Luận án Nghiên cứu xây dựng phương pháp điều khiển thích nghi, bền vững hệ Euler - Lagrange thiếu cơ cấu chấp hành và áp dụng cho cẩu treo

ố các lớp hệ này là hệ cẩu treo là hệ có hệ con (2.20) tự ổn định với mọi tham 
số .Đây cũng là hệ được luận án chọn làm đối tượng điều khiển để minh họa các 
kết quả của mình. Thực tế, tùy đặc thù của từng hệ thống sẽ lựa chọn được phù 
hợp chứ cũng không nhất thiết phải xác định trong trường hợp tổng quát. 
 48 
CHƢƠNG 3 ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ 
 CẨU TREO 3D 
 Cẩu treo là một hệ EL thiếu cơ cấu chấp hành thỏa mãn điều kiện cân bằng 
của thành phần hệ con trong chế độ không kích thích đã được nêu tại mục 1.1.2 
(định lý 1 của Isidori [36]). Cũng chính vì những lý do trên mà luận án đã sử dụng 
cẩu treo làm đối tượng minh họa cho việc áp dụng các phương pháp điều khiển 
được luận án đề xuất ở chương 2. 
3.1 Mô hình hoá hệ cẩu treo 
3.1.1 Cấu trúc vật lý hệ cẩu treo 
 Xét hệ cẩu treo 3D ở hình 3.1, gồm xe cẩu (cart) với khối lượng chạy trên 
một xà đỡ nằm ngang có khối lượng . Trọng tải (payload) được nối với xe cẩu ở 
 m
đầuc dây cáp có khối lượng . Dưới xe đẩy có một tời quay tạo thành lực chỉnh 
 m
độ rdài của sợi dây cáp buộc tải trọng. Lực đẩy lần lượt cho xe cẩu chạy 
 m
dọc trên xà đỡ và cho xà đỡ cùng xe cẩu di chuyển theo trục được lấy từ động 
 u
cơ l như một cơ cấu chấp hành. Dưới tác động của lực quán tính trong quá trình 
chuyểnl động, trọng tải sẽ dao động. Dao động đó được biểu diễn bằng góc 
lần lượt là góc giữa dây buộc trọng tải với mặt phẳng và và góc giữa hình chiếu 
 uuyx, ox
của dây buộc lên mặt phẳng với mặt phẳng . 
 z 
 yx, xoz y 
 0 xoz yoz
 Xe đẩy 
 x 
 x l 
 y 
 Tải 
 Hình 3.1. Cấu trúc vật lý hệ cẩu treo 3D 
 49 
3.1.2 Mô hình EL hệ cẩu treo 3D 
 Để tiến hành xây dựng mô hình toán học của hệ cẩu treo 3D, dựa trên các tài 
liệu [5,6,16,18,22,37,38,74], ta cần đặt ra các giả thiết sau để đơn giản hóa mô hình: 
 Khối lượng dây buộc hàng là bỏ qua được. 
 Các khối lượng thành phần mc của xe cẩu, mr của xà đỡ là đã biết. 
 Khối lượng của trọng tải m tập trung tại tâm của hàng. 
