Luận án Xấp xỉ tương đương cơ tính vật liệu tổ hợp có các cốt liệu phức hợp

ang của vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp có lớp vỏ bọc dị hướng 
theo công thức (2.81) với cốt tương đương có hệ số dẫn theo công thức (2.80). Để so 
sánh và kiểm nghiệm sự đúng đắn, trong chương 4 tác giả xây dựng kết quả số bằng 
phương pháp phần tử hữu hạn để so sánh. 
58 
2.3. Kết luận 
Xuất phát từ bài toán phân bố thưa của cốt liệu tròn được phủ và sử dụng mô hình đĩa 
tròn lồng nhau, cùng sự hỗ trợ của các công thức xấp xỉ vi phân, xấp xỉ tương tác 3 
điểm của vật liệu hai pha nền – cốt, luận án đã đạt được: 
 Thay thế cốt có lớp phủ bằng một cốt tương đương có cùng kích thước và 
có hệ số dẫn phụ thuộc vào tỉ lệ thể tích và hệ số dẫn của các pha. 
 Tìm được các công thức xấp xỉ cho việc xác định giá trị hiệu dụng của hệ 
số dẫn ngang vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương theo cách tiếp cận cốt 
tương đương. 
 Với các công thức giải tích tìm được, tính toán cho mô hình phân bố ngẫu 
nhiên của cốt liệu và so sánh với kết quả của đường bao Hashin-Strickman. 
Đồng thời so sánh với kết quả thực nghiệm trên sợi abaca của Liu và rất sát 
với kết quả thực nghiệm. 
 Các so sánh chứng tỏ độ tin cậy của các công thức tìm được. Riêng trường 
hợp lớp phủ dị hướng , sẽ được so sánh với kết quả số trong chương 4. 
 Các công thức đạt được đều dễ sử dụng, phù hợp cho các kỹ sư bước đầu 
đánh giá hệ số dẫn của vật liệu sử dụng. 
Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công trình 
khoa học [2, 4, 7, 8]. 
59 
CHƯƠNG 3. XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ ĐÀN HỒI VĨ MÔ VẬT 
LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP 
Trong chương 3, tác giả xem xét và giải quyết bài toán tính các mô đun đàn 
hồi hiệu dụng của vật liệu Composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp và các mô 
đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương. Cùng 
với các giả thiết khác để giới hạn bài toán như : 
- Vật liệu mang tính liên tục, liên kết giữa các pha là lý tưởng (các điều kiện 
liên tục về chuyển vị và ứng suất giữa các pha được thỏa mãn). 
- Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hooke. 
- Vật liệu tổ hợp là đẳng hướng vĩ mô. 
3.1. Mô đun đàn hồi của vật liệu composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp 
3.1.1. Mô hình vật liệu 
Composite cốt hạt với cốt hình cầu (I2), có mô đun đàn hồi thể tích 2Ik mô 
đun đàn hồi trượt 2I , tỉ lệ thể tích 2I . Lớp phủ quanh cốt giới hạn bởi hai hình cầu 
(I1), mô đun đàn hồi 11, IIk  , tỉ lệ thể tích 1I ( hình 3.1a). Đặt trong pha nền liên 
tục với mô đun đàn hồi MMk , , tỉ lệ thể tích M . Các mô đun cần tìm là mô đun 
đàn hồi thể tích hiệu dụng 
effk , mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng eff . 
 (a) 
(b) 
Hình 3.1. (a). Mô hình vật liệu composite với cốt hình cầu được phủ 
 (b). Mô hình cốt tương đương 
60 
Hình 3.1b là mô hình của nền – cốt tương đương. Giả sử đồng nhất pha cốt và 
lớp vỏ bọc làm một, được một pha tương đương có cùng kích thước, với các mô đun 
đàn hồi EIEIk , . 
3.1.2. Mô đun đàn hồi thể tích 
Đầu tiên chúng ta xây dựng công thức tính cho phân bố thưa của một hạt cốt 
liệu ( hình 3.1) đặt trong pha nền vô tận dưới tác dụng của tải trọng áp lên mẫu vật 
liệu được xác định qua ten xơ E đặc trưng cho biến dạng ở cấp độ vĩ mô. Trường ứng 
suất và biến dạng tuyến tính phụ thuộc vào E. 
Dưới tác dụng của áp lực thủy tĩnh lên pha nền vô tận, một phương trình cân bằng 
duy nhất cần thỏa mãn là [74]: 
 ,
rr
rr
rr 0
2




