Luận án Ứng dụng bể chứa chất lỏng có thành mỏng trong việc kháng chấn và điều khiển dao động công trình

 y z
φ φ φ∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
 (3.1) 
67 
Hình 3. 4 Hệ toạ độ Cartesian mô tả phương trình dao động sóng 
Phương trình vi phân cơ bản của φ phải được thoả mãn tại tất cả vị trí trong miền 
chất lỏng đó là điều kiện chất lỏng không nén được, tương ứng với: 
 2w 0 0u v
x y z
φ∂ ∂ ∂+ + = ⇒∇ =
∂ ∂ ∂
 (3.2) 
Đối với dòng chảy thế không có dao động xoáy nước, phương trình động lực học chất 
lỏng của dao động sóng có thể đưa về dạng không ổn định của phương trình Bernoulli: 
 ( ) ( )2 2 21 +w2l
P gz u v f t
t
φ
ρ
∂
+ + + + =
∂
 (3.3) 
Trong đó P là áp suất chất lỏng, lρ là khối lượng riêng chất lỏng, g là gia tốc trọng 
trường theo phương z và f(t) là hằng số tích phân. Vận tốc u, v, w của phần tử khối 
chất lỏng nhỏ nên có thể bỏ qua, khi ấy phương trình dao động (3.3) của sóng là tuyến 
tính. Bởi vì chỉ đạo hàm của hàm thế vận tốc φ có ý nghĩa vật lý, cho nên các hằng 
số và kể cả hàm theo thời gian t có thể thêm vào để xác định φ bất cứ khi nào [70]. 
Cho nên f(t) tại (3.3) triệt tiêu và (3.3) được viết lại như sau: 
 0
l
P gz
t
φ
ρ
∂
+ + =
∂
 (3.4) 
Nghiệm của (3.2) phải thoả mãn điều kiện biên ở thành bể và trên mặt thoáng chất 
lỏng. (3.4) chỉ ra một điều kiện biên ở mặt thoáng, đó là điều kiện biên động lực học. 
Mặt thoáng dao động tự do và áp lực sóng ở mặt thoáng bằng zero (P=0). Do đó, đối 
với chất lỏng nằm trên mặt thoáng, phương trình Bernoulli không ổn định được viết 
lại thành: 
68 
( ) ( )
, , ,
, , 0
x y z t
g x y t
t
φ
δ
∂
+ =
∂
 tại cao độ z=h/2 (3.5) 
Phương trình (3.5) chính là điều kiện biên động lực học tại mặt thoáng. Còn điều kiện 
biên động học thiết lập để liên hệ chuyển vị sóng chất lỏng trên bề mặt δ theo phương 
thẳng đứng của vận tốc chất lỏng trên mặt thoáng. Khi sóng tuyến tính, điều kiện này 
đơn giản hoá thành: 
 =w=
t z
δ φ∂ ∂
∂ ∂
 tại z=h/2 (3.6) 
(3.5) và (3.6) có thể được kết hợp vào trong cùng một điều kiện được viết lại theo φ 
(hoặc δ ) bằng cách đạo hàm (3.5) theo t , đạo hàm (3.6) theo z sau đó kết hợp hai 
phương trình bằng cách khử δ (hoặc φ ). Kết quả thu được: 
2
2 0gt z
φ φ∂ ∂
+ =
∂ ∂
 tại z=h/2 (3.7) 
Phương trình (3.7) chỉ ra rằng tankf có liên quan trực tiếp đến trường trọng lực. Ngoài 
ra, vì độ nhớt và ứng suất nhớt được giả thiết bỏ qua, nên chỉ có một điều kiện duy 
nhất áp đặt vào thành bể chứa đó là vận tốc pháp tuyến của chất lỏng trên mặt phẳng 
thành bể bằng vận tốc pháp tuyến của chính bản thân thành bể (điều kiện biên này dễ 
dàng nhận thấy ở Hình 3. 1). Nhưng cũng cần lưu ý thêm rằng các lời giải trên sẽ cho 
phép chất lỏng trượt lên trên thành bể. 
Đối với bể chất lỏng có thành tuyệt đối cứng, điều kiện biên tại thành bể sẽ là 
vận tốc pháp tuyến của chất lỏng bằng vận tốc của nền. Điều kiện này dẫn đến lời 
giải duy nhất cho vấn đề giá trị trên biên tiếp xúc. Khi ấy thì giá trị biên có thể được 
giải bằng cách sử dụng hàm dạng có khả năng mô tả được biến dạng thành bể. Theo 
Ghaemmaghami (2010) [70], nếu hàm chuyển vị nền là ( ) 0X t iX exp( i t )ω= − , thì 
vận tốc thành bể w 0;v = = 0iX e
i tu Ω= Ω , điều kiện biên phía thành ướt sẽ là: 
 0iX e
i tn φ Ω∇ = Ω (3.8) 
Trong đó n là vec tơ pháp tuyến biên thành ướt nên n φ∇ đơn giản thành 
x
φ∂
∂
. 
69 
Đối với bể chất lỏng có thành mềm (trong thực tế thì thành bể có độ cứng hữu 
hạn nên thành bể mềm và có dao động), vận tốc tổng cộng của thành bể chính là tổng 
của vận tốc đất nền và vận tốc tỷ đối của chất lỏng với thành bể (do tính chất đàn hồi 
của thành bể gây ra dao động). chuyển vị của thành bể mềm cần phải có một phương 
pháp khác để phát triển hàm thế vận tốc. Sự biến dạng một cách điều hoà do áp lực 
sóng của thành bể mềm có thể được mô tả bằng phương trình sau: 
 ( , ) ( ) i tU z t u z e ω= (3.9) 
Điều kiện biên dọc theo thành bể cần phải được thoả mãn bởi hàm thế sau đây: 
 ( , ) ( ) i tU z t i u z e
x t
ωφ ω∂ ∂= =
∂ ∂
 (3.10) 
Để xét ảnh hưởng của thành bể mềm đến đặc trưng động lực học bể chứa chất lỏng, 
sự khai triển hàm thế bên dưới như một giải pháp cho hàm thế vận tốc được đề xuất 
nhằm thoả mãn phương trình Laplace và điều kiện biên ở đáy bể: 
( )( ) ( )( ) ( )( )
1
( , , ) cosh( 2 sinh ( 2 cos ( 2i t n n n n n
n
x z t e A x a B x a z hωφ ε ε ε
∞
=
  = + + + + 
  
