m  văn Êm bÊo ữủc kát
 fBmgm=1
quÊ sau cũng. Tờng cĂc bÊn ghi m 2 M, Am + Bm cõ thº ữủc diạn tÊ theo
Θ(Am) ho°c Θ(Bm) tũy thuởc v o ở lợn tữỡng quan giỳa Am v  Bm. Theo
õ, giÊ sỷ têp nghiằm tối ữu l  ∗ M v  ∗ M , ành nghắa v 
 fAmgm=1 fBmgm=1 M1 M2
l  têp cĂc tằp dỳ liằu sao cho ∗ ∗ ∗ v  ∗ ∗
 Am + Bm = Θ(Am) Am + Bm = Ω(f(n))
tữỡng ựng (chi tiát ð ành lỵ 2). Ngo i ra M3 l  têp cĂc tằp dỳ liằu sao cho
 ∗ ∗ ∗ . Trong õ, , . Tứ
Am + Bm = Θ(Bm) m 2 M3 Am = O(Bm) = O (f(n))
Ơy, nghiằm cừa b i toĂn tối ữu ð (2.22) s³ ữủc tẳm ra bơng cĂch giÊi hai
b i toĂn tối ữu sau:
 X pm
 min p (2.23a)
 fAmgm2M Am
 1 m2M1
 M
 X
 vợi cĂc iãu kiằn: Am ≤ nKn; (2.23b)
 m=1
 Am ≤ n trong õ m 2 M1 (2.23c)
 50
v 
 X pm
 min p (2.24a)
 fBmgm2M Bm
 3 m2M3
 M
 X
 vợi cĂc iãu kiằn: Bm ≤ f(n)KBS; (2.24b)
 m=1
 Bm ≤ f(n) trong õ m 2 M3 : (2.24c)
H m Lagrange tữỡng ựng vợi (2.23) ữủc tẵnh nhữ sau
 L1 (fAmgm2M1 ; λ, fwmgm2M1 )
 M !
 X pm X X
 = p +λ Am −nKn + wm(Am − n); (2.25)
 Am
 m2M1 m=1 m2M1
trong õ , . CĂc iãu kiằn KarushKuhnTucker (KKT) ối vợi
 wm λ 2 R
(2.23) ữủc tẵnh nhữ sau
 @L (fA∗ g ; λ∗; fw∗ g )
 1 m m2M1 m m2M1 = 0 (2.26)
 ∗
 @Am
 λ∗ ≥ 0
 ∗
 wm ≥ 0
 ∗ ∗ (2.27)
 wm(Am − n) = 0
 M !
 ∗ X ∗ (2.28)
 λ Am − nKn = 0
 m=1
vợi m 2 M1. Tữỡng tỹ, h m Lagrange tữỡng ựng vợi (2.24) l 
 L2 (fBmgm2M3 ; à, fνmgm2M3 )
 M ! (2.29)
 X pm X X
 = p +à Bm −f(n)KFAP + νm(Bm −f(n));
 Bm
 m2M3 m=1 m2M3
 51
trong õ , . Vợi , cĂc iãu kiằn KKT d nh cho (2.24) ữủc
 νm à 2 R 8m 2 M3
tẵnh nhữ sau
 @L (fB∗ g ; à∗; fν∗ g )
 2 m m2M3 m m2M3 = 0
 ∗
 @Bm
 à∗ ≥ 0
 ∗
 νm ≥ 0
 ∗ ∗
 νm(Bm − f(n)) = 0
 M !
 ∗ X ∗ (2.30)
 à Bm − f(n)KBS = 0:
 m=1
Trữợc khi giÊi hai b i toĂn tối ữu trản, chúng tổi giợi thiằu bờ ã sau.
Bờ ã 2.4.1. GiÊ sỷ mÔng vổ tuyán hộn hủp hữợng nởi dung sỷ dửng phữỡng
phĂp truyãn tin ữủc ã xuĐt tÔi Chữỡng 2 v  α < 3=2, giĂ trà nghiằm cừa
(2.23), kỵ hiằu bði ∗ , cõ thuởc tẵnh khổng tông theo sỹ bián thiản tông cừa
 Am
tham số v  cĂc giĂ trà nghiằm cừa (2.24), kỵ hiằu bði ∗ , cõ thuởc
 m 2 M1 Bm
tẵnh khổng tông theo sỹ bián thiản tông cừa tham số m 2 M3.
Chựng minh. Trữợc hát, ∗ s³ ữủc chựng minh rơng cõ thuởc tẵnh khổng
 Am
tông theo sỹ bián thiản tông cừa tham số m 2 M1 nhữ sau. Tứ (2.26), ta cõ
 p
 − m + λ∗ + w∗ = 0 trong õ m 2 M : (2.31)
 p ∗3 m 1
 2 Am
 kỵ hiằu cho têp cĂc tằp dỳ liằu sao cho ∗ v  kỵ hiằu
D1 ⊂ M1 Am = n m0
cho giĂ trà nhọ nhĐt cừa tham số ch¿ thà tằp dỳ liằu m thọa mÂn iãu kiằn
A∗ < n. X²t trữớng hủp cừa tằp dỳ liằu bĐt ký k 2 D , sỷ dửng cổng thực
 m0 1
 p
(2.31) v  iãu kiằn thỹc tá l  w∗ = 0, ta cõ λ∗ = ppk − w∗ = pm0 > 0.
 m0 ∗3 k ∗3
 2 Ak 2 Am0
Do A∗ = n, A∗ p , tứ õ ta
 k m0 k k m0
 −α
cõ k < m do °c tẵnh cừa phƠn bố Zipf (p = m ). Cõ nghắa rơng, ta cõ
 0 m Hα(M)
 52
D1 = f1; 2; :::; m0 − 1g. Thảm v o õ, vợi m 2 M1 n D1, sỷ dửng (2.27) v 
 2
 3
(2.31), ta cõ ∗ pm , giÊm dƯn khi bián thiản tông lản. Do õ, ∗ cõ
 Am = 2 m Am
 (2λ∗) 3
thuởc tẵnh khổng tông theo sỹ bián thiản tông cừa tham số m 2 M1.
 Ta chuyºn sang phƠn tẵch thuởc tẵnh cừa ∗ khi bián thiản.
 Bm m 2 M3
 kỵ hiằu têp cĂc tằp dỳ liằu thọa mÂn iãu kiằn ∗ v 
D2 ⊂ M3 Bm = f(n) m~ 0
kỵ hiằu số nhọ nhĐt thọa mÂnB∗ < f(n). Bơng cĂch Ăp dửng cĂc iãu kiằn
 m~ 0
KKT cho (2.24) v  sỷ dửng phữỡng phĂp tiáp cên tữỡng tỹ nhữ trản, ta cõ
 2
 3
 v  ∗ pm vợi , giÊm dƯn khi
D2 = f1; 2; ããã ; m~ 0 − 1g Bm = 2 m 2 M3 n D2 m
 (2à∗) 3
tông dƯn. Do õ, ∗ cõ thuởc tẵnh khổng tông theo sỹ bián thiản tông cừa
 Bm
tham số m 2 M3.
 Tứ bờ ã trản, cĂc ành lỵ quan trồng sau Ơy ữủc hẳnh th nh, thº hiằn
cĂc nghiằm tối ữu cừa số lữủng cĂc bÊn ghi cừa cĂc tằp dỳ liằu m 2 M ữủc
lữu trỳ tÔi bở nhợ cừa cĂc thiát bà ngữới dũng v  cĂc trÔm gốc thổng tin.
