Luận án Nghiên cứu xây dựng mô hình quá trình truyền nhiệt bên trong vật nung

cũng như có tính bền vững cao với nhiễu đầu vào dạng 
 xung và nhiễu đo egodic. 
 Như vậy, khác với các bài toán điều khiển lò nung đã và đang được quan tâm, 
là tạo ra nhiệt độ trong lò nung, hay cụ thể hơn là nhiệt độ bề mặt vật nung, đi theo 
quỹ đạo mong muốn, thì ở luận án này, nhiệm vụ chính sẽ là điều khiển trường 
 6 
nhiệt độ tại một vị trí V bất kỳ của vật nung dày trong lò nung. Rõ ràng, khi kết 
hợp thêm với bộ điều khiển nhiệt độ lò nung phía bên ngoài vật nung (hình 1.2), ta 
sẽ được một hệ thống điều khiển vòng kín điều khiển sự phân bố trường nhiệt độ 
của bản thân vật nung nằm trong lò. Hệ thống đó sẽ giúp phần nâng cao được chất 
lượng sản phẩm của quá trình nung. Do đó luận án có ý nghĩa thiết thực trong thực 
tế. 
 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MÔ HÌNH QUÁ TRÌNH TRUYỀN 
 NHIỆT BÊN TRONG VẬT NUNG 
 Luận án xuất phát từ các nghiên cứu về mô hình truyền nhiệt trong vật nung 
bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm. Qua đó, tác giả đề xuất xây dựng 
mô hình truyền nhiệt trong vật nung từ phương trình PDE kết hợp với phương 
pháp tách biến Galerkin và quan hệ mờ để mờ hóa hai tham số c( T ),  ( T ) của 
vật liệu phụ thuộc theo nhiệt độ. Kết quả thu được một mô hình trạng thái song 
tuyến phù hợp với mục đích điều khiển trường nhiệt độ trong vật nung dày. Tiếp 
theo, luận án sẽ tiến hành mô phỏng và so sánh mô hình đề xuất với một số mô 
hình thực nghiệm đã công bố. 
2.1 Tổng quan về mô hình truyền nhiệt trong vật nung 
 Từ các nghiên cứu về các phương pháp lý thuyết mô tả phương trình truyền 
nhiệt trong vật nung và các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng cho mô hình 
lý thuyết PDE và các nghiên cứu về mô hình thực nghiệm chia lớp đẳng nhiệt vật 
nung, luận án đi đến nhận xét: Để có mô hình phù hợp mục tiêu điều khiển, thì cần 
phải giải phương trình PDE. Tuy nhiên việc sử dụng các phương pháp số để giải 
gần đúng và mô hình thực nghiệm chưa đưa ra được mô hình trạng thái đủ đơn 
giản để mô tả trường nhiệt độ bên trong vật nung, nhất là chưa đủ thích hợp để có 
thể xây dựng được bộ điều khiển tối ưu thỏa mãn các điều kiện ràng buộc đặt ra. 
2.2 Xây dựng mô hình truyền nhiệt bên trong vật nung 
 Mục tiêu xây dựng mô hình truyền nhiệt bên trong vật nung tĩnh với chiều dày 
 z Z 2 của luận án là: Kết hợp suy luận mờ và công thức tách biến Galerkin để 
mô hình hóa quá trình truyền nhiệt trong vật nung dày được mô tả bởi phương 
trình PDE: 
 dT( z , t ) 1  T ( z , t ) 
  ()z  (1.47) 
 dt  c() z  z  z 
 3
trong đó [kg m ] là khối lượng riêng của vật nung, c [ J kgK ] nhiệt dung riêng 
của vật nung,  [W mK ] là hệ số dẫn nhiệt của vật nung. Sử dụng phương pháp 
tách biến Galerkin chuyển nghiệm T(,) z t thành tổng tuyến tính của các các hàm 
một biến trên hệ trục tọa độ h1( z ), h 2 ( z ), h 3 ( z ) trong không gian ba chiều [14,16]: 
 7 
 2
 3 2z 2 z 1
T(,)()() z t  hi z x i t với h1() z 1, h 2 () z , h 3 () z (1.48) 
 i 1 ZZ 3
có các hàm ảo gồm x1( t ), x 2 ( t ), x 3 ( t ) độc lập tuyến tính, giữ vai trò như biến trạng 
thái. Các hàm hi ( z ), i 1,2,3 được xem như hệ trục tọa độ biến thiên theo vị trí 
z trong vật nung. 
 Tuy nhiên, khi sử dụng công thức xấp xỉ Galerkin (1.48) cho mô hình (1.47) 
thì ở tài liệu [14-20], mô hình ODE thu được lại xuất hiện các biến tham số trung 
bình i, c i , i 1,2,3 của vật nung, phụ thuộc hi ( z ), i 1,2,3 , thay cho 
c( T ),  ( T ) ban đầu. Chính vì vậy, sau đây NCS sẽ đề xuất phương án sử dụng kỹ 
thuật mờ để xác định c( T ),  ( T ) phụ thuộc vào nhiệt độ, vì T(,) z t là hàm của 
z , thay vì phải xác định i, c i , i 1,2,3 giúp cho nó dễ ứng dụng vào điều khiển 
hơn và hợp lý theo quan điểm về mặt vật liệu học [5,14,..,59]. Phương án đề xuất 
mờ hóa đã được NCS tiến hành mô phỏng và đánh giá ở công trình khoa học số 
[1]. 
 Mô hình Galerkin có thêm khâu quan hệ mờ như mô tả ở hình 2.5, được luận 
án gọi là mô hình Galerkin-mờ, gồm hai thành phần: 
1. Thành phần thứ nhất là một mô hình trạng thái cho bởi [14,15,16]: 
 0 0 0 1 1 
 12 (T ) 1 
 x 0 1 0 x 3 3 u
 2 
 c() T Z c() T Z (1.51) 
 0 0 5 7.5 7.5 
 T
 T( z ) h x h1 , h 2 , h 3 x
 nhờ thay phép tính xấp xỉ Galerkin (1.48) vào mô hình (1.47). 
 T
 Hệ có hai tín hiệu vào u (,) u1 u 2 là các cường độ dòng nhiệt được đưa vào 
 mặt dưới và mặt trên của vật nung theo chiều z . 
2. Thành phần thứ hai là một khâu quan hệ mờ Mamdani để xác định 
 c( T ),  ( T ) từ đầu ra T . Khâu quan hệ mờ Mamdani này có các thành phần 
 chi tiết như sau: 
 Khối mờ hóa cho ở hình 2.6 của tín hiệu đầu vào T có tên gọi các tập mờ 
 lần lượt là Tlj , j 1,2,  ,9 cho ()T và Tci , i 1,2,  ,12 cho 
 c() T , có các tập mờ đầu ra ldj, c i tương ứng đều là hàm singleton: 
 ldj [60 , 57.5 , 47.5 , 37.5 , 30 , 25 , 27 , 28 , 35]
 (1.52) 
 ci [0.4 , 0.5 , 0.5, 0.6 , 0.7 , 1.8 , 1.8 , 0.6 , 1 , 1 , 0.6 , 0.8]
 Luật hợp thành: Nếu T Tlj thì  ldj với j 1,2,  ,9 . (1.53) 
 Nếu T Tci thì c ci với i 1,2,  ,12 . (1.54) 
 Giải mờ theo phương pháp điểm trọng tâm. 
 8 
 Hình 2.6 và hình 2.7 là các hàm liên thuộc biểu diễn giá trị mờ của các biến 
 ngôn ngữ vào, ra gồm T và c( T ),  ( T ) cho mô hình trạng thái (1.51) tương 
 ứng với vật nung có các tham số vật lý lấy từ tài liệu [14,16]. Hình 2.8 là đồ thị 
 quan hệ vào ra của khối quan hệ mờ này và đó cũng là đồ thị biểu diễn hai hàm 
 c( T ),  ( T ) phụ thuộc nhiệt độ trong vật nung. 