 (3.1) 
với   . Phương trình (3.1) dưới dạng chuyển vị: 
 .u
rr
u
rr
u
r
rr 0
22
22
2




 (3.2) 
Giải phương trình (3.2), nghiệm có dạng: 
.
r
B
Arur 2
 (3.3) 
Đối với từng pha trên mô hình 3.1a: 
.
r
B
rAu
,
r
B
rAu
,
r
B
rAu
M
MM
I
IrI
I
IrI
2
2
1
11
2
2
22
 (3.4) 
Ứng suất tương ứng trên các pha: 
.
r
B
Ak
,
r
B
Ak
,
r
B
Ak
M
MMMrrM
I
IIIrrI
I
IIIrrI
3
3
1
1111
3
2
2222
43
43
43



 (3.5) 
Với điều kiện biên: 
61 
Khi 0 r thì 0 ru nên suy ra 02 IB . 
Khi 𝑟 → ∞ thì 00 EAEr  . Với E0 là hằng số thỏa mãn E = E01. 
Các hệ số A, B còn lại được tìm dựa vào điều kiện liên tục về chuyển vị và biến dạng 
giữa các pha: 
 12122 , rIrIrIrII uuRr  (3.6) 
 rMrIrIMrII uuRr  111 , (3.7) 
Thay (3.4), (3.5) vào (3.6), (3.7) nhận được: 
.
R
B
Ek
R
B
Ak
,
R
B
RE
R
B
RA
,
R
B
AkAk
,
R
B
RARA
M
M
MM
I
I
III
I
M
I
I
I
II
I
I
IIIII
I
I
IIII
303
1
1
111
2
1
102
1
1
11
3
2
1
11122
2
2
1
2122
4343
433


 (3.8) 
Giải hệ phương trình trên nhận được: 
 ,R
RkRkRkkRkRk
RkRk/ERkkA
IMI
IIIIMIIIIIMIIII
IMIIIIIIIMMI
3
11
3
111
3
13
3
112
3
21
3
211
3
22
3
2220
2
1112
16
121291212
12124343



 (3.9) 
 ,RRk
RkRkkRkRkRk
Rk/ERkkkkA
IMIIII
IMIIIIIMIIIIIMI
IIIIMIIMMIMII
3
11
3
111
3
13
3
112
3
21
3
211
3
22
3
2220
2
111221
1612
129121212
121612129



 (3.10) 
 ,RRk
RkRkkRkRkRk
Rk/kkkkkkRERB
IMIIII
IMIIIIIMIIIIIMI
IIIMIIMMIMIIII
3
11
3
111
3
13
3
112
3
21
3
211
3
22
3
2221122
2
20
2
11
1612
129121212
1243433



 (3.11) 
62 
 .R
RkRkRkkRkRk
RkRk/RkRkRkk
RkkRkRkkRkRkkERB
IMI
IIIIMIIIIIMIIII
IMIIIIIIMIIIIIM
IIIIIIIIMIIIIMIIM
3
11
3
111
3
13
3
112
3
21
3
211
3
22
3
222
3
11
3
111
3
12
3
112
3
211
3
21
3
212
3
220
2
1
16
121291212
1212443
343433




(3.12) 
Tương tự đối với mô hình 3. 1b, chuyển vị trên các pha: 
 .
r
B
rAu
,
r
B
rAu
M
MM
EI
EIrEI
2
2
 (3.13) 
Với 0,0 EAB MEI còn các hệ số khác được tính theo điều kiện liên tục về chuyển 
vị và biến dạng: 
 rMrEIrMrEIIEI uuRRr  ,1 . (3.14) 
Thay (3.13) vào (3.14), ta có: 
.
R
B
EkAk
,
R
B
RERA
I
M
MMEIEI
I
M
IIEI
3
1
0
2
1
101
433 
 (3.15) 
.
k
kkRE
B
k
kE
A
MEI
MEII
M
MEI
MM
EI



43
3
43
43
2
10
0
 (3.16) 
Chuyển vị trên biên RI1 ở cả 2 mô hình là như nhau, từ đó ta có: 
 .RA
R
B
RARuRu IEI
I
I
IIIrEIIrI 12
1
1
11111 (3.17) 
Thay (3.10), (3.11), (3.16) vào (3.17), kết quả nhận được: 
 .
RkRkRkR
kRkkRkRkR
k
IIIIIIII
IIIIIIIIIIII
EI
1
3
12
3
11
3
22
3
2
11
3
112
3
111
3
212
3
2
4333
4344


