Luận án Phân tích dẻo kết cấu khung cột thép dầm liên hợp chịu tải trọng tĩnh

; ze z yM W f (2.53) 
0
0
y ye
z ze
M M
M M
 ; 0
0
y yu
z zu
M M
M M
0 0 0
0 0 0
.
tan
.
y ye z ye ye ye z
z ze y ze ze ze y
M EI M m M I
M EI M m M I


 nên 00 . tan 
yze ze
ye
ye z
Im M
m
M I
 (2.54) 
Thay công thức 2.54 vào công thức 2.51 có: 
0
1
tan
ze ye z
ye z ze y
p
m M I
M I M I 
 (2.55) 
Thay công thức 2.55 vào công thức 2.54 có: 
0
1
tan
tan
ye ze y
ye z ze y
p
m M I
M I M I
 (2.56) 
Mô men giới hạn đàn hồi theo các trục được xác định như sau: 
0
1
tan
tan
ye ze y ye
ye z ze y
p
M M I M
M I M I
 (2.57) 
0
1
tan
ze ye z ze
ye z ze y
p
M M I M
M I M I 
 (2.58) 
Công thức 2.57 và 2.58 được rút gọn như sau: 
0
1
tan
tan
ye y y
f
p
M f W
h
b
 (2.59) 
0
1
1 tan
ze y z
f
p
M f W
b
h
 (2.60) 
Mặt giới hạn đàn hồi (P-Mze0-Mye0) được thể hiện như hình 2.28 có dạng 
mặt phẳng 
62 
Hình 2.28. Biểu đồ mặt giới hạn đàn hồi P-Mze0-Mye0 của tiết diện cột thép 
2.8.5. Phương trình quan hệ My - P - y; Mz - P - z đoạn cong chuyển tiếp 
từ đàn hồi sang chảy dẻo hoàn toàn như hình 2.28 
Mặt chảy trung gian nằm giữa mặt giới hạn đàn hồi và mặt chảy dẻo hoàn 
toàn, thể hiện sự chảy dẻo từ từ của tiết diện cột thép chữ I như hình 2.29. Mối 
quan hệ giữa mô men và độ cong là phi tuyến và có thể được xấp xỉ bằng các 
đường cong hyperbolic như hình 2.28 và được trình bày trong các phương trình 
sau: 
 (a) (b) 
Hình 2.29. (a) - Đường quan hệ My - P - y; (b) - Đường quan hệ Mz - P - z 
0
0
0
0
1
y ye
y ye
y ye
y yu ye
M M
EI M M
 
