Luận án Tổng hợp hệ thống điều khiển trượt cho một lớp đối tượng phi tuyến bất định

iên cứu trong đó có [10], [16] đã bổ sung 
thêm thành phần điều khiển tỉ lệ với giá trị của biến trượt 퐾푠푠( ) vào u: 
 = 푡 − 퐾푠푠( ) − 훿푠푖 푛(푠( )) (2.13) 
 −1
 Trong đó: 훿 là hằng số dương 훿 ≥ ; 퐾푠 = ( ) với k là hằng số 
dương tùy chọn. 
 Ở đây, bên cạnh thành phần 훿 là tham số “truyền thống” của các hệ 
thống có cấu trúc biến đổi hoạt động trong chế độ trượt thì thành phần điều 
khiển 퐾푠푠( ) là thành phần điều khiển bổ sung để kéo nhanh trạng thái hệ 
thống về mặt trượt khi trạng thái hệ thống bị bật ra khỏi mặt trượt 푠( ). 
 Các kết quả mô phỏng đã khẳng định tính hiệu quả cao của thành phần 
퐾푠푠( ). Để nâng cao hơn nữa hiệu quả và chất lượng điều khiển, mục này sẽ 
phát triển bộ điều khiển (2.11), (2.13) thành bộ điều khiển được xây dựng trên 
hàm mũ giá trị của biến trượt 푠( ) như sau: 
 40 
 Luật điều khiển (2.13) được viết lại dưới dạng: 
 −1
 = 푡 − ( ( ) 푠 + 훿)푠푖 푛(푠( )) 
 Đặt: 
 휌 = ( )−1 푠 + 훿 
 Tuy nhiên, khi 푠 lớn, 휌 cũng sẽ lớn, như vậy tốc độ tiến về mặt trượt 
lớn và trong nhiều trường hợp sẽ gây ra hiện tượng quá điều khiển, vì vậy để 
tốc độ tiệm cận ở miền ngoài vùng lân cận của mặt trượt 푠 ổn định theo 
giá trị xác định trước, 휌 được xác định như sau: 
 휌 = ( )−1 + 훿 
 Khi đó, ở ngoài vùng lân cận mặt trượt 푠( ), tốc độ tiệm cận về mặt trượt 
của hệ thống sẽ là: 
 푠 = ( )−1 + 훿 − = + 훿 − ( ) 
 Trong vùng lân cận, việc sử dụng 휌 = ( )−1 푠 + 훿 sẽ tạo ra 
thành phần tuyến tính cho 휌 . Để nâng cao đáp ứng của hệ thống đối với 
nhiễu trong miền lân cận của mặt trượt 푠 , thành phần 휌 được tổng hợp 
trên cơ sở hàm mũ của biến trượt 푠 theo bổ đề sau: 
Bổ đề: luật điều khiển (2.11) với: 
 1
 훼
 1퐽 푠( ) + 훿 푕푖 푠( ) ≤ 1
 휌 = ; (2.14) 
 2퐽 + 훿 푕푖 푠( ) > 1
với: 훿 là hằng số dương δ > d ; 1, 2 là hằng số dương tùy ý; 훼 ≥ 1. 
sẽ đảm bảo tồn tại chế độ trượt trên mặt trượt (2.6) của hệ (2.5). 
 Chứng minh: 
 Để chứng minh bổ đề trên, ta sử dụng tiêu chuẩn ổn định Lyapunov: 
 1 2
với = 푠 ( ), giá trị điều khiển phải đảm bảo sao cho 푠 푠 ( ) < 0. 
