Luận án Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức

ố nhân cyclic với 
nhóm nhân cyclic   và đa thức 1
0 1 1
t
tb b x b x
  là không gian tuyến tính 
con của   2 / 1mGF x x với #m    sinh bởi n vector dòng của ma trận cấp 
n m dưới đây: 
 1 2, , ,
T T T
mG    
 (2.16) 
Ký hiệu các vector dòng của G lần lượt là 0 1 1, , , n    . 
62 
Vậy mỗi từ của mã này là một tổ hợp tuyến tính của n vector nói trên. Giả sử 
 là một từ mã với 
1
0
n
i i
i
c 
  ( 2ic GF ) nếu kí hiệu 0 1 1, , , nc c c  , ta có: 
 1 2, , , , , , mG               (2.17) 
Chọn: 
 1
T
mD A (2.18) 
Với A là ma trận của phép nhân với trong   / 1nF x x 
Xét từ mã * D G  , ta có: 
 * 1 2 1, , , , , , , ,                 m mD D D D 
Áp dụng (2.12), ta có: 
 * 1 2 1, , , , , , , ,                 T T m T m TD D D D 
Áp dụng (2.18), ta có: 
* 1 1 2 1 1 1 1
1 2 1
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
         
        
        
         
 m m m m m m
m m m m m m
A A A A
Áp dụng (2.15), ta có: 
 * 1 2 1, , , , , , , ,                 m m m (2.19) 
Từ (2.17) và (2.19) cho thấy 
* chính là  dịch vòng đi một vị trí. Điều này 
có nghĩa là mã cyclic cục bộ xây dựng trên chính là mã cyclic và đây là điều cần 
chứng minh. 
Chứng minh này đưa đến khẳng định rằng mã cyclic cục bộ xây dựng từ cấp 
số nhân cyclic là một mã cyclic, từ đây có thể mở ra một phương án mới để xây 
dựng các lớp mã cyclic. Với phương án tiếp cận này, việc xây dựng các mã cyclic 
(nhất là với các mã cyclic ở trên các vành lớn) trở nên đơn giản hơn, ta chỉ cần khảo 
sát các cấp số nhân cyclic trên các vành nhỏ cũng có thể xây dựng được các mã 
63 
cyclic ở trên các vành lớn, trong khi đối với các vành lớn (số mũ n lớn), việc phân 
tích giá trị ( 1)
nx ra thành các đa thức bất khả quy cũng là một trở ngại cho việc 
xây dựng mã cyclic. 
2.3.3. Thuật toán xác định nhóm nhân cyclic tương đương mã cyclic 
truyền thống 
Một số nghiên cứu bước đầu về mã cyclic cục bộ đã chỉ ra rằng giữa nhóm 
nhân cyclic và mã cyclic truyền thống có mối quan hệ với nhau [6]. Từ kết quả bổ 
đề 2.4, khi 1 thì cấp số nhân cyclic tương đương nhóm nhân cyclic, do đó có 
thể nhận định rằng mã LCC xây dựng trên nhóm nhân cyclic cũng tương đương với 
mã cyclic truyền thống. Phần này sẽ trình bày kết quả khảo sát và đánh giá về sự 
tương đương giữa mã LCC xây dựng trên nhóm nhân cyclic và mã cyclic truyền 
thống. 
Do vành đa thức có cấu trúc đối xứng, một nửa vành gồm các phần tử có trọng 
số lẻ, một nửa vành có trọng số chẵn nên khi phân hoạch chỉ cần tìm các phần tử có 
trọng số lẻ và suy ra các phần tử có trọng số chẵn với cấu trúc tương tự. 
Để xây dựng được tất cả các nhóm nhân của vành, ta thực hiện các bước như 
trình bày trong mục 1.4.3.1. 
Đối với mã cyclic, việc khảo sát và lựa chọn để tìm ra một bộ mã tối ưu trên 
các vành đa thức có giá trị n lớn là rất phức tạp và khó khăn, bằng việc chứng minh 
được sự tương đương giữa các mã cyclic cục bộ được xây dựng trên các vành có 
giá trị n nhỏ tương đương với các mã cyclic truyền thống được xây dựng trên các 
vành có giá trị n lớn là một kết quả quan trọng giúp cho việc khảo sát và tìm kiếm 
các bộ mã cyclic tối ưu được dễ dàng hơn. 
Để chứng minh cho sự tương đương này, ta xét một số ví dụ. 
Ví dụ 2.6: 
Trong vành   72 / 1Z x x , đa thức 7 1x được phân tích dưới dạng tích của ba 
đa thức bất khả quy: 7 3 321 1 1 1x x x x x x . 
64 
Xét 2 0121 ~a x x x trên vành   72 / 1Z x x , xây dựng nhóm nhân: 
 012 024 01356 014 034, , , , ,56 02 , 0356A 
Lập ma trận mã từ các phần tử của nhóm nhân A , ta được ma trận mã: 
 1
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0
G
 (2.20) 
Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan biến đổi ma trận mã trên về ma trận hệ 
thống [38], [40], ta được ma trận: 
 1
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
G
 (2.21) 
Loại bỏ các hàng bằng 0 của ma trận ta được ma trận hệ thống tương đương: 
 1
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 1
~ 0 1 2 3
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1
012 123 013G
 (2.22) 
Dễ dàng nhận thấy 1G là nhóm nhân được xây dựng trên phân hoạch vành đa 
thức theo modulo 0124h x hay 2 4 2 31 1 1h x x x x x x x trên 
vành   72 / 1Z x x . 
65 
Theo tính chất của mã cyclic cục bộ được xây dựng theo modulo h x , ta luôn 
tìm được mã cyclic truyền thống với đa thức sinh 
*
1nx
g x
h x
 tương đương với 
mã cyclic cục bộ xây dựng theo modulo h x . 
Ta có: 
*
7
*
3 3 2 3
2 4 3
1 1 1
1 1 1
1
x
g x x x x x x
x x x x x
 (2.23) 
Trên vành 7 1x , xét mã cyclic truyền thống được xây dựng theo đa thức sinh 
 2 31g x x x 
Theo định nghĩa ma trận sinh 2G của mã cyclic truyền thống được thiết lập: 
2 3
3 4
2 2 2 4 5
3 3 5 6
1 0 1 1 0 0 01
0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1
g x x x
xg x x x x
G
x g x x x x
x g x x x x
 (2.24) 
Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan biến đổi về ma trận hệ thống [38], [40], 
ta được: 
 2
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1
G
 (2.25) 
Từ (2.22) và (2.25) suy ra 1 2G G hay hai phương pháp thực hiện cùng đi đến 
kết quả là ma trận mã hệ thống bằng nhau. 
Ví dụ 2.7: 
Trong vành   92 / 1Z x x , đa thức 9 1x được phân tích dưới dạng tích của ba 
đa thức bất khả quy: 9 2 3 61 1 1 1x x x x x x . 
66 
Xét 2 4 124~a x x x x trên vành 9 1x , xây dựng nhóm nhân: 
, 248 , 01458 , 478 , 12356 , 01278 , 23568 ,
578 , 0123678 , 12346 , 125 , 02457 , 13567 , 13467 ,
0134568 , 157 , 35678 , 0234567 , 34678 , 23468 ,
4
0
12
A
 
 
 
 (2.26) 
Tiến hành tương tự, lập ma trận và chuyển ma trận lập được về ma trận hệ 
thống, loại bỏ các hàng có kết quả bằng 0 ta được ma trận mã hệ thống: 
3
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 014 ,
125 , 01234 , 12345 , 01235 , 023 , 134 , 245 ,
01345 , 025 , 034 , 145 , 01245 , 02345 , 035
G
 
 
 
 (2.27) 
Biểu thức (2.27) là ma trận mã cyclic cục bộ được xây dựng theo CMG 
 , 1,2,...iA a x i trên vành   92 / 1Z x x . 
Có thể nhận thấy 3G là ma trận sinh đối với mã cyclic cục bộ được sinh bởi 
CMG xây dựng theo modulo 4 6 2 31 1 1 1h x x x x x xx x x trên 
vành   22
1/ 1Z x x . 
Xét vành đa thức   212 / 1Z x x , phân tích đa thức 21 1x dưới dạng tích của 
các đa thức bất khả quy: 
 21 2 3 2 3 2 4 6 2 4 5 61 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x x x x x 
Xét 
*
21
4 6
1
1
x
g x
x x x
, biến đổi ta có: 
*
2 3 2 4 6 2 4 5 6
15
2 3 5 6 7 10 11 13 15
2 4 5 8 9 10 12 13 14 15
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
g x x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
 (2.28) 
Theo định nghĩa ma trận sinh 4G của mã cyclic truyền thống được thiết lập: 
67 
2 4 5 8 9 10 12 13 14 15
3 5 6 9 10 11 13 14 15 16
2 4 6 7 10 11 12
34
4
2 14 15 16 17
3 5 7 8 11 12 13 15 16 17
5
18
4
1 x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
g x
xg x
x g x
G
x g x
x g x
x
x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
g x
x x x
x x
6 8 9 12 13 14 16 17 18 19
5 7 9 10 13 14 15 17 18 19 20
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
 (2.29) 
4
1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
G
 (2.30) 
Dùng công thức Gauss-Jordan biến đổi về ma trận hệ thống, ta có ma trận 
tương đương: 
4
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 014 , 125 , 01234 , 12345 , 01235 ,
~
023 , 134 , 245 ,
G
 01345 , 025 , 034 , 145 , 01245 , 02345 , 035
  
 
 
 2.31) 
Biểu thức (2.31) là ma trận mã cyclic truyền thống xây dựng theo đa thức sinh 
 g x trên vành   22
1/ 1Z x x . 
Từ (2.27) và (2.31) suy ra 3 4G G , hay mã cyclic cục bộ xây dựng theo nhóm 
nhân cyclic , 1,2,...iA a x i trên vành   92 / 1Z x x và mã cyclic truyền thống 
xây dựng theo đa thức sinh g x trên vành   22
1/ 1Z x x cùng đi đến kết quả là ma 
trận mã hệ thống bằng nhau. 
68 
Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, có thể nhận thấy rằng hai phương pháp xây dựng 
mã khác nhau là xây dựng mã cyclic cục bộ theo nhóm nhân cyclic trên phân hoạch 
vành đa thức và xây dựng mã cyclic truyền thống theo đa thức sinh đều dẫn đến một 
ma trận mã hệ thống như nhau. 
Tiếp tục quá trình khảo sát và đánh giá ta xây dựng được thuật toán 2.4 để xác 
định mã cyclic truyền thống tương đương với các nhóm nhân cyclic trên phân hoạch 
vành đa thức. 
Kết quả khảo sát với các toàn bộ nhóm nhân khác nhau trên các vành đa thức 
khác nhau (các giá trị n lẻ 19n ) cũng cho kết quả tương tự, có nghĩa là có mã 
cyclic cục bộ được xây dựng theo nhóm nhân trên phân hoạch vành đa thức sẽ tương 
đương với một mã cyclic truyền thống được xây dựng trên vành là cấp của nhóm 
nhân trên vành đa thức đã xét. Kết quả nghiên cứu được công bố trong [C3]. 
Thuật toán xác định mã cyclic truyền thống tương đương (Thuật toán 2.4) 
VÀO: 2[ ] / 1nxa Z xx 
RA: Mã cyclic truyền thống tương đương với CMG { ( ), 1,2,..., }
iA a x i m 
Bước 1: 
- Xây dựng { ( ), 1,2,..., }
iA a x i m . 
- Đặt n ord a x 
- Lập ma trận mã LCC từ các phần tử của CMG A . 
- Sử dụng thuật toán Gauss-Jordan để chuyển ma trận lập được ở trên về 
dạng ma trận hệ thống. 
- Loại bỏ các hàng bằng 0 (nếu có) của ma trận mã, được ma trận sinh ,G n k . 
Bước 2: 
- Chuyển đổi ma trận sinh ,G n k về dạng các phần tử trong nhóm 
- Đặt  2& ; / ( 1)
nh x A k k h x Z x 
69 
- Tính 
*
1nx
g x
h x
- Từ đa thức sinh g x , được ma trận mã tương đương với mã cyclic 
truyền thống. 
Một số kết quả khảo sát trên các vành đa thức với các giá trị n khác nhau được 
trình bày trong Phụ lục 3. 
2.4. MỘT CÁCH PHÂN LOẠI MÃ TUYẾN TÍNH MỚI 
Từ quan điểm xây dựng mã cyclic và LCC, ta thấy có thể thực hiện việc mô 
tả mã cyclic theo quan điểm xây dựng các mã LCC dựa trên phân hoạch vành đa 
thức [6], [18]. 