∑ (3.11) 
Trong đó nε được mô tả theo phương trình: 
 2n n
hhtan h
g
ε ε ω= − (ứng xử động lực của xung đối lưu) (3.12) 
 0ncos( h )ε = (ứng xử động lực của xung cứng) (3.13) 
Phương trình mô tả cơ chế dao động của thành bể cứng viết lại như sau: 
4 2
w w
4 2
ftU U
EI EI tz t
ρρ φ∂ ∂ ∂
+ = −
∂∂ ∂
 (3.14) 
Trong đó wρ là khối lượng riêng thành bể. Thay (3.9), (3.10) vào (3.14) thu được hệ: 
( )
4
w w
4
1
cos ( / 2)f n n
n
tu u i A z h
EI EIz
ρρ
ω ε
∞
=
 ∂  − = − + 
∂   
∑ tại 2ax = − (3.15) 
( ) ( )
4
w w
4
1
cosh sinh cos
2
f
n n n n n
n
tu hu i A a B a z
EI EIz
ρρ
ω ε ε ε
∞
=
 ∂    − = − + +   
∂     
∑ tại 2ax = +
 (3.16) 
70 
Lời giải tổng quát cho hệ phương trình trên là: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )
1 1 2 1 3 1 4 1
4 4
1 1
1 1 2 1 3 1 4 1
4 4
1 1
( , ) cos sin cos sin
cos 2
( , ) cos sin cos sin
cosh sinh2 cos 2
f n
n
n n
n n n nf
n
n n
u z t C h z C h z C z C z
A hi z
EI
u z t D h z D h z D z D z
hA z B h
hi z
EI
λ λ λ λ
ρ
ω ε
ε λ
λ λ λ λ
ε ερ
ω ε
ε λ
∞
=
∞
=
 = + + +

− + −
 = + + +
 + +− + −
∑
∑
tại 2
ax = −
 (3.17) 
Trong đó: 
2
4 w
1
h
EI
ρ ω
λ = (3.18) 
Nếu bể chứa liên kết cứng với kết cấu bên dưới thì điều kiện biên ngoài ra còn có: 
 ( ) ( ) ( ) ( )/ 2 / 2 / 2 / 2 0u h u h u h u h′ ′′ ′′′− = − = = = (3.19) 
Kết quả là, hằng số tích phân jC và jD (j = 1 tới 4) viết lại theo nA và nB bằng cách 
áp dụng các điều kiện biên. Giả sử chất lỏng luôn tiếp xúc thành bể suốt quá trình dao 
động thì (3.10) phải luôn thoả mãn với 2x a= ± . Kết quả của điều kiện biên này sẽ 
dẫn đến hệ hai phương trình hai ẩn số là nA và nB . 
( ) ( )
( ) ( )* *
0
0
n n n
nn n
A
B
µ µ
µ µ
α ω β ω
α ω β ω
     
  =   
     
 (3.20) 
Việc phân tích chi tiết các hằng số trên được trình bày Ibrahim (2005) tại [133]. Cho 
lời giải không tầm thường thì định thức ở (3.20) phải bằng zero, hay: 
( ) ( )
( ) ( )* *
det 0
n n
n n
µ µ
µ µ
α ω β ω
α ω β ω
 
  =
  
 (3.21) 
Sau khi giải (3.21), viết lại U như phương trình dao động của thành bể trong quá trình 
tương tác rắn-lỏng. Và đó cũng chính là điều kiện ban đầu để tính toán tất cả các 
thông số đặc trưng riêng của bể chứa chất lỏng như tankf , wp , lực cắt đáy bể hay mô 
men thành bể tương tự như đã thực hiện ở chương 2 đối với bể tuyệt đối cứng. 
71 
3.3 Thiết kế bể chứa thành mềm theo Tiêu Chuẩn Xây Dựng 
Mục này trình bày thiết kế bể chứa thành mềm theo các Tiêu Chuẩn phổ biến, 
tuy nhiên các Tiêu Chuẩn này chỉ xét FSI một chiều. Sự khác nhau giữa FSI một và 
hai chiều thể hiện ở Hình 3. 5, khi thành bể biến dạng lớn hoặc cộng hưởng chất lỏng-
thành bể xảy ra thì FSI hai chiều sẽ có ý nghĩa quan trọng [8, 117, 124, 134-137]. 
Hình 3. 5 Phân biệt tương tác FSI một và hai chiều 
Trong luận án này thì FSI hai chiều được sử dụng để tăng mức độ chính xác trong 
việc phân tích đáp ứng dao động của bể chứa và chất lỏng bên trong. 
3.3.1 Thiết kế bể chứa theo tiêu chuẩn ACI 350.3-06 
Tiêu chuẩn ACI 350 là phần mở rộng của ACI 318 (Tiêu Chuẩn về bê tông cốt 
thép Hoa Kỳ) chương 21 “Các điều khoản đặc biệt về thiết kế chống động đất”. ACI 
350.3 dùng thiết kế bể chất lỏng chịu động đất với tiết diện chữ nhật và tròn, sử dụng 
kết cấu bê tông cốt thép hoặc kết cấu bê tông ứng lực trước. Điều đáng lưu ý của ACI 
350 là thay vì giả sử bể tuyệt đối cứng để gia tốc của bể bằng gia tốc nền ở tất cả các 
vị trí trên thành bể, ACI 350 đánh giá phản ứng của bể thông qua tần số riêng. 
Tóm tắt cơ sở lý thuyết 
Giả thiết bể chứa chịu động đất theo phương cạnh ngắn (Lx). Khi đó sóng chất 
lỏng sẽ gây ra áp lực lên thành bể theo phương cạnh dài, áp lực này gồm: 
 Lực quán tính của bản thân thành bể 'wP 
 Lực xung cứng iP 
 Lực xung đối lưu cP 
72 
Theo tiêu chuẩn ACI 350 mục 3.5, hình 3.5.1 (a)(b), các áp lực tác dụng lên thành bể: 
Hình 3. 6 Các thành phần lực tác dụng vào thành bể 
Tổng lực tập trung thành phần động của sóng tác dụng lên thành bể ở cao độ y: 
 ( ) ( )2 22y iy wy cy vyP P P P p B= + + + (3.22) 
Trong đó: 
 Lực quán tính bản thân của thành bể: ( )iwy c w
i
C IP Bt
R
εγ
 
=  
 
 Lực xung cứng: 
( )
2
4 6 6 12
2
i
L i L i
L
iy
L
P yH h H h
H
P
H
  
− − −  
  = 
 Lực xung đối lưu: 
( )
2
4 6 6 12
2
c
L c L c
L
cy
L
P yH h H h
H
P
H
  
− − −  
  = 
 Áp lực động khi kể đến gia tốc phương dọc vy v hyp u q=  
Từ đó tính được áp lực phân bố theo chiều dài bể: (1) áp lực do lực quán tính 
wy wyp P B= và (2) áp lực do lực xô ngang của nước vào thành bể iy iyp P B= , (3) 
áp lực đối lưu của nước cy cyp P B= , tổng áp lực động của nước tại cao độ y là: 
( ) ( )2 222 2 2 iy wy cy vyiy wy cy vy
y
P P P p BP P P p B
p
B B B B
+ + ++     
= + + =     
     
 (3.23) 
73 
3.3.2 Thiết kế bể chứa theo tiêu chuẩn IS 1893 - 2002 
Tiêu chuẩn IS 1893 - 2002 thiết kế bể chất lỏng chịu tải trọng động đất được 
ban hành bởi Viện tiêu chuẩn Ấn Độ. Quy trình thiết kế bể được tóm tắt ở Hình 3. 9. 
Cơ sở lý thuyết 
Trường hợp xét bể chịu động đất gây ra áp lực nước bao gồm các thành phần sau: 
 Áp lực xung cứng tác dụng lên thành bể (piw) 
 Áp lực do lực quán tính gây ra (pww) 
 Áp lực đối lưu tác dụng lên thành bể (pcw) 
 Áp lực tác dụng theo phương dọc thành bể (pv) 
Áp lực xung cứng tác 
dụng lên thành bể 
Áp lực tương đương Áp lực phân 
bố đều 
Áp lực tuyến 
tính 
Hình 3. 7 Áp lực xung cứng tác dụng lên thành bể 
Áp lực xung cứng thực 
tế tác dụng lên bể 
Áp lực tương đương Áp lực phân bố 
đều 
Áp lực tuyến 
tính 
Hình 3. 8 Áp lực xung đối lưu tác dụng lên thành bể 
Giá trị lớn nhất áp lực động lên bể bằng tổng căn bình phương thành phần áp lực: 
 2 2 2iw ww cw vp p p p p (3.24) 
74 
Trong đó: ( )( )iw iw h ip Q y A ghρ= 
 ( )ww h mip A t gρ= 
 ( )( )cw cw h cp Q y A gLρ= 
 ( ) 1v v
yp A gh
h
ρ  = −    
Hình 3. 9 Sơ đồ tóm tắt quy trình tính toán theo IS1893:2002 
75 
3.3.3 Thiết kế bể chứa theo tiêu chuẩn EC8: Part 4 
Tiêu chuẩn EC8: Part 4 “Thiết kế công trình chịu động đất” là một trong mười 
tiêu chuẩn thiết kế kết cấu công trình của Châu Âu, phần 4 của EC8 cung cấp các 
phương pháp đánh giá chi tiết và các quy định kiểm tra đối với bể chứa chất lỏng. Ở 
Tiêu Chuẩn này, để đơn giản ứng xử của bể chứa dưới ảnh hưởng của động đất thì 
các mô hình tính toán được đưa về dạng tương đương để thuận tiện thiết kế. 
Cơ sở lý thuyết 
Khảo sát bể chữ nhật chịu động đất, thành bể vuông góc với gia tốc động đất 
sẽ chịu áp lực nước. Áp lực này gồm hai thành phần là xung cứng và xung đối lưu: 
 i cp(z,t)=p (z,t)+p (z,t)=(1)+(2) (3.25) 
Trong đó: ( )1 ( , ) ( ) ( )i o gp z t q z L A tρ= = × × × là thành phần xung gồm lực quán tính, và 
( )oq z là hàm mô tả áp lực sóng theo chiều cao, biểu diễn bằng đồ thị Hình 3. 10. Giá 
trị lớn nhất của áp lực xung ( 0z = ) là (0)oq phụ thuộc tỷ số chiều cao bể và mực 
nước trong bể. 
Hình 3. 10 Áp lực xung cứng không thứ nguyên dọc chiều cao EC8 – Part 4 
Và: 1 1 1(2) ( , ) ( ) ( )c cp z t q z LA tρ= = là thành phần áp lực đối lưu tính bằng tổng giá trị 
độ lớn của các mode thành phần, tuy nhiên sự đóng góp của dạng cơ bản là lớn nhất, 
trong đó 1( )cq z là hàm biểu diễn áp lực đối lưu cùng với dạng dao động 2( )cq z . 
76 
Hình 3. 11 Áp lực xung đối lưu không thứ nguyên dọc chiều cao EC8 – Part 4 
Đối với thành bể mềm, độ mềm gây ra sự gia tăng áp lực xung cứng đáng kể, trong 
khi áp lực đối lưu không đổi. Cách gần đúng xem xét sự làm việc của thành bể mềm 
là dùng phân bố áp lực thẳng đứng như thành bể cứng, gia tốc ( )gA t thay bằng gia 
tốc phản ứng của thiết bị dao động có tần số và tỷ số cản của dạng xung thứ nhất bể 
chất lỏng. Chu kì dao động này tính gần đúng 2 ff
d
T
g
π= trong đó fd là chuyển vị 
ngang của thành bể tại cao độ đặt tâm khối lượng xung khi bể chịu tải trọng phân bố 
đều với độ lớn 
4
im g
BH
 ( im : khối lượng dạng xung cộng với khối lượng thành bể). Quy 
trình tính toán tóm tắt theo Tiêu Chuẩn EC8: Part 4 được thể hiện ở Hình 3. 12. 
77 
Hình 3. 12 Sơ đồ tóm tắt quy trình tính toán theo EC8 – Part 4 
3.3.4 Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 4a: Bể nước bằng bê tông kích thước hình học như Hình 3. 13 với đặc 
trưng: bê tông dung trọng ( )32400 /kg mγ = , module đàn hồi Ec=2.1x1010 N/m2, hệ 
số poisson 0.17υ = và tỷ số cản 3%ξ = . Yêu cầu tính áp lực nước lên thành khi bể 
chịu động đất El Centro 1940, biết rằng động đất gây ra gia tốc theo phương X. 
(a) Kích thước bể (b) Động đất nền Elcentro 
Hình 3. 13 Tính áp lực sóng lên bể BTCT chịu động đất 
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
G
ia
 t
ốc
 n
ền
 (
g)
Thời gian (s)
78 
a. Tính toán theo tiêu chuẩn ACI 350.3 - 06 
Lần lượt áp dụng các công thức ở mục 3.3.1, quy trình thiết kế bể chứa theo 
tiêu chuẩn ACI, kết quả tính toán được thể hiện ở Hình 3. 14. 
Hình 3. 14 Áp lực động của nước theo ACI 350.3-06 
b. Tính toán theo tiêu chuẩn IS 1893 – 2002 
Áp lực động học do thành phần xung cứng tác dụng lên đáy bể (y=0): 
Hình 3. 15 Biểu đồ hệ số áp lực của 
xung cứng và đối lưu lên thành bể 
Hình 3. 16 Biểu đồ hệ số áp lực của 
xung cứng và đối lưu tại đáy bể 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 15 20 25 30 35 40
Đ
ộ 
sâ
u 
(m
)
Áp lực động của nước (kPa)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y/
H
Qiw,Qcw
Qiw Qcw
-0.45
-0.3
-0.15
0
0.15
0.3
0.45
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1
Q
ib
,Q
cb
x/L
Qib Qcb
79 
Tổng áp lực nước tại đáy bể tác dụng 
Hình 3. 17 Biểu đồ áp lực xung cứng, 
đối lưu, quán tính lên thành bể 
Hình 3. 18 Biểu đồ áp lực xung cứng và 
đối lưu, quán tính tại đáy bể 
Hình 3. 19 Áp lực động của sóng chất lỏng theo IS 1893:2002 
c. Tính toán theo tiêu chuẩn EC8 – Part 4 
Tổng áp lực nước tác dụng lên bể tại cao độ z, theo EC8, sử dụng phương pháp 
SRSS cho độ an toàn không cao vì vậy EC8: Part4 sử dụng tổng giá trị tuyệt đối để 
tính tổng áp lực động: i cp p p= + . Kết quả tổng áp lực động ở Hình 3. 20. 
Trong đó: 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 3 6 9 12 15 18 21
C
ao
 đ
ộ 
m
ực
 n
ướ
c 
y 
(m
)
Áp lực thành bể (kN/m2)
Piw Pcw Pww
-9
-6
-3
0
3
6
9
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
C
ao
 đ
ộ 
m
ực
 n
ướ
c 
y 
(m
)
x/L
Pib Pcb Pww
0
1.5
3
4.5
6
7.5
9
0 5 10 15 20 25 30 35
C
ao
 đ
ộ 
m
ực
 n
ướ
c 
y 
(m
)
Áp lực sóng (kN/m2)
80 