 2
 Thay (2.14), (2.12) vào (2.11) ta có: 
 41 
 1
 −1 훼
 −[ ] − ( 1퐽 푠( ) + 훿)푠푖 푛 푠( ) 푕푖 푠( ) ≤ 1
 = 
 −1 
 −[ ] − 2퐽 + 훿 푠푖 푛 푠( ) 푕푖 푠( ) > 1
 (2.15) 
 Xét điều kiện tồn tại chế độ trượt của hệ thống (2.5) với giá trị điều 
khiển trong (2.15) 
 Khi 푠( ) > 1: 
 Từ (2.5), (2.7), (2.15) ta có: 
 −1 
 푠( )푠 ( ) = 푠( ){ + {(− + 
 +[− 2퐽푠푖 푛(푠( )) − 훿푠푖 푛(푠( )) + ]}} (2.16) 
 Khai triển (2.16) ta được: 
 푠 푠 = − 푠( ) 2퐽 − 푠( ) 훿 + 푠( ) ] 
 do d 0 
 Như vậy, ta có: 푠 푠 = − 푠( ) 2퐽 −  < 0 
 Khi 푠( ) ≤ 1 
 Từ (2.5), (2.7), (2.15) ta có: 
 −1 
 푠( )푠 ( ) = 푠( ){ + {(− + 
 1
 훼
 +[− 1퐽 푠 푠푖 푛(푠( )) − 훿푠푖 푛(푠( )) + ]}} (2.17) 
 Khai triển (2.17) ta được: 
 1
 훼
 푠( ) 푠 ( ) = 푠( ) [− 1퐽 푠( ) 푠푖 푛(푠( )) − 훿푠푖 푛(푠( )) + ] (2.18) 
Khai triển (2.18) ta có: 
 1
 훼
 푠( ) 푠 = − 푠( ) 2 1 푠( ) − 푠( ) 훿 + 푠( ) (2.19) 
 do d < δ nên: 
− 푠( ) 훿 + 푠 ≤ − 푠( ) 훿 + 푠 = − 푠 훿 − = − 푣ớ푖  > 0 
Như vậy, ta có: 
 42 
 1
 훼
 푠 푠 ( ) = − 푠( ) 2 1 푠( ) −  <0 (2.20) 
 Trong cả hai trường hợp, 푠 푠 < 0, do vậy hệ luôn tồn tại chế độ 
trượt. Bổ đề đã được chứng minh. 
 Tương tự như (2.14), một cách viết khác mà thành phần bổ sung cũng 
được tổng hợp dựa trên hàm mũ của biến trượt là: 
 퐽[( 푠( ) + )훼 − 훼 ] + 훿 푕푖 푠( ) ≤ 1
 휌 , 푡 = 1 ; (2.21) 
 2퐽 + 훿 푕푖 푠( ) > 1
 trong đó: a, α là các hằng số tùy chọn thỏa mãn a ≥ 1, α ≥ 1. 
 Để đánh giá kết quả nghiên cứu, ta thực hiện mô phỏng trên phần mềm 
matlab với hai bộ điều khiển khác nhau: Bộ điều khiển sử dụng thành phần 
 푠푠( ) là bộ điều khiển đối chứng và bộ điều khiển được đề xuất (2.15). 
 Cho đối tượng truyền động có các tham số: k=20, J=30 kgm2; Tín hiệu 
đầu vào là hàm bước, nhiễu bên ngoài tác động vào hệ thống dạng xung có 
chu kỳ 1s, thời gian tác động 0.05s và độ lớn 30Nm, đối tượng truyền động 
được mô tả bởi phương trình vi phân: 
 = + ( + ) 
 0 1 0
 20 1 
 Trong đó: = 0 − ; = ; d < 30. 
 30 30
 Mặt trượt s(x) được chọn: 푠 = với = 200 1 . 
 Mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đối chứng: 
 Sơ đồ mô phỏng hệ thống được thể hiện trên hình 2.1 với: 
 퐽 1
 = − − 2 − 퐾푠푠( ) − 훿푠푖 푛(푠( )); 
 2
 Chọn: 퐾푠 = 15000; 훿 = 30. 
 Với các tham số đã chọn, ta có kết quả mô phỏng được thể hiện trên 
hình 2.2. 
 43 
Hình 2.1 Sơ đồ mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đối chứng 
 44 
 u (Nm)
 ễ
 Nhi
 )
 Rad
 bám ( bám
 ố
 Sai s
 Hình 2.2 Kết quả mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đối chứng 
 Mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đề xuất: 
 Sơ đồ mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đề xuất được thể hiện 
trên hình 2.3 với: 
 1
 퐽 1 훼
 − − 2 − ( 1퐽 푠( ) + 훿)푠푖 푛 푠( ) 푕푖 푠( ) ≤ 1
 2 
 = 
 퐽 1
 − − 2 − 2퐽 + 훿 푠푖 푛 푠( ) 푕푖 푠( ) > 1
 2
 Chọn: 1 = 60; 2 = 1200; 훼 = 8; 훿 = 30 
 Với các tham số đã chọn, ta có kết quả mô phỏng được thể hiện trên 
hình 2.4. 
 Nhận xét: 
 Kết quả mô phỏng cho thấy: tại các thời điểm có tác động của nhiễu, 
sai số bám của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển đề xuất có sự biến 
động nhỏ hơn so với hệ thống sử dụng bộ điều khiển đối chứng. Điều này 
chứng tỏ bộ điều khiển được tổng hợp trên cơ sở bổ sung thành phần điều 
khiển tỉ lệ với hàm mũ của biến trượt 푠( ) có khả năng kháng nhiễu tốt hơn 
 45 
Hình 2.3 Sơ đồ mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đề xuất 
 46 
 (Nm)
 u
 ễ
 Nhi
 )
 Rad
 bám ( bám
 ố
 Sai s
 Thời gian (s) 
 Hình 2.4 Kết quả mô phỏng hệ thống sử dụng bộ điều khiển đề xuất 
so với bộ điều khiển sử dụng thành phần tỉ lệ với giá trị của biến trượt 퐾푠푠( ) 
và cũng như 퐾푠푠( ) thành phần này tiến đến 0 khi trạng thái hệ thống nằm 
trên mặt trượt điều này góp phần làm giảm hiện tượng chattering trong quá 
trình trạng thái hệ thống nằm ở sát lân cận mặt trượt. Hệ thống điều khiển 
được tổng hợp theo phương pháp đề xuất có tính khả thi cao trong áp dụng 
vào điều khiển các hệ thống có nhiễu mạnh và bất định. Kết quả trên được áp 
dụng cho các phương pháp tổng hợp được trình bày trong các mục tiếp theo. 
2.2. Tổng hợp hệ thống điều khiển bền vững cho hệ truyền động phi 
tuyến có tham số bất định 
 Các hệ thống điều khiển bám trong các hệ thống khí tài hiện nay đã 
được nhiều nhà khoa học nghiên cứu và đã có nhiều công trình được công bố. 
Trong [11], [16], [17], [19], [64], [86] các tác giả đã sử dụng bộ nhận dạng 
thích nghi trên cơ sở mạng nơ ron xuyên tâm để tổng hợp hệ thống điều khiển 
hoạt động trong chế độ trượt cho lớp đối tượng phi tuyến phụ thuộc đầu ra 
hoạt động trong điều kiện có nhiễu tác động. Trong [9], các tác giả đã sử dụng 
mặt trượt cận tối ưu trong tổng hợp hệ thống tự động bám để nâng cao khả 
 47 
năng tác động nhanh cho hệ thống. Trong [10], các tác giả đã xây dựng 
phương pháp tổng hợp hệ điều khiển theo chế độ trượt cho hệ thống có nhiễu 
dựa trên nhận dạng nhiễu nhờ mô hình song song. Các phương pháp trên rất 
hiệu quả cho các đối tượng có mô hình rõ ràng, đã biết. Tuy nhiên, trong thực 
tế một số đối tượng điều khiển có mô hình không rõ ràng đồng thời các ma 
trận trạng thái và ma trận đầu vào của hệ thống còn chứa các thành phần phi 
tuyến bất định như hệ thống điều khiển truyền động cho pháo phòng không, 
cẩu trục, băng tải, Robot ... Việc áp dụng các kết quả đã nêu cho lớp đối 
tượng này là khó thực hiện. Chính vì vậy, cần phát triển một giải pháp mới để 
tổng hợp hệ thống điều khiển cho lớp đối tượng này. Mục này sẽ trình bày các 
giải pháp tổng hợp hệ thống điều khiển cho lớp đối tượng có thành phần phi 
tuyến, bất định trong các ma trận động học của hệ thống. Các kết quả nghiên 
cứu được kiểm chứng bằng mô phỏng trên mô hình hệ truyền động của pháo 
phòng không, là một dạng đối tượng phi tuyến mà trong các ma trận động học 
của hệ thống chứa các thành phần phi tuyến và bất định. 
2.2.1. Phương pháp phân tách thành phần bất định 
 Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng điều khiển tương đương có 
tính đến bù các thành phần bất định của hệ thống để duy trì trạng thái của hệ 
trên mặt trượt và sử dụng tín hiệu rời rạc để đưa trạng thái hệ thống tiến về 
mặt trượt, khắc phục sự bất định của hệ thống gây ra. 
 Xét đối tượng điều khiển SISO có dạng: 
 = ( ) + ( ) + (2.22) 
trong đó: 
 - , ( ) là các ma trận trạng thái và ma trận đầu vào của đối tượng, 
 đây là các ma trận chứa các phần tử 푖,푗 , 푖,푗 là các thành phần phi tuyến 
 phụ thuộc vào trạng thái hệ thống và các thành phần bất định nằm trong 
 dải cho trước. 
 48 
 - là thành phần nhiễu bất định bên ngoài. 
 Để tổng hợp bộ điều khiển trượt cho hệ thống, mặt trượt được chọn là: 
 푠( ) = , (2.23) 
 Để tồn tại chế độ trượt của hệ (2.22) trên mặt trượt (2.23) thì điều kiện 
푠( )푠 ( ) < 0 phải được thỏa mãn, theo phương pháp điều khiển tương 
đương, tín hiệu điều khiển được tổng hợp như sau: 
 −1
 = − − 휌 푠푖 푛 푠 (2.24) 
 với 휌 là hàm tùy chọn thỏa mãn 휌 > . 
 Trong biểu thức (2.24), do ( ) và ( ) có các tham số phi tuyến bất 
định nên trong thực tế việc xác định u rất khó khăn. Vì thành phần 
휌( )푠푖 푛 푠( ) xác định nên nếu là tín hiệu điều khiển cho hệ: 
 = ( ) + ( ) (2.25) 
thì: 
 = − 휌( ) 푠푖 푛 푠( ) (2.26) 
sẽ là tín hiệu điều khiển cho hệ (2.22). Vì vậy, nhiệm vụ đặt ra là tổng hợp tín 
hiệu điều khiển cho hệ (2.25). 
 Giả thiết rằng các thành phần bất định trong các ma trận động học của 
(2.25) là bị chặn trong một dải xác định. Khi đó, để tổng hợp giá trị điều 
khiển cho (2.25), các ma trận của hệ (2.25) được phân tích thành hai thành 
phần là thành phần ma trận chứa các phần tử xác định được và thành phần ma 
trận chứa các phần tử bất định: 
 = 0 + ∆ ; = 0( ) + ∆ (2.27) 
trong đó: 0 , 0 là các ma trận chứa các phần tử xác định được; 
∆ , ∆ là các ma trận chứa các thành phần bất định ∆ 푖,푗 và ∆ 푖,푗 nằm trong 
một dải xác định. Thay (2.27) vào (2.25), (2.25) được viết lại như sau: 
 49 
 = 0( ) + 0( ) + ∆ ( ) + ∆ ( ) (2.28) 
 Bộ điều khiển được tổng hợp theo phương pháp điều khiển trượt, do 
vậy cần đảm bảo cho 푠( )푠 ( ) < 0 hay: 
 푠( ) 0( ) + 0( ) + ∆ + ∆ < 0 (2.29) 
 Đối với hệ truyền động điện SISO ta có là giá trị vô hướng và 
 > 0. Do vậy, giá trị điều khiển được tổng hợp theo định lý sau đây. 
Định lý 1: Luật điều khiển: 
 −1 푃 +훿1
 = − ( ) − 푠푖 푛(푠( )) − 
 0 0 푅
 −1 
 푄 0 0 +훿2
 − 푠푖 푛(푠( )) (2.30) 
 푅
Trong đó: 
 P là ma trận có các phần tử: 푖푗 = ∆ 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 
 Q là ma trận có các phần tử: 푞푖푗 = ∆ 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 
 R là ma trận có các phần tử: 푖푗 = min 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 
sẽ đảm bảo tồn tại chế độ trượt cho hệ (2.28) trên mặt trượt (2.23). 
Chứng minh: 
 푃 +훿
 Đặt: = − 1 푠푖 푛(푠( )); (2.31) 
 1 푅
 −1 
 푄 0 0 +훿2
 = − 푠푖 푛(푠( )) (2.32) 
 2 푅
 −1 
 푡 = − 0 0( ) (2.33) 
Từ (2.29), (2.30), (2.31), (2.32) và (2.33) ta có: 
푠( )푠 ( ) = 푠( ) 0 + 0 푡 + 1 + 2 + ∆ +
 + ∆ 푡 + 1 + 2 (2.34) 
khai triển (2.34) ta có: 
 푠( )푠 ( ) = 푃1 + 푃2 + 푃3 (2.35) 
 50 
với: 
 푃1 = 푠 [ 0( ) + 0( ) 푡 ] 
푃2 = 푠( )( 0( ) 1 + ∆ 1 + ∆ ) = 푠( )( ( ) 1 + ∆ ) 
푃3 = 푠( )( 0( ) 2 + ∆ 2 + ∆ 푡 ) = 푠( )( ( ) 2 + ∆ 푡 ) 
* Xét thành phần 푷 : 
 푃1 = 푠 [ 0( ) + 0 푡 ] (2.36) 
Thay (2.33) vào (2.36) ta có: 
 −1
 푃1 = 푠 [( 0 − 0( ) 0 0( ) )] = 0 (2.37) 
* Xét thành phần 푷 : 
 푃2 = 푠( )( ( ) 1 + ∆ ) (2.38) 
Thay (2.31) vào (2.38) ta có: 
 푃 +훿1 
 푃 = 푠( )(− ( ) 푠푖 푛(푠( )) + ∆ ) 
 2 푅
Do 푖푗 ≤ 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 nên: 
 푃2 ≤ 푠 {− 푃 푠푖 푛 푠 + ∆ − 훿1푠푖 푛 푠 } (2.39) 
 푃2 ≤ − 푠( ) 푃 +푠( ) ∆ −훿1 푠( ) 
Do 푃푖푗 ≥ ∆ 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 nên: 
 − 푠( ) 푃 +푠( ) ∆ ≤ −휇 với 휇 là một số không âm, vì vậy: 
 푃2 < − 푠( ) 훿1 − 휇 < 0 (2.40) 
* Xét thành phần 푷 : 
 푃3 = 푠( )( ( ) 2 + ∆ 푡 ) (2.41) 
Thay (2.32), (2.33) vào (2.41) ta có: 
 −1
 푄 +훿
 0 0 2
 푃 = 푠 {− 푠푖 푛 푠( ) + 
 3 푅
 −1 
 + ∆ 0 0 } (2.42) 
 51 
Do 푖푗 ≤ 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 nên: 
 −1 
 푃3 ≤ 푠 {− 푄 0 0 푠푖 푛 푠( ) + 
 −1 
 + ∆ 0 0 − 훿2푠푖 푛(푠( ))} (2.43) 
 −1 −1 
푃3 ≤ − 푠( ) 푄 0 0 + 푠 ∆ 0 0 − 푠( ) 훿2 
Do 푞푖푗 ≥ ∆ 푖푗 푣ớ푖 ∀푖, 푗 nên: 
 −1 −1 
 − 푠( ) 푄 0 0 + 푠( ) ∆ 0 0 ≤ −휇 với 휇 là 
một số không âm, vì vậy: 
 푃3 < −휇 − 푠( ) 훿2 < 0 (2.44) 
 Từ (2.37), (2.40), (2.44) cho thấy: 
 푠 푠 ( ) = 푃1 + 푃2 + 푃3 < 0. 
Định lý đã được chứng minh. 
 Ta nhận thấy: giá trị điều khiển (2.34) với gồm 3 thành phần: 푡 , 1 
và 2. Trong đó: 푡 là tín hiệu điều khiển tương đương cho các thành phần 
xác định của đối tượng điều khiển; từ (2.38) và (2.41) cho thấy thành phần 1 
là thành phần điều khiển bù thành phần bất định của ma trận trạng thái và 2 
là thành phần điều khiển bù thành phần bất định của ma trận điều khiển. 
Phương pháp tổng hợp này có thể áp dụng cho hầu hết các đối tượng SISO có 
các thành phần bất định nằm trong miền xác định. 
2.2.2. Phương pháp tổng hợp trực tiếp ma trận phản hồi trạng thái 
 Phương pháp tổng hợp hệ điều khiển trên cơ sở phân tích các ma trận 
hệ thống thành hai thành phần: thành phần xác định và thành phần bất định 
nằm trong dải xác định thực hiện có hiệu quả đối với các hệ SISO. Về mặt 
toán học phương pháp tổng hợp này có thể áp dụng cho một số đối tượng 
MIMO. Tuy nhiên khi giải quyết cho đối tượng MIMO, bài toán sẽ phức tạp 
hơn rất nhiều vì ảnh hưởng qua lại giữa các trạng thái của các biến đầu ra và 
 52 
điều khiển khác nhau, đồng thời thành phần bù bất định trong tín hiệu điều 
khiển được tổng hợp trên cơ sở đánh giá chung cực trị của các thành phần bất 
định phụ thuộc trạng thái và các thành phần bất định phụ thuộc vào tín hiệu 
điều khiển, điều này trong nhiều trường hợp làm cho thành phần bù bất định 
có giá trị lớn và xuất hiện hiện tượng chattering trong hệ thống. Để giảm hiện 
tượng này, phần dưới đây sẽ đưa ra phương pháp tổng hợp bộ điều khiển cho 
hệ thống hoạt động trong chế độ trượt, trong đó bộ điều khiển được tổng hợp 
dựa trên các thành phần tỉ lệ với các biến trạng thái. Các hệ số tỉ lệ được xác 
định từ giá trị cực trị của từng thành phần bất định trong các ma trận động học 
của đối tượng và được lựa chọn dựa trên trạng thái của hệ thống so với mặt 
trượt. Do đó, khi trạng thái của hệ thống tiến tới gốc tọa độ, thành phần điều 
khiển này sẽ tiến tới “0”, có nghĩa là ảnh hưởng của sự bất định và sự thay đổi 
của các thành phần trong ma trận điều khiển và ma trận trạng thái của hệ đến 
tín hiệu điều khiển cũng sẽ tiến đến “0”, điều này làm cho hiện tượng 
chattering trong chế độ trượt được giảm đi khi các trạng thái của hệ thống tiến 
tới gốc tọa độ. Bản chất của phương pháp này là sử dụng tín hiệu điều khiển 
nhằm tạo ra giá trị đạo hàm của biến trượt tỷ lệ với giá trị của các biến trạng 
thái của hệ, tạm gọi là trượt phản hồi trạng thái với ma trận phản hồi có cấu 
trúc biến đổi. 
 Xét đối tượng điều khiển có dạng: 
 = + ( + 푡 + ). (2.45) 
trong đó , ( ) là các ma trận động học có hệ số chứa các thành phần 
phi tuyến bất định bị chặn, ( ) là véc tơ các thành phần nhiễu phụ thuộc đầu 
ra và 푡 véc tơ các thành phần nhiễu bất định nằm trong dải xác định. 
 Để tổng hợp bộ điều khiển trượt cho hệ (2.45) ta chọn siêu mặt trượt là: 
 푠( ) = với 푖,푗 > 0 (2.46) 
 53 
 Giả sử các tham số nhiễu bị chặn: 
 푖 푡 < 푖; 푖( ) < 푖 푣ớ푖 ∀ 푖 = 1. . . (2.47) 
khi đó: 
 푠 ( )푠 ( ) = 푠 ( ) + + 푡 + . (2.48) 
 Để 푠 ( )푠 ( ) < 0, theo phương pháp điều khiển tương đương tín hiệu 
điều khiển được chọn như sau: 
 −1 
 푖( ) = − 푖 ( ) 푖 − 휌푖( ) + 푖 + 푖 푠푖 푛 푠푖( ) (2.49) 
với 휌푖( ) là hàm tùy chọn xác định dương. 
 Tuy nhiên, trong biểu thức (2.49) do và có các tham số phi 
tuyến bất định phụ thuộc trạng thái nên trong thực tế việc xác định 푖( ) 
không thực hiện được. Vì các thành phần 휌푖( ), 푖 và 푖 xác định nên nếu 1 
là tín hiệu điều khiển cho hệ: 
 = + 1 (2.50) 
thì: 
 = 1 − 0 (2.51) 
với 0 là véc tơ bao gồm các phần tử: 
 0푖 = 휌푖( ) + 푖 + 푖 푠푖 푛 푠푖( ) 푣ớ푖 푖 = 1. . 
sẽ là tín hiệu điều khiển cho hệ (2.45). Vì vậy, nhiệm vụ đặt ra là tổng hợp tín 
hiệu điều khiển cho hệ (2.50). 
 Đối với các hệ truyền động điện không điều khiển xuyên kênh, hệ 
(2.50) có thể được biểu diễn dưới dạng: 
 O
 = + . (2.52) 
 푖 ( )
 푛 푛 
trong đó: ∈ 푅 ; 푖 ∈ 푅 là ma trận đường chéo. 
Giả thiết: 
 54 
- Ma trận có các phần tử 푖,푗 bất định nằm trong khoảng xác định: 
 − +
 푖,푗 ≤ 푖,푗 ≤ 푖,푗 . (2.53) 
 − +
với các phần tử 푖,푗 và 푖,푗 cùng dấu 
- Ma trận 푖 có các phần tử 푖,푗 bất định nằm trong khoảng xác 
 định: 
 − +
 푖,푗 ≤ 푖,푗 ≤ 푖,푗 . (2.54) 
 − +
 Đối với các hệ truyền động điện, 푖,푗 luôn dương, khi đó 푖,푗 và 푖,푗 
luôn dương. 
 Với một số giả thiết như vậy, việc tổng hợp lệnh điều khiển được thực 
hiện như sau: 
 Định lý 2: hệ (2.52) với các điều kiện (2.53) và (2.54) sẽ hoạt động ở chế 
độ trượt trên siêu mặt trượt (2.46) 푠( ) = 푠1( ); 푠2( );  ; 푠 ( ) , 푠푖 =
 푖 khi sử dụng luật điều khiển: 
 푛
 a) 푖 = 푗 =1 휑푖,푗 푗 (2.55) 
 b) Các hệ số phản hồi trạng thái 휑푖,푗 được xác định theo: 
 훼푖,푗 + 훿푖,푗 푛ế 푠푖( ) 푗 < 0
 휑푖,푗 = . (2.56) 
 훽푖,푗 − 훿푖,푗 푛ế 푠푖( ) 푗 > 0
 với 훿푖,푗 là hằng số dương tùy chọn. 
 c) Các tham số chuyển mạch 훼푖,푗 và 훽푖,푗 được xác định như sau: 
 min ⁡ 푖 푗 
 − 푛ế 푖 푗 > 0
 max ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 훼푖,푗 = ; (2.57) 
 max ⁡ 푖 푗 
 푛ế 푖 푗 < 0
 min ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 max ⁡ 푖 푗 
 − 푛ế 푖 푗 > 0
 min ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 훽푖,푗 = . (2.58) 
 min ⁡ 푖 푗 
 푛ế 푖 푗 < 0
 max ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 55 
với: 푗 là véc tơ cột thứ 푗 của ma trận ; 푖 là véc tơ tham số của mặt trượt 
푠푖( ); 푖,푛− +푖 là phần tử thứ n-m+i của véc tơ 푖 ; 푛− +푖 là phần tử thứ i 
của ma trận 푖 . 
 Ta sẽ chứng minh định lý cho một mặt trượt 푠푖( ) 푣ớ푖 ∀푖 = 1,2,  , . 
 1 0
 Ta có: 푠( ) = ; 푠 ( ) = ⋮ ; 푠 = + . 
 푖 ( )
 Khai triển cho từng mặt trượt, ta có: 
 0
 푠 푖( ) = 푖 = 푖 + 푖 푛− +푖 푖 
 0
 푛 푛
 = 푗 =1 푖 푗 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖 푗 =1 휑푖,푗 푗 
 푛 
 = 푗 =1( 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖휑푖,푗 ) 푗 . (2.59) 
 Từ (2.59) ta có: 
 푛 
 푠푖( )푠 푖( ) = 푗 =1 푠푖( ) 푗 ( 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖휑푖,푗 ). (2.60) 
 Để (2.60) nhỏ hơn 0, điều kiện đủ là mọi phần tử của nó nhỏ hơn 0 hay 
 푠푖( ) 푗 ( 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖휑푖,푗 ) = 푠푖( ) 푗 푗 < 0 푣ớ푖 ∀푗. (2.61) 
 Trường hợp 풔풊(풙)풙풋 > 0 
 Đặt điều kiện (2.56) vào (2.61) ta có: 
 푗 = 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖훽푖,푗 − 푖,푛− +푖 푛− +푖훿푖,푗 
 max ⁡ 푖 푗 
 * Giả sử 푖 푗 > 0, theo (2.58) ta có: 훽푖,푗 = − 
 min ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Khi đó: 푗 = 푖 푗 − 훼max⁡ 푖 푗 − 푖,푛− +푖 푛− +푖 훿푖,푗 ; 
 Với 훼 = 푖,푛− +푖 푛− +푖 ≥ 1. 
 min ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Như vậy ta có 푗 < 0 do vậy 푠푖( ) 푗 푗 < 0. 
 min ⁡ 푖 푗 
 * Giả sử 푖 푗 < 0, theo (2.58) ta có: 훽푖,푗 = 
 max ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 56 
 Khi đó: 푗 = 푖 푗 + 훼min⁡ 푖 푗 − 푖,푛− +푖 푛− +푖훿푖,푗 
 Với 훼 = 푖,푛− +푖 푛− +푖 ≤ 1 
 max ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Như vậy ta có 푗 < 0 do vậy 푠푖( ) 푗 푗 < 0. 
 Trường hợp 풔풊(풙)풙풋 < 0 
 Đặt điều kiện (2.56) vào (2.61) ta có: 
 푗 = 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖훼푖,푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖훿푖,푗 
 min ⁡ 푖 푗 
 * Giả sử 푖 푗 > 0, theo (2.57) ta có: 훼푖,푗 = − 
 max ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Khi đó: 푗 = 푖 푗 − 훼 min 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖훿푖,푗 
 Với 훼 = 푖,푛− +푖 푛− +푖 ≤ 1 
 max ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Như vậy ta có 푗 > 0 do vậy 푠푖( ) 푗 푗 < 0. 
 max ⁡ 푖 푗 
 * Giả sử 푖 푗 < 0, theo (2.57) ta có: 훼푖,푗 = 
 min ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Khi đó: 푗 = 푖 푗 + 훼 max 푖 푗 + 푖,푛− +푖 푛− +푖훿푖,푗 
 Với 훼 = 푖,푛− +푖 푛− +푖 ≥ 1 
 min ⁡( 푖,푛− +푖 푛− +푖)
 Suy ra 푗 > 0 hay 푠푖( ) 푗 푗 < 0. 
 Như vậy trong tất cả các trường hợp, mọi phần tử của (2.60) đều âm hay: 
 푠푖( )푠 푖( ) < 0 푣ớ푖 ∀ 푖. (2.62) 
 Chọn hàm Lyapunov: 
 1
 = 푠 ( )푠( ) (2.63) 
 2
 Khi đó theo (2.62): 
 = 푖=1 푠푖( )푠 푖( ) < 0. 
 Như vậy, chế độ trượt trên siêu mặt trượt 푠 = 0 sẽ tồn tại. Định lý đã 
được chứng minh. 
 Từ (2.55) và (2.56) ta có: 
 57 
 푛 훼푖,푗 +훽푖,푗 훼푖,푗 −훽푖,푗 
 = [ − 푠푖 푛 푠 ( ) − 훿 푠푖 푛 푠 ( ) ] 
 푖 푗 =1 2 2 푖 푗 푖,푗 푖 푗 푗
 푛 훼푖,푗 +훽푖,푗 훼푖,푗 −훽푖,푗 
 = [ − 푠푖 푛 푠 ( ) − 훿 푠푖 푛 푠 ( ) ] 
 푗 =1 2 푗 2 푖 푗 푗 푖,푗 푖 푗 푗
 푛 훼푖,푗 +훽푖,푗 훼푖,푗 −훽푖,푗 
 = [ − 푠푖 푛 푠 ( ) − 훿 푠푖 푛 푠 ( ) ] 
 푗 =1 2 푗 2 푗 푖 푖,푗 푗 푖
 Như vậy, các điều kiện (2.55) và (2.56) trong định lý trên có thể được 
viết gọn lại như sau: 
 푛 훼푖,푗 +훽푖,푗 푛 훼푖,푗 −훽푖,푗 
 = − [ + 훿 ] 푠푖 푛(푠 ( ))] (2.64) 
 푖 푗 =1 2 푗 푗 =1 2 푖,푗 푗 푖
 Phương pháp tổng hợp này áp dụng có hiệu quả cho các hệ MIMO có 
tham số bất định mà số lượng các tham số kh