Luận án Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết điều khiển thích nghi để nâng cao chất lượng hệ thống lái tự động tàu nổi có choán nước

 { (1.88) 
 푴̇ = 𝝉 − 푪() + 휿() + 휱(휼,  )흋
trong đó: 
 휱(휼,  ) = [푫1( ), 푱(휼) ] = 
 0 0 0 0 0 0 0 표푠휓 푠푖푛휓 0
 = [| |푣 |푣| | | 0 0 0 0 −푠푖푛휓 표푠휓 0] (1.89) 
 0 0 0 | |푣 |푣| | | 0 0 1
là ma trận các biến sao cho 휿() + 흓(휼, )흋 = 푱(휼) − 푫() , và mô hình (1.88) có 
dạng truyền ngược chặt. Sau đó tác giả sử dụng được kỹ thuật backstepping thích nghi 
tổng hợp bộ điều khiển cho hệ thống và luật cập nhật của 흋. 
 Bài báo định nghĩa các biến mới như sau: 
 풛1 = 푱(휼) (휼 − 휼 ) (1.90) 
 풛2 =  − 휶1 (1.91) 
 ̇
 휔푠 = 푣푠 −  (1.92) 
 흋̃ = 흋 − 흋̂ (1.93) 
 trong đó 흋̂ là véc-tơ thông số ước lượng của 흋 và 휶1 là luật điều khiển ảo được xác 
định như sau: 
 ( ) 
 휶1 = −푲 풛1 + 푱 휼 휼 푣푠 (1.94) 
 Đạo hàm 휶1 theo thời gian ta có: 
  ̇
 휶̇ 1 = 𝝈1 + 휶1 (1.95) 
trong đó: 
  
 𝝈1 = −푲 ( − 푺풛1) − 푺푱(휼) 휼 푣푠 + 푱(휼) 휼 푣푠̇ (1.96) 
   2  
 푻 (1.97) 
 휶1 = 푲 푱(휼) 휼 + 푱(휼) [휼 ()푣풔 + 휼 푣푠 ] 
 0 −1 0
với 푺 = [1 0 0] 
 0 0 0
 Luật điều khiển cho cả hệ thống được bài báo lựa chọn như sau: 
 
 𝝉 = 풛1 − 푲 풛2 + 푪휶1 − 휿 − 휱흋̂ + 푴𝝈1 + 푴휶1푣푠 (1.98) 
 Luật cập nhật thích nghi: 
 ̇ 
 흋̂ = 휞휱 풛2 (1.99) 
 24 
 Chú ý: Đạo hàm theo thời gian của (푡) được ký hiệu ̇, ̈, (3),  , (푛), trong đó chỉ 
 휕훼 2 2
số trên ký hiệu đạo hàm riêng: 훼푡( , , 푡) ≔ , 훼 ( , , 푡) ≔ 휕 훼⁄ ,và 
 휕푡 휕 2
 푛 푛
훼 ( , , 푡) ≔ 휕 훼 
 ⁄휕푛
 Nhận xét: 
 - Như vậy có thể thấy nghiên cứu [57] sử dụng các phương tiện của phòng thí 
 nghiệm như hệ thống kéo, hệ thống tạo sóng, hệ thống đo v.v. để tính toán , đo 
 được một số các thông số của ma trận 푪( ), 푫(). Tuy nhiên nếu ở môi trường 
 đại dương, các thông số này rất khó có thể được xác định. Việc đo để tách thành 
 phần xác định và bất định là rất khó khăn. Các thông số chưa biết và nhiễu từ 
 môi trường đại dương được đưa về dạng véc-tơ hằng chứ không phải biến đổi 
 theo thời gian ở dạng hàm, nên việc xác định chính xác mô hình là rất khó khăn. 
 - Từ biểu thức (1.98) có thể thấy luật điều khiển là biểu thức phức tạp gồm nhiều 
 toán hạng. Điều này là do trong kỹ thuật backstepping, luật điều khiển của hệ 
 sau phụ thuộc vào đào hàm của luật điều khiển hệ con phía trước. Đây là lý do 
 làm bùng nổ sự phức tạp của kỹ thuật backstepping khi hệ thống có nhiều bậc. 
1.3.3. Phương pháp xấp xỉ bằng mạng nơ-ron 
 Backstepping thích nghi chỉ áp dụng được khi các thành phần bất định là hằng số. 
Để khắc phục những khó khăn trong việc xác định các thông số bất định hàm của 
푪( ), 푫() cũng như các nhiễu tác động từ môi trường đại dương, nhiều tác giả đã 
ứng dụng khả năng xấp xỉ vạn năng, khả năng học, thích nghi và cấu trúc song song 
của mạng nơ-ron để xấp xỉ chúng, đưa tới phương pháp điều khiển phương tiện hàng 
hải có sự bất định hàm trong mô hình như các tài liệu [11, 40, 69]. 