 (3.18) 
Nếu 3 3
2 1I Ia R / R , biểu thức (3.18) viết lại thành: 
63 
 .
kakak
akkakakak
k
IIII
IIIIIIII
EI
1212
11121112
4333
4344


 (3.19) 
Khi tỉ lệ thể tích pha cốt nhỏ 1 EI , dựa theo kết quả phân bố thưa của 
Eshelby [9], suy ra: 
 .k,
kk
kk
kkkk MM*
M*EI
M*M
MEIEIM
eff 
3
4
 (3.20) 
Ngoài ra, dựa theo mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha của Hashin [34], tác giả 
và cộng sự đề xuất công thức tính mô đun đàn hồi thể tích của cốt tương đương với 
lớp phủ giống pha nền, như sau: 
 ,k,k
kkkk
k II*I*
I*I
'
I
I*I
'
I
EI 111
1
11
1
12
2
3
4


 (3.21) 
với 
 .;
II
I'
I
II
I'
I
21
2
2
21
1
1






 (3.22) 
Dễ dàng thấy 'I 2 trong biểu thức (3.22) chính bằng a trong biểu thức (3.19). Biến 
đổi vế phải của biểu thức (3.21), thật trùng hợp là bằng với vế phải của biểu thức 
(3.19). Như vậy EIk nhận được theo hai cách tiếp cận khác nhau có kết quả trùng 
khớp nhau. 
3.1.3. Mô đun đàn hồi trượt 
Ten xơ biến dạng vi mô ε(z) và ten xơ biến dạng vĩ mô E có mối liên hệ với 
nhau qua biểu thức: 
 EAε :zz (3.23) 
A(z): ten xơ mật độ biến dạng. 
Trong trường hợp vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, ten xơ độ cứng hiệu dụng 
biểu diễn qua các mô đun thể tích và mô đun trượt hiệu dụng: 
 KJC
eff effeffK 23 (3.24) 
với J, K là các ten xơ bậc 4 được xác định: 
 J.IK11J  ;
3
1
 (3.25) 
64 
I, 1 tương ứng lần lượt là các ten xơ đơn vị bậc 4 và bậc 2. Mật độ biến dạng trên mỗi 
pha được biểu diễn: 
 KJA di
s
ii AA với (i = EI, I1, I2, M) (3.26) 
Mô đun đàn hồi trượt của mô hình cốt tương đương (hình 1.1b) theo kết quả 
phân bố thưa của Eshelby có dạng: 
 ,A
M
EId
EIEIM
eff
 11


 (3.27) 
hay 
 .
K
K
, M
MM
MM
M*
M*EI
M*M
MEIEIM
eff 






126
89
 (3.28) 
So sánh (3.27) và (3.28) ta có: 
 .A
M*EI
M*Md
EI


 (3.29) 
Với mô hình cốt được phủ (hình 3.1a), tác giả đề xuất một dạng tương tự cho 
mô đun đàn hồi trượt giống công thức (3.27): 
 .AA
M
Id
II
M
Id
IIM
eff
 111 222
1
11





 (3.30) 
Đồng nhất (3.27) và (3.30), ta có: 
 ,AAA
M
Id
II
M
Id
II
M
EId
EIEI 
 111 222
1
11








 (3.31) 
Biến đổi biểu thức (3.31) nhận được: 
,
C
C
M
d
M*M
M*
d
M*MM
EI



 (3.32) 
với 
 .AAC
M
Id
II
M
Id
II
EI
d
 11
1 2
22
1
11







 (3.33) 
Để xác định mô đun trượt hiệu dụng của cốt tương đương theo công thức 
(3.32), cần xác định các thành phần của biến dạng lệch dI
d
I A,A 21 . 
Xem xét vật liệu ở trạng thái trượt thuần túy. Các thành phần chuyển vị trong 
hệ tọa độ cầu có dạng [74]: 
65 
 .sinsinrUu
,coscossinrUu
,cossinrUu rr
 
 
 

2
2
22
 (3.34) 
Trong đó rU;rU;rU r  là các hàm theo bán kính r được xác định từ các 
phương trình cân bằng Cauchy trong biến dạng nhỏ. Phương trình cân bằng trong hệ 
tọa độ cầu có dạng [74]: 
,
r
u
r
u
r
r
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
r
u
sinr
u
sinr
ctgu
sinr
u
sinr
u
sinr
ctg
u
r
ctg
u
r
ctg
u
r
u
r
u
rr
u
r
rr
r
rr
0
11
111111
11
11212
2
2
22
2
222
2
22
2
2
2
2
22
22
2
22
2
22
2





























 

 
 

   













 (3.35) 
,
u
sinrr
u
sinr
u
sinr
u
r
ctgu
r
u
r
ctgu
rr
u
r
ctg
r
u
r
u
sinrr
u
sinr
u
r
ctg
r
u
r
ctgu
rr
u
r
u
rr
u
rr
u
rrr
r
rr
0
1111
1111
11222
2
2
2
2
222
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2





























 
   





  




 


 (3.36) 
.
u
sinr
u
sin
ctg
r
u
r
ctg
u
r
ctg
u
r
u
rr
u
rr
u
r
u
sinrr
u
r
u
sinr
u
r
ctg
u
r
u
r
u
rr
u
sinr
r
rr
0
11
11111
111212
2
222
2
2
2
22
2
22
22
2
2
2
22

























 
  




 
  

  

 
 


(3.37) 
66 
Thay (3.34) vào (3.35) – (3.37) và cho các hệ số trước 2sin và các hệ số không 
phụ thuộc vào  bằng 0, cuối cùng nhận được 3 phương trình: 
 ,U
r
U
r
U
r
U
r
U
r
U
r
U
r
U
'
r
'
r
'
r
''
r
0
336
21
3322
12
22
22




 (3.38) 
 ,U
r
UU
r
U
r
U
r
U
r
''''
rr
'
r 0
22
21
642
12
22
   (3.39) 
.UU 0  (3.40) 
Trong đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến r. Giải các phương trình trên nhận được: 
,
r
d
.
r
c
brarUr 24
3
21
453
21
6




 (3.41) 
 ,
r
d
r
c
brarU
24
3 22
21
47


 (3.42) 
.UU  (3.43) 
Với các điều kiện biên: 
- Khi r = 0 : 00 22 IIr dcU . 
- Khi r → ∞ : 0,00 MMr bEarEU Với 0E - là một giá trị biến dạng 
cho trước. 
Khi 21, II RrRr : từ điều kiện liên tục về ứng suất   rrrr ,, và chuyển vị 
  u,u,ur giữa các pha ta có các phương trình để xác định 8 hệ số còn lại: 
,
R
d
.
R
c
RbRaRbRa
I
I
I
I
I
I
II
I
I
IIII
I
I
II 2
2
1
1
1
4
2
13
21
1
1
21
3
22
2
2
22
21
453
21
6
21
6






 (3.44) 
,
R
d
.
R
c
Ra
R
d
.
R
c
RbRa
I
M
M
M
I
M
IM
I
I
I
I
I
I
II
I
I
II 2
1
4
1
12
1
1
1
1
4
1
13
11
1
1
11
21
453
21
453
21
6






 (3.45) 
,
R
d
R
c
RbRaRbRa
I
I
I
I
II
I
I
IIII
I
I
II 2
2
1
4
2
13
21
1
1
21
3
22
2
2
22
22
21
47
21
47




 (3.46) 
,
R
d
R
c
Ra
R
d
R
c
RbRa
I
M
I
M
IM
I
I
I
I
II
I
I
II 2
1
4
1
12
1
1
4
1
13
11
1
1
11
2222
21
47


 (3.47) 
67 
,
R
d
.
R
c
RbabRa
I
I
I
I
I
I
II
I
I
IIII
I
I
II 
3
2
1
1
1
5
2
12
21
1
1
112
2
2
2
2
22
21
5
2
12
21
3
2
21
3
2








 (3.48) 
,
R
d
R
c
RbaRba
I
I
I
I
I
I
II
I
I
IIII
I
I
II 
1
1
3
2
1
5
2
12
21
1
1
11
2
22
2
2
22
21
128
21
27
21
27







 
 (3.49) 
,
R
d
.
R
c
a
R
d
.
R
c
Rba
I
M
M
M
I
M
MM
I
I
I
I
I
I
II
I
I
II
3
1
5
1
3
1
1
1
1
5
1
12
11
1
1
11
21
5
2
12
2
21
5
2
12
21
3
2








 (3.50) 
.
R
d
R
c
a
R
d
R
c
Rba
M
M
I
M
I
M
MM
I
I
I
I
I
I
IIII








21
128
21
128
21
27
3
1
5
1
1
1
3
1
1
5
1
12
1111
 (3.51) 
Các phương trình từ (3.44) – (3.51), có thể viết gọn dưới dạng tổng quát: 
  ,;k,RR kkkkkk 101111 VJVJ (3.52) 
với 
 ,
d
c
b
a
k
k
k
k
k
 V (3.53) 
.
RR
R
RR
RR
R
R
R
R
kk
kk
kk
kk
kk
kk
kk
k
k
k
k
kk
kkk
k
k
k
k
kk
k
k
kk
















21
5412
21
6
2
21
128
21
27
22
21
7
21
453
21
6
3
1
5
1
2
1
3
1
5
1
2
1
4
1
1
4
1
1
1J (3.54) 
Chỉ số k = 0 (tương ứng pha nền, M), k = 1 (tương ứng pha I1), k+1 =2 ( tương ứng 
pha I2). 
Từ (3.52) suy ra: 
68 
 ,RR kkkkkk 1111
1
 VJJV (3.55) 
 ,k
k
k 1
1
 VNV (3.56) 
với 
 .RR kkkk
k
111
11
 JJN (3.57) 
Bởi vậy cuối cùng ta có: 
.j
kj
k 2
2
1
VNV 
 (3.58) 
Khi k = 0, từ (3.58) suy ra: 
 2
2
QVVNNV 2
1
0 . (3.59) 
Khi k = 1, từ (3.58) suy ra: 
 .2
2
1 VNV (3.60) 
Kết quả cuối cùng nhận được: 
,
QQQQ
QQQQE
d
,
QQQQ
QQQQE
c
,
QQQQ
QE
b
,
QQQQ
QE
a
M
M
I
I
21122211
214241220
21122211
213231220
21122211
210
2
21122211
220
2
 (3.61) 
và 
.
QQQQ
QNNQE
bNaNd
,
QQQQ
QNNQE
bNaNc
,
QQQQ
QNNQE
bNaNb
,
QQQQ
QNNQE
bNaNa
III
III
III
III
21122211
21
2
42
2
41220
2
2
422
2
411
21122211
21
2
32
2
31220
2
2
322
2
311
21122211
21
2
22
2
21220
2
2
222
2
211
21122211
21
2
12
2
11220
2
2
122
2
111
 (3.62) 
69 
Véc tơ chuyển vị ở mỗi pha tương ứng: 
 .esinsinuecossinuecossinuzu rr     222
2 (3.63) 
Trung bình biến dạng ở pha I2 được xác định qua biểu thức: 
 .dSznzu
IRr
I 
 
2
2ε (3.64) 
Thay (3.41)- (3.43), (3.63) tương ứng với pha I2 vào (3.64) ta có: 
 ,eeee
R
d
Rba
II
II
II
I
II 22113
22
222
22
2
22
215
544
215
21
 



ε (3.65) 
 ,eeeeEA: dII 2211022   EAε (3.66) 
.
ER
d
RbaA
II
II
II
I
I
d
I
0
3
22
222
22
2
22
1
215
544
215
21



 (3.67) 
Tương tự, trung bình biến dạng trên pha I1+I2: 
 ,eeee
R
d
Rba
II
II
II
I
II 22113
11
112
11
1
112
215
544
215
21
 



ε (3.68) 
.
ER
d
RbaA
II
II
II
I
I
d
I
0
3
11
112
11
1
112
1
215
544
215
21



 (3.69) 
Trong biểu thức (3.67), (3.69) với các hệ số a, b, d xác định ở (3.61), (3.62) 
biểu diễn theo E0 , nên kết quả thu được cuối cùng của 
d
I
d
I A,A 122 không còn E0, mà 
chỉ phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học và tỉ lệ thể tích giữa các pha. 
Mặt khác: 
 ,I
II
I
I
II
I
I 2
21
2
1
21
1
12 εεε




 (3.70) 
nên suy ra: 
 ,AAA dI
II
Id
I
II
Id
I 2
21
2
1
21
1
12




 .AAAA dIdI
I
Id
I
d
I 212
1
2
21 


 (3.71) 
Với dI
d
I A,A 12 nhận được trong (3.67), (3.71) thay trở lại (3.32), (3.33) ta sẽ nhận được 
mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương EI , và thay EI vào công thức (3.28) tính 
được mô đun trượt hiệu dụng của mô hình nền – cốt tương đương. Dưới sự hỗ trợ của 
70 
phần mềm tính toán Maple, đưa ra được công thức cuối cùng của EI phụ thuộc vào 
các đặc trưng cơ học và tỉ lệ thể tích giữa pha cốt và lớp vỏ bọc. Tuy nhiên, do công 
thức nhận được quá lớn nên chúng tôi sẽ đưa vào phần phụ lục. 
Với cách tìm EI như trên thực sự phức tạp, khối lượng tính toán lớn, gây khