Luận án Phân tích tương tác động lực học bể chứa chất lỏng chịu tác dụng của sóng nổ

; 
 u - véc tơ gia tốc chuyển vị nút của miền kết cấu (bể chứa) đƣợc hình 
thành từ các véc tơ con 
e
u đối với các PTHH của miền kết cấu. 
2.4.2. Các phƣơng trình PTHH tổng quát đối với miền kết cấu 
Khảo sát PTHH thứ “e” dạng tổng quát thuộc miền kết cấu. Véc tơ 
chuyển vị của điểm bất kỳ trong PTHH đƣợc xấp xỉ dƣới dạng: 
     ,
e e
u N u (2.53) 
trong đó: 
 u - véc tơ chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử; 
 
e
u - véc tơ chuyển vị nút của phần tử; 
 
e
N - ma trận hàm dạng của phần tử. 
Nếu ký hiệu  là véc tơ biến dạng tại điểm bất kỳ trong phần tử thì 
quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị có dạng: 
    
e e
B u , (2.54) 
với: 
T
x y z xy yz zx       - véc tơ biến dạng, 
  
e
B - ma trận biến dạng - chuyển vị của phần tử. 
Theo định luật Hooke ứng suất tại điểm (x,y) trong phần tử liên hệ với 
biến dạng tại điểm đó bằng ma trận vật liệu  
e
D theo biểu thức: 
         
e e e e
D D B u  , (2.55) 
trong đó: 
43 
 
T
x y z xy yz zx       - véc tơ ứng suất. 
 Các ma trận của phần tử có thể đƣợc xây dựng theo nguyên lý dừng của 
thế năng toàn phần. Với trƣờng hợp bài toán tĩnh, biểu thức thế năng toàn 
phần của phần tử đƣợc tính theo công thức [11]: 
      
1
2 e e e
T T T
b s
V V S
dV u q dV u q dS  , (2.56) 
trong đó: 
 bq - véc tơ lực khối; 
 sq - véc tơ tải trọng bề mặt; 
 S
e
 - diện tích bề mặt phần tử; 
V
e 
- thể tích của phần tử. 
Biến phân cấp 1 của  có dạng: 
      
e e e
TT T
b s
V V S
dV u q dV u q dS     . (2.57) 
Từ (2.54) và (2.55) ta có: 
    
e e
u N u  , (2.58) 
     .
e e
B u  (2.59) 
Thay (2.58) và (2.59) vào (2.57) nhận đƣợc: 
           .
e e e
eT eT eTe
b s
V V S
u B dV N q dV N q dS  
 
 Nguyên lý thế năng dừng cho phép viết: 0d , hay: 
     0e eF G Q , (2.60) 
trong đó: 
44 
- véc tơ nội lực nút của phần tử: 
     
e
eT
V
F B dV  , (2.61) 
- véc tơ tải trọng nút do lực khối: 
    
e
eTe
b
V
Q N q dV , (2.62) 
- véc tơ tải trọng nút do lực bề mặt gây ra: 
    
e
eTe
s
S
G N q dS . (2.63) 
Thay (2.55) vào (2.60) nhận đƣợc phƣơng trình: 
      0
e e e e
K u G Q , (2.64) 
trong đó: 
 
e
K - ma trận độ cứng của phần tử, 
        
e
e eT e e
V
K B D B dV . (2.65) 
Phƣơng trình (2.64) là phƣơng trình cân bằng của phần tử khi chịu tác 
dụng của tải trọng tĩnh. 
Chuyển sang bài toán động. Khi dao động trong hệ kết cấu sẽ xuất hiện 
lực quán tính và lực cản nhớt. Các lực này có thể coi là các lực khối, vì vậy 
véc tơ lực khối bq trong phƣơng trình ( .62) đƣợc bổ sung thêm *bq , với: 
         * e ee eb s sq u c u N u c N u , (2.66) 
trong đó: 
s - khối lƣợng riêng của vật liệu kết cấu, c - hệ số cản nhớt của vật liệu 
kết cấu; 
  ,u u - véc tơ vận tốc, gia tốc tại một điểm của phần tử. 
45 
Từ (2.64) t nh đến (2.66), ta nhận đƣợc phƣơng trình chuyển động của 
phần tử: 
            0
e e ee e e e e
M u C u K u G Q , (2.67) 
trong đó: 
 
e
M - ma trận khối lƣợng của phần tử, 
      
e
e eT e
s
V
M N N dV , (2.68) 
 
e
C - ma trận cản của phần tử, 
      
e
e eT e
V
C c N N dV . (2.69) 
Khảo sát PTHH kết cấu có biên tiếp xúc với chất lỏng. Trên bề mặt tiếp 
xúc này áp lực của chất lỏng “p” tác dụng vuông góc lên bề mặt kết cấu và 
đƣợc coi nhƣ là một loại tải trọng phân bố bề mặt, và có dạng: 
   n
T
sq p . (2.70) 
với: [ ] [ ]Tx y zn l l l - ma trận cột các cosin chỉ phƣơng của pháp tuyến 
ngoài đối với mặt tiếp xúc kết cấu - chất lỏng. 
Thay (2.70) vào công thức (2.63) ta nhận đƣợc véc tơ tải trọng nút do 
áp lực chất lỏng tác dụng lên PTHH thứ “e” của kết cấu: 
     
1
n ,
e
c
eT Te
S
G N pdS (2.71) 
với: p - áp lực của chất lỏng tại vị trí tiếp xúc với bề mặt kết cấu; 
1
e
cS - diện tích bề mặt của PTHH kết cấu tiếp xúc với bề mặt của PTHH 
chất lỏng, 1 1e ec bS S . 
46 
Thay (2.21a) vào (2.71) ta đƣợc: 
   
1
[ ] [n] [ ] ,
e
c
ee e eeT T e
S
G N N p dS K p (2.72) 
trong đó: 
1
[ ] [n] [ ] ,
e
c
e eT T e
S
K N N dS (2.73) 
đƣợc gọi là ma trận tiếp xúc “tựa độ cứng”. 
 So sánh (2.73) với (2.40), ta có: 
e eT
fM K . (2.74) 
 Thay (2.72) vào (2.67) ta nhận đƣợc phƣơng trình PTHH đối với miền 
kết cấu bể chứa dƣới dạng: 
 [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } 0e e e e e e e e eM u C u K u K p Q . (2.75) 
 Cũng bằng phƣơng pháp “độ cứng trực tiếp” ta nhận đƣợc phƣơng trình 
chuyển động của toàn miền kết cấu bể chứa tiếp xúc với chất lỏng dƣới dạng: 
 [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } 0M u C u K u K p Q , (2.76) 
trong đó: 
 { },{ },{ }u u u - lần lƣợt là véc tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc nút của toàn 
miền kết cấu bể chứa, đƣợc hình thành từ các véc tơ tƣơng ứng { } ,{ } ,{ }e e eu u u 
của tất cả các PTHH thuộc miền kết cấu bể chứa; 
[ ],[ ],[ ]M C K - lần lƣợt là ma trận khối lƣợng, ma trận cản, ma trận độ 
cứng toàn miền kết cấu bể chứa, đƣợc hình thành từ các ma trận tƣơng ứng 
[ ] ,[ ] ,[ ]e e eM C K của tất cả các PTHH thuộc miền kết cấu bể chứa; 
[ ]K - là ma trận tiếp xúc “tựa độ cứng” của toàn miền tiếp xúc kết cấu 
bể chứa – chất lỏng, đƣợc hình thành từ ma trận tƣơng ứng [ ]eK của tất cả các 
47 
PTHH thuộc miền tiếp xúc; 
 Q - là véc tơ tải trọng quy nút, đƣợc hình thành từ các véc tơ 
e
Q do 
tải trọng quy nút của phần tử gây ra; 
{ }p - véc tơ áp lực nút của toàn miền chất lỏng; 
Khi tính các ma trận PTHH trên, với phần tử ở dạng đơn giản các ma 
trận PTHH có thể t nh theo các phép t ch phân tƣờng minh, còn đối với các 
phần tử có dạng phức tạp thƣờng sử dụng phần tử đồng tham số, với chúng để 
tính các ma trận cần phải sử dụng phƣơng pháp cầu phƣơng Gauss và t ch 
phân số [11,12]. 
2.4.3. Hệ phƣơng trình PTHH tổng quát để phân tích tƣơng tác động lực 
học kết cấu bể chứa chất lỏng 
 Liên kết phƣơng trình (2.76) với phƣơng trình (2.51) ta nhận đƣợc hệ 
phƣơng trình PTHH tổng quát để giải bài toán tƣơng tác động lực học giữa 
kết cấu bể chứa đàn hồi với chất lỏng dƣới dạng: 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } 0, ( )
[ ]{ } [ ]{ }+[ ]{ } 0. ( )
M u C u K u K p Q a
Mq p K p M u b
 (2.77) 
hay: 
[ ] [0] { } [ ] [0] { } { } { }[ ] [ ]
.
[ ] [ ] { } [0] [0] { } { } {0}[0] [ ]
M u C u u QK K
M Mq p p pK
    