 Theo hình 3.1, vector vị trí của xà đỡ, xe cẩu và tải trọng được xác đinh bởi: 
 rr x,0,0, r c (,,0), x y r p ( x m , y m , z m ) (3.1) 
 Tọa độ của tải phụ thuộc vào 5 thành phần, như vậy hệ cẩu treo có biến khớp 
gồm 5 thành phần sau: 
 q (,,,,) x y l T
 xy 
trong đó x và y là tọa độ của xe cẩu theo trục ox và oy và 
 xm x l sin x cos y
 ymy y l sin 
 zlm cos x cos y
 Tọa độ của tải phụ thuộc vào 5 thành phần, như vậy động năng và thế năng hệ 
cẩu treo ở trên được tính: 
 EEEE rail cart payload
 VV payload
trong đó: 
 12 1 2 1 2
 Erail m r r r, E cart m c r c , E payload mr p
 2 2 2 
 Vpayload mgl cos x cos y
 Từ đó, tổng động năng và thế năng của hệ thu được: 
 12 1 2 1 2 2 2
 E ()() mr m c x m c y m x m y m z m
 2 2 2 
 V mgl cos xy cos
Đặt Mx m r m c và Mmyc suy ra hệ có hàm Lagrange: 
 LEV 
 1 1 1 
 L Mx2 My 2 mx( 2 y 2 z 2 ) mgl cos cos
 2x 2 y 2 m m m x y
 50 
 Áp dụng công thức động lực học Euler-Lagrange: 
 TT
 d L(,)(,) q q L q q 
 u (3.2) 
 dt  q q 
trong đó L  q,  L  q là đạo hàm Jacobi của hàm nhiều biến và u là vector lực 
tổng quát. Từ đây ta thu được các phương trình: 
 (Mx m ) x D x x ml cos x cos y x ml sin x sin y y
 mlsin x cos y l 2 m cos x cos y l x 2 m sin x sin y l y (3.3) 
 22
 mlsin xyx cos 2 ml cos xyxy sin ml sin xyyx cos u
 (MmyDymly ) cos y y m sin y lml 2 cos y l y
 (3.4) 
 2
 musin y y y
 2 2 2
 msin x cos y xm sin y ymlDlml l cos y x ml y
 (3.5) 
 mgcos x cos y u l
 2
 lcos y x cos x cos y x g sin x cos y 2 l sin x cos y x y
 (3.6) 
 2
 2cos yxl 0
 2
 l y cos y y g cos x sin y 2 l y l cos y sin y x
 (3.7) 
 sin xy sinx 0
với: - Mx (kg) là thành phần khối lượng của hệ di chuyển theo trục Ox . 
 My (kg) là thành phần khối lượng của hệ di chuyển theo trục Oy . 
 m(kg) là khối lượng của tải trọng. 
 l(m) là chiều dài của dây kéo tải trọng. 
 DDDx, y , l là các hệ số ma sát nhớt. 
 ux, u y , u l là các lực điều khiển tác động lên hệ cẩu treo. 
 Từ các phương trình (3.3)-(3.7) ta có được mô hình EL của hệ cẩu treo 3D với 
cấu trúc chung như sau: 
 Mqq()(,)() Bq Cqqq gq Gu (3.8) 
trong đó: 
 T
 q (,,,,) x y l xy là vector các biến khớp. 
 T
 u (,,) ux u y u l là vector lực tác động vào hệ (tín hiệu đầu vào). 
 51 
 m110 m 13 m 14 m 15
 00m m m
 22 23 25
 Mq() m31 m 32 m 33 00 là ma trận quán tính. 
 mm0 0 0
 41 44
 m51 m 5200 m 55
 Dx 0 0 0 0
 0D 0 0 0
 y
 BD 0 0l 0 0 là ma trận hệ số ma sát nhớt. 
 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0
 00c13 c 14 c 15
 0 0cc 0
 23 25
 C(,) q q 0 0 0 cc34 35 là ma trận lực Coriolis và lực hướng tâm. 
 00c c c
 43 44 45
 00c53 c 54 c 55
 T
 g( q ) 0,0, g345 , g , g là vector trọng lực. 
 1 0 0
 0 1 0
 G 0 0 1 
 000
 000
 m11 Mx m, m 13 m 31 m sin x cos y
 m14 m 41 mlsin x cos y , m 15 m 51 ml sin x sin y
 2 2 2
 m22 Mmmmmyy , 33 , 44 ml cos , mml 55 
 m32 m 23 msin yy , m 25 m 52 ml cos
 c13 mcos x cos y x m sin x sin y y
 c14 mcos x cos y l ml cos x sin y  y ml sin x cos y x
và: (3.9) 
 c15 mlcos x sin y x m sin x sin y l ml sin x cos y y
 c23 mcos y y , c 25 m cos y l ml sin y y
 22
 c34 mlcos y x , c 35 ml y , c 43 ml cos y x
 2 2 2
 c44 mlcos y l ml cos y sin y y , c 45 ml cos ysin y x
 2
 c53 ml y, c 54 ml cos y sin y x , c 55 mll
 g3 mgcos x cos y , g 4 mgl sin x cos y , g 5 mgl cos x sin y
 52 
 Ta có thể thấy được là mô hình này thỏa mãn các tính chất đã nêu trên của hệ 
Euler-Lagrange, chẳng hạn như tính đối xứng xác định dương của Mq() và tính 
chất phản đối xứng (1.10). 
 Dựa vào mô hình thu được, ta thấy: 
1) Hệ mang đặc điểm hụt cơ cấu chấp hành khi các góc lệch xy, không được 
 điều khiển một cách trực tiếp mà phải điều khiển gián tiếp thông qua các thành 
 phần lực ux, u y , u l . 
2) Hệ phương trình mô tả hệ cẩu treo 3D là hệ phi tuyến có tính liên kết cao. Hai 
 điều này đã tạo ra nhiều khó khăn trong việc thiết kế bộ điều khiển cho hệ cẩu 
 treo 3D đòi hỏi cần có những phương pháp phù hợp để giải quyết chúng. 
 Cũng từ mô hình tổng quát (3.8) này của cẩu treo 3D mà ta có thể dễ dàng suy 
ra được mô hình tương tự cho cẩu treo 2D. 
3.1.3 Mô hình EL hệ cẩu treo 3D hai đầu vào 
 Mô hình cẩu treo 3D với hai đầu vào là mô hình được sử dụng nhiều trong quá 
trình khảo sát từng phần chất lượng động học đạt được của bộ điều khiển. Trong 
trường hợp hệ cẩu treo có độ dài dây buộc hàng l là không đổi thì mô hình 3D 3 
đầu vào sẽ trở thành mô hình 3D 2 đầu vào. 
 Như vậy, ở mô hình 3D hệ chỉ còn hai tín hiệu vào là ut1() và ut2(). Xe cẩu 
với khối lượng mc sẽ di chuyển theo cả hai chiều x và y trực giao nhau trong mặt 
phẳng nằm ngang. Sự di chuyển đó được tạo ra bởi lực đẩy theo phương x và 
ut2() theo phương y độc lập với nhau (hình 3.2). Hai lực đẩy này chính là hai tín 
hiệu đầu vào của hệ. Xe cẩu di chuyển theo phương x trên một thành xà đỡ có khối 
lượng mx . Như vậy, toàn bộ khối lượng được dịch chuyển dọc theo trục y sẽ bao 
gồm mc của xe cẩu, mx của xà đỡ và mh của hàng được vận chuyển. Với việc xem 
utl ( ) 0 tham số mô hình cẩu treo 3D (3.8) được rút gọn lại thành: 
 Vector tín hiệu vào u chỉ còn 2 phần tử uu12, . 
 Vector biến khớp q chỉ còn 4 phần tử xy, , xy , . 
 Ma trận Mq() và C(,) q q là 44 
 53 
còn lại cấu trúc (3.8) của nó là hoàn toàn được giữ nguyên. Lúc này ta sẽ có hàm 
động năng E và thế năng V của hệ như sau: 
 1 1 1
 E ()()() mmx 2 mmmy 2 mlJ 2 2 
 2c h 2 c h x 2 h x
 1
 (m l2 sin 2 J ) 2 m lx cos cos m lx sin sin 
 2 h x h x x h x
 mh ly x cos x sin m h ly sin x cos 
 V gmh l z gm h l cos x 
tức là hệ có hàm Lagrange LEV : 
 1 1 1
 L ()()() mmx 2 mmmy 2 mlJ 2 2
 2c h 2 c h x 2 h x
 1
 (m l2 sin 2 J ) 2 m lx cos cos 
 2 h x h x x
 mh lx sin x sin m h ly x cos x sin 
 mh ly sin x cos gm h l cos x 
 u 
 2 m c 
 u1 x 
 mx 
 y 
 x 
 z l 
 x 
 mh 
 Hình 3.2. Cấu trúc hệ cẩu treo 3D 2 đầu vào 
 Thay hàm Lagrange trên vào phương trình (3.2) ta có mô hình EL của cẩu treo 
2D như sau: 
 T
 MqqCqqq() (,) gq () (, uu12 ,0,0) (3.10) 
trong đó: 
 54 
 mc m h0 m h l cos x cos y
 0mc m h m x m h l cos x sin y
 Mq() 
 m lcos cos m l cos sin m l2 J
 h x y h x y h
 mh lsin x sin y m h l sin x cos y 0
 (3.11) 
 mlhsin x sin y 
 mlsin cos 
 hxy 
 0 
 22 
 mhx lsin J 
 0
 0
 gq() (3.12) 
 mhx gl sin 
 0
 0 0 mh l x sin x cos y m h l y cos x sin y
 0 0 mh l x sin x sin y m h l y cos x cos y
 C(,) q q 
 0 0 0
 2
 0 0mlh y sin x cos x
 (3.13) 
 mh l xcos x sin y m h l sin x cos y 
 mh l xcos x cos y m h l sin xy sin
 ml2 sin cos 
 h y x x 
 2 
 mlh xsin x cos x 
3.2 Điều khiển thích nghi ISS 
3.2.1 Bộ điều khiển thích nghi ISS cho hệ cẩu treo 
 Như đã đề cập ở đầu chương, mặc dù đã xuất hiện từ khá lâu và được dùng rất 
nhiều trong công nghiệp [70], song vấn đề điều khiển cần cẩu treo, cải tiến chất 
lượng vận chuyển, bốc dỡ hàng, định hướng nhanh, an toàn và chính xác, tiết kiệm 
năng lượng, vẫn là bài toán thời sự, kể cho tới cả ngày hôm nay. Ở [35] tác giả đã 
đề xuất một chiến lược điều khiển phản hồi trạng thái để nhấc, ổn định, và phân 
phối phụ tải. Hai bộ điều khiển độc lập được sử dụng: một bộ điều khiển (thực hiện 
thay đổi hệ số khuếch đại với sự thay đổi chiều dài cáp) để điều khiển vị trí xe tời 
và sự dao động phụ tải và bộ kia để điều khiển vị trí nâng phụ tải. Thuật toán được 
kiểm tra trên một mô hình thu nhỏ đã chứng minh sự bám tốt của vị trí cần trục và 
chiều dài cáp, không có các dao động dư, và làm giảm tốt các nhiễu bên ngoài đối 
với vị trí của xe tời và góc dao động phụ tải. Tuy nhiên vẫn còn tồn tại những dao 
 55 
động tức thời với góc là 12o. Một bộ điều khiển trong [41,42] các tác giả đã sử dụng 
các mạng neural để nâng cao hiệu suất của một bộ điều khiển phản hồi trạng thái 
đồng thời hiệu chỉnh hiệu suất trực tuyến theo sự thay đổi của chiều dài cáp. Kỹ 
thuật mờ cũng được các tác giả sử dụng để thiết kế bộ điều khiển mờ điều khiển vị 
trí của xe tời và góc dao động để loại bỏ các dao động dư. Các thí nghiệm kiểm tra 
đã chỉ ra rằng bộ điều khiển mờ và neural làm cho xe tời di chuyển tới điểm mục 
tiêu một cách trơn tru không có dao động dư; tuy nhiên, có thể thấy rằng nó đạt tới 
điểm mục tiêu rất chậm. 
 Trong mục này, bộ điều khiển thích nghi bền vững ISS đã được luận án đề 
xuất ở chương trước sẽ được áp dụng để điều khiển cho hệ thống cẩu treo 3D. Bằng 
cách sử dụng bộ điều khiển này không những đảm bảo được sự bám quỹ đạo cho 
các chuyển động của cẩu treo mà còn đảm bảo góc lắc của dây cáp theo các phương 
tiến dần về không. Không những thế, bộ điều khiển ISS đề xuất trong phần này còn 
đảm bảo rằng hệ thống vẫn cho đáp ứng tốt khi có ảnh hưởng của nhiễu bên ngoài 
và cả khi có sự bất định trong tham số mô hình. Hiệu quả của bộ điều khiển được 
chứng minh thông qua các kết quả mô phỏng thực hiện trên Matlab/Simulink. 
 Hệ thống cẩu treo 3D (3.10), so với mô hình chuẩn (2.1) để áp dụng phương 
pháp thích nghi ISS do luận án đề xuất ở định lý 1, mà cụ thể là với bộ điều khiển 
được giới thiệu tại các công thức (2.6), (2.9) có các tham số như sau: 
 I TT
 G 3 , q x , y , z , , , u u , u , u 
  x y x y l 
 q T
 q 1 , q x , y , l T và q , 
 q 1 2 xy 
 2
3.2.2 Kết quả mô phỏng 
 Do đặc trưng của đối tượng cẩu treo gần như không thay đổi tốc độ di chuyển 
và trọng lượng phụ tải nên tác giả đã đưa ra kết quả mô phỏng trong 1 chu trình hoạt 
động. Chất lượng của bộ điều khiển thích nghi bền vững thiết kế trong mục 3.1.2 
được kiểm chứng thông qua một hệ cẩu treo với các thông số thực tế như sau: 
 a = 5e0; 
 b = sqrt((a+1)*a); 
 K1 = [a 0;0 a]; 
 K2 = [b 0;0 b]; 
 56 
 K = [K1 K2]; 
 mx = 5; 
 mc = 5; 
 mh =100; 
 l=15 
 D = [1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0]; 
 g = 9.81; 
 Bất định mô hình được mô tả khi tải thay đổi và dây kéo tải trọng giãn tại 
thời điểm 50 giây. 
 mh =130; 
 l=16 
Sơ đồ mô phỏng như hình 3.3. 