 Trong tài liệu [11], các tác giả sử dụng kỹ thuật backstepping để tổng hợp bộ điều 
khiển, các thông số bất định của mô hình và nhiễu môi trường không biết trước được 
sử dụng xấp xỉ bằng mạng nơ-ron. 
 Mô hình động lực học của tàu được xét như sau: 
 휼̇ = 푱(휼) 
 { (1.100) 
 푴̇ + 푪( ) + 푫( ) + 품(휼) + ∆(휼,  ) = 𝝉
trong đó 휼 = [ , , 휓] ∈ 푅3 là vị trí ba bậc tự do (x,y) và hướng (휓) của tàu trong hệ 
quy chiếu quán tính gắn trái đất;  = [ , 푣, ] ∈ 푅3 là véc-tơ tốc độ gồm tốc độ tiến 
( ) tốc độ dạt (푣 ) và tốc độ quay hướng (r) trong hệ quy chiếu gắn thân; 푴 là ma trận 
quán tính của tàu; 푪( ) là ma trận Coriolis và lực hướng tâm; 푫( ) là ma trận suy 
giảm; 품(휼) là mô men và lực đẩy, lực trọng trường; 푱(휼) là ma trận quay; ∆(휼,  ) là 
véc-tơ không xác định của mô hình, gồm các thành phần động học không mô hình, sai 
số sensor hoặc những nhiễu loạn môi trường; 𝝉 ∈ 푅3 là véc-tơ đầu vào điều khiển. 
 cos 휓 − sin 휓 0
 푱(휼) = [sin 휓 cos 휓 0] (1.101) 
 0 0 1
 Bài báo trích dẫn và sử dụng ma trận quán tính hệ thống 푴 như trong tài liệu [57], 
푴 = 푴 ≥ 0 là hằng số và đã được xác định chính xác hoàn toàn. 
 0 0 13()
 푪( ) = [ 0 0 23()] (1.102) 
 − 13() − 23() 0
 25 
 11() 0 0
 푫() = [ 0 22() 23()] (1.103) 
 0 32() 33()
 1(휼) ∆1(휼, )
 품(휼) = [ 2(휼)] 푣à ∆(휼, ) = [∆2(휼, )] (1.104) 
 3(휼) ∆3(휼, )
trong đó: 푱(휼) 푱(휼) = 푰; 13(), 23(), 11(), 22(), 23(), 32(), 33(), 1(휼), 
 2(휼), 3(휼), ∆1(휼, ), ∆2(휼, ), ∆3(휼, ) là những hàm chưa biết và phụ thuộc vào véc-
tơ vận tốc  = [ , 푣, ]. 
 Đối tượng của bài báo là 
 i) Thiết kế bộ điều khiển nơ-ron thích nghi sao cho động học không xác định của 
tàu được xác định chính xác trong quá trình điều khiển ổn định. 
 ii) Phát triển phương pháp điều khiển học nơ-ron mới, sử dụng kiến thức được học 
không cần thích nghi lại để động học tàu chưa biết đạt được sự ổn định vòng kín và 
đặc tính điều khiển được cải thiện. 
 Xét nhiệm vụ i) của bài báo, các tác giả sử dụng kỹ thuật backstepping để tổng hợp 
bộ điều khiển theo các bước sau: 
 Định nghĩa các biến mới : 
 풛1 = 휼 − 휼 (1.105) 
 풛2 =  − 휶1 (1.106) 
trong đó 휼 là quỹ đạo mong muốn, 훼1là luật điều khiển ảo. 
 Bộ điều khiển ảo được chọn như sau: 
 푻
 휶1 = −푱 (휼)( 1풛1 − 휼̇ ) (1.107) 
trong đó 1 là thông số thiết kế dương. 
 −1
 풛̇ 2 = ̇ − 휶̇ 1 = 푴 [ 𝝉 − (푪() + 푫() + 품(휼) + ∆(휼, ))] − 휶̇ 1 (1.108) 
 −1
 풛̇ 2 = 푴 [ 𝝉 − (푪() + 푫() + 품(휼) + ∆(휼, )) − 푴휶̇ 1] (1.109) 
 Các thành phần bất định của mô hình động lực học tàu được đưa về dạng một véc-
tơ hàm bất định: 
 푭(풍) = 푪() + 푫() + 품(휼) + ∆(휼, ) (1.110) 
 3 6
trong đó 푭(풍) = [ 1(풍), 2(풍), 3(풍)] ∈ 푅 và 풍 = [휼 ,  ] ∈ 푅 . Bài báo sử dụng 
 ̂
mạng nơ-ron hướng tâm 2 lớp để xấp xỉ véc-tơ hàm bất định 𝑖(풍): 
 ̂ ∗ 
 𝑖(풍) = 푾푖 푸푖(풍) + 휖푖(풍) 푖 = 1,2,3 (1.111) 
 ∗ ∗
trong đó 푾𝑖 biểu diễn trọng số không đổi lí tưởng, |휖𝑖(풍)| ≤ 휖𝑖 là sai số xấp xỉ với 
 ∗ ∗ ̂ ∗
휖𝑖 > 0 là hằng số. Vì 푾𝑖 là chưa biết nên đặt 푾풊 là ước lượng của 푾𝑖 . 