     
     
 (2.78) 
Theo lý thuyết ma trận cản [ ]eC đƣợc tính theo công thức (2.69), theo 
đó sẽ xác định đƣợc ma trận [ ]C cho toàn miền kết cấu. Trong thực tế rất khó 
xác định ch nh xác đƣợc các tham số cản của hệ kết cấu do các tham số cản 
phụ thuộc vào các tần số dao động của hệ, do đó trong t nh toán thƣờng giả 
thiết rằng ma trận cản  C là tổ hợp tuyến t nh của ma trận khối lƣợng và ma 
trận độ cứng của hệ kết cấu – chất lỏng: 
48 
      ,C M K  (2.79) 
trong đó: ,  là các hằng số và đƣợc gọi là các hệ số cản Rayleigh. Các hệ số 
này liên hệ với tỷ số cản  bằng phƣơng trình: 
1/1
1/2
i i i
j j j
  
  
  
   
  
, (2.80) 
với: ,i j  - là tần số dao động riêng của hệ, ,i j  - tỷ số cản tƣơng ứng với 
các dạng dao động riêng của hệ kết cấu – chất lỏng. 
Giải phƣơng trình ( .80), ta nhận đƣợc: 
2 2
2 2
2
2
i j j i i j
j i
j j i i
j i
    
 
    
 
  
 
  
  
 
. (2.81) 
Thông thƣờng ảnh hƣởng của các tần số cao đến giá trị của hệ số cản 
Rayleigh là không đáng kể nên trong t nh toán có thể t nh các hệ số này dựa 
trên tỷ số cản là hằng số ( const) và hai tần số dao động thấp nhất của hệ. 
Đối với các bể chứa chất lỏng, về cơ bản tỉ số cản phụ thuộc vào kích 
thƣớc và hình dạng bể chứa, độ nhớt động học của chất lỏng và tính chất của 
vật liệu kết cấu bể chứa. Trong [27,49,77] kiến nghị sử dụng tỷ số cản 
 =0,5% cho các dạng dao động của miền chất lỏng,  =2% cho các dạng dao 
động của cả hệ thống đối với bể thép và  =5% cho các dạng dao động của cả 
hệ thống đối với bể bê tông. 
Trƣờng hợp đặc biệt: chất lỏng không nén đƣợc và không có sóng 
trên bề mặt tự do. Trong trƣờng hợp này: vận tốc âm thanh trong chất lỏng 
.fc 
Từ ( . 9), suy ra: 
49 
 2
1
0
e
e
ij i j
f V
M N N dV
c
 0M , (a) 
Trong trƣờng hợp không có sóng trên bề mặt tự do: 
 0.Ms (b) 
 Từ (2.52), kết hợp (a) và (b) dẫn đến, 0.Mq Lúc này phƣơng trình 
(2.51) có dạng: 
   0.K p M u 
Từ đó:  
1
.p K M u
 (2.82) 
 T nh đến (2.82), hệ hai phƣơng trình (2.77) dẫn tới một phƣơng trình: 
            ,M Mm u C u K u Q (2.83) 
với: 
 1[ ] [ ][ ] [ ]Mm K K M . (2.84) 
 Biểu thức (2.84) là ma trận khối lƣợng kết hợp của miền chất lỏng với 
kết cấu bể chứa khi dao động. 
2.5. P iải ài o độ kế - 
Hệ phƣơng trình ( .78) có thể viết dƣới dạng: 
          intint int int .M U C U K U R (2.85) 
trong đó: 
 
int
[ ] [0]
[ ] [ ]
M
M
M Mq
;  
int
[ ] [0]
[0] [0]
C
C
;  
int
[ ] [ ]
[0] [ ]
K K
K
K
; 
 