 Hình 3.3. Sơ đồ cấu trúc mô phỏng bộ điều khiển thích nghi bền vững 
 Kết quả mô phỏng được thực hiện trên MatLab và trình bày bằng đồ thị tại các 
hình từ hình 3.4 đến hình 3.6, trong đó hình 3.4 và 3.5 là quỹ đạo của cẩu treo theo 
hai phương x và z và hình 3.6a và 3.6b là đáp ứng góc lắc của hàng trong quá 
trình di chuyển. 
 Với kết quả mô phỏng ta thấy sự di chuyển của xe hàng dọc theo trục và y 
bám khá tốt theo quỹ đạo đặt. Tuy nhiên, đáp ứng quá độ của hệ thống còn chậm do 
quán tính của hệ lớn. Điều này cũng phù hợp với yêu cầu thực tế đảm bảo độ an 
toàn cơ khí khi cả hệ thống có khối lượng khá lớn. Ở hình 3.6 sự dao động theo 
phương trục gần như không tồn tại. Theo trục , dây treo hàng có dao động điều 
hòa biên độ nhỏ với góc dao động không đáng kể (khoảng 0.0008rad), kể cả khi có 
bất định mô hình. 
 57 
 16 
 xref
 14
 x
 12
 10
 x 8
 6
 4
 2
 0 
 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
 Time(s) 
 Hình 3.4. Đáp ứng vị trí cẩu treo theo trục 
 x
 5 
 z
 zref
 4 z
 3
z 2
 1
 0
 -1 
 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
 Time(s) 
 Hình 3.5. Đáp ứng vị trí cẩu treo theo trục 
 58 
 -3
 x 10
 2 
 thetax
 thetay
 1.5
 1
 0.5
 0
 theta(rad)
 -0.5
 -1
 -1.5
 -2 
 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
 Time(s) 
 Hình 3.6a. Đáp ứng góc lắc của dây cáp theo các phương khi chưa 
 có bất định mô hình xy,
 -3
 x 10
 2 
 thetax
 thetay
 1.5
 1
 0.5
 0
 theta(rad)
 -0.5
 -1
 -1.5
 -2 
 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
 Time(s) 
 Hình 3.6b. Đáp ứng góc lắc của dây cáp theo các phương khi đã có 
 bất định mô hình (tại thời điểm 50 giây). 
 Phần nội dung trên đã khẳng định phương pháp điều khiển thích nghi ISS giới 
thiệu ở chương 2 của luận án là áp dụng được tốt cho hệ thống cẩu treo. Bằng cách 
sử dụng bộ điều khiển này không những đảm bảo được sự bám quỹ đạo cho các 
chuyển động của cẩu treo mà còn đảm bảo góc lắc của dây cáp theo các phương tiến 
dần về lân cận không. Không những thế, bộ điều khiển đề xuất trong phần này còn 
đảm bảo rằng hệ thống vẫn cho đáp ứng tốt khi có ảnh hưởng của nhiễu bên ngoài 
và có tham số bất định mô hình. Hiệu quả của bộ điều khiển đã được chứng minh 
thông qua các kết quả mô phỏng thực hiện trên Matlab/Simulink. 
 59 
3.3 Điều khiển trƣợt bậc hai 
3.3.1 Bộ điều khiển trƣợt bậc hai cho hệ cẩu treo 
 Bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ EL bất định, thiếu cơ cấu chấp hành cho 
bởi mô hình (2.38) đã có từ chương trước tại các công thức (2.44), (2.45), tất nhiên 
là cũng áp dụng được cho hệ cẩu treo mô tả bởi (3.8). 
 Cũng ở chương 2, với định lý 2 ta đã khẳng định được rằng bộ điều khiển 
trượt bậc hai (2.44), (2.45) này luôn đưa được hệ về mặt trượt (2.43) sau đúng một 
khoảng thời gian hữu hạn. 