 Theo quan điểm xây dựng mã cyclic: mã cyclic là một Ideal của vành đa 
thức; trong đó mỗi từ mã là một phần tử của Ideal đó trên vành đa thức. 
 Theo quan điểm xây dựng mã LCC mỗi dấu mã là một phần tử của Ideal; 
toàn bộ từ mã là một bộ phận của vành gồm n phần tử xác định của Ideal. 
Như vậy, có thể dùng lý thuyết xây dựng các đa thức sinh của mã cyclic để 
tạo các trưởng lớp kề cho các mã LCC. Với quan điểm đó, lớp kề được xây dựng 
theo cách sau đây sẽ tạo nên một mã cyclic [6], [7]: 
- Đa thức sinh là ước của 1; ( ) ( 1)
n nx g x x . 
- Bậc của đa thức sinh bằng r n k . 
- Sử dụng r dấu thông tin giả khi tạo lớp kề này; tức là cho trước: 
0 1 2 1... 0nx x x x . 
Như vậy, có thể nói rằng mã cyclic là một lớp kề đặc biệt của mã LCC. 
70 
a(x)
b(x)
c(x)
a(x)
LCC đa nhịp
a(x)
a(x)
a(x)
LCC đơn nhịp
Mã cyclic xây dựng từ CMG
(Mã cyclic xây dựng từ LCC)
x
Mã cyclic truyền thống
(Mã cyclic ideal)
Hình 2.2. So sánh các mã cyclic và mã cyclic cục bộ 
Có thể hình dung mã cyclic như một chuỗi hạt có tốc độ xử lý khác nhau như trong 
Hình 2.2. Mã cyclic truyền thống có nhịp dịch của từ mã là x , mã cyclic xây dựng từ mã 
LCC (hay CMG) có nhịp dịch khác x , còn mã LCC chứa các từ mã khác nhau, mỗi từ 
mã có thể có nhịp dịch khác nhau. 
Theo quan điểm trên thì các mã cyclic xây dựng trên các Ideal là một trường 
hợp đặc biệt của mã LCC. Có thể xem xét: 
Nhóm nhân cyclic: { mod ( ); 0,1,2,...}
iI x h x i ; ( ) | ( 1)
nh x x và deg ( )h x k 
Nhóm nhân I là một mã cyclic (n,k) có đa thức sinh *( )g x với: 
( 1)
( )
( )
nx
g x
h x
 và 
* deg ( ) 1( ) ( )g xg x x g x là đa thức đối ngẫu của ( )g x . 
Nhận xét: 
 Với mã cyclic truyền thống, ma trận sinh G của mã được xây dựng từ 
phương trình đồng dư sau: 
 ( ). mod ( 1)
i ng x x x (2.32) 
 Với mã cyclic xây dựng từ mã LCC, ma trận sinh G của mã được xây 
dựng từ phương trình đồng dư sau: 
 ( ). mod ( 1)
i i ka x x x (2.33) 
71 
 Chú ý: (1.29) là phương trình tạo các hàng của G 
 (1.30) là phương trình tạo các cột của G 
Một ưu điểm của mã LCC đó là có thể xây dựng được mã trên mọi vành đa 
thức (n bất kỳ), với các vành chẵn ta có thể xây dựng mã LCC trên các lớp các phần 
tử liên hợp [23], trong khi mã cyclic thì chỉ có thể xây dựng trên các vành lẻ. Có 
những vành không thể xây dựng được mã cyclic tốt (ví dụ với các vành có hai lớp 
kề cyclic thì khó tìm được mã cyclic tốt), nhưng ngược lại ta có thể tìm được nhiều 
mã LCC trên các vành này [1]. Việc xây dựng mã LCC trên phân hoạch vành đa 
thức sẽ cho nhiều bộ mã hơn và trên cơ sở đó cũng có nhiều bộ mã tốt hơn với các 
độ dài từ mã khác nhau. 
Mặc dù đã có một số cách phân loại mã tuyến tính nhưng chỉ dựa vào cấu trúc 
đại số mà không đề cập tới mã LCC, vì vậy các kiểu phân loại đã có là chưa toàn 
diện. Nghiên cứu các mã cyclic cục bộ trong mối quan hệ với mã cyclic nói riêng 
và trong hệ thống mã tuyến tính xây dựng trên các cấu trúc đại số nói chung, với 
các dạng phân hoạch khác nhau có thể cho ra các loại mã sửa lỗi khác nhau, hệ 
thống phân loại các mã tuyến tính xây dựng trên các cấu trúc đại số được trình bày 
trong Hình 2.3. 
72 
Mã tuyến tính
Không có 
cấu trúc
Có cấu trúc Vành số Mã cyclic AN
Vành đa thức
Z2[x]/x
n+1
Phân hoạch vành 
theo CMG
Vành các lớp 
liên hợp
Vành đồng 
dư
Trên 
một 
vành
Trên 
hai 
vành
Vành và 
vành ước 
của vành
Hai vành 
bất kỳ
LCC hỗn 
hợp
Phân hoạch 
cực tiểu
Phân hoạch 
chuẩn
Phân hoạch 
cực đại
LCC đa 
nhịp
LCC đơn 
nhịp
LCC
Mã cyclic nhịp x
 modi xxI h 
Vành ma trận
Ma trận 
Cauchy
Ma trận 
Vandermon
Mã cyclic 
theo Ideal
I=
Mã 
Goppa
Mã tuyến 
tính ngẫu 
nhiên
Mã BCH
Mã tựa 
LCC
n lẻ
Mã cyclic với 
nhịp đa thức
n chẵn
n bất kỳ
Hình 2.3. Sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã LCC [C4] 
Trước hết, về mặt cấu trúc thì mã tuyến tính được chia thành hai loại là có cấu 
trúc và không có cấu trúc. Trong đó mã không có cấu trúc là cơ sở xây dựng mã 
tuyến tính ngẫu nhiên có khả năng đạt được được giới hạn của Shanon nhưng việc 
thực hiện mạch mã hoá và giải mã gặp nhiều khó khăn chính vì tính không có cấu 
trúc nên ít được nghiên cứu. Các loại mã tuyến tính có cấu trúc được tập trung 
nghiên cứu chủ yếu dựa trên cấu trúc vành số (tiêu biểu như mã cyclic AN [74]), 
vành ma trận (tiêu biểu như mã Goppa, mã BCH [74], [77]) và vành đa thức (tiêu 
biểu là các loại mã cyclic). Hướng xây dựng mã tuyến tính có cấu trúc dựa trên vành 
đa thức   2 / 1nZ x x lại gồm các loại như: vành chẵn ( n chẵn) hướng đến xây dựng 
73 
các mã cyclic dựa trên vành các lớp liên hợp (trong số này tiêu biểu là LCC), vành 
lẻ ( n lẻ) thường tập trung nghiên cứu các mã cyclic truyền thống, đối với vành bất 
kỳ (hay n bất kỳ) thì một hướng nghiên cứu được đề xuất đó là thực hiện phân hoạch 
vành theo nhóm nhân cyclic với một số kết quả được công bố trong [6], [12], [13], 
[30]. 
Trên cơ sở tham khảo và đánh giá kết quả nghiên cứu về mã cyclic cục bộ, 
một số mã khối tuyến tính đề cập ở trên và cấu trúc đại số, nghiên cứu sinh đề xuất 
sơ đồ thể hiện mối quan hệ như Hình 2.3 với trọng tâm tập trung vào mã cyclic và 
cyclic cục bộ. Các nội dung đã nghiên cứu trong hai mục trên bao gồm: phương 
pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại (liên quan trực tiếp đến phân hoạch 
cực đại, nội dung được đánh giá là quan trọng nhất trong phân hoạch vành đa thức 
theo CMG); mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic 
truyền thống (liên quan đến mối quan hệ giữa mã cyclic nhịp đa thức, nhịp x và mã 
cyclic truyền thống), ngoài ra có thể chỉ ra được những mối quan hệ khác mà chưa 
thể hiện trong sơ đồ. Hai kết quả chính đó góp phần hoàn thiện lý thuyết và thực 
nghiệm về các nội dung được tô sẫm trong Hình 2.3. 
2.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 
Chương 2 của luận án đã trình bày các nội dung liên quan đến nhóm nhân và 
cấp số nhân cyclic trên vành đa thức. Trên cơ sở đó, Luận án cũng đã trình bày kết 
quả nghiên cứu mới đóng góp vào việc bổ sung, hoàn thiện lý thuyết về mã cyclic. 