 Thành phần xung cứng: Áp lực xung cứng phân bố theo cao độ bể z 
( , ) ( )i o gp z t q z LAρ= 
 Thành phần xung đối lưu 1 1( , ) ( ) ( )c cp z t q z LA tρ= 
Hình 3. 20 Đồ thị áp lực nước động phân bố theo EC 8: Part 4 
So sánh kết quả tính toán giữa các tiêu chuẩn, kết quả ở Hình 3. 21 
Hình 3. 21 So sánh áp lực động chất lỏng theo các Tiêu Chuẩn thiết kế bể chứa 
Từ đồ thị ở Hình 3. 21 cho thấy các Tiêu Chuẩn có kết quả tính toán áp lực động lớn 
nhất tác dụng lên thành bể khác nhau không nhiều. Giá trị áp lực động cực đại của 
sóng lên thành bể là 31.81 kN/m2 theo IS; 36.33 kN/m2 theo EC8; 38.12 kN/m2 theo 
ACI 350.3. Đặc biệt ACI đơn giản trong việc tính toán với đồ thị áp lực tuyến tính. 
0
3
6
9
0 10 20 30 40
Đ
ộ 
sâ
u 
z 
(m
)
Áp lực động của sóng (kPa)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Đ
ộ 
sâ
u 
(m
)
Áp lực động của sóng (kPa)
ACI 350.03 - 06 IS 1892 - 2002 EUROCODE 8
81 
3.4 FEM phân tích dao động bể chứa có xét FSI 
Trong phần này bể chịu dao động như Hình 3. 22 thiết lập bằng FEM cho hai 
miền rắn-lỏng nhằm tính toán các đặc trưng riêng và pw lên thành bể khi xét FSI. Các 
phương pháp số khác để phân tích FSI tham khảo tại [138-141]. 
Hình 3. 22 Rời rạc hóa bể chứa chất lỏng có xét FSI 
3.4.1 Giới thiệu tổng quan 
Phân tích ứng xử dao động tuyến tính của chất lỏng áp dụng FEM có thể thực 
hiện được trên miền thời gian và miền tần số. Trong phương pháp phân tích từng 
bước, tải trọng tác động và lịch sử đáp ứng phân ra thành từng bước thời gian t∆ 
hoặc từng pha tính toán. Đáp ứng ở mỗi bước tính toán, kết quả có được từ điều kiện 
ban đầu và tải trọng tác dụng theo t∆ . Phương pháp phân tích từng bước được phân 
ra hai loại: tường minh (explicit) hoặc ngầm ẩn (implicit) [142, 143]. Trong phương 
pháp tường minh, bước tính toán sau dựa trên bước đầu một cách rõ ràng cụ thể, quá 
trình phân tích phụ thuộc số lượng biến cần tìm. Nhưng phương pháp ngầm ẩn, thì 
ngược lại, giá trị đáp ứng mới trong bước thời gian trước bao gồm một hoặc một vài 
giá trị có quan hệ với nhau, vì thế cần dùng một giá trị nào đó để thử và sử dụng quy 
trình lặp nhằm tìm trị chính xác. Sự giải lặp này cần khối lượng tính toán lớn. Theo 
[142], tốc độ tính của phương pháp tường minh nhanh hơn 5 lần so với ngầm ẩn. 
Trong luận án, phương pháp ngầm ẩn được lựa chọn vì thích hợp giải phương 
trình trường cặp đôi. Khi đó sự giải lặp được thực hiện ở từng bước thời gian mà 
không cần tính cụ thể tần số dao động riêng, hàm dạng hay tỷ số cản tương ứng [144]. 
82 
3.4.2 FEM mô phỏng miền kết cấu có xét FSI 
Trong hệ MDOF, cần phải biết nhiều hơn chuyển vị một điểm để xác định 
được cơ chế dao động ở từng bước thời gian cụ thể. Xem xét hệ kết cấu có n-DOF 
dao động theo hướng Y như ở Hình 3. 23. 
Hình 3. 23 Hệ n-DOF dao động theo phương y 
Lực quán tính IF có thể được viết lại như sau ở bước thời gian t bất kỳ: 
( )
( )
1 11
2 22
1 1 1
. .
. .
t
I
I
I n n n
n nI n
F uM
F uM
F M u
MF u
− − −
  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   = =     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
    