{ }
{ }
u
U
p
 
 
 
; 
{ }
{ }
u
U
p
 
 
 
; 
{ }
{ }
u
U
p
 
 
 
; 
int
{ }
.
{0}
Q
R
 
 
 
50 
2.5.1. Dao động tự do không cản 
Trƣờng hợp bể chứa dao động tự do không có cản, phƣơng trình dao 
động có dạng: 
       
int int
0M U K U . (2.86) 
Nghiệm của phƣơng trình ( .86) có thể tìm dƣới dạng: 
  sin , U t t (2.87) 
trong đó: 
  - dạng (biên độ dao động) của hệ kết cấu, 
ω - tần số dao động riêng của hệ kết cấu. 
Từ (2.86) và (2.87), nhận đƣợc phƣơng trình xác định tần số dao động 
riêng của hệ kết cấu: 
     2int intdet 0.K M (2.89) 
Để giải phƣơng trình ( .89), hiện nay, có nhiều phƣơng pháp nhƣ: 
phƣơng pháp phân t ch Choleski, phƣơng pháp Jacobi tổng quát, song trong 
luận án sử dụng hàm viết sẵn của MATLAB 2009a. 
2.5.2. Dao động cƣỡng bức 
Có nhiều phƣơng pháp hiệu quả để giải hệ phƣơng trình ( .85), nhƣ 
phƣơng pháp phân t ch theo các dạng dao động riêng, các phƣơng pháp t ch 
phân trực tiếp. Trong luận án sẽ sử dụng phƣơng pháp t ch phân trực tiếp 
Newmark [79]. 
Giả sử đã biết nghiệm của bài toán tại thời điểm t là   , ,t t tU U U . 
Phƣơng trình chuyển động (2.85) viết tại thời điểm t t có dạng: 
          
int int int intt t t t t t t t
M U C U K U R . (2.90) 
51 
Khai triển theo chuỗi Taylor của t tU và t tU ta có: 
     
    
2 3
2
...
2 6
...
2
t t t t t t
t t t t t
t t
U U U t U U
t
U U U t U
 (2.91) 
Không t nh đến các thành phần bậc cao trong các phƣơng trình (2.91), 
các phƣơng trình trên dẫn tới dạng: 
     
    
2
3
2
,
2
,
t t t t t t
t t t t t
t
U U U t U U t
U U U t U t

 (2.92) 
trong đó: và  là các tham số đƣợc xác định trƣớc để đảm bảo độ chính xác 
và ổn định của lời giải. 
Theo Newmark, gia tốc của hệ đƣợc giả thiết là tuyến tính trong phạm 
vi mỗi bƣớc thời gian, theo đó: 
    1t t t tU U U
t
. (2.93) 
Thay biểu thức (2.93) vào (2.92) sẽ nhận đƣợc: 
    
     2 2
1
1
2
t t t t t t
t t t t t t t
U U t U t U
U U t U t U t U
 
. (2.94) 
Các tham số và  thƣờng đƣợc chọn nhƣ sau: 
2
0,50; 0,25 0,50  . (2.95) 
Đƣa vào một số ký hiệu mới: 
0 1 22
3 4 5
1 1
, , ,
1
1, 1 2 .
2 2
a a a
t t t
t
a a và a

 
 (2.96) 
52 
Từ biểu thức (2.94) ta có thể biểu diễn gia tốc và vận tốc tại thời điểm 
(t+ t) qua chuyển vị tại thời điểm (t+ t) và các đại lƣợng đã biết tại thời 
điểm t nhƣ sau: 
     
     
1 4 5
0 2 3
,
.
t t t t t t t
t t t t t t t
U a U U a U a U
U a U U a U a U
 (2.97) 
Thay các giá trị t tU và t tU từ biểu thức (2.97) vào phƣơng trình 
(2.90) ta có hệ phƣơng trình chuyển động tại thời điểm t+ t chỉ chứa các ẩn 
số là chuyển vị t tU tại thời điểm đó: 
           