ành lỵ 2.4.1. GiÊ sỷ mÔng vổ tuyán hộn hủp hữợng nởi dung sỷ dửng
phữỡng phĂp truyãn tin ữủc ã xuĐt tÔi Chữỡng 2, vợi α < 3=2, náu α ≤
 3(γ−β) , nghiằm cừa (2.22) l 
2(δ+γ−1)
  2α 2α 
 ∗ ∗ − 3 β+δ−γ(1− 3 )
 Am + Bm = Θ m n :
trong trữớng hủp 3(γ−β) 3 , ta cõ
 2(δ+γ−1) < α < 2
 8
  2α 2α
 > − 3 δ+(1−δ) 3 trong õ
 >Θ m n m2M1;
 >
 ∗ ∗ δ
 Am +Bm = Θ(n ) trong õ m2M2 n M1;
 >
 >
 >  2α β+δ−γ 1− 2α 
 > − 3 ( 3 ) trong õ
 :>Θ m n m2M n M2;
vợi M1 = f1; :::; m1 − 1g and M2 = f1; :::; m2 − 1g. Trong õ, m1 =
 1−δ  γ−(γ−β) 3 
Θ(n ) v  m2 = Θ n 2α .
 53
Chựng minh. Nhữ Â ch¿ ra ð Mằnh ã 2.4.1, Ăp dửng cĂc iãu kiằn KKT cho
(2.23) v  (2.24), ta cõ
 2
 p 3
 ∗ m trong õ (2.32)
 Am = 2 m 2 M1 n D1
 (2λ∗) 3
v 
 2
 p 3
 ∗ m trong õ (2.33)
 Bm = 2 m 2 M3 n D2;
 (2à∗) 3
vợi D1 ⊂ M1 v  D2 ⊂ M3 l  cĂc têp tằp dỳ liằu thọa mÂn iãu kiằn
 ∗ v  ∗ tữỡng ựng. Tứ phƯn chựng minh cừa Bờ ã 2.4.1, ta
Am = n Bm = f(n)
cõ D1 = f1; :::; m0 − 1g, vợi m0 kỵ hiằu cho giĂ trà nhọ nhĐt cừa tham số m
thọa mÂn iãu kiằn ∗ . Sỷ dửng (2.28) v  (2.30), ta cõ PM ∗
 Am < n m=1 Am = nKn
v  PM ∗ do ∗ v  ∗ tữỡng ựng. Tứ Ơy ta cõ thº
 m=1 Bm = f(n)KBS λ > 0 à > 0
tẵnh tờng cĂc tằp dỳ liằu ∗ ∗ vợi tĐt cÊ cĂc tham số .
 Am + Bm m 2 M
 B i toĂn tối ữu ð (2.22) cõ thº ữủc xem x²t ð hai trữớng hủp tũy thuởc
theo sỹ tữỡng quan cừa hằ số Lagrange λ∗ ð (2.25) v  à∗ ð (2.29). Cử thº, ta
xem x²t hai trữớng hủp nhữ sau λ∗ = Θ(à∗) v  λ∗ 6= Θ (à∗), mội iãu kiằn
trản s³ tữỡng ựng vợi cĂc trữớng hủp khi 3(γ−β) v  3(γ−β) 3 .
 α ≤ 2(δ+γ−1) 2(δ+γ−1) < α < 2
 Trữớng hủp 1: λ∗ = Θ(à∗).
 Tứ Chữỡng 1, ta gồi lÔi cổng thực sau
 8
 >
 >Θ(1) vợi α > 1
 >
 (2.34)
 Hα(M) = Θ(log M) vợi α = 1
 >
 >
 > 1−α
 :>Θ(M ) vợi α < 1:
Sỷ dửng (2.32) v  (2.33), ta cõ ∗ ∗ cõ thº ữủc tẵnh nhữ sau
 Am + Bm
 2
 p 3
 ∗ ∗ m (2.35)
 Am + Bm = 2 ;
 ξ 3
 54
vợi ∗ ∗ v  . Bơng cĂch tẵnh tờng ∗ ∗ ð
 ξ = Θ(λ ) = Θ(à ) 8m 2 M n D1 Am + Bm
 2
 PM 3
 2 l=m pl
(2.35) vợi 8m 2 M n D v  sỷ dửng iãu kiằn thỹc tá l  ξ 3 = 0 ,
 1 PM (A∗+B∗)
 l=m0 l l
ta cõ
 2
 3 M
 ∗ ∗ pm X ∗ ∗
 Am + Bm = 2 (Al + Bl )
 PM p 3
 l=m0 l l=m0
  − 2α β+δ−γ 1− 2α 
 = Θ m 3 n ( 3 ) : (2.36)
é Ơy, cổng thực thự hai ữủc ữa ra nhớ giĂ trà cừa têp D1 l  O(1) do khổng
gian lữu trỳ dỳ liằu K = Θ(1); PM (A∗ + B∗) = Θ(nδ+β) cõ ữủc tứ cĂc
 n l=m0 l l
 −α
giÊ thuyát δ + β ≥ 1 khi K = Θ (nβ) v  f(n) = Θ (nδ); tứ p = m v 
 BS m Hα(M)
 2 − 2α  1− 2α 
(2.34), PM 3 PM l 3 M 3 vợi 3 ; v  γ .
 l=m pl = l=m 2 = Θ 2 α < M = Θ (n )
 0 0 3 3 2
 Hα (M) Hα (M)
 Tiáp theo, têp tằp dỳ liằu D1 s³ ữủc chựng minh rơng khổng tỗn tÔi. GiÊ
sỷ rơng cõ tỗn tÔi mởt têp tằp dỳ liằu D1 (tữỡng ữỡng vợi m0 > 1). Số lợn
nhĐt cừa têp tằp dỳ liằu thọa mÂn iãu kiằn ∗ ∗ ữủc
 M2 Am + Bm = Ω(f(n))
kỵ hiằu l  m − 1, tứ õ ta thĐy A∗ + B∗ = Θ(f(n)). Sỷ dửng (2.36),
 2 m2−1 m2−1
  2α 2α 
 − β+δ−γ(1− 3 )
ta cõ f(n) = Θ (m2 − 1) 3 n , kát quÊ n y dăn án
  γ−(γ−β) 3 
 m2 = Θ n 2α : (2.37)
Trong khi õ, ta cõ M1 n D1 = fm0; :::; m2 − 1g. Kát quÊ n y l  do M2
thuởc têp cõ iãu kiằn l  ∗ . Bơng cĂch tẵnh tờng ∗ ∗ ð
 M1 Bm ≤ f(n) Am + Bm
(2.35) vợi mồi m 2 M1 n D1, ta nhên ữủc
 2
 3 m2−1
 ∗ ∗ ∗ pm X ∗
 Am + Bm = Θ (Am) = 2 Θ(Al ) ;
 Pm2−1 p 3
 l=m0 l l=m0
tứ õ ta cõ
 Pm2−1 A∗ !
 A∗ = Θ l=m0 l (2.38)
 m0 1− 2α
 (m2 − 1) 3
 55
 −α 2
vợi m = m nhên ữủc tứ cĂc cổng thực p = m v  (2.34), Pm2−1 p 3 =
 0 m Hα(M) l=m0 l
 2α
 − 2α  1− 
 m2−1 l 3 (m −1) 3 3 2α
P 2 vợi . Do 1− 3 tứ
 l=m 2 = Θ 2 α < (m2 − 1) = !(1)
 0 3 3 2
 Hα (M) Hα (M)
(2.37) v  Pm2−1 A∗ = O(n), ta cõ A∗ = o(n) tứ (2.38), iãu n y trĂi vợi
 l=m0 l m0
iãu kiằn l  A∗ = Θ(n). Do õ, ta cõ thº kát luên rơng, giÊ thuyát D tỗn
 m0 1
tÔi l  khổng hủp lỵ (tực l  cõ thº kát luên giĂ trà m0 = 1).
 PhƯn tiáp theo sau Ơy, ta s³ ch¿ ra rơng iãu kiằn λ∗ = Θ (à∗) l  tữỡng
ữỡng vợi 3(γ−β) . Sỷ dửng (2.36) v  (2.37) cụng nhữ , ta cõ
 α ≤ 2(δ+γ−1) m0 = 1
 2
 m −1
 m −1 P 2 p 3 M  δ+β−(γ−β) 3 −1 
P 2 ∗ ∗ m=1 m P ∗ ∗ ( 2α ) . Sỷ
 m=1 (Am + Bm) = 2 l=1(Al + Bl ) = Θ n
 PM 3
 l=1 pl
dửng thỹc tá l  Pm2−1 ∗ ∗ Pm2−1 ∗ , ta cõ bĐt ¯ng
 m=1 (Am + Bm) = m=1 Θ(Am) = O(n)
thực sau Ơy:  3 
 , tữỡng ữỡng vợi 3(γ−β) .
 δ + β − (γ − β) 2α − 1 ≤ 1 α ≤ 2(δ+γ−1)
Do õ, náu 3(γ−β) , thẳ ta cõ
 α ≤ 2(δ+γ−1)
  2α β+δ−γ 1− 2α 
 ∗ ∗ − 3 ( 3 ) trong õ
 Am + Bm = Θ m n m 2 M:
 Trữớng hủp 2: λ∗ 6= Θ (à∗).
 Tứ (2.32) v  (2.33), ta nhên thĐy rơng hai têp M1 n D1 v M3 n D2 khổng
giao nhau. Do õ, ta cõ M1 ⊂ M2. Tứ nhên x²t n y, ta cõ
 ∗ ∗ ∗  δ
 (2.39)
 Am + Bm = Θ(Bm) = Θ n
vợi m 2 M2 n M1. m1 − 1 v  m2 − 1 ữủc kỵ hiằu l  cĂc số lợn nhĐt cừa cĂc
têp tằp dỳ liằu v  tữỡng ựng, ta cõ thº tẵnh ∗ ∗ vợi
 M1 M2 Am + Bm m 2 M1
v  m 2 M n M2.
 Trữợc hát, ta s³ tẵnh ∗ ∗ v  vợi , ð Ơy
 Am + Bm m2 m 2 M n M2 M n M2 =
 . Bơng cĂch tẵnh tờng ∗ ð (2.33) vợi mồi giĂ trà ,
fm2; :::; Mg Bm m 2 M n M2
 56
ta cõ
 2
 p 3 M
 ∗ m X ∗ (2.40a)
 Bm = 2 Bl
 PM p 3
 l=m2 l l=m2
  − 2α δ+β−γ 1− 2α 
 = O m 3 n ( 3 ) ; (2.40b)
trong õ, cổng thực thự hai cõ ữủc l  do PM B∗ = O (nδ+β); tứ p =
 l=m2 l m
 −α 2 − 2α  1− 2α 
 m v  (2.34), PM 3 PM l 3 M 3 vợi 3 ; v 
 l=m pl = l=m 2 = Θ 2 α < M =
Hα(M) 2 2 3 3 2
 Hα (M) Hα (M)
 2α
  − δ+β−γ 1− 2α 
Θ(nγ). Tứ (2.40b) v  B∗ = Θ(f(n)), ta cõ f(n) = O m 3 n ( 3 ) ;
 m2 2
  3  3
tứ Ơy ta cõ γ − (γ−β) 2α . Do , ta
 m2 = O n (γ − β) (1 − 2α ) < 0
nhên thĐy γ − (γ − β) 3 < β, kát quÊ l  m = o(K ). Do PM B∗ =
 2α 2 BS l=m2 l
 δ+β
f(n)KBS − O(m2f(n)) = Θ(n ), (2.40a) cõ thº ữủc trẳnh b y nhữ sau
  2α δ+β−γ 1− 2α 
 ∗ ∗ ∗ − 3 ( 3 ) (2.41)
 Am + Bm = Θ (Bm) = Θ m n
 2α
  − δ+β−γ 1− 2α 
vợi m 2 M n M . Hỡn nỳa, do A∗ + B∗ = Θ m 3 n ( 3 ) tứ
 2 m2 m2 2
(2.41) v  A∗ + B∗ = Θ(f(n)), ta cõ kát quÊ sau
 m2 m2
  γ−(γ−β) 3 
 m2 = Θ n 2α : (2.42)
Tiáp theo, chúng ta s³ tẳm ∗ ∗ v  vợi . Bơng cĂch tẵnh
 Am + Bm m1 m 2 M1
tờng ∗ ð (2.32) vợi cĂc giĂ trà ( ), ta cõ
 Am 8m 2 M1 n D1 = fm0; :::; m1 − 1g
 2
 p 3 m1−1
 ∗ m X ∗ (2.43)
 Am = 2 Al :
 Pm1−1 p 3
 l=m0 l l=m0
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 1, chúng ta cõ thº chựng minh têp tằp dỳ liằu D1
khổng tỗn tÔi (iãu n y tữỡng ữỡng vợi viằc m0 = 1). Tứ kát quÊ f(n) =
 2α
  − m −1 ∗  2  2α 
 m 3 P 1 A 1− 3
 1 l=1 l do Pm1−1 3 (m1−1) v  ∗ , ta
Θ 2α l=1 pl = Θ 2 Am −1 = Θ (f(n))
 1− 3 3 1
 (m1−1) Hα (M)
cõ kát quÊ sau
 !