 Phần còn thiếu ở chương trước là chi tiết hóa điều kiện tổng quát bổ sung ở 
công thức (2.52) cho khả năng trượt trên mặt trượt về gốc của hệ sai số, bây giờ sẽ 
được luận án tiến hành cụ thể với đối tượng là hệ cẩu treo 3D. 
 Ở hệ cẩu treo 3D (3.8) thì từ (2.50) và chất lượng bám mong muốn qq 
 1 d
với q (,,) x y l T , tức là với vector sai lệch bám: 
 d d d d
 T
 eqq ( eee , , ) , exxeyyell , , 
 d x y l x d y d l d
ta sẽ có: 
 xqMM 12 2     q eq qCqCqg 
 3 222 21 1 2 2 21 1 22 2 2
 M 1 M2  C  e q M 1 M  2 e 
 22 21 21 2 22 21
 M 1 M  C q M 1 M  q M 1 g
 22 21 222 22 21 2 22 2 
 M 11 C M   e M C M   q 
 22 21 21 22 21 21 2
 1 1
 MMC  q M g
 22 21 22 22 22
 hx1 
 hx 
 hx2 
với 
 Mx m0 m sin x cos y
 M 0 M m m sin 
 11 yy 
 msin x cos y m sin y m
 mlsin x cos y ml sin x sin y
 M MT 0 ml cos 
 12 21 y
 00
 60 
 22
 ml cos y 0
 M22 
 0 ml 2
 0 0mm cos x cos y x sin x sin y y
 Cm 0 0 cos 
 11 yy
 0 0 0
 mcos x cos y l ml cos x sin y  y ml sin x cos y x
 C12 0
 2
 ml cos yx
 mlcos x sin y x m sin x sin y l ml sin x cos y y 
 m cos l ml sin 
 y y y 
 ml y 
 2
 0 0ml cos yx
 C21 
 00 ml y
 mlcos2 l ml 2 cos sin ml 2 cos sin 
 C y y y y y y x
 22 2 
 mlcos y sin y x mll
 0
 mgl sin xy cos
 gg 0 , 
 12 mgl cos sin
 xy
 mg cos xy cos
Suy ra: 
 cos 
 xx 0
 1
 1 llcos y
 MCM22 21 21  
 sin x sin y cos y y
  
 l12 l l
 cos l
 x tan tan 
 llcos 1 y y y x
 1 y
 MMC22 21 22 
 sin sin cos l
 x y cos sin y 2
 ll1 y y x
 g sin x
 1 l cos y
 Mg 
 22 2
 g cos xy sin
 l
và từ đó là: 
 61 
 cos x2 x cos x
 h1() x 1 ey  3 e l  1 1 x 
 lcos yy l l cos
 cos xxl g sin
 1 tan y y x tan y x y 
 lcos l l cos y
và 
 sin sin cos 
 h() x x y22 e y  e  e 
 2 l1y l 2 x l 3 l
 cos 
 y  
 l 22y
 sin sin cos l
 x y cos sin 2 y 2 
 ll1 y y x y
 g cos sin
 xy
 l
Vậy vector hàm ()x trong (2.52) sẽ được xấp xỉ tuyến tính trong lân cận gốc là: 
   
 ()x 32 
 AI   (3.14) 
 2 3 2 2 2 2
 x x 0
 AAA31 32 33
trong đó: 
 2
 hhh111 1
 00
 h ex  e y  e l ld
 A 
 31 2
 x hhh222 
 1 x 0 00 2
 e  e  e 
 x y l x 0 ld
 hh11  11 g
 0
 h  xy l
 A d 
 32 x h  h g
 2 x 0 2 2 0 2 2
  l
 x yx 0 d
 hh11 1
 0
 h  xy l
 A d 
 33 x hh 
 3 x 0 2 2 0 2
  l
 x yxx 00 d
Như vậy, đủ để hệ trượt trên mặt trượt về gốc là ma trận A cho bởi (3.14) là một ma 
trận Hurwitz. Điều này tương đương với: 
 62 
 s  11
 s  22
 s 2
 s 1
 sI A s 1
 2  g 
 1 1 1s 1
 ld l d l d
 2  g 
 2 2 2s 2
 ld l d l d
 s  11
 s 1
 2  g 
 1 1 1s 1
 ld l d l d
 s  22
 s 1
 2  g 
 2 2 2s 2
 ld l d l d
 s 3
 ss 1 100  2 2
 s 3 0 s 1  0 s 1
 22  gg   
 1 1 1ss 1 2 2 2 2
 ld l d l d l d l d l d
hay 
 3 1 2gg  1gg 3 2 2  2 
 sI A s3 s  1 s s s  2 s s 
 ld l d l d l d l d l d 
 P s Q s 
phải có P( s ), Q ( s ) là hai đa thức Hurwitz. 