 Hình 2.5: Cấu trúc mô hình Galerkin-Mờ 
 Hình 2.6: Mờ hóa tín hiệu vào 
 Hình 2.7: Mờ hóa tín hiệu ra 
 Hình 2.8: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của (T ), c ( T ) vào nhiệt độ thể hiện qua khâu 
 quan hệ mờ. 
 Về mặt kim loại học, sự biến đổi lớn của các hệ số (T ), c ( T ) xảy ra trong 
vùng nhiệt độ từ 800 1200[K ] thể hiện trên hình 2.8 đã phản ánh đúng bản chất 
vật lý của quá trình biến đổi cấu trúc vật liệu nung theo nhiệt độ, tức là do sự thay 
 9 
đổi về cấu trúc vật liệu thép các bon từ trạng thái ferrit sang trạng thái austenit 
trong quá trình luyện thép [5,12,..,17]. 
2.3 Đánh giá chất lượng mô hình Galerkin-Mờ mô tả trường nhiệt độ 
 trong vật nung dày 
 Luận án đánh giá chất lượng mô hình Galerkin-Mờ đề xuất được thực hiện 
trên cơ sở so sánh với những mô hình thực nghiệm đã được kiểm chứng qua thực 
tế. Đó là những mô hình đã được trình bày ở mục 2.1.3 và 2.3.4 trong quyển luận 
án gồm: mô hình đẳng nhiệt dạng lưới sai phân, mô hình đẳng nhiệt cân bằng 
năng lượng và mô hình vật lý được xây dựng bởi Simscape của Matlab. 
 Mô phỏng cho vật nung dày là thép tấm (0,1%C) có chiều dày 0,5 [m], khối 
lượng riêng 7000[kg / m3 ], hệ số bức xạ của phần tường lò bao quanh vật 
nung w 0,7 và w 0,7 . Vật nung được gia nhiệt với nguồn nhiệt bức xạ có 
nhiệt độ Tw ( t ) 1600 K và Tw ( t ) 300 K . Giả thiết nhiệt độ ban đầu trong toàn 
bộ vật nung là 300K . Các kết quả mô phỏng so sánh mô hình Galerkin-Mờ và 
các mô hình thể hiện ở các hình 2.9 ÷2.15. 
 Hình 2.9: So sánh nhiệt độ tâm vật Hình 2.10: So sánh phân bố trường 
 nung khi sử dụng các mô hình khác nhiệt độ của mô hình Galerkin-Mờ và 
 nhau. mô hình lưới sai phân. 
 Từ các mô hình và kết quả mô phỏng trên hình 2.9 đến hình 2.15 ta nhận thấy, 
nhiệt độ tại lớp vật nung tùy ý có thể được tính toán và thể hiện bởi các mô hình 
đã đề xuất. Tuy nhiên với các phương pháp xây dựng mô hình thực nghiệm ta phải 
tính toán lại nếu muốn chia số lớp vật nung ít hơn hay nhiều hơn, còn với mô hình 
Galerkin-Mờ ta chỉ cần thay đổi giá trị của biến z trong T() z và (1.48) thể hiện 
khả năng biểu diễn đơn giản nhiệt độ tại điểm bất kỳ bên trong vật nung của mô 
hình Galerkin-Mờ. Bên cạnh đó, đồ thị phân bố nhiệt độ tâm vật nung thu được 
của các mô hình cũng đã phản ánh đúng logic bản chất vật lý của vật nung dầy, 
nhiệt độ tại các vị trí không gian xa nguồn nhiệt ngày càng nhỏ dần, chênh lệch về 
 10 
nhiệt độ giữa mặt trên và mặt dưới của vật nung giảm dần theo thời gian và có xu 
hướng ổn định khi giữ tác động đầu vào là cường độ dòng nhiệt không thay đổi. 
Nhiệt độ tâm vật nung thể hiện rõ tính phi tuyến khi phụ thuộc vào các tham số 
nhiệt vật lý (T ), c ( T ) của vật liệu, mặc dù có sự sai khác như ở hình 2.15 do 
nguyên nhân trong mô hình Galerkin-Mờ thì các thông số nhiệt vật lý của vật 
nung như hệ số dẫn nhiệt và nhiệt dung riêng (T ), c ( T ) phụ thuộc vào nhiệt độ 
như ở hình 2.8, còn khi xây dựng mô hình vật lý từ Simscape thì các đại lượng 
trên là hằng số được tra từ tài liệu tham khảo [5]. 
 Hình 2.13: Khối vật nung được xây Hình 2.15: Khảo sát nhiệt độ vật nung 
 dựng với Toolbox Simscape. của mô hình vật lý Simscape và mô hình 
 Galerkin-Mờ đề xuất. 
 Để khắc phục được sai số giữa mô hình lò nung xây dựng với Simscape và 
mô hình Galerkin-Mờ đề xuất, ta cần xây dựng mô hình vật lý của vật nung có 
tham số phụ thuộc nhiệt độ hoặc phải hiệu chỉnh công cụ mờ trong việc xây dựng 
mối liên hệ phụ thuộc của (T ), c ( T ) vào nhiệt độ. Nói cách khác, việc xác định 
các tham số nhiệt vật lý của vật liệu kim loại còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác, 
đây cũng là một lĩnh vực rất khó đang được các nhà nghiên cứu tập trung tìm hiểu 
trong thời gian gần đây [38,49,51]. Do đó, luận án sẽ hướng tới giải pháp bổ sung 
thêm cho bộ điều khiển đã giới thiệu ở hình 1.2 có khả năng bù được sai lệch này 
thay vì chỉnh định thích nghi cơ cấu mờ. 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 
 Như vậy nội dung chương 2 đã trình bày đóng góp chính thứ nhất của luận án 
đó là: 
1. Xây dựng được khâu chỉnh định mờ hai tham số c( T ),  ( T ) thay vì phải xác 
 định giá trị trung bình c ,  trong không gian của vật nung. Điều này cho phép 
 khi kết hợp cùng với mô hình tách biến Galerkin ta sẽ có ngay được một mô 
 hình toán tường minh, mà luận án đặt tên gọi là mô hình Galerkin-Mờ, dưới 
 dạng vòng kín (hình 2.5), khá tiện lợi cho công việc xây dựng bộ điều khiển 
 sau này. 
 11 
 Cấu trúc khâu quan hệ mờ bổ sung vào mô hình tách biến Galerkin đã được 
 thiết kế dựa trên đặc tính vật liệu nung lấy từ ở tài liệu [14,16,17]. Đối với các 
 vật liệu nung có chất liệu vật lý khác, một cách tương tự ta có thể thiết kế được 
 bộ quan hệ mờ tương ứng dựa vào tham số đặc tính vật lý truyền nhiệt của vật 
 nung đó. 
2. Đã tiến hành mô phỏng đánh giá chất lượng mô hình Galerkin-Mờ trên cơ sở 
 so sánh với một số mô hình thực nghiệm và mô hình vật lý Simscape. Các kết 
 quả ở các hình 2.9, hình 2.11, hình 2.15 và hình 2.16, đều đi tới chung một 
 khẳng định về ưu điểm của mô hình Galerkin-Mờ đề xuất này. 
 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN QUÁ TRÌNH NUNG VỚI BỘ 
 ĐIỀU KHIỂN LQR CÓ RÀNG BUỘC TRƯỢT DỌC TRÊN 
 TRỤC THỜI GIAN 
 Từ mô hình Galerkin-Mờ có dạng song tuyến được đề xuất ở chương 2. Tác 
giả đã ứng dụng thuật toán mô hình nội với bộ điều khiển vòng ngoài theo nguyên 
lý tối ưu trượt dọc trục thời gian để điều khiển trường nhiệt độ trong vật nung bám 
theo quỹ đạo đặt cho trước. Thuật toán đề xuất có xét đến ảnh hưởng của nhiễu 
đầu vào dạng xung, nhiễu đầu ra của mô hình và có khả năng thỏa mãn điều kiện 
ràng buộc của hệ thống. Mô phỏng kiểm chứng chất lượng hệ thống điều khiển 
với bộ điều khiển đề xuất trên mô hình vật lý được xây dựng bởi Toolbox 
Simscape của Matlab. 
3.1 Tổng quan về các phương pháp điều khiển 
 Các phương pháp điều khiển hiện nay đều tập trung vào điều khiển nhiệt độ 
bề mặt vật nung theo một quỹ đạo cho trước, tức là cung cấp cho phương trình 
truyền nhiệt (1.47) giá trị biên T(,) S t . Các phương pháp này được chia thành hai 
loại chính là điều khiển hở và điều khiển vòng kín. Đặc điểm chung của nhóm 
phương pháp vòng kín, với ưu điểm hơn hẳn sơ đồ điều khiển hở, là khi được triển 
khai thực tế chúng đều có dạng nối tầng (cascade) và ứng dụng được khi các quỹ 
đạo đặt nhiệt độ vật nung biến đổi liên tục theo thời gian. Nguyên lý làm việc của 
nhóm phương pháp này là căn cứ theo sai lệch tín hiệu nhiệt độ có thực của vật 
nung so với nhiệt độ đặt mong muốn để hiệu chỉnh lại năng lượng cung cấp cho 
vật nung. Cấu trúc điều khiển lò nung là hở hay kín thì chúng cũng đều có điểm 
chung trên cơ sở phân lớp vật nung với quỹ đạo tham chiếu đặt trước của nhiệt độ 
các vật nung có thể được tính trực tuyến (online) hoặc định trước và lưu trữ như 
trong các công bố [27,28,39]. 
3.2 Đề xuất cấu trúc điều khiển 
 Luận án đề xuất về cấu trúc và phương pháp điều khiển có thể thích ứng được 
với mô hình truyền nhiệt trong vật nung dưới dạng phương trình PDE, nhằm điều 
khiển trường nhiệt độ bên trong vật nung T(,) V t thay vì thay đổi nhiệt độ bề mặt 
vật nung T(,) S t . Cấu trúc hệ thống điều khiển đề xuất như hình 3.2 
 12 
 Hình 3.2: Đề xuất sử dụng cấu trúc điều khiển mô hình nội để điều khiển quá trình truyền 
 nhiệt trong vật nung dày. 
 Sau khi phân tích và khẳng định được tính điều khiển được của cấu trúc mô 
hình nội đề xuất và phương pháp quan sát trạng thái cho mô hình đó dựa trên các 
công cụ giải tích. Luận án trình bày giải pháp của NCS để hiện thực hóa cấu trúc 
điều khiển. Cụ thể, luận án đề xuất bộ điều khiển đảm bảo chất lượng bám theo 
giá trị đặt mong muốn cho hệ song tuyến có tham số mô hình bất định, để từ đó có 
thể áp dụng điều khiển được trường nhiệt độ trong vật nung đi theo quỹ đạo mong 
muốn. 
3.2.1 Tư tưởng thiết kế bộ điều khiển 
 Luận án sẽ sử dụng mô hình Galerkin-Mờ một đầu vào (1.55) để xây dựng bộ 
điều khiển lò-vật nung. Để đảm bảo được chất lượng điều khiển một cách bền 
vững với sai lệch mô hình, luận án sẽ định hướng thiết kế bộ điều khiển trên nền 
tối ưu hóa, theo nghĩa sẽ cực tiểu hóa tổng bình phương sai lệch bám tín hiệu đặt. 
Định hướng này sẽ góp phần đảm bảo được tính bền vững của hệ thống, vì trong 
sai lệch đầu ra đó có chứa luôn cả thành phần sai lệch mô hình. Bộ điều khiển cực 
tiểu hóa sai lệch đầu ra được sử dụng ở đây là bộ điều khiển LQR. Việc tuyến tính 
hóa mô hình (1.55) xung quanh điểm thời gian hiện tại tk nên mô hình tuyến tính 
thu được sẽ phụ thuộc tk . Do đó, bộ điều khiển LQR tổng hợp được cũng phụ 
thuộc tk . Bởi vậy luận án đặt tên gọi cho bộ điều khiển tối ưu này là bộ điều khiển 
LQR có tham số biến đổi trượt dọc trên trục thời gian. Tư tưởng thiết kế bộ điều 
khiển LQR ở trên không phải là đề xuất của NCS. Nó đã được trình bày trong các 
tài liệu [3,4,..,54], và đã được cài đặt để điều khiển nhiều đối tượng phi tuyến công 
nghiệp khác nhau [52,55,56]. 
 Đóng góp của luận án ở đây là đã cài đặt được tư tưởng thiết kế đã có này 
cho đối tượng cụ thể là vật nung với mở rộng là tính bất định tham số của mô hình 
Galerkin-Mờ (1.55), và điều khiển quá trình phân bố trường nhiệt độ trong vật 
nung. Ngoài ra, trên cơ sở phần chứng minh đã có từ tài liệu [52] và công bố [2] 
của tác giả sau khi bổ sung thêm giả thiết, luận án cũng đã chứng minh được tính 
bám ổn định tiệm cận của bộ điều khiển thu được này. Các kết quả đó đã được 
NCS công bố một phần ở công trình khoa học số [2]. 
 13 
 Hình 3.4: Minh họa nguyên lý thiết kế bộ điều khiển LQR có tham số biến đổi trượt dọc 
 trên trục thời gian. 
 Mô hình Galerkin-Mờ một đầu vào (1.55) là trường hợp riêng của các mô 
hình song tuyến có tham số phụ thuộc trạng thái và tín hiệu ra như sau: 
 x A(,)(,) x y x B x y u
 (2.26) 
 y C() x x
 T T
trong đó: x x1,  , xn là vector các biến trạng thái, u u1,  , um là 
 T
vector các tín hiệu điều khiển và y y1,  , yr là vector các tín hiệu đầu ra 
của hệ. Các ma trận A( x , y ), B ( x , y ) và C() x của mô hình (2.26) được giả thiết là 
những hàm liên tục theo đối số của chúng. Giả thiết tiếp là tại thời điểm hiện tại 
tk (hình 3.4), tất cả các biến trạng thái x() tk , đầu ra của hệ y() tk là đo được, khi 
đó, từ tính liên tục của A( x , y ), B ( x , y ) và C() x thì trong khoảng thời gian rất nhỏ 
sau đó [,)tk t k 1 với tk 1 t k  k và k 0 là một hằng số dương đủ nhỏ, mô hình 
song tuyến (2.26) sẽ xấp xỉ được bởi mô hình LTI: 
 x Ak x B k u
 Hk : , tk t t k 1 t k  k (2.27) 
 y Ck x
với Ak Axtyt (),(), k k B k Bxtyt (),(), k k C k Cxt () k (2.28) 
 Mô hình LTI Hk (2.27) sẽ được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển LQR k 
để điều khiển đối tượng (2.26) trong khoảng thời gian tk 1 t t k 2 . Bộ điều 
khiển k này được thiết kế với mục đích làm cho đầu ra y của hệ LTI Hk bám 
theo được giá trị đặt hằng số wk w() tk khit . Ở khoảng thời gian tiếp theo 
là [,)tk 1 t k 2 ta sẽ lại có bộ điều khiển LQR kế tiếp là k 1 để điều khiển đối 
tượng song tuyến (2.26) trong khoảng thời gian [,)tk 2 t k 3 . Như vậy bộ điều 
khiển cuối cùng thu được trên cơ sở hợp nhất: 
  k khi t [ tk 1 , t k 2 ), k 0,1,  (2.29) 
 14 
cũng sẽ vẫn là bộ điều khiển LQR, song có tham số thay đổi theo từng khoảng 
thời gian [,)tk 1 t k 2 , nên được gọi là bộ điều khiển LQR có tham số biến đổi dọc 
trục thời gian, hay bộ điều khiển LQR không dừng. 
3.2.2 Ước lượng nhiễu và các thành phần bất định 
 Luận án phát triển nguyên lý thiết kế bộ điều khiển LQR có tham số biến đổi 
theo thời gian, để áp dụng được khi hệ song tuyến có nhiễu v, d ( t ), n ( t ) tác động 
và có thêm thành phần bất định tham số mô hình , cụ thể: 
  
 x Axy( , ) AB xBxy ( , ) ( udt ( )) vt ( )
 (2.30) 
 y  C( x ) C  x n ( t ).
Mô hình (2.30) được viết lại: 
 x A(,)(,)() x y x B x y u  t
 y C()() x x  t
với (t ) AB x ( u d ( t )) v ( t ) và  ()()t C x n t là những đại lượng 
không xác định được của mô hình. Giả thiết hai đại lượng này là liên tục và biến 
đổi không nhanh theo thời gian thì ta có thể xấp xỉ được chúng tại thời điểm tk 
thông qua các giá trị đã có trước đó của hệ thống, gồm x, u , y : 
 k 1 k 1 k 1
  ()()(,)(,)t xt Axyx Bxyu
 k k k k 1k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
 (2.31) 
   ()()t y C x x
 k k k k k
trong đó x() tk được ước lượng bởi 
 x()() tk xk x k 1  k 1 (2.32) 
và trạng thái x() t không lẫn nhiễu cũng được giả thiết là đo được. 
 Như vậy, trên toàn bộ trục thời gian, mô hình song tuyến bất định (2.30) là 
xấp xỉ được bởi vô số (đếm được) các mô hình tuyến tính tiền định 
 /
Hk , k 0,1,  có dạng: 
 x A x B u 
 / k k k
 Hk : có tk t t k 1 t k  k . (2.34) 
 y C x 
 k k
Từng mô hình LTI H / với ,  được ước lượng theo (2.31), sẽ được luận án sử 
 k k k
dụng để thiết kế bộ điều khiển LQR k thay vì mô hình LTI ban đầu là Hk . Đây 
cũng là một đóng góp của luận án theo hướng mở rộng phương pháp thiết kế đã có 
trong các tài liệu [4,8,..,56], sao cho bộ điều khiển LQR thu được còn áp dụng 
được cho cả những hệ song tuyến có tham số bất định như mô hình (2.30). 
3.2.3 Thiết kế bộ điều khiển LQR có tham số biến đổi theo thời gian 
 15 
 Nhiệm vụ của bộ điều khiển  với cấu trúc cho ở công thức (2.29), mà ta 
cần thiết kế, là phải làm cho đầu ra của hệ bất định tham số, có nhiễu tác động, mô 
tả ở (2.30), bám tiệm cận theo được quỹ đạo đặt w() t cho trước. Ta chuyển bài 
 /
toán điều khiển bám tiệm cận y()() t w tk cho hệ Hk thành bài toán điều khiển 
 /
ổn định. Do đó, cần xác định được những trạng thái xác lập của hệ Hk khi đã bám 
theo được giá trị đặt wk w() tk là hằng số. 
 /
 Ký hiệu những giá trị xác lập của hệ Hk là xs [] k và us [] k thì ta có: 
 0 Ak x s [ k ] B k us [ k ] k
 w C x[]. k 
 k k s k
vì wk là hằng số trong toàn bộ khoảng thời gian điều khiển tk t của k . 
Suy ra: 
 k ABABk k xs[][] k x s k k k 
 FFk , k (2.35) 
 w  CCu[][] k u k 
 k k k s s k 
 
 xs [] k 1 k 
 Fk , khi Fk khả nghịch. (2.36) 
 u[] k w  
 s k k 
 /
 Vậy khi đã có các trạng thái xác lập của hệ Hk mô tả bởi (2.34) thì với ký 
hiệu:  ()()[]t x t x k và ()()[]t u t u k bài toán điều khiển bám cho hệ 
 k s k s
 /
Hk được chuyển thành bài toán điều khiển ổn định hệ: 
  AB  . (2.37) 
 kk k k k
Để điều khiển ổn định hệ (2.37) sao cho có thêm được chất lượng bền vững với 
sai lệch mô hình, ta sẽ dùng một tiêu chuẩn tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu được luận án 
sử dụng là tích phân bình phương của hai quỹ đạo (t ), ( t ) trong toàn bộ 
 k k
khoảng thời gian còn lại [,]tk với hai ma trận đối xứng xác định dương QRk, k 
tùy chọn. 
 TT
 J  Q  R dt min (2.38) 
 k k k k k