 Pm1−1 A∗
 m = Θ l=1 l : (2.44)
 1 f(n)
 57
Tiáp theo, chúng ta cƯn xem x²t Pm1−1 ∗ º tẳm giĂ trà cừa . Vợi 3 ,
 l=1 Al m1 α < 2
bơng cĂch thiát lêp m0 = 1, cổng thực b i toĂn tối ữu(2.22a) cõ thº ữủc
trẳnh b y lÔi nhữ sau
 M
 X pm
 p ∗ ∗
 m=1 Am +Bm
 m1−1 m2−1 M
 X pm X pm X pm
 = + +
 pA∗ +B∗ pA∗ +B∗ pA∗ +B∗
 m=1 m m m=m1 m m m=m2 m m
 0 3 1 0 31
  m −1 22  M 2 2
 P 1 3 Pm2−1 ! P 3
 m=1 pm p m=m pm
 B C m=m1 m B 2 C
 = ΘBq C+Θ p +ΘBq C
 @ Pm1−1 ∗ A f(n) @ PM B∗A
 m=1 Am m=m2 m
 1−α ! !
 m1 maxfHα(m1);Hα(m2 − 1)g
 =Θ p +Θ p
 Hα(M) f(n) Hα(M) f(n)
 !
 M 3=2−α
 (2.45)
 +Θ p ;
 Hα(M) f(n)KBS
trong õ, cổng thực thự hai nhên ữủc l  kát quÊ tứ (2.39) vợi m 2 M2 nM1,
(2.40a) vợi m 2 MnM2, v (2.43) vợi m 2 M1; cổng thực thự ba nhên ữủc
 2  1− 2α  2
khi tứ (2.42) v  Pm1−1 3 (m1−1) 3 v  PM 3
 m2 = o(M) l=1 pl = Θ 2 l=m pl =
 3 2
 Hα (M)
  2α 
 M 1− 3 m−α
Θ 2 tứ pm = v  (2.34). Ta nhên thĐy rơng, th nh phƯn thự
 3 Hα(M)
 Hα (M)
hai ð (2.45) bián thiản chêm hỡn cĂc th nh phƯn khĂc do α ≤ 1, (2.22a)
ữủc tẵnh bði th nh phƯn thự ba ð (2.45) v  vợi 3 , (2.22a) s³ cõ
 1 < α < 2
giĂ trà phử thuởc v o ở lợn cừa th nh phƯn thự nhĐt ho°c thự ba tÔi cổng
thực (2.45). Do 3 , th nh phƯn thự nhĐt (bao gỗm cÊ ) cõ thº
 1 < α < 2 m1
tối thiºu hõa khi Ôt giĂ trà nhọ nhĐt, tứ õ ta cõ Pm1−1 ∗ tứ
 m1 l=1 Al = Θ(n)
(2.3) (tờng cĂc giợi hÔn) v  (2.44). Tứ õ, ta cõ
 1−δ
 m1 = Θ(n ):
 58
  1− 2α 
 2 m 3
Hỡn nỳa, tứ thiát lêp , Pm1−1 3 1 , v  Pm1−1 ∗
 m0 = 1 l=1 pl = Θ 2 l=1 Al =
 3
 Hα (M)
Θ(n), (2.43) cõ thº ữủc trẳnh b y nhữ sau
  2α 2α 
 ∗ ∗ ∗ − 3 δ+(1−δ) 3 trong õ
 Am + Bm = Θ (Am) = Θ m n m 2 M1:
 Trong trữớng hủp sau cũng, vợi , ∗ ∗ Ôt giĂ trà δ
 m 2 M2 nM1 Am +Bm Θ(n )
theo ành nghắa cừa M1 v  M2.