 
 (2.61) 
O
0
M
O
0
M
63 
0
0
0
0
1
z ze
z ze
z ze
z zu ze
M M
EI M M
 
 
 (2.62) 
Hình 2.30. Mặt chảy dẻo trung gian My - Mz - P - -  
2.8.6. Ví dụ xây dựng mặt chảy dẻo (p-mz-my- -) bằng phương pháp giải 
tích 
Sử dụng chương trình SPH xây dựng mặt chảy dẻo của tiết diện cột thép 
W14x426 chịu nén uốn hai phương P, Mz , My như trên hình 2.30. Dùng thép 
S235 có: σy = 235MPa; Ea = 210.103 MPa ;  = 0,2 và kết quả được thể hiện 
trên hình 2.31 và bảng 2.3 
Hình 2.31. Tiết diện cột thép W14x426 chịu nén uốn 
Dạng biểu đồ mặt chảy dẻo như hình 2.31. Sử dụng công thức đã thiết lập 
theo các trường hợp ở bên trên, lập trình chương trình SPH bằng ngôn ngữ 
Delphi XE8 xây dựng mặt chảy dẻo My - Mz - P - -  của tiết diện cột thép 
64 
W14x426 chịu nén uốn theo phương pháp giải tích và được khảo sát qua các 
trường hợp góc điển hình: 
Hình 2.32. Dạng biểu đồ mặt chảy dẻo P-Mz-My- nghiên cứu đề xuất 
 Xây dựng mặt chảy dẻo P-M 
Sử dụng chương trình SPH xây dựng mặt chảy dẻo P-M của tiết diện cột 
thép W14x426. Trong bảng 2.3 thể hiện mặt chảy dẻo P-M ứng với các góc 
xoay điển hình. Khi d =0 ta sẽ có được mặt giới hạn đàn hồi (đường thẳng 
trong cùng), tăng dần giá trị d từ 0 đến giá trị d = ta sẽ xây dựng được các 
mặt chảy dẻo trung gian và mặt chảy dẻo hoàn toàn của tiết diện cột W14x426 
ứng với bất kỳ góc xoay nào (các đường cong lồi phía bên ngoài). 
Bảng 2.3. Mặt chảy dẻo P – M ứng với các góc xoay điển hình 
Mặt chảy dẻo ( =00) P-Mz Mặt chảy dẻo ( =150) P-M 
65 
Mặt chảy dẻo ( =300) P-M Mặt chảy dẻo ( =450) P-M 
Mặt chảy dẻo ( =600) P-M Mặt chảy dẻo ( =750) P-M 
Mặt chảy dẻo ( =900) P-My 
66 
Ứng với mỗi giá trị của p sẽ có được đường quan hệ p-mz-my của mặt chảy 
dẻo hoàn toàn chính là tiết diện ngang của mặt chảy dẻo hoàn toàn tiết diện cột 
thép W14x426 thể hiện trên hình 2.32 và mặt giới hạn đàn hồi như hình 2.33. 
Nếu điểm lực nằm bên trong đường giới hạn đàn hồi p-mz-my thì tiết diện vẫn 
còn đàn hồi, nếu điểm lực nằm giữa đường giới hạn đàn hồi và đường chảy dẻo 
hoàn toàn thì tiết diện chảy dẻo một phần, nếu điểm lực nằm bên ngoài đường 
chảy dẻo hoàn toàn p-mz-my thì tiết diện bị phá hoại. Điều này có ý nghĩa thực 
tế khi kiểm tra khả năng chịu lực của tiết diện cột thép (hình 2.33). 
Hình 2.33. Tiết diện ngang mặt chảy dẻo hoàn toàn my - mz - p - -  của tiết 
diện cột thép W14x426 theo phương pháp giải tích 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
m
y
mz
p=0 p=0.1 p=0.2 p=0.3
p=0.4 p=0.5 p=0.6 p=0.7
p=0.8 p=0.9 p=1
67 
Hình 2.34. Tiết diện ngang mặt giới hạn đàn hồi my - mz - p - - (=0) của 
tiết diện cột thép W14x426 theo phương pháp giải tích 
Hình 2.35. So sánh tiết diện ngang mặt chảy dẻo hoàn toàn my - mz - p - -  
của tiết diện cột thép W14x426 theo PP đề xuất và các nghiên cứu khác 
68 
Hình 2.36. So sánh mặt chảy dẻo hoàn toàn P-Mz của tiết diện cột thép 
W14x426 theo phương pháp giải tích và các nghiên cứu khác 
Hình 2.37. Mặt giới hạn đàn hồi, mặt chảy dẻo trung gian, mặt chảy dẻo hoàn 
toàn của tiết diện cột thép W14x426 theo phương pháp giải tích (p=0) 
(mặt biểu đồ tương tác cho sức kháng uốn theo hai phương) 
69 
Từ hình 2.34, 2.35 thấy rằng các mặt chảy dẻo của các nghiên cứu khác nhau 
và mặt chảy dẻo đề xuất là xấp xỉ trùng nhau, do đó mặt chảy dẻo đề xuất được 
xây dựng bằng phương pháp giải tích có độ tin cậy cao. 
Nhận xét: Mục này đã trình bày cách xây dựng mặt giới hạn đàn hồi, mặt 
chảy dẻo trung gian và mặt chảy dẻo hoàn toàn (mặt phá hoại) của cột thép chịu 
nén uốn hai phương để thể hiện sự chảy dẻo lan truyền trên tiết diện cột thép 
trong quá trình phân tích. Từ các hình trong bảng 2.2 và hình 2.36 có thể nhận 
thấy rất rõ khả năng làm việc của vật liệu làm việc từ giai đoạn đàn hồi đến 
chảy dẻo hoàn toàn là rất lớn và sự chảy dẻo lan truyền của tiết diện. Điều đó 
cho thấy rằng cần thiết phải phân tích kết cấu ngoài giới hạn đàn hồi để tận 
dụng được hết khả năng làm việc của cấu kiện và của cả công trình, điều này 
sẽ được ứng dụng trực tiếp để phân tích dẻo kết cấu công trình được trình bày 
cụ thể trong chương 3. 
2.9. Kết luận chương 2 
Nội dung chương 2 đã khảo sát quá trình chảy dẻo của tiết diện dầm, cột, 