 Luật điều khiển phản hồi được chọn: 
 𝝉 = −푱 (휼)풛1 − 2풛2 + 푾̂ 푸(풍) + 푴휶̇ 1 (1.112) 
 푻 
trong đó 푾̂ 푸(풍) = [푾̂1 푸1(풍), 푾̂2푸2(풍), 푾̂3푸3(풍)] là xấp xỉ của hàm bất định chưa 
biết 푭(풍). 
 Luật cập nhật thông số của mạng nơ-ron được chọn như sau: 
 ̂̇ ̃̇ ̂ 0
 푾𝑖 = 푾𝑖 = −휞𝑖[푸𝑖(풍)풛2𝑖 + 𝑖(푾𝑖 − 푾𝑖 )], 푖 = 1,2,3 (1.113) 
 0
trong đó 𝑖 > 0, 푖 = 1,2,3 là những tham số có thể thay đổi, và 푾𝑖 là những tham số 
thiết kế. 
 26 
Nhận xét: Bằng cách sử dụng mạng nơ-ron để xấp xỉ những thành phần bất định của 
mô hình động lực học tàu thủy, công việc khó khăn như tính toán xác định các thông 
số bất định của mô hình 푪( ), 푫( ), ∆(휼, ) đơn giản hơn. 
1.4. Cơ sở phương pháp luận 
1.4.1. Kỹ thuật backstepping 
 Kỹ thuật backstepping là một phương pháp thiết kế đệ quy để xây dựng cả luật 
điều khiển phản hồi và hàm điều khiển Lyapunov theo một cách thức có hệ thống. Kỹ 
thuật backstepping chia hệ thống phi tuyến truyền ngược chặt n bậc thành n hệ con, 
thiết kế luật điều khiển phản hồi và hàm điều khiển Lyapunov cho các hệ con đó [37]. 
 Xét hệ phi tuyến truyền ngược chặt SISO n bậc như sau: 
 ̇1 = 1( 1) + 1( 1) 2 
 풙̇ 𝑖 = 𝑖(풙𝑖) + 𝑖(풙𝑖) 𝑖+1 
 { (1.114) 
 ̇푛 = 푛(풙푛) + 푛(풙푛) 
 = 1 
 푛
trong đó 풙푛 = [ 1, 2,  , 푛] ∈ 푅 là véc-tơ trạng thái hệ thống, 푅 là đầu vào điều 
khiển của hệ thống, 푅 là đầu ra của hệ thống, 𝑖(. ) và 𝑖(. ) với 푖 = 1,2  , 푛 là các 
hàm thông số phi tuyến đã biết của hệ thống. Để đảm bảo tính truyền ngược chặt của 
hệ thống thì 𝑖(. ) ≠ 0 
 Đối tượng của bài toán là tìm luật điều khiển để hệ thống ổn định, đầu ra hệ 
thống bám tín hiệu đặt mong muốn = 1 = 
 Các bước thiết kế luật điều khiển theo kỹ thuật backstepping như sau: 
Bước 1: Xét hệ con thứ nhất 
 ̇1 = 1( 1) + 1( 1) 2 (1.115) 
 Đặt biến trạng thái mới 
 1 = 1 − (1.116) 
đạo hàm 1 theo thời gian ta có: 
 1̇ = ̇1 − ̇ = 1( 1) + 1( 1) 2 − ̇ (1.117) 
 Chọn hàm Lyapunov của hệ con thứ nhất 
 1
 = 2 (1.118) 
 1 2 1
đạo hàm 1 theo thời gian ta có: 
 1̇ = 1 1̇ = 1[ 1( 1) + 1( 1) 2 − ̇ ] (1.119) 
 Đặt 
 2 = 2 − 훼1 (1.120) 
trong đó 훼1 là tín hiệu điều khiển ảo cho hệ con thứ nhất, 2 = 2 + 훼1 
 1̇ = 1[ 1( 1) + 1( 1)( 2 + 훼1) − ̇ ] 
chọn tín hiệu điều khiển ảo của hệ con thứ nhất 
 − 1 1 − ( 1( 1) − ̇ )
 훼1 = (1.121) 
 1( 1)
Khi đó: 
 27 
 2
 1̇ = − 1 1 + 1( 1) 1 2 (1.122) 
 2
trong đó toán hạng − 1 1 làm hệ ổn định, toán hạng 1( 1) 1 2 sẽ được loại bỏ ở 
bước tiếp theo. 
Bước 2: Đạo hàm 2 theo 푡 
 2̇ = ̇2 − 훼̇1 = 2( 1, 2) + 2( 1, 2) 3 − 훼̇1 (1.123) 
 Chọn hàm Lyapunop cho hệ con thứ 2: 
 1
 = + 2 (1.124) 
 2 1 2 2
đạo hàm của 2 theo thời gian: 
 ̇2 = 1̇ + 2 2̇ (1.125) 
 2
 ̇2 = − 1 1 + 1( 1) 1 2 + 2[ 2( 1, 2) + 2( 1, 2) 3 − 훼̇1] (1.126) 
Đặt 
 3 = 3 − 훼2 (1.127) 
trong đó 훼2 là tín hiệu điều khiển ảo cho hệ con thứ hai, 3 = 3 + 훼2 
 2
 ̇2 = − 1 1 + 1( 1) 1 2 + 
 (1.128) 
 + 2[ 2( 1, 2) + 2( 1, 2)( 3 + 훼2) − 훼̇1] 
chọn tín hiệu điều khiển ảo của hệ con thứ hai 
 − 2 2 − 1( 1) 2 − ( 2( 1, 2) − 훼̇1)
 훼2 = (1.129) 
 2( 1, 2)
 2 2
 ̇2 = − 1 1 − 2 2 + 2( 1, 2) 2 3 (1.130) 
 2 2
trong đó các toán hạng − 1 1 − 2 2 làm hệ ổn định, toán hạng 2( 1, 2) 2 3 sẽ 
được loại bỏ ở bước tiếp theo. 
Bước thứ i: Xét 
 𝑖 = 𝑖 − 훼𝑖−1 (1.131) 
 Đạo hàm theo thời gian ta có 
 𝑖̇ = ̇𝑖 − 훼̇𝑖−1 = 𝑖(풙𝑖) + 𝑖(풙𝑖) 𝑖+1 − 훼̇𝑖−1 (1.132) 
trong đó 풙𝑖 = [ 1, 2,  , 𝑖] , 푖 = 1,2  , 푛 − 1, 훼𝑖−1 là tín hiệu điều khiển ảo của hệ 
con thứ 푖 − 1 
 Chọn hàm Lyapunov của hệ con thứ 푖: 
 1
 = + 2 (1.133) 
 𝑖 𝑖−1 2 𝑖
đạo hàm của 2 theo thời gian: 
 ̇𝑖 = ̇𝑖−1 + 𝑖 𝑖̇ (1.134) 
 𝑖−1
 ̇ 2
 𝑖 = − ∑ + 𝑖−1(풙𝑖−1) 𝑖−1 𝑖 + 
 (1.135) 
 =1
 + 𝑖[ 𝑖(풙𝑖) + 𝑖(풙𝑖) 𝑖+1 − 훼̇𝑖−1] 
Đặt 
 𝑖+1 = 𝑖+1 − 훼𝑖 (1.136) 
trong đó 훼𝑖 là tín hiệu điều khiển ảo cho hệ con thứ 푖, 𝑖+1 = 𝑖+1 + 훼𝑖 
 28 
 𝑖−1
 ̇ 2
 𝑖 = − ∑ + 𝑖−1(풙𝑖−1) 𝑖−1 𝑖 + 
 (1.137) 
 =1
 + 𝑖[ 𝑖(풙𝑖) + 𝑖(풙𝑖)( 𝑖+1 + 훼𝑖) − 훼̇𝑖−1] 
chọn tín hiệu điều khiển ảo của hệ con thứ 푖: 
 − 𝑖 𝑖 − 𝑖−1(풙𝑖−1) 𝑖−1 − ( 𝑖(풙𝑖) − 훼̇𝑖−1)
 훼𝑖 = (1.138) 
 𝑖(풙𝑖)
 𝑖
 ̇ 2
 𝑖 = − ∑ + 𝑖(풙𝑖) 𝑖 𝑖+1 (1.139) 
 =1
 𝑖 2
trong đó các toán hạng − ∑ =1 làm hệ ổn định, toán hạng 𝑖(풙𝑖) 𝑖 𝑖+1 được loại 
bỏ ở bước tiếp theo. 
Bước n: Xét 
 푛 = 푛 − 훼푛−1 (1.140) 
Đạo hàm theo thời gian ta có 
 푛̇ = ̇푛 − 훼̇푛−1 = 푛(풙푛) + 푛(풙푛) − 훼̇푛−1 (1.141) 
trong đó 풙푛 = [ 1, 2,  , 푛] , 훼𝑖−1 là tín hiệu điều khiển ảo của hệ con thứ 푛 − 1 
Chọn hàm Lyapunov của hệ con thứ 푛: 
 1
 = + 2 (1.142) 
 푛 푛−1 2 푛
đạo hàm của 푛 theo thời gian: 
 푛̇ = ̇푛−1 + 푛 푛̇ (1.143) 
 푛−1
 ̇ 2
 푛 = − ∑ + 푛−1(풙𝑖−1) 푛−1 푛 + 
 (1.144) 
 =1
 + 푛[ 푛(풙푛) + 푛(풙푛) − 훼̇푛−1] 
chọn tín hiệu điều khiển ảo của hệ con thứ 푛: 
 − − (풙 ) − ( (풙 ) − 훼̇ )
 = 푛 푛 푛 푛 푛−1 푛 푛 푛−1 (1.145) 
 푛(풙푛)
 푛
 ̇ 2
 푛 = − ∑ ≤ 0 (1.146) 
 =1
 Biểu thức (1.146) cho thấy với cách thiết kế bộ điều khiển theo kỹ thuật 
backstepping ta sẽ tìm được bộ điều làm cho hệ phi tuyến truyền ngược chặt 
(1.114) ổn định, z= [ 1, 2,  , 푛] tiến tới lân cận của không . 
 |풛| 0 bất kỳ (1.147) 
 Như vậy có thể thấy 1 = 1 − tiến tới lân cận không hay 1 tiến tới lân cận , 
đáp ứng được yêu cầu bám tín hiệu. 
 Biểu thức (1.145) cho thấy tín hiệu điều chỉ được xác định khi các hàm 𝑖(. ) và 
 𝑖(. ) với 푖 = 1,2  , 푛 là các hàm thông số phi tuyến đã biết của hệ thống. Khi các hàm 
này là bất định hay không biết trước thì không xác định được tín hiệu điều khiển . 
 29 
1.4.2. Điều khiển trượt 
 Điều khiển trượt sử dụng cấu trúc bộ điều khiển không liên tục để điều khiển lớp 
hệ thống có tồn tại thành phần bất định trong mô hình, bám hoàn toàn tín hiệu ra 
mong muốn, với điều kiện thành phần bất định của mô hình bị chặn và biên bị chặn 
của thành phần bất định đã biết, thành phần bất định cần phải thỏa mãn điều kiện 
“matching condition” [58]. 
 Xét hệ thống động học bậc hai, đầu vào đơn có thành phần bất định: 
 ̇1 = 2 
 ̇2 = + ( ) + ∆ ( ) (1.148) 
 = 1 
 2
trong đó 풙 = [ 1 2] ∈ 푅 là trạng thái, 푅 là đầu vào điều khiển, ( ) là một hàm 
phi tuyến, và thành phần bất định bị chặn sao cho | ( )| ≤ 𝜌( ). Đối tượng điều 
khiển (푡) = 1(푡) → (푡) với sự có mặt của thành phần bất định. Định nghĩa biến 
mới là: 
 = 1 − (1.149) 
 Định nghĩa mặt trượt thay đổi theo thời gian 푆(푡) bằng phương trình vô hướng 
푠( , 푡) = 0 như trong [58], trong đó 
 푠( , 푡) = ( + 휆) = ̇ + 휆 = 0 (1.150) 
 푡
với  là một hằng số dương hoàn toàn. Lấy đạo hàm của 푠: 
 푠̇ = ̈ + 휆 ̇ = ̈1 − ̈ + 휆 ̇ = + + ∆ − ̈ + 휆 ̇ (1.151) 
 Chọn hàm Lyapunov là 
 1
 = 푠2 (1.152) 
 2
 Đạo hàm của theo thời gian ta có: 
 ̇ = 푠푠̇ = 푠( + + ∆ − ̈ + 휆 ̇) (1.153) 
 Tiếp theo, đầu vào điều khiển được chọn là 
 = − + ̈ − 휆 ̃̇ − ( + 𝜌)푠 푛(푠) (1.154) 
để thỏa mãn điều kiện trượt sao cho 
 ̇ = 푠푠̇ = −푠( + 𝜌)푠 푛(푠) + 푠∆ ≤ − |푠| (1.155) 
trong đó là một hằng số dương. 
 Biểu thức (1.155) cho thấy, với tín hiệu điều khiển như ở biểu thức (1.154) sẽ 
làm hệ (1.148) ổn định tiện cận theo hàm mũ. Vì là nghiệm của phương trình vi phân 
(1.150) nên nó sẽ tự trượt trên mặt trượt về gốc tọa độ và kết thúc tại đó sau một 
khoảng thời gian hữu hạn. Như vậy, theo biểu thức (1.149) 1 tiến tới sau một 
khoảng thời gian hữu hạn. 
 Mặt khác tín hiệu điều khiển trong biểu thức (1.154) không phụ thuộc vào thành 
phần bất định ∆ hay nói cách khác hệ thống có khả năng bám bền vững tín hiệu đặt. 
 30 
1.4.3. Điều khiển mặt động 
 Với lớp hệ thống phi tuyến bất định, phản hồi chặt, người ta thường sử dụng các 
phương pháp để điều khiển backstepping hay điều khiển trượt (SMC). Tuy nhiên, các 
phương pháp trên đều có các nhược điểm. Chẳng hạn ở phương pháp backstepping 
thì các thành phần bất định phải là hằng số còn điều khiển trượt chỉ áp dụng được với 
lớp bài toán matched uncertainty. Hơn nữa ở backstepping sẽ xảy ra hiện tượng bùng 
nổ toán hạng do biến điều khiển ảo ở bước trên 𝑖−1 xuất hiện trong thành phần biến 
điều khiển ảo ở bước sau 𝑖 khi hệ thống có nhiều bậc. Điều này ta có thể nhận thấy ở 
các biểu thức (1.121)(1.129)(1.138)(1.145). Vì vậy khi hệ thống có 푛 bậc thì luật điều 
khiển cuối cùng rất phức tạp gồm đạo hàm 푛 bậc của các luật điều khiển phía trước. 
Phương pháp điều khiển mặt động ra đời để khắc phục những nhược điểm trên [61]. 
Kĩ thuật điều khiển mặt động (DSC) được phát triển dựa trên cơ sở kĩ thuật 
backstepping, trong đó 𝑖−1 được sử dụng như một tín hiệu đặt cho việc thiết kế 𝑖, 
nhờ đó DSC khắc phục được nhược điểm bùng nổ toán hạng của phương pháp 
backstepping truyền thống. 
 Xét hệ thống phi tuyến phản hồi chặt như sau: 
 ̇1 = 1( 1) + 1( 1) 2
 ̇𝑖 = 𝑖(풙𝑖) + 𝑖(풙𝑖) 𝑖+1
 ⋮ (1.156) 
 ̇ = (풙 ) + (풙 ) 
 푛 푛 푛 푛 푛
 { = 1 
 푛
trong đó 풙푛 = [ 1, 2,  , 푛] ∈ 푅 là véc-tơ trạng thái hệ thống, 푅 là đầu vào điều 
khiển của hệ thống, 푅 là đầu ra của hệ thống, 𝑖(. ) và 𝑖(. ) với 푖 = 1,2  , 푛 là các 
hàm thông số phi tuyến đã biết của hệ thống. Để đảm bảo tính truyền ngược chặt của 
hệ thống thì 𝑖(. ) ≠ 0. 
 Đối tượng của bài toán là tìm luật điều khiển u để hệ thống ổn định, đầu ra hệ 
thống bám tín hiệu đặt mong muốn = 1 = . Các giả thiết được đặt ra với bài toán 
như sau: 
 Giả thiết 1. Dấu của hàm 𝑖(. ) đã biết, tồn tại những hằng số 0 < 𝑖0 < 𝑖1 sao cho 
 푛
 𝑖0 ≤ |gi(. )| ≤ 𝑖1, 푖 = 1,2,  , 푛, ∀풙푛 ∈ Ω  푅 . 
 Giả thiết 2. Tồn tại những hằng số dương 𝑖 > 0 sao cho | ̇𝑖(. )| ≤ 𝑖 , ∀풙푛 ∈
Ω  푅푛. 
 Các bước thiết kế luật điều khiển u theo kỹ thuật DSC như sau: 
Bước 1: 
 Mặt động đầu tiên được định nghĩa như sau [61]: 
 1 = 1 − = 1 − 훼1 (1.157) 
 1̇ = ̇1 − 훼̇1 = 1( 1) + 1( 1) 2 − 훼̇1 (1.158) 