 Kát luên l , tứ phƯn kát luên cừa Trữớng hủp 1, chúng ta cõ λ∗ 6= Θ (à∗)
khi 3(γ−β) 3 .
 2(δ+γ−1) < α < 2
 CĂc nghiằm tối ữu ð ành lỵ 2.4.1 ữủc thº hiằn ð Hẳnh 2.4. Vợi α ≤
 3(γ−β) , số lữủng cĂc bÊn ghi tối ữu cừa tằp dỳ liằu , ∗ ∗ , giÊm ãu
2(δ+γ−1) m Am + Bm
khi tham số tông lản. Vợi 3(γ−β) 3 , ta thĐy cõ tỗn tÔi mởt têp
 m 2(δ+γ−1) < α < 2
cĂc tằp dỳ liằu sao cho ∗ ∗ cõ giĂ trà .
 Am + Bm Θ(f(n))
 Tứ kát quÊ trản, chúng ta cõ thº lỹa chồn cĂc giĂ trà tối ữu bÊn ghi
 ∗ M v  ∗ M sao cho văn Êm bÊo ữủc giĂ trà tối ữu ð cĂc ành lỵ
fAmgm=1 fBmgm=1
trản, ta cõ Mằnh ã sau.
Mằnh ã 2.4.1. GiÊ sỷ mÔng vổ tuyán hộn hủp hữợng nởi dung sỷ dửng
phữỡng phĂp truyãn tin ữủc ã xuĐt tÔi Chữỡng 2 v  α < 3=2, giĂ trà tối ữu
cừa ∗ M v  ∗ M ữủc tẵnh nhữ sau
 fAmgm=1 fBmgm=1
 8
  2α min β+δ−γ(1−2α ),δ+(1−δ)2α 
 > − 3 f 3 3 g trong õ
 Θ m n m2M1 \M2;
 ∗ (2.46)
 Am=
 > trong õ
 :>0 m2Mn(M1 \M2)
v 
 8
 > δ
 >Θ(n ) trong õ m 2 M2;
 ∗ <
 Bm =
  2α β+δ−γ 1− 2α 
 > − 3 ( 3 ) trong õ
 :>Θ m n m 2 M n M2;
 59
 ∗ ∗
 Am +Bm
 0 m
 (a) 3(γ−β)
 α ≤ 2(δ+γ−1)
 ∗ ∗
 Am +Bm
 ∗ ∗
 Am +Bm =Θ(f(n))
 0 m
 (b) 3(γ−β) 3
 2(δ+γ−1) < α < 2
 Hẳnh 2.4: Phữỡng phĂp tối ữu lữu trỳ dỳ liằu tữỡng ựng vợi sỹ bián thiản cừa tham số m.
tữỡng ựng, vợi M1 = f1; :::; m1 − 1g v  M2 = f1; :::; m2 − 1g. Trong õ,
 1−δ  γ−(γ−β) 3 
m1 = Θ (n ) v  m2 = Θ n 2α .
Chựng minh. Viằc lỹa chồn cĂc têp giĂ trà tối ữu ∗ M v  ∗ M thọa
 fAmgm=1 fBmgm=1
mÂn nghiằm tối ữu cừa ∗ ∗ M trong ành lỵ 2.4.1 tũy theo giĂ trà
 fAm + Bmgm=1
cừa tham số α.
 Trữợc hát, ta xem x²t trữớng hủp 3(γ−β) . Vợi v  ∗
 α ≤ 2(δ+γ−1) m 2 M2 Am +
 60
  2α β+δ−γ 1− 2α 
 ∗ δ , ta cõ ∗ − 3 ( 3 ) v  ∗
Bm = Ω(f(n)) (= Ω (n )) Am = Θ m n Bm =
 δ . Vợi v  ∗ ∗ , ta cõ ∗ v  ∗
Θ(n ) M n M2 Am + Bm = o(f(n)) Am = 0 Bm =
  − 2α β+δ−γ 1− 2α 
Θ m 3 n ( 3 ) .
 Tiáp theo, ta xem x²t trữớng hủp 3(γ−β) 3 . Vợi v 
 2(δ+γ−1) < α < 2 m 2 M1
  2α 2α 
 ∗ ∗ ∗ , ta cõ ∗ − 3 δ+(1−δ) 3 and ∗ δ .
Am + Bm = Θ (Am) Am = Θ m n Bm = Θ (n )
Vợi v  ∗ ∗ , ta cõ ∗ v  ∗ δ .
 m 2 M2 n M1 Am + Bm = Θ(f(n)) Am = 0 Bm = Θ (n )
  2α β+δ−γ 1− 2α 
Tữỡng tỹ trữớng hủp trản, ta cõ ∗ v  ∗ − 3 ( 3 )
 Am = 0 Bm = Θ m n
vợi m 2 M n M2.
 1−δ  γ−(γ−β) 3 
 Tứ thỹc tá l  m1 = Θ (n ) v  m2 = Θ n 2α , ta cõ M1 \
 trong trữớng hủp 3(γ−β) . ối vợi cĂc trữớng hủp cỏn lÔi,
M2 = M2 α ≤ 2(δ+γ−1)
 . Nhữ vêy, vợi cĂc giĂ trà ữủc ữa ra nhữ trản, ∗ cõ thº
M1 \M2 = M1 Am
ữủc thº hiằn nhữ (2.46).
 Phữỡng phĂp lữu trỳ dỳ liằu tối ữu tÔi Mằnh ã 2.4.1 ữủc thº hiằn ð
Hẳnh 2.5. Tứ kát quÊ trản, ta cõ nhên x²t nhữ sau.
Chú ỵ 2.4.1. Tứ Hẳnh 2.5, ta nhên thĐy rơng, cĂc tằp dỳ liằu cõ tẵnh chĐt
phờ bián cao v  ang l  xu hữợng ữủc quan tƠm lợn, số lữủng bÊn ghi ữủc
lữu trong mÔng ữủc tẵnh bði ! (f(n)), chừ yáu s³ ữủc truyãn i bði phữỡng
phĂp truyãn tin a ch°ng Ngữới dũng tợi ngữới dũng. Trong khi õ, cĂc tằp
dỳ liằu nhên ữủc sỹ quan tƠm ẵt hỡn s³ chừ yáu ữủc phửc vử bði cĂc trÔm
gốc thổng tin. Tực l , tứ Mằnh ã 2.4.1, cĂc tằp dỳ liằu m 2 M1 \M2 ữủc
lữu trỳ chừ yáu tÔi cĂc thiát bà ngữới dũng di ởng s³ giúp cho mÔng Ôt ữủc
mực thổng lữủng v  ở trạ tốt nhĐt.
 61
 ∗ ∗
 Am;Bm
 ∗
 Am
 ∗
 Bm = Θ (f(n))
 ∗
 Bm
 0 m
 (a) 3(γ−β)
 α ≤ 2(δ+γ−1)
 ∗ ∗
 Am;Bm
 ∗
 Am
 ∗
 Bm = Θ (f(n))
 ∗
 Bm
 0 m
 (b) 3(γ−β) 3
 2(δ+γ−1) < α < 2
 Hẳnh 2.5: CĂc têp tằp dỳ liằu ∗ M v  ∗ M bián thiản theo tham số .
 fAmg