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅         
IF




 (3.26) 
Dạng rút gọn là: 
 t⋅IF = M U (3.27) 
Ma trận khối lượng M là ma trận đường chéo, ở dạng tổng quan thì đó có thể là ma 
trận đối xứng không qua đường chéo. Lực do sự đàn hồi có thể viết lại như sau: 
( )
( )
1 111 12 1
2 221 22 2
1 1
1 2
. .
.. .
S n
S n
S n n
n n nn nS n
F uK K K
F uK K K
F u
K K K uF
− −
  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
    ⋅ ⋅ ⋅    
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   = =     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
    
⋅ ⋅ ⋅         
SF (3.28) 
Dạng rút gọn là: 
 ⋅sF = K U (3.29) 
Với K là ma trận độ cứng. Ma trận cản sẽ là: 
83 
( )
( )
1 111 12 1
2 221 22 2
1 1
1 2
. .
.. .
D n
D n
D n n
n n nn nD n
F uC C C
F uC C C
F u
C C CF u
− −
  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   
    ⋅ ⋅ ⋅    
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   = =     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    
    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
    
⋅ ⋅ ⋅         
DF




 (3.30) 
Dạng rút gọn của ma trận cản 
 ⋅DF = C U (3.31) 
Với C là ma trận cản. Phương trình cân bằng nội ngoại lực là: 
 ( )t⋅ ⋅ ⋅tM U + C U + K U = f  (3.32) 
Với f là ngoại lực tác dụng vào kết cấu. 
( )
( )
( )
1
2
.( )
.
.
n
f t
f t
t
f t
 
 
 
  =  
 
 
 
  
f (3.33) 
Nếu có thêm gia tốc nền tác dụng, phương trình chuyển động (3.32) viết lại thành: 
 t⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ gM U C U K U f(t) M U   (3.34) 
Trường hợp ngoại lực tác dụng vào kết cấu là chất lỏng, thì có thể phân ra thành áp 
suất động lực chất lỏng f và phần còn lại của ngoại lực là 1f . (3.34) viết lại thành: 
 t⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅1 gM U C U K U f + f M U   (3.35) 
Khi thiết kế, thường chọn 2D vì 3D đòi hỏi số bậc tự do mô tả chuyển động quá lớn. 
3.4.3 Ma trận trường cặp đôi của tương tác chất lỏng-thành bể 
Theo Ghaemmaghami (2010), áp suất của chất lỏng tác dụng một lực tương 
đương lên kết cấu tại bề mặt tiếp xúc chất lỏng-thành bể