        
0 1 0int int int int int
2 3 1 4 5int
t t t t t
t t t t t
K a M a C U R M a U
a U a U C a U a U a U
, (2.98) 
hoặc viết gọn lại dƣới dạng: 
  ˆ ˆ ,t t t tK U R (2.99) 
trong đó: 
Kˆ là ma trận độ cứng hiệu quả, 
      0 1int int intKˆ K a M a C , (2.100) 
 ˆt tR là véc tơ tải trọng hiệu quả, 
        
     
0 2 3int int
1 4 5int
ˆ
.
t t t t t t t
t t t
R R M a U a U a U
C a U a U a U
 (2.101) 
Giải (2.101) ta tìm đƣợc t tU  . Thay các giá trị này vào (2.97) ta sẽ 
t nh đƣợc  ,t t t tU U . Trình tự các bƣớc tính toán đƣợc thể hiện trong 
bảng 2.1. 
53 
Bảng .1. Tóm tắt các bƣớc t nh theo phƣơng pháp của Newmark 
I. Tính toán sơ bộ ban đầu 
1. Tính các ma trận cơ bản: Ma trận độ cứng  
int
K ; Ma trận khối lƣợng 
 
int
M ; Ma trận cản  
int
C . 
 . Xác định các bƣớc tích phân t , các tham số tích phân , và tính 
các hệ số 
0 1 5, ...a a a . 
 3. Xác định các véc tơ điều kiện ban đầu:   , ,U U U . 
 4. Tính ma trận độ cứng hiệu quả Kˆ . 
II. Tính lặp tại các thời điểm ,2 ,3 ...t t t t theo các bƣớc sau 
1. T nh véc tơ tải trọng hiệu quả ˆt tR , tại thời điểm ( )t t . 
        
     
0 2 3int int
1 4 5int
ˆ
t t t t t t t
t t t
R R M a U a U a U
C a U a U a U
2. Giải hệ phƣơng trình tìm véc tơ chuyển vị nút t tU , tại thời điểm ( )t t . 
  
1
ˆ ˆ
t t t tU K R
3. T nh các véc tơ vận tốc, gia tốc nút tại thời điểm ( )t t . 
     
     
1 4 5
0 2 3
t t t t t t t
t t t t t t t
U a U U a U a U
U a U U a U a U
 4. Tăng bƣớc thời gian ( )t t và lập lại từ bƣớc 1. 
Để đảm bảo sự ổn định và độ chính xác của lời giải theo phƣơng pháp 
tích phân trực tiếp Newmark, các tham số t, và  sẽ đƣợc lựa chọn nhƣ 
trình bày dƣới đây [79]. 
Nếu bỏ qua thành phần cản nhớt, nghiệm tìm đƣợc theo phƣơng pháp 
Newmark sẽ ổn định có điều kiện khi: 
1 1
;
2 2
  và 
max
1
2
t