 Chọn luật điều khiển ảo cho hệ con thứ nhất: 
 1( 1) − 훼̇1 
 훼1 = − 1 1 − (1.159) 
 1( 1)
và 훼1 được đưa qua một bộ lọc bậc nhất như Hình 1-7: 
 훼1−훼2 
 풯2훼̇2 + 훼2 = 훼1 훼̇2 = (1.160) 
 풯2
trong đó 풯2 là hằng số thời gian bộ lọc. Sai số của bộ lọc là: 
 2 = 훼2 − 훼1 (1.161) 
Bước 2: 
 31 
 Mặt động thứ hai được định nghĩa như sau: 
 2 = 2 − 훼2 (1.162) 
 ̇2 = ̇2 − 훼̇2 = 2(풙2) + 2(풙2) 3 − 훼̇2 
 Chọn luật điều khiển ảo cho hệ con thứ hai: 
 2(풙2) − 훼̇2 
 훼2 = − 1 − 2 2 − (1.163) 
 2(풙2)
Ta có thể trong (1.163) không còn chứa 훼1, nên không còn sự bùng nổ toán hạng. Tiếp 
tục 훼2 được đưa qua một bộ lọc bậc nhất: 
 훼2−훼3 
 풯3훼̇3 + 훼3 = 훼2 훼̇3 = (1.164) 
 풯3
trong đó 풯3 là hằng số thời gian bộ lọc, làm tín hiệu đặt 훼3 cho hệ con bậc 3. Sai số 
của bộ lọc là: 
 3 = 훼3 − 훼2 (1.165) 
 Đạo hàm theo thời gian của mặt động thứ nhất có thể được biểu diễn như sau: 
 1( 1)−훼̇ 1 
 1̇ = 1( 1) [( 2 − 훼2 ) + (훼2 − 훼1) + 훼1 + ] 
 1( 1)
 1̇ = 1( 1)[ 2 + 2 − 1 1] 
 (1.166) 
 i−1 if
 Hình 1-7 Sơ đồ cấu trúc hệ thống DSC (nguồn [61]) 
Bước n-1: 
 Mặt động của hệ con thứ (푛 -1) được định nghĩa như sau: 
 푛−1 = 푛−1 − 훼푛−1 (1.167) 
 ̇푛−1 = ̇푛−1 − 훼̇푛−1 = 푛−1(풙푛−1) + 푛−1(풙푛−1) 푛 − 훼̇푛−1 
 Chọn luật điều khiển ảo: 
 푛−1(풙푛−1) − 훼̇푛−1 
 훼푛−1 = − 푛−2 − 푛−1 푛−1 − (1.168) 
 푛−1(풙푛−1)
훼푛−1 được đưa vào bộ lọc bậc nhất: 
 훼푛−1−훼푛 
 풯푛훼̇푛 + 훼푛 = 훼푛−1 훼̇푛 = (1.169) 
 풯푛
trong đó 풯푛 là hằng số thời gian bộ lọc thứ (푛 -1). Sai số của bộ lọc là: 
 n = 훼n − 훼n−1 (1.170) 
Từ đó ta có: 
 32 
 푛̇ −1 = 푛−1(풙푛−1)[( 푛 − 훼푛 ) + (훼푛 − 훼푛−1) + 훼푛−1
 푛−1(풙푛−1) − 훼̇푛−1 
 + (1.171) 
 푛−1(풙푛−1)
Bước 푛: 
 Mặt động thứ 푛 được định nghĩa: 
 푛 = 푛 − 훼푛 (1.172) 
 ̇푛−1 = 푛−1(풙푛−1)[ 푛 + 푛 − 푛−2 − 푛−1 푛−1 ] 
 푛̇ = ̇푛 − 훼̇푛 = 푛(풙푛) + 푛(풙푛) − 훼̇푛 
 푛(풙푛) − 훼̇푛 
 푛̇ = 푛(풙푛) [ + ] (1.173) 
 푛(풙푛)
 Đặt: 
 푛(풙푛) − 훼̇푛 
 = − 푛−1 − 푛 푛 − (1.174) 
 푛(풙푛)
 푛̇ = 푛(풙푛)[− 푛−1 − 푛 푛] (1.175) 
 Như vậy sau 푛 bước, hệ thống (1.156) trở thành hệ thống (1.176) gồm 푛 mặt động: 
 1̇ = 1( 1)[ 2 − 1 1 + 2] 
 ⋮
 𝑖̇ = 𝑖(풙𝑖)[ 𝑖+1 − 𝑖−1 − 𝑖 𝑖 + 𝑖+1] (1.176) 
 ⋮
 { ̇푛 = 푛(풙푛)[ − 푛−1 − 푛 푛] 
trong đó 𝑖 (푖 = 1, . . . , 푛) là thông số thiết kế, có giá trị dương, 풯i+1 (푖 = 1,  , 푛 − 1) là 
hằng số của bộ lọc thứ 푖. 