 Suy ra các hệ số của hai đa thức phải cùng dấu và khác 0, tức là: 
 1 0,  2 0, 1 0, 2 0
 1gg  1gg 1  1
 11 0, 0, 0, (3.15) 
 ld l d l d l d l d l d
 2  2gg 2g  2
 22 0, 0, 
 ld l d l d l d l d
 63 
và đó chính là điều kiện đủ (2.52) của luận án đề xuất bổ sung đã được chi tiết hóa 
cho hệ cẩu treo 3D. 
3.3.2 Kết quả mô phỏng 
 Bây giờ ta sẽ mô phỏng chất lượng của bộ điều khiển trượt bậc hai do luận án 
đề xuất (2.44), (2.45) cho đối tượng 3D Crane và tổng hợp bộ điều khiển theo như 
các nội dung được trình bày ở trên. 
 Hình 3.7 là sơ đồ hệ mô phỏng được xây dựng trên MatLab. 
 Hình 3.7. Sơ đồ mô phỏng trên nền Simulink hệ cẩu treo 3D sử dụng điều khiển 
 trượt bậc hai 
 Để kiểm nghiệm tính đúng đắn của điều kiện (3.15), ta thay đổi các tham số 
 1 , 2 của bộ điều khiển để khảo sát tính ổn định của hệ kín. Các kết quả ứng với 4 
bộ số khác nhau được ghi lại từ hình 3.8 đến hình 3.11. 
 Có thể thấy trong tất cả các trường hợp thì quỹ đạo trạng thái đều tiến về mặt 
trượt sau một khoảng thời gian hữu hạn, tuy nhiên chỉ có các bộ số thỏa mãn điều 
kiện (3.15) là làm hệ ổn định. Hình 3.8 là kết quả ứng với bộ tham số điều khiển 
giống tài liệu [74], nhưng vì bộ tham số này không thỏa mãn (3.15) nên cũng không 
cho kết quả ổn định. 
 64 
 Sliding Surface
 0.3
 0.2
 0.1
 0
 -0.1
 -0.2
 -0.3
 -0.4
 0 5 10 15 20
 Time [s]
 Cargo swing 
 Bridge motion (z) 200
 1000
 100
 0
 0
 Displacement [m] -1000
 0 5 10 15 20 Angle [rad]
 Time [s] -100
 Trolley motion (x)
 10 -200
 0 5 10 15 20
 0 Time [s]
 Cargo swing 
 -10
 6
 Displacement [m] -20
 0 5 10 15 20 4
 Time [s]
 Cable Length (l)
 1 2
 0.9 Angle [rad]
 0.8 0
 0.7
 Length [m]Length 
 -2
 0 5 10 15 20
 0 5 10 15 20 Time [s]
 Time [s] 4 3.5 
 1 2
 Hình 3.8. Kết quả mô phỏng với và 
 Hình 3.8 là kết quả mô phỏng điều khiển trượt bậc cao hệ cẩu treo 3D có 3 đầu 
vào với các tham số bộ điều khiển là: 
 1 4 và 2 3.5 
Kết quả mô phỏng này cho thấy hệ không ổn định mặc dù quỹ đạo trạng thái của hệ 
đã đến được mặt trượt sau khoảng thời gian hữu hạn. 
 65 
 Sliding Surface
 0.3
 0.2
 0.1
 0
 -0.1
 -0.2
 -0.3
 -0.4
 0 5 10 15 20
 Time [s]
 Cargo swing 
 Bridge motion (z) 0.5
 1
 0.5
 0
 Displacement [m]
 0 Angle [rad]
 0 5 10 15 20
 Time [s]
 Trolley motion (x)
 1 -0.5
 0 5 10 15 20
 Time [s]
 0.5 Cargo swing 
 1
 Displacement [