Các kết quả nghiên cứu này được công bố trong các công trình [J2], [J3], [J4], [J5], 
[C3], [C5] và tập trung vào hai nội dung chính: 
1) Kiến thiết các nhóm nhân cyclic trên vành đa thức thông qua việc đề xuất 
phương pháp xác định cấp của đa thức và đa thức đạt cấp cực đại, đồng thời chứng 
minh hoàn chỉnh một số bổ đề quan trọng, cụ thể: (a) Đề xuất phương pháp xác 
định cấp của đa thức là tích các đa thức trên vành đa thức với đóng góp quan trọng 
nhất là đề xuất và chứng minh hoàn chỉnh bổ đề 2.2 cùng các hệ quả của bổ đề góp 
phần khẳng định một hướng tiếp cận mới để xây dựng đa thức có cấp cực đại trên 
74 
vành đa thức [J5]; (b) Đề xuất phương pháp xác định cấp của nhị thức trên vành đa 
thức với đóng góp là đề xuất và chứng minh hoàn chỉnh bổ đề 2.3 cùng với bảng 
2.3 khảo sát cấp của 1 x dẫn tới một hướng xây dựng đa thức có cấp cực đại trên 
vành đa thức bằng việc chọn nhị thức 1 x hoặc đa thức là tích của đa thức có 
cấp nguyên tố với cấp của nhị thức 1 x [J3], [J5]; (c) Đề xuất thuật toán cải tiến 
để tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành đa thức, thuật toán 2.3 được đề xuất giúp 
giảm độ phức tạp và thời gian tính toán, cũng như giúp thu được các kết quả về cấp 
của đa thức trên các vành lớn [C5]; (d) Đánh giá xác suất tìm phần tử có cấp cực 
đại trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic cho thấy xác suất lựa chọn phần tử sinh 
là khá cao (hầu hết là trên 50%) [J2]. 
2) Chứng minh sự tương đương giữa các nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic 
với mã cyclic truyền thống, với việc trình bày một chứng minh về lý thuyết (bổ đề 
2.4), xây dựng thuật toán (thuật toán 2.4), sau đó tiến hành khảo sát, đánh giá và 
xây dựng được một phụ lục minh chứng cho tính tương đương này [J4], [C3]. Kết 
quả này góp phần mở ra một hướng tiếp cận mới là xây dựng mã cyclic truyền thống 
từ các nhóm nhân, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức có bậc bằng cấp của nhóm 
nhân/cấp số nhân cyclic, điều này đặc biệt có ý nghĩa khi các nhóm nhân cyclic trên 
các vành nhỏ có thể được dùng để kiến thiết nên mã cyclic truyền thống trên các 
vành lớn hơn và bằng cấp của nhóm nhân cyclic. 
Ở cuối chương, Luận án đã trình bày và thảo luận một sơ đồ phân loại các mã 
tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã cyclic cục bộ, góp phần khẳng định mối 
quan hệ giữa mã cyclic với mã cyclic cục bộ và đánh giá vai trò của mã cyclic cục 
bộ trong hệ thống mã tuyến tính, mã sửa lỗi [C4]. 
75 
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ 
NHÂN CYCLIC 
Các kết quả đạt được trong chương 2 về việc kiến thiết nhóm nhân cyclic, mối 
quan hệ tương đương của mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân 
cyclic với mã cyclic truyền thống là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của nhóm 
nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trong mã sửa lỗi và mật mã. Một đặc điểm nổi bật 
của các bộ mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic là có độ dài 
thay đổi được có khả năng ứng dụng trong LTE, mã mạng [62], [64], [73]. Trong 
số các nhóm nhân trên một vành đa thức thì nhóm nhân có cấp cực đại có độ ngẫu 
nhiên của các phần tử cao nhất do đó có thể sử dụng các phần tử có cấp cao nhất 
trong nhóm nhân cấp cực đại trên vành đa thức làm khóa cho một số hệ mật. 
Trong chương này, luận án sẽ trình bày phương pháp xây dựng mã cyclic với 
các nội dung liên quan đến việc xây dựng khối mã hoá và giải mã, tiếp đến luận án 
trình bày đề xuất một số mã cyclic tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân 
cyclic gồm phương pháp tìm mã cyclic tốt, danh sách một số mã cyclic tốt được đề 
xuất, mô phỏng đánh giá bộ mã, đồng thời đề xuất phương pháp xây dựng bộ mã 
trên cấu kiện phần cứng FPGA. Nội dung c