 
, (2.102) 
54 
trong đó: max là tần số lớn nhất trong hệ khảo sát [79]. 
Nghiệm t nh theo phƣơng pháp Newmark sẽ ổn định vô điều kiện khi: 
1
2
2
  . (2.103) 
Đối với các hệ có số bậc tự do rất lớn, bƣớc thời gian giới hạn sử dụng 
trong tích phân số theo phƣơng pháp Newmark có thể viết lại ở dạng sau: 
min
1
2
2
t
T 
. (2.104) 
Đặc biệt khi ta chọn các tham số tích phân =0.25 và  .5 thì phƣơng 
pháp Newmark sẽ đảm bảo sự ổn định vô điều kiện của lời giải hầu nhƣ đối 
với mọi bƣớc thời gian. 
2.6. Kết luận chƣơng 2 
 Trong chƣơng đã nhận đƣợc các kết quả nghiên cứu sau đây: 
- Dẫn ra các phƣơng trình thủy động lực học cơ bản làm cơ sở cho việc 
thiết lập các phƣơng trình chuyển động của miền chất lỏng trong bể chứa. 
- Thiết lập các phƣơng trình đối với miền chất lỏng và miền kết cấu 
cũng nhƣ miền tiếp xúc kết cấu - chất lỏng theo mô hình tƣơng tác đầy đủ 
giữa các miền của hệ bằng phƣơng pháp PTHH, từ đó nhận đƣợc hệ phƣơng 
trình và thuật toán tổng quát (chung cho các hệ làm việc theo mô hình không 
gian và mô hình phẳng) để t nh toán động lực học bể chứa chất lỏng chịu tác 
dụng của tải trọng động bất kỳ. 
- Dẫn ra các thuật toán để giải bài toán dao động tự do và dao động 
cƣỡng bức của hệ kết cấu bể chứa – chất lỏng theo hệ phƣơng trình tƣơng tác 
đã thiết lập. 
55 
Chƣơng 3 
TÍNH BỂ CHỨA CHẤT LỎNG ĐẶT NỔI TRÊN MẶT ĐẤT CHỊU 
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG SÓNG NỔ 
Trong chƣơng này, dựa trên cơ sở các phƣơng trình tổng quát đã thiết 
lập trong chƣơng , sẽ thiết lập các phƣơng trình, thuật toán cụ thể bằng 
phƣơng pháp PTHH và chƣơng trình t nh tƣơng ứng để tính toán bằng số đối 
với bể chứa chất lỏng đặt nổi trên mặt đất theo mô hình phẳng dƣới tác dụng 
của tải trọng sóng nổ. 
3.1. Sơ đồ rời rạc hóa phần tử hữu hạn 
Khảo sát bể chứa chất lỏng đặt nổi trên mặt đất chịu tác dụng của áp 
lực sóng nổ và làm việc theo mô hình bài toán phẳng (hình 3.1). 
Hình 3.1. Mô hình khảo sát bể chứa chất lỏng đặt nổi 
Đối với bể chứa làm việc theo mô hình này sẽ đề cập đến hai loại kết 
cấu và các PTHH tƣơng ứng dƣới đây: 
- Kết cấu thành mỏng: Loại kết cấu này tƣơng ứng với khung phẳng (hệ 
thanh) và thƣờng làm bằng vật liệu thép hoặc bê tông cốt thép. Khi rời rạc hóa 
PTHH đối với kết cấu này ta nhận đƣợc các PTHH dạng thanh phẳng chịu 
uốn cùng kéo – nén. 
- Kết cấu thành dày: Loại kết cấu này thƣờng làm bằng vật liệu bê tông 
56 
cốt thép. Khi rời rạc hóa PTHH đối với kết cấu này ta nhận đƣợc các PTHH 
loại tấm phẳng làm việc trong trạng thái kéo – nén. 
Đối với chất lỏng làm việc theo mô hình phẳng, khi rời rạc hóa PTHH 
cũng sẽ nhận đƣợc các PTHH dạng tấm phẳng. 
Trên hình 3. là sơ đồ rời rạc hoá PTHH đối với hệ kết cấu bể chứa – 
chất lỏng với việc sử dụng các loại PTHH nói trên (thanh phẳng, tấm phẳng 
tam giác, tấm phẳng chữ nhật). 
a) Bể chứa với kết cấu 
thành mỏng 
b) Bể chứa với kết cấu 
thành dày 
Hình 3.2. Mô hình rời rạc hóa PTHH đối với hệ kết cấu bể chứa - chất lỏng 
3.2. Thiết lập các ma trận PTHH đối với miền kết cấu 
3.2.1. Phần tử thanh phẳng 
 a, Trong hệ tọa độ cục bộ b, Trong hệ tọa độ chung 
Hình 3.3. Phần tử hữu hạn dạng thanh phẳng 
57 
Phần tử hữu hạn kết cấu bể chứa dạng thanh phẳng chịu uốn cùng kéo – 
nén và các chuyển vị của nó trong mặt phẳng toạ độ cục bộ (xm,ym), hệ toạ độ 
chung (x,y) đƣợc thể hiện trên hình 3.3. 
Véc tơ chuyển vị tại điểm bất kỳ trên trục thanh của PTHH thứ “e” của 
kết cấu trong hệ trục toạ độ cục bộ (xm,ym) đƣợc nội suy theo công thức: 
 { ( , )} [ ( )] { ( )} ,e em mu x t N x u t (3.1) 
trong đó: 
 { ( , )} ( , ) ( , )
T
m m mu x t u x t v x t , 
với: u, v - tƣơng ứng là chuyển vị dọc trục và ngang tại điểm bất kỳ trên trục 
thanh của phần tử, 
{ ( )}eu t - véc tơ chuyển vị nút (nút 1 và ) của phần tử trong hệ trục toạ 
độ cục bộ, 
 1 1 1 2 2 2{ ( )} [ ]
e T
m m m m m m
u t u v u v  , (3.2) 
với:  - chuyển vị xoay của tiết diện thanh, 
 ( )
e
mN x - ma trận các hàm dạng của PTHH kết cấu, 
   1 4
2 3 5 6
0 0 0 0
( ) ,
0 0
T
e m m
m
m m m m
N N
N x
N N N N
 (3.3) 
trong đó: 
1 4
2 3 2 3
2 52 3 2 3
2 3 2 3
3 62 2
1 , ,
1 3 2 , 3 2 ,
2 , ,
m m
m m
m m m m
m m
m m m m
m m
x x
N N
l l
x x x x
N N
l l l l
x x x x
N x N
l ll l
 (3.4) 
với: mx - tọa độ điểm bất kỳ trên trục của phần tử trong hệ toạ độ cục bộ, l - 
chiều dài phần tử. 
58 
 Ma trận khối lƣợng,  
e
m
M , đƣợc xác định theo công thức tổng quát 
(2.68) kết hợp với (3.3) ta nhận đƣợc: 
  
2 2
2 2
140 0 0 70 0 0
0 156 22 0 54 13
0 22 4 0 13 3
,
420 70 0 0 140 0 0
0 54 13 0 156 22
0 13 3 0 22 4
e s
m
l l
l l l lFl
M
l l
l l l l
 (3.5) 
với: , ,s F l - tƣơng ứng là khối lƣợng riêng của vật liệu, diện t ch tiết diện 
ngang và chiều dài của phần tử thanh. 
 Ma trận độ cứng,  
e
m
K , đƣợc xác định theo công thức tổng quát 
(2.65), trong đó ma trận quan hệ biến dạng - chuyển vị và ma trận vật liệu của 
phần tử thanh có dạng: 
  
1 4
2 2 22
3 5 62
2 2 2 2
0 0 0 0
( , ) ,
0 0
m m
m m
m m m m
m m m m m
dN dN
dx dx
B x y
d N d N d Nd N
y y y y
dx dx dx dx
 (3.6) 
  
0
0
s
s
E
D
E
, (3.7)
với: sE - là môđun đàn hồi của vật liệu kết cấu. 
T nh đến (3.3), công thức (2.65) chuyển tới dạng: 
  
2 2
2 2
3 2 2
2 2
0 0 0 0
0 12 6 0 12 6
0 6 4 0 6 2
,
0 0 0 0
0 12 6 0 12 6
0 6 2 0 6 4
e s
m
Fl Fl
I I
l l
l l l lE I
K
l Fl Fl
I I
l l
l l l l
 (3.8) 
59 
với: I - là mô men quán t nh tiết diện của phần tử.
 Véc tơ tải trọng quy nút của phần tử do tải trọng phân bố bề mặt gây 
ra trong hệ tọa độ cục bộ, { }emG , vẫn đƣợc xác định theo công thức tổng quát 
( .63). Trong trƣờng hợp tải trọng chỉ có 1 thành phần vuông góc với trục 
thanh và phân bố đều, véc tơ trên có dạng: 
  1 1 1 2 2 2
2 21 1 1 1 0 0 ,
2 12 2 12
Te
u v u vm
T
G G G G G G G
q l l l l
 
 (3.9) 
trong đó: q - tải trọng phân bố đều theo đơn vị dài của trục thanh. 
 Véc tơ nội lực nút của phần tử thanh: 
Sau khi t nh đƣợc véc tơ chuyển vị nút, véc tơ nội lực nút của phần tử 
trong hệ toạ độ cục bộ đối với vật liệu đàn hồi tuyến t nh đƣợc tính theo công 
thức: 
     0
e ee e
m m mm
F K u F , (3.10) 
trong đó: 0
e
m
F - ứng lực nút (trong hệ to