 Luật điều khiển cuối cùng theo chương trình thiết kế đệ quy 
 푛(풙푛) − 훼̇푛 
 = − 푛−1 − 푛 푛 − (1.177) 
 푛(풙푛)
 Có thể thấy rằng, đạo hàm của các bộ điều khiển ảo có thể được xác định từ đầu vào 
và đầu ra của bộ lọc. Điều này sẽ loại bỏ được “sự bùng nổ toán hạng” trong phương 
pháp backstepping và MSS. Sự ổn định của hệ thống được chứng minh thông qua hàm 
Lyapunov với điều kiện khởi tạo: 
 푛 2 푛−1
 𝑖 2
 (∑ ( ) + ∑ 𝑖+1) ≤ 2휇 (1.178) 
 𝑖(풙𝑖)
 𝑖=1 𝑖=1
trong đó 휇 là một số dương bất kỳ 
 Xét hàm Lyapunov 
 푛 2 푛−1
 1 𝑖 1 2
 = ∑ ( ) + ∑ 𝑖+1 (1.179) 
 2 𝑖(풙𝑖) 2
 𝑖=1 𝑖=1
 Đạo hàm theo thời gian ta có: 
 푛 푛 푛−1
 ̇ 1
 ̇ 𝑖 2
 = ∑ (− 2 𝑖 ) + ∑ ( 𝑖 𝑖̇ ) + ∑ 𝑖+1 ̇𝑖+1 (1.180) 
 2 𝑖
 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖=1
 Xét: 
 33 
 푛 푛−1
 1
∑ ( 𝑖 𝑖̇ ) = ∑( 𝑖[ 𝑖+1 − 𝑖−1 − 𝑖 𝑖 + 𝑖+1]) + 푛[ − 푛−1 − 푛 푛] 
 𝑖
𝑖=1 𝑖=1
 푛−1 푛−1
 2 2
 = ∑(− 𝑖 𝑖 ) − 푛 푛 + ∑ 𝑖 𝑖+1 
 𝑖=1 𝑖=1
 Xét: 
 𝑖+1 = 훼(𝑖+1) − 훼𝑖 
 𝑖+1
 ̇ = 훼̇ − 훼̇ = − − 훼̇ 
 𝑖+1 (𝑖+1) 𝑖 풯 𝑖
 Đặt: 
 2(풙2) − 훼̇2 
 𝑖+1( 1, 2, 𝑖+1, 2,  , 𝑖) = −훼̇𝑖 = ( 1 + 2 2 + ) (1.181) 
 푡 2(풙2)
với 𝑖+1( 1, 2, 𝑖+1, 2,  , 𝑖) là hàm phi tuyến, với điều kiện (1.178) thì 𝑖+1 là bị 
chặn và | 𝑖+1| có giá trị lớn nhất là 𝑖+1 
 ̇ = 훼̇ − 훼̇ = − 𝑖+1 + ( , , , ,  , ) (1.182) 
 𝑖+1 (𝑖+1) 𝑖 풯 𝑖+1 1 2 𝑖+1 2 𝑖
 푛 푛−1 푛−1
 ̇
 ̇ = ∑ (− 𝑖 2) + ∑(− 2) − 2 + ∑ 
 2 2 𝑖 𝑖 𝑖 푛 푛 𝑖 𝑖+1
 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖=1
 푛−1 (1.183) 
 2
 + ∑ (− 𝑖+1 + ) 
 풯 𝑖+1 𝑖+1
 𝑖=1
Từ giả thiết 1 và giả thiết 2 ta có: 
 ̇𝑖 𝑖 
 − 2 ≤ 2 (1.184) 
 2 𝑖 2 𝑖0
 ̇푛 푛 
 − 2 ≤ 2 (1.185) 
 2 푛 2 푛0
Sử dụng bất đẳng thức Young ta có: 
 1
 ≤ 2 + 2 (1.186) 
 𝑖 𝑖+1 𝑖 4 𝑖+1
 2 2 휀
 ≤ | | ≤ | | ≤ 𝑖+1 𝑖+1 + (1.187) 
 𝑖+1 𝑖+1 𝑖+1 𝑖+1 𝑖+1 𝑖+1 2휀 2
trong đó 휀 là hằng số dương tùy ý 
Từ đó ta có: 
 푛 푛−1 푛−1
 1
 ̇ ≤ ∑ ( 𝑖 2) + ∑(− 2) − 2 + ∑ ( 2 + 2 )
 2 2 𝑖 𝑖 𝑖 푛 푛 𝑖 4 𝑖+1
 𝑖=1 𝑖0 𝑖=1 𝑖=1
 푛−1 (1.188) 
 2 2 2 휀
 + ∑ (− 𝑖+1 + 𝑖+1 𝑖+1 + ) 
 풯 2휀 2
 𝑖=1
 34 
 푛−1
 ̇ ≤ ∑ ( 𝑖 2− 2 + 2) + ( 𝑖 2− 2)
 2 2 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 2 2 𝑖 푛 푛
 𝑖=1 𝑖0 𝑖0
 푛−1 (1.189) 
 1 2 2 2 푛 − 1
 + ∑ ( 2 − 𝑖+1 + 𝑖+1 𝑖+1) + 휀 
 4 𝑖+1 풯 2휀 2
 𝑖=1
Chọn: 
 0 𝑖 
 𝑖 = + 1 + 2 (1.190) 
 𝑖0 2 𝑖0
 0 푛 
 푛 = + 1 + 2 (1.191) 
 푛0 2 푛0
 1 1 2
 = + + 𝑖+1 (1.192) 
 풯 0 4 2휀
trong đó 0 là hằng số dương tùy ý. 
 푛 푛−1
 1 푛 − 1
 ̇ 2 2
 ≤ − 0 ∑ ( 𝑖 ) −