từ đó có thể thấy rõ được sự chảy dẻo của tiết diện dầm, cột từ giai đoạn đàn 
hồi, đàn dẻo và chảy dẻo hoàn toàn; xác định đường cong quan hệ mô men - độ 
cong (M-) của tiết diện dầm thép, dầm liên hợp bằng phương pháp chia thớ 
tiết diện (xem phụ lục 2), tuy nhiên với phương pháp chia thớ tiết diện sẽ không 
cho ta được phương trình liên tục gây khó khăn khi ứng dụng vào PTHH, sự 
chính xác của phương pháp chia thớ phụ thuộc nhiều vào mật độ chia thớ, do 
đó sẽ mất nhiều thời gian phân tích và với kết cấu lớn thì sẽ có khó khăn nhất 
định. 
Từ hạn chế đó, tác giả đã sử dụng lý thuyết giải tích để xây dựng quan hệ 
mô men – độ cong của tiết diện dầm thép, dầm liên hợp có xét đến sự làm việc 
dẻo của vật liệu để phản ánh được đúng ứng xử thực tế của kết cấu dầm khi 
chịu tải trọng và xây dựng mô đun chương trình máy tính SPH để thiết lập 
đường quan hệ đó. Đường quan hệ mô men – độ cong của tiết diện dầm liên 
hợp là cơ sở để xác định độ cứng tiếp tuyến tại các vị trí của dầm, xác định ma 
70 
trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp để ứng dụng trong quá trình phân tích 
dẻo lan truyền của kết cấu dầm. 
- Xây dựng phương trình mặt giới hạn đàn hồi, phương trình mặt chảy dẻo 
trung gian, phương trình mặt chảy dẻo hoàn toàn của tiết diện cột thép chữ I 
chịu nén uốn hai phương theo phương pháp giải tích và xây dựng chương trình 
máy tính để thể hiện phương trình mặt chảy dẻo đó. Các mặt chảy dẻo phụ 
thuộc vào hình dạng của tiết diện và phụ thuộc vào góc xoay dẻo của tiết diện 
khi chảy dẻo, do đó thể hiện được sự chảy dẻo lan truyền của tiết diện cột thép 
trong quá trình phân tích kết cấu. Đồng thời dựa vào mặt chảy dẻo (mặt biểu 
đồ tương tác cho sức kháng uốn theo hai phương) đã xây dựng có thể kiểm tra 
khả năng chịu lực của tiết diện cột, xem xét tiết diện cột vẫn còn ở trạng thái 
làm việc đàn hồi, đang chảy dẻo hay đã bị phá hoại. Điều đó có ý nghĩa thực tế 
trong việc kiểm tra cấu kiện thép. 
Kết quả từ các ví dụ về xây dựng đường quan hệ M - , xây dựng mặt chảy 
dẻo có thể nhận thấy rất rõ khả năng làm việc của vật liệu làm việc từ giai đoạn 
đàn hồi đến chảy dẻo hoàn toàn là rất lớn và sự chảy dẻo lan truyền của tiết 
diện. Điều đó cho thấy cần thiết phải phân tích kết cấu ngoài giới hạn đàn hồi 
để tận dụng được hết khả năng làm việc của cấu kiện và của cả hệ kết cấu, điều 
này sẽ được ứng dụng trực tiếp để phân tích dẻo kết cấu khung được trình bày 
cụ thể trong chương 3. 
Các nội dung nghiên cứu tại chương 2 cũng là những đóng góp mới của 
luận án và là dữ liệu để phục vụ cho chương sau khi phân tích dẻo lan truyền 
kết cấu dầm và kết cấu khung. 
71 
CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP PTHH PHÂN TÍCH DẺO KẾT CẤU 
KHUNG CỘT THÉP DẦM LIÊN HỢP XÉT ĐẾN SỰ LAN TRUYỀN 
VÙNG BIẾN DẠNG DẺO CỦA PHẦN TỬ 
Qua phân tích ưu nhược điểm của các mô hình phần tử dầm - cột trong 
phương pháp PTHH, cho thấy cần thiết xây dựng một mô hình phần tử có kể 
đến sự chảy dẻo lan truyền trên tiết diện và lan truyền vùng biến dạng dẻo dọc 
theo chiều dài phần tử mà vẫn không phải chia nhiều thớ trên tiết diện, nhiều 
phần tử trên chiều dài cấu kiện và không mất nhiều thời gian phân tích kết cấu 
đồng thời cho kết quả chính xác với ứng xử thực của kết cấu. Nội dung chương 
3 sẽ giải quyết các hạn chế trên và dựa trên các nội dung đã nghiên cứu trong 
chương 2. 
Nội dung chương này giải quyết các vấn đề sau: 
- Xây dựng phần tử dầm, cột đa điểm dẻo để mô tả sự chảy dẻo của tiết diện, 
sự lan truyền vùng biến dạng dẻo trên chiều dài phần tử, tỷ lệ chảy dẻo của tiết 
diện, thứ tự hình thành khớp dẻo và ứng xử dẻo lan truyền của toàn hệ kết cấu. 
- Xây dựng véc tơ tải cho phần tử dầm, cột đa điểm dẻo (tải tập trung và tải 
phân bố). 
- Xây dựng biểu thức ma trận độ cứng của phần tử thanh đa điểm dẻo khi 
xét đến sự chảy dẻo lan truyền của tiết diện bên trong phần tử. 
3.1. Các giả thiết khi thực hiện bài toán phân tích 
Thực hiện bài toán phân tích dẻo lan truyền kết cấu dầm liên hợp và khung 
phẳng với cột thép dầm liên hợp chịu tải trọng tĩnh như trên hình 3.1 với các 
giả thiết sau: 
- Tất cả các phần tử thanh của hệ khi chưa chịu tải đều thẳng và có diện tích 
tiết diện ngang không đổi. Khi phần tử thanh biến dạng dẻo, tiết diện ngang vẫn 
phẳng và trực giao với trục x (hệ tọa độ cục bộ của phần tử). 
Kết cấu dầm 
72 
Kết cấu khung phẳng 
 (a) (b) 
Hình 3.1. Mô hình xuất phát của bài toán và mô hình tính của kết cấu theo 
phương pháp PTHH: (a) – mô hình thực của hệ kết cấu và tải trọng. 
(b) – mô hình tính của kết cấu theo phương pháp PTHH. 
- Biến dạng dẻo xuất hiện và phát triển trong các phần tử của kết cấu là các 
biến dạng dẻo phân bố, do đó biến dạng dẻo có thể tồn tại ở tất cả các tiết diện 
trong suốt quá trình chịu tải. 
- Biến dạng và chuyển vị của hệ kết cấu là nhỏ, bỏ qua phi tuyến hình học. 
- Liên kết giữa sàn bê tông và dầm thép là liên kết hoàn toàn. 
- Bỏ qua chuyển vị do biến dạng cắt. 
- Chỉ xét vật liệu làm việc dẻo, bỏ qua giai đoạn củng cố. 
3.2. Xây dựng phần tử dầm, cột đa điểm dẻo 
Khi phân tích dẻo kết cấu, sự phát triển vùng biến dạng dẻo trên tiết diện 
dọc theo chiều dài phần tử, nhiều tác giả đã nghiên cứu như: Chan và Chui [34], 
Chen, Kim và Choi [37], Chen [95], Alvarenga [16], Li và Lui [65], Cuong, 
Kim và Ryul [78]. Các nghiên cứu này đã sử dụng phần tử thanh với n phần tử 
con được chia và tại mỗi đầu phần tử là một tiết diện chia thớ. Do đó tốc độ 
tính toán và sự chính xác phụ thuộc nhiều vào sự chia thớ tiết diện và mới chỉ 
áp dụng nhiều cho kết cấu thép, với kết cấu liên hợp vẫn chưa thấy áp dụng. 
73 
Tác giả luận án đề xuất phần tử dầm – cột đa điểm dẻo như trên hình 3.2, 3.3 
và 3.4. Mô hình phần tử dầm, cột đa điểm dẻo là phần tử chỉ với hai điểm nút 
hai đầu phần tử, giả sử có n điểm biến dạng dẻo liên tục bên trong phần tử (đa 
điểm dẻo), mỗi đoạn xi - xi+1 gồm hai điểm biến dạng dẻo liên tiếp và đoạn này 
có độ cứng EIi(x) thay đổi theo hàm bậc 3 (xem phần phụ lục 2), độ cứng EIi(xi) 
được xác định thông qua đường quan hệ mô men – độ cong (M--P). Với phần 
tử đa điểm dẻo này không phải chia phần tử thành nhiều phần tử con như một 
số nghiên cứu đã thực hiện. Sử dụng phần tử thanh đa điểm dẻo có ưu điểm là 
cho kết quả chính xác so với sự làm việc thực tế của kết cấu, làm giảm đáng kể 
kích thước của bài toán phân tích kết cấu, tăng nhanh tốc độ tính toán, cho biết 
được tỷ lệ chảy dẻo của tiết diện, thứ tự hình thành khớp dẻo và ứng xử dẻo lan 
truyền của toàn hệ kết cấu, từ đó có thể dự đoán và đánh giá được độ dự trữ hay 
độ an toàn của kết cấu. Vị trí xuất hiện khớp dẻo trong thanh là bất kỳ phụ thuộc 
vào sự chảy dẻo của tiết diện trong quá trình phân tích kết cấu. Mô hình phần 
tử dầm, cột đa điểm dẻo được thể hiện như trên hình 3.2, 3.3, 3.4. 
Đối với phần tử hệ trục được quy định như sau: trục x là trục đi qua trọng 
tâm cấu kiện, trục y là trục khỏe của tiết diện và trục z là trục yếu của tiết diện 
cấu kiện. Chiều dương được quy ước như trong hình 3.2. Hệ trục này còn được 
gọi là hệ trục địa phương. Tại mỗi nút sẽ có 6 thành phần lực và 6 thành phần 
chuyển vị. 
x1 y1 z1 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x2 y2 z2F F F F M M M F F F M M M (3.2) 
1 1 1 x1 y1 z1 2 2 2 x2 y2 z2U u v w u v w       (3.3) 
Với khung phẳng chỉ quan tâm đến các thành phần sau: Fxl , Fyl , Mzl, u1, v1, z1 
, Fx2, Fy2, Mz2, u2, v2, z2. 
74 
Hình 3.2. Phần tử thanh 3D đa điểm dẻo trong hệ tọa độ địa phương 
Hình 3.3. Phần tử dầm liên hợp đa điểm dẻo 
Hình 3.4. Phần tử cột thép đa điểm dẻo 
75 
3.3. Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp đa điểm dẻo khi 
kể đến sự lan truyền vùng biến dạng dẻo dọc theo chiều dài phần tử 
Giả sử có n điểm biến dạng dẻo liên tục bên trong phần tử, số lượng và sự 
phân bố các điểm dẻo được người sử dụng thiết lập trên mỗi phần tử và theo 
quy luật phân bố đều trên chiều dài phần tử như hình 3.5. Mỗi đoạn xi - xi+1 
gồm hai điểm biến dạng dẻo liên tiếp thể hiện trên hình 3.5 và đoạn này có độ 
cứng EIi(x) thay đổi theo hàm bậc 3 (xem phần phụ lục 2). 
Hình 3.5. Lực nút của thanh dầm 
Xét phần tử bất kỳ có 2 đầu 1 (nút đầu) và 2 (nút cuối) có các thành phần 
nội lực và chuyển vị như hình 3.5, mối liên hệ lực nút của thanh dầm như sau: 
1 1M V x M ; 1 2V V ; 1 2 2M V L M (3.4) 
Tại nút đầu: 
Năng lượng bù của biến dạng [13]: 
 i 1 i 1
i i
2 2
x xn 1 n 1
* x 1 1
i 1 i 1x x
z z
M V x M1 1
U dx dx
2 EI (x) 2 EI (x)
  
 (3.5) 
Áp dụng định lý Engesser [13] có: 
 i 1 i 1 i 1
i i i
* 2x x xn 1 n 1 n 1
1 1
1 1 1
i 1 i 1 i 1x x x
1 z z z
V x M xdU x x
v dx V dx M dx
dV EI (x) EI (x) EI (x)
   
 (3.6) 
 i 1 i 1 i 1
i i i
* x x xn 1 n 1 n 1
1 1
1 1 1
i 1 i 1 i 1x x x
1 z z z
V x MdU x 1
dx V dx M dx
dM EI (x) EI (x) EI (x)
   
  (3.7) 
Từ các phương trình (3.6) và (3.7) ta có: 
1 1
1 1 1 1
21 1
1 1
1 1
1 21 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x x
v dx dx
EI x EI x
M
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.8) 
76 
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 21 1 1 1
1 1 1 1
1
( ) ( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x
v dx dx
EI x EI x
V
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.9) 
2 1 1 2 1 M V L M V L M ; 2 1 V V 
1 1
1 1 1 1
21 1
1 1
1 1
2 21 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
L x Lx x
v dx dx
EI x EI x
M
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.10) 
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
2 21 1 1 1
1 1 1 1
1
( ) ( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x
v dx dx
EI x EI x
V
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.11) 
Tại nút cuối : 
Năng lượng bù của biến dạng: 
 i 1 i 1
i i
2 2
x xn 1 n 1
* x 2 2
i 1 i 1x x
z z
M V (L x) M1 1
U dx dx
2 EI (x) 2 EI (x)
  
 (3.12) 
 i 1
i
* xn 1 2 2
2
i 1 x
2 z
V L x M L xdU
v dx
dV EI (x)
 
i 1 i 1
i i
2 2x xn 1 n 1
2 2
i 1 i 1x x
z z
L 2Lx x L x
V dx M dx
EI (x) EI (x)
  
 (3.13) 
 i 1 i 1 i 1
i i i
* x x xn 1 n 1 n 1
2 2
2 2 2
i 1 i 1 i 1x x x2 z z z
V L x MdU L x 1
dx V dx M dx
dM EI (x) EI (x) EI (x)
     (3.14) 
Từ các phương trình (3.12) và (3.13) ta có: 
1 1
1 1 1 1
2 21 1
2 2
1 1
2 2 21 1 1 1
1 1 1 1
2
( ) ( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
L x L Lx x
v dx dx
EI x EI x
M
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.15) 
1 1
1 1 1 1
1 1
2 2
1 1
2 2 21 1 1 1
1 1 1 1
1
( ) ( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
L x
v dx dx
EI x EI x
V
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.16) 
1 2 2 M V L M ; 2 1 V V 
77 
1 1
1 1 1 1
21 1
2 2
1 1
1 2 21 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x Lx x
v dx dx
EI x EI x
M
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.17) 
1 1
1 1 1 1
1 1
2 2
1 1
1 2 21 1 1 1
1 1 1 1
1
( ) ( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
   
     
i i
i i
i i i i
i i i i
x xn n
i ix xz z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
L x
v dx dx
EI x EI x
V
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x

 (3.18) 
Từ các kết quả nội lực M1, V1, M2, V2 tại nút đầu và nút cuối của phần tử 
và dựa vào phương trình cân bằng:   eNL k . u , sắp xếp các thành phần độ 
cứng vào ma trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp đa điểm dẻo. Kết quả được 
ma trận độ cứng cho như trong công thức 3.19a, 3.19b. 
11 12 13 14
21 22 23 24d
p
31 32 33 34
41 42 43 44
k k k k
k k k k
k
k k k k
k k k k
 (3.19a) 
11 14
22 23 25 26
32 33 35 36
41 44
52 53 55 56
62 63 65 66
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
d
p
k k
k k k k
k k k k
k
k k
k k k k
k k k k
 (3.19b) 
trong đó: các hệ số trong ma trận (3.19b) được xác định như sau: 
11
11 44
1
1
1/
( )
  
i
i
xn
i x
k k dx
EA x
 với 1( ) ( ) i i i
x
A x A A A
L
 (3.20) 
11
14 41
1
1
1/
( )
  
i
i
xn
i x
k k dx
EA x
 (3.21) 
1
1 1 1 1
1
1
22 21 1 1 1
1 1 1 1
1
( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
 
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
dx
EI x
k
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x
 (3.22) 
1
1 1 1 1
1
1
23 32 21 1 1 1
1 1 1 1
( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
 
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x
dx
EI x
k k
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x
 (3.23) 
78 
1
1 1 1 1
1
1
25 52 2 21 1 1 1
1 1 1 1
1
( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
 
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
dx
EI x
k k
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x
 (3.24) 
1
1 1 1 1
1
1
26 62 2 21 1 1 1
1 1 1 1
( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
  
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
L x
dx
EI x
k k
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x
 (3.25) 
1
1 1 1 1
21
1
33 21 1 1 1
1 1 1 1
( )
1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
 
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x
dx
EI x
k
x x x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x
 (3.26) 
1
1 1 1 1
1
1
35 53 2 21 1 1 1
1 1 1 1
( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
  
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
x
dx
EI x
k k
L Lx x L x L x
dx dx dx dx
EI x EI x EI x EI x
 (3.27) 
1
1 1 1 1
21
1
36 63 2 21 1 1 1
1 1 1 1
( )
2 1
. .
( ) ( ) ( ) ( )
 
     
i
i
i i i i
i i i i
xn
i x z
x x x xn n n n
i i i ix x x xz z z z
Lx x
dx
EI x
k k
L Lx x L x L x