Luận án Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết điều khiển hiện đại xây dựng mô hình trong điều khiển dự báo phi tuyến

 thức (2.11) và (2.12) và chú ý tới biểu thức (2.15) ta dễ 
 *
dàng nhận thấy rằng, khi wi 0 tức là wwˆii thì f ()X εM với εM là sai số xấp 
xỉ cho trƣớc. Để đánh giá đƣợc nhiễu đòi hỏi phải xác định luật hiệu chỉnh thích 
nghi các trọng số mạng nơron trong mô hình đảm bảo wi 0 , đồng thời đảm bảo 
cho hệ (2.16) ổn định. Do đó ta có định lý sau đây thiết lập điều kiện đủ để hệ (2.16) 
ổn định. 
 Định lý 2.1. Giả sử A là ma trận Hurwitz. Hệ thống (2.16) sẽ ổn định thực 
tế khi thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây: 
 2
 Q  PU max 0;
 2ε* P
 E();t n (2.17) 
 rmin ()Q
 t
 w ()()();XPE t u2  d 
 i i n 
 t τ
với là ma trận đối xứng xác định dương ; trong đó là nghiệm đối xứng xác 
 T
định dương của Q = A P + PA;()rmin Q - giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận ; 
 - dòng thứ của ma trận ; Umax suput ( ) 
 P t
 Q
 Chứng minh : Để chứng minh định lý, chúng ta sử dụng phƣơng pháp thứ 
2 của Lyapunov có chú ý đến hiệu ứng trễ trong hệ thống. Về hình thức, phƣơng 
trình (2.16) không chứa trễ, song về mặt cấu trúc hệ thống nhận dạng theo mô hình 
 38 
song song đối với đối tƣợng có trễ (2.1), trong đó sai số et() và vectơP Ε()t là các 
biến của hệ có trễ. Việc lựa chọn hàm Lyapunov có ý nghĩa vô cùng quan trọng, nó 
quyết định và ảnh hƣởng đến quá trình hội tụ và sự ổn định của hệ thống. Vì vậy đối 
với hệ (2.16) ta chọn hàm Lyapunov dạng: 
 t m
V ETT(t ). P.E ( t )  E ( t ) P.E ( t ) u22 (  ) d  w
  i (2.18) 
 t τ i 1
 Trong đó là ma trận đối xứng xác định dƣơng và  là hệ số dƣơng 
 0 . Lấy đạo hàm theo thời gian đối với hàm Lyapunov (2.18) dọc theo quỹ đạo 
 t
của hệ (2.16) có lƣu ý công thức Leibnitz đối với đạo hàm của ud2 () nhƣ sau: 
 t τ
d tt
 u2( ) d  u (  ) d  u 2 ( t ) u 2 ( t  ). 
dtt τ t τ  t
 t 
Mà ta có : ud( ) 0 theo công thức Leibnitz. 
 t τ t
 d t
Do đó : u2()()() d  u 2 t u 2 t  , khi đó đạo hàm V ta thu đƣợc : 
 dt t τ
 t
V [ AE ()t F ()] TTT PE () t E ()[ t P AE ()+()] t F   [ AE ()+()] t F  PE () t u2 ()  d  
 t τ
 t m
 ETT()[t P AE ()+()] t F  ud2 ()    E () ttutut PE ()[() 2 2 (  )]2 ww
  ii
 t τ 1
 t
 ETTTT()[t AP+PAE ]() t  E ()[ t AP+PAE ]() t u2 ()  d  
 t τ
 tt m
 FTTT()()ttud PE2 ()   E ()() t PF  ud 2 ()    E ()()[() ttutut PE 2 2 (  )]2 ww
  ii
 t τ t τ 1
 (2.19) 
 Do ma trận P là đối xứng xác định dƣơng và nếu A là ma trận Hurwitz, ta 
sẽ có [32], [63]: 
APPT ΑQ (2.20) 
với Q là ma trận xác định dƣơng. Ngoài ra, với tính chất đối xứng của ma trận P, ta có : 
 t t t
FTTT()() PEt u2 ()  d   E ()() t PF  u 2 ()  d  2  F ()()  PE t u 2 ()  d  (2.21) 
 t τ t τ t τ
 39 
 Thế (2.20) và (2.21) vào (2.19) ta đƣợc : 
 ttm
V ETT()t Q  Q ud2 ()    P [() utut 2 2 (  )]()2 E t  F ()()  PE tud 2 ()   2 ww (2.22) 
  ii
 t τ t τ 1
 Thế (2.15) vào (2.22) có chú ý đến (2.11) và (2.12) ta đƣợc: 
 t
 T 2 2 2
VEQQPE ()t  u ()  d   [()()]() u t u t  t 
 t τ
 (2.23) 
 mmt
 2ε*2 w  (  )PE ( t ) u (  ) d  2 w w
 i i n i i
 11t τ
 Từ biểu thức (2.23) ta rút ra các điều kiện đảm bảo cho đạo hàm V luôn 
luôn âm: 
 T 22
EQPE()t  [() u t u ( t )]()0 t ;  E(t ) 0 (2.24) 
 tt
2ε*P E ()t u 2 ()  d   ET ()() t QE t u 2 ()  d  0;
 n (2.25) 
 t τ t τ
 mm t
2w w 2 w  (  )PE ( t ) u2 (  ) d  0
 i i i i n (2.26) 
 ii 11 t τ
và từ (2.24) ta rút ra: QP [u22 ( t ) u ( t )]<0 (2.27) 
 Xét trƣờng hợp cựu đoan đối đối với bất đẳng thức (2.27) đó là trƣờng hợp 
 22 2
khi ut() Umax và ut(  ) 0 . Nếu bất đẳng thức (2.27) đƣợc thỏa mãn trong 
trƣờng hợp này thì nó sẽ luôn đƣợc thỏa mãn trong mọi trƣờng hợp còn lại. Vì vậy, 
 2
bất đẳng thức (2.27) luôn luôn thỏa mãn khi : Q  PU max 0 
 Biến đổi (2.25) ta đƣợc: 
 * T
2εPn E (t ) E ( t ) QE ( t ) 0 (2.28) 
 Sử dụng nguyên lý Rayliegh cho các thành phần của (2.28) [32], [38], [63] ta có: 
 22T
rmin()()()()()();Q E t E t QE t rm ax Q E t (2.29) 
PEPEnn()()tt, (2.30) 
 rmax ()Q
với rmin ()Q và là các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận Q. 
 40 
 Áp dụng các bất đẳng thức (2.29) và (2.30) vào (2.28) ta đƣợc: 
 2ε* P
E()t n . (2.31) 
 rmin ()Q
 Tiếp theo ta xét điều kiện (2.26). Từ (2.26) rút ra đƣợc: 
 t
 w ()()(),PE t u2  d 
 i i n 
 t τ (2.32) 
 im 1,2, , .
 Nhƣ vậy để đảm bảo cho đạo hàm V luôn luôn âm đòi hỏi phải thỏa mãn 
các điều kiện (2.27), (2.31), (2.32). 
 T 22
 Ngoài ra hàm : EQPE(t )  [ u ( t ) u ( t )] ( t ) với u(t) liên tục, bị 
chặn nên V cũng bị chặn hay V là liên tục đều. Hệ thống (2.16) sẽ ổn định thực tế 
khi thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên. Định lý đã đƣợc chứng minh. 
 Từ đây ta có thể thấy rằng, hệ thống (2.16) có miền ổn định toàn không 
gian trạng thái, chỉ trừ duy nhất một vùng rất nhỏ lân cận gốc tọa độ, mà bán kính 
của nó phụ thuộc vào sai số xấp xỉ hàm phi tuyến biểu trƣng cho nhiễu. Tuy nhiên, 
do mạng nơron RBF có khả năng xấp xỉ với sai số nhỏ bao nhiêu tùy ý, vì vậy miền 
ổn định có thể xem nhƣ toàn bộ không gian trạng thái đƣợc xác định theo biểu thức 
(2.31), chỉ trừ một vùng lân cận gốc tọa độ với bán kính gần bằng không. Hệ thống 
ổn định trong trƣờng hợp này đƣợc gọi là ổn định thực tế (Practical Stability) [24]. 
 Trở lại với (2.32) ta đƣợc: 
 t
 *2
wi wˆ i w i  i()()()XPE n t u  d 
 (2.33) 
 t τ
im 1,2, ,
 * *
 Vì wi cons t , wi 0, cho nên (2.33) sẽ có dạng: 
 t
wˆ ()()()XPE t u2  d 
 i i n 
 t τ (2.34) 
im 1,2, ,
 Đây chính là luật cập nhật các trọng số của mạng nơron RBF xấp xỉ hàm 
phi tuyến nhiễu f ()X . Với luật cập nhật (2.34) hệ thống (2.16) sẽ ổn định và đảm 
bảo quá trình nhận dạng nhiễu f ()X hội tụ, trong đó cho phép xấp xỉ hàm này với 
bất kỳ độ chính xác nào. 
 41 
 Trên Hình 2.5. là sơ đồ cấu trúc hệ thống nhận dạng nhiễu cho các đối tƣợng 
có trễ trên cơ sở mô hình song song và mạng nơron. Sơ đồ đƣợc xây dựng trên cơ 
sở phƣơng trình động học của đối tƣợng (2.3) phƣơng trình động học của mô hình 
song song (2.6). Khối hiệu chỉnh thích nghi AB thực hiện hiệu chỉnh các trọng số 
wˆ i của mạng nơron RBF theo luật cập nhật (2.34). 
Hình 2.5. Sơ đồ cấu trúc hệ thống nhận dạng nhiễu cho các đối tượng có trễ trên cơ sở mô 
 hình song song và mạng nơron 
 Phân tích biểu thức (2.34) có thể nhận thấy rằng: luật cập nhât trọng số của 
mạng nơron đề xuất ở đây dễ dàng thực hiện kỹ thuật trong việc thiết kế và mô 
phỏng, kết quả của quá trình nhận dạng là fˆ()X . Với việc tách lập quá trình nhận 
dạng và hệ thống điều khiển nhƣ trên, khi đã có kết quả nhận dạng chúng ta có thể 
tiến hành các bƣớc để tổng hợp hệ thống một cách linh hoạt bằng các luật điều 
khiển khác nhau. Đối với các đối tƣợng có trễ ta thƣờng sử dụng để tổng hợp hệ 
thống MPC hoặc dùng để tổng hợp hệ thống IMPC. 
2.3.2. Ví dụ minh họa 
 Để kiểm tra và đánh giá hiệu quả thuật toán nhận dạng hệ phi tuyến có trễ 
đã đƣợc trình bày trong mục 2.2. Ta tiến hành mô phỏng cho đối tƣợng (2.3) với các 
thông số cho trƣớc sau: 
 42 
 0 1 0 1 0 
 2.2 1.8 0 1.8 0.1 
 AB , , 3 (2.35) 
 0 0 0 1 0 
 2.02 1.5 0.8 2.2 0.5 
 0 0
 0 0
F(X) 
 0 0
 2
 f ()X 2.4sin(x1 ) x 2 x 2 x 3 sin x 4 
Mô hình đối tƣợng trên Matlab/Simulink: 
 Hình 2.6. Mô hình đối tượng hệ phi tuyến (2.35) dùng trong mô phỏng 
 Trên cơ sở cấu trúc nhận dạng nhiễu Hình 2.4 và Hình 2.5. ta xây dựng dựa 
vào công cụ Matab/Simulink thể hiện nhƣ Hình 2.7. Vì nhiễu f(X) có 4 thành phần 
(x1, x2, x3, x4) nên để đảm bảo yêu cầu nhận dạng ta cần sử dụng ít nhất 4 nơron cho 
việc huấn luyện, luật cập nhật trọng số (luật học) đƣợc thực hiện theo (2.34). Các 
kết quả mô phỏng đƣợc biểu diễn trên Hình 2.8. và Hình 2.9 và Hình 2.10. Trong đó: 
Hình 2.8. thể hiện các đáp ứng tín hiệu đầu ra của hệ thống với tác động u =1, Hình 
2.9. thể hiện so sánh thành phần phi tuyến F(X) của hệ thống và thành phần nhiễu 
đƣợc nhận dạng qua RBF. Hình 2.10 là kết quả sai lệch giữa nhiễu nhận dạng và 
nhiễu thực của hệ thống. 
 43 
 Hình 2.7. Sơ đồ cấu trúc nhận dạng nhiễu dựa trên cơ sở mạng nơron RBF 
 Hình 2.8. Các đáp ứng tín hiệu đầu ra của hệ (2.35) 
Hình 2.9. So sánh thành phần phi tuyến F(X) của hệ (2.35) và thành phần nhiễu được nhận 
 dạng qua RBF 
 44 
 Hình 2.10. Sai lệch giữa nhiễu nhận dạng và nhiễu thực của hệ thống 
 Nhận xét: 
 Từ các kết quả mô phỏng trên đây cho thấy rằng thành phần phi tuyến 
(thành phần nhiễu) đã đƣợc nhận dạng theo đúng thuật toán trình bày trên. Ở thời 
điểm bắt đầu sai số khoảng 10%, tuy nhiên với luật cập nhật trọng số đề xuất đã 
nhanh chóng thích nghi để quá trình nhận dạng hội tụ và tiến về sai số mong muốn, 
thời gian hội tụ nhanh (khoảng 2s). 
 Quá trình nhận dạng yêu cầu đạt độ chính xác với sai số cho trƣớc là 
 3
M 3.10 . Mặt khác theo tiêu chuẩn tích phân bình phƣơng sai lệch, từ Hình 2.7 
thu đƣợc giá trị sai lệch của quá trình nhận dạng hàm nhiễu f ()X là: 
 e24 dt 4,034.10 . Mức độ sai số nhƣ vậy là nhỏ và đáp ứng với yêu cầu đặt ra. 
 f
2.4. Tổng hợp tín hiệu bù nhiễu cho hệ thống có trễ với một kênh điều khiển 
 Tín hiệu bù nhiễu (gọi tắt là tín hiệu bù utb ()) đƣợc tạo ra dựa trên kết quả 
nhận dạng nhiễu ftˆ() đã thu đƣợc ở mục 2.3. Tín hiệu bù đƣợc đƣa tới đầu vào của 
đối tƣợng cùng với tín hiệu điều khiển utdk (). Tín hiệu đầu vào của đối tƣợng điều 
khiển lúc này sẽ là: 
 u()()() t udk t u b t (2.36) 
trong đó do bộ điều khiển tạo ra và do khối bù tạo ra trên cơ sở tín hiệu 
nhận dạng thu đƣợc . Từ (2.36) và (2.1) ta có: 
 45 
 n 1
 ()()()n i i
xt()  axtKuti 1 () dk (  ) Kut b ( ) fxx ,,..., t (2.37) 
 i 0
 Từ (2.37) ta thấy rõ rằng, để bù đƣợc tác động của nhiễu ft() đòi hỏi phải 
tạo ra tín hiệu bù ub thỏa mãn điều kiện: 
 Kub ( t  ) f t 0 (2.38) 
 ft()
 Từ đây ta có: ut()  (2.39) 
 b K
 Do là đại lƣợng không đo đƣợc, nên ta phải sử dụng tín hiệu nhận dạng 
 ˆ
 ˆ ft()
đƣợc f()() t f t . Vì vậy tín hiệu ub sẽ là: ut()  (2.40) 
 b K
 ftˆ() 
 Từ (2.40) ta rút ra: ut() (2.41) 
 b K
 Nhƣ vậy để có đƣợc tín hiệu bù tại thời điểm t đòi hỏi phải dự báo tín hiệu 
fˆ tại thời điểm ()t  . Dựa trên tín hiệu thu đƣợc ftˆ() ta sẽ có tín hiệu dự báo 
ftˆ()  trên cơ sở chuỗi Taylor: 
 k iiˆ
 ˆˆ d f() t
 f()() t  f t  i (2.42) 
 i 1 i! dt
 Sơ đồ cấu trúc kênh tạo tín hiệu bù đƣợc thể hiện trên Hình 2.11: 
 ftˆ() ut() 
 1 b
 Dự báo 
 K
 Hình 2.11. Sơ đồ kênh tạo tín hiệu bù 
 ut()
 Nhƣ vậy, bằng việc tạo ra tín hiệu bù b theo (2.41), (2.42) nhiễu f () 
tác động lên hệ thống đƣợc bù trừ với sai số bù  (sai số dự báo) nhỏ tùy ý (vì sai 
số nhận dạng nhỏ tùy ý). Kết quả bù trừ cho ta hệ thống mà động học đƣợc mô tả 
 n 1
 ()()ni
bằng phƣơng trình: x()()() t  ai 1 x t Ku dk t  (2.43) 
 i 0
 46 
2.5. Thuật toán nhận dạng nhiễu hệ phi tuyến có trễ trên cơ sở sử dụng mạng 
 nơron RBF khi có nhiều thành phần nhiễu 
 Phƣơng pháp nhận dạng nhiễu trên cơ sở mạng nơron đã đƣợc đề xuất ở 
mục 2.3. chỉ có thể áp dụng đƣợc cho các trƣờng hợp khi trong hệ thống chỉ có duy 
nhất một tác động nhiễu phụ thuộc trạng thái. Trong thực tế các lĩnh vực công 
nghiệp chúng ta thƣờng gặp các đối tƣợng có trễ trong điều khiển và bị nhiều tác 
động nhiễu cùng một lúc, và đó là các nhiễu phụ thuộc trạng thái. Trong phần này, 
tác giả đƣa ra phƣơng pháp nhận dạng nhiều tác động nhiễu, nhiều tín hiệu đầu vào 
cùng đồng thời tác động lên hệ thống đã đƣợc phát triển trên cơ sở sử dụng mạng 
nơron RBF ở mục 2.3. 
 Tƣơng tự nhƣ mục 2.3., ta giả sử động học của đối tƣợng điều khiển đƣợc 
miêu tả bằng phƣơng trình phi tuyến trong không gian trạng thái: 
 X()()()()t AX t BU t τ DF X (2.44) 
trong đó: X - vectơ trạng thái, X n , 
 m1
 U - các vectơ tác động điều khiển UUU, max , 
 FX()- vectơ các tác động nhiễu F() m2 , 
 FXXX( ) [f ( ) f ( ) f ( )]T , f( ), f ( ), , f ( ) là các tác động 
 1 2m 2 12 m2
nhiễu, là các hàm trơn, bất định phụ thuộc vào trạng thái, 
  - thời gian trễ. 
 Các ma trận A, B, D đặc trƣng cho động học của đối tƣợng điều khiển. Để 
đảm bảo tính ứng đối cho việc bù trừ nhiễu sau nay biến đổi hệ trở thành tuyến tính, 
tạo thuận lợi trong việc điều khiển và sự tƣơng quan giữa ma trận B, D thì cần có 
 O
điều kiện là: mm . Trong đó: A nnx ; B nxm1 ; D nxm2 ; D , O là 
 12 I
 m2
ma trận zero kích thƣớc ()n m22 m với tất cả các thành phần bằng không 
O ,i 1,2, , n m ; j 1,2, m , I là ma trận đơn vị, kích thƣớc mm. 
 ij 22m2 22
 47 
 Bài toàn đặt ra là cần phải nhận dạng đƣợc tất cả các nhiễu bất định 
f( ), f ( ), , f ( ) với độ chính xác càng cao càng tốt, làm cơ sở cho việc xây 
 12 m2
dựng các hệ thống điều khiển dự báo với chất lƣợng cao dựa trên phƣơng pháp đã 
đề xuất ở mục 2.3. 
2.5.1. Xây dựng thuật toán nhận dạng 
 Tiếp tục phát triển phƣơng pháp nhận dạng đề xuất trong mục 2.3., chúng ta 
sẽ xây dựng phƣơng pháp nhận dạng cho trƣờng hợp đối tƣợng (2.44) trên cơ sở sử 
dụng mạng nơron RBF. Các mạng nơron RBF có khả năng xấp xỉ các hàm phi 
tuyến trơn với bất kỳ độ chính xác nào. Điều đó cũng có nghĩa là sử dụng các mạng 
nơron RBF để nhận dạng các hàm nhiễu bất định chúng ta có 
thể xác định các hàm này với độ chính xác tùy ý. Điều này có ý nghĩa rất quan trọng 
trong việc tổng hợp các hệ điều khiển chất lƣợng cao cho đối tƣợng (2.44) mặc dù 
tồn tại các hàm nhiễu phi tuyến bất định. 
 Các hàm nhiễu fi ( ), i 1,2, , m2 giả thiết có tính chất là trơn, liên tục, 
đều và biến đổi chậm [62], vì vậy chúng có thể đƣợc xấp xỉ bằng các mạng nơron 
RBF và đƣợc biểu diễn bằng biểu thức nhƣ sau [38]: 
 l
fwi()()XX ij ijε i (2.45) 
 j 1
 2
 X-Cij
 exp 2
 2 ij
 ij ()X 2 (2.46) 
 l
 X-Cij
 exp 2
 j 1 2 ij
 i
 ij
im1,2, , 2 ; jl1,2, , , trong đó ij () là các hàm cơ sở, wij là các trọng số, l là 
số nút của lớp ẩn mạng nơron thứ xấp xỉ hàm fi (); εi là sai số xấp xỉ; Cij là vectơ 
n chiều, biểu diễn tâm của hàm cơ sở thứ ij , biểu diễn độ trải rộng của hàm cơ 
sở thứ . Trên Hình 2.12. là sơ đồ cấu trúc thể hiện sự liên kết giữa các mạng xấp xỉ 
các hàm fi ()X . 
 48 
Hình 2.12. Sơ đồ cấu trúc các mạng nơron xấp xỉ các hàm , , của 
 hệ (2.44) 
 * *
 Giả sử wij , im1,2, , 2 ; - là các hàm trọng số “lý tƣởng”, εi - 
sai số xấp xỉ “lý tƣởng”, thỏa mãn điều kiện εε* , với ε là số nhỏ nhất bất kỳ 
 iMi Mi
 ˆ *
cho trƣớc, giá trị xấp xỉ “lý tƣởng” của hàm sẽ là fi (); 
 l
 ˆ ****
fi()() f i  ε i  w ij ij (  ) ε i (2.47) 
 j 1
 Tƣơng tự, biểu thức (2.45) có thể viết lại dƣới dạng: 
 l
 ˆ f ()X f ()X
fi()() f i  ε i  wˆ ij ij (  ) ε i 1 2(2.48) 
 j 1
 , f ()X
 m2
với wˆ ij là giá trị đánh giá của trọng số wij , im1,2, , 2 ; . 
 Vấn đề đặt ra ở đây là phải xác định các trọng số sao cho sai số xấp xỉ ε 
thỏa mãn độ chính xác đặt ra ε ε* ε . Ta xây dựng mô hình song song cho 
 i i Mi
đối tƣợng (2.44) trong đó sử dụng cho các mạng nơron RBF để xấp xỉ các hàm 
 jl1,2, ,
nhiễu theo (2.47), (2.48): 
 fi ()
 ˆ
XAXBUDFXMMMMM()()()()t t t τ (2.49) 
trong đó: AAM ; BBM ; DDM ; 
 49 
 l
 wˆ11jj()X
 ˆ j 1
 f1()X
 l
 fˆ ()X wˆ ()X
ˆ 2 22jj
FX() j 1 (2.50) 
 fˆ ()X
 m2 l
 wˆ ()X
 m22 j m j
 j 1
Từ (2.44) và (2.49) ta thu đƣợc: 
E()()()tt AE DF X (2.51) 
với: 
EXX()()()t tM t (2.52) 
FXFXFX()()()ˆ (2.53) 
 Để dễ theo dõi, chúng ta viết lại vectơ của các tác động nhiễu F(X) trên cơ 
sở (2.47): 
 l
 **
 w1jj 1()X ε 1
 j 1
 l
 **
 wˆ 2jj 2()X ε 2
FX() j 1 (2.54) 
 l
 wˆ **()X ε
 m2 j m 2 j m 2
 j 1
Thế (2.50) và (2.53) vào (2.54) ta có: 
 l
 *
 w1jj 1()X ε 1
 j 1
 f1 ()X
 l
 *
 f ()X w2jj 2()X ε 2
 2 (2.55) 
DF() X D D j 1
 f ()X
 m2 l
 w ()X ε*
 m2 j m 2 j m 2
 j 1
trong đó: 
 *
wij wˆ ij w ij , im1,2, , 2 ; jl1,2, , (2.56) 
 Để đánh giá đƣợc các hàm nhiễu đòi hỏi phải xác định luật hiệu chỉnh thích 
nghi các trọng số của các mạng nơron trong mô hình, đảm bảo wi 0 , đồng thời 
 50 
đảm bảo cho hệ (2.51) ổn định. Điều kiện đủ để hệ thống (2.51) ổn địnhΕ ()đƣợct thể 
hiện trong định lý sau đây. 
 Định lý 2.2. Giả sử A là ma trận Hurwitz. Hệ thống (2.51) sẽ ổn định thực 
tế khi thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 
 Q  PU2 0;
 max
 m2
 2 ε * P
  i n m2 i
 E();t i 1 (2.57) 
 rmin ()Q
 t
 w ()()()();XPEUU tT   d 
 ij ij n m2 i 
 t 
 im1,2, , 2 ; jl1,2, , 
với là ma trận đối xứng xác định dương; trong đó là nghiệm đối xứng xác 
định dương của - giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận ; 
P - dòng thứ n m i của ma trận P ; UU sup (t ) . 
 n m2 i 2 max
 t
 Chứng minh : Để chứng minh định lý, chúng ta sử dụng phƣơng pháp thứ 
2 của Lyapunov, có chú ý rằng hệ thống có trễ. Về hình thức, phƣơng trình (2.51) 
không chứa trễ, song về mặt cấu trúc hệ thống nhận dạng theo mô hình song song 
đối với đối tƣợng có trễ (2.44), trong đó là vectơ sai lệch trạng thái của mô 
hình so với đối tƣợng có chứa trễ. Vì vậy, đối với hệ (2.51), tƣơng tự ta chọn hàm 
Lyapunov dạng: 
 t m2 l
V ETTT()()()()()()t PE t  E t PE t U  U  d  w2 (2.58)
  ij 
 t  ij 11
trong đó P là ma trận đối xứng xác định dƣơng và  là hệ số dƣơng  0 . Lấy đạo 
hàm theo thời gian đối với hàm Lyapunov (2.58) dọc theo quỹ đạo của hệ (2.51), ta 
 T
thu đƣợc: Q = A P + PA;()rmin Q
 P
 Q
 51 
V [ AE (t ) DF (  )]TT PE ( t ) E ( t ) P [ AE ( t )+ DF (  )]+
 t
 [AE (t )+ DF (  )]TT PE ( t ) U (  ) U (  ) d  
 t 
 t (2.59) 
 ETT(t ) P [ AE ( t )+ DF (  )] U (  ) U (  ) d  
 t 
 m2 l
 TTT
 E()t PE ()[ t U ()() t U t U ( t  )( U t  )]2  wij w ij
 ij 11
 Vì ma trận A là ma trận Hurwitz và ma trận P là đối xứng xác định dƣơng, 
ta sẽ có [32], [63]: APPT ΑQ (2.60) 
trong đó Q là ma trận xác định dƣơng. Với tính chất đối xứng của ma trận P, ta còn 
có thêm: 
 tt
FDPETTTTT()()()()()()()()t U  U  d   EPDF t  U  U  d 
 tt 
 (2.61) 
 t
 2FTTT ( ) D PE (td ) U (  ) U (  ) 
 t 
 Chú ý đến cấu trúc của ma trận D và I trong phƣơng trình (2.44), các 
 m2
thành phần dij của ma trận này có các giá trị 0 hoặc 1: 
 1 víi i j , i , j 1,2,..., m2 . 
dij (2.62) 
 0 víi i j , i , j 1,2,..., m2 . 
 Thế (2.62) vào (2.55) và biến đổi (2.61) ta nhận đƣợc: 
 ttm2 l
2()FTTTT D PE ()t U ()()  U  d  2  w  ()X P E () t U ()()  U  d 
  ij ij n m2 i
 tt ij 11
 m2 t
 2ε*PEUU (td )T (  ) (  )  (2.63) 
  i n m2 i 
 i 1 t 
trong đó P - hàng thứ n m i của ma trận đối xứng xác định dƣơng P . 
 n m2 i 2
 Biến đổi (2.59) có chú ý tới (2.60), (2.61) và (2.62) ta có: 
VEQPUUUUE TTT()t  [()() t t ( t  )( t  )]() t 
 ttm2
 ETTT(t ) QE ( t ) U (  ) U (  ) d  2 ε* P E ( t ) U (  ) U (  ) d  
  i n m2 i
 tt i 1
 (2.64) 
 mm22llt
 2w  (X )PEUU ( t )T (  ) (  ) d  2 w w
 ij ij n m2 i  ij ij
 i 1 j 1t  i 1 j 1
 52 
 Đạo hàm theo thời gian của hàm Lyapunov V (2.64) sẽ luôn luôn âm khi 
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây: 
 QPUUUU [TT (t ) ( t ) ( t  ) ( t  )] 0
 (2.65) 
 m2
2ε*P E (t ) ET ( t ) QE ( t ) 0
  i n m2 i
 i 1
 (2.66) 
 mm22ll t
2w w 2 w  ()XPEUU ()()()0 tT   d 
 ij ij  ij ij n m2 i 
 i 1 j 1 i 1 j 1 t 
 (2.67) 
 T 2 T
điều kiện (2.65) sẽ thỏa mãn khi UUU()()tt max và UU(tt  ) ( ) 0 . 
Nếu bất đẳng thức (2.65) đƣợc thỏa mãn trong trƣờng hợp này thì nó sẽ luôn đƣợc 
thỏa mãn trong mọi trƣờng hợp còn lại. Vì vậy, bất đẳng thức (2.65) luôn luôn thỏa 
mãn khi: 
 2
 Q  PU max 0 
 (2.68)
 Áp dụng tính chất bất đẳng thức Rayliegh [32], [38], [63] đối với các thành 
phần của (2.66), ta có: 
r()()()()()()Q E t22 ET t QE t r Q E t
minm ax (2.69) 
PEPE()()tt
 n m22 i n m i
 (2.70) 
với và là các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận Q. 
 Từ (2.66) và (2.69) vào (2.70) ta thấy rằng, điều kiện (2.66) sẽ luôn thỏa 
mãn, khi: 
 m2
 2 ε* P
 i n m2 i
E()t i 1
 r ()Q
 min (2.71) 
từ điều kiện (2.67) rút ra đƣợc: 
 t
w ()()()()X PEUU tT   d 
 ij ij n m2 i 
 t 
 rmax ()Q (2.72) 
i 1,2, , m2 ; j 1,2, , l .
 rmin ()Q
 53 
 Nhƣ vậy để đảm bảo cho đạo hàm của hàm Lyapunov (2.58) sẽ luôn luôn 
âm dọc theo quỹ đạo của hệ (2.44) cần thỏa mãn đồng thời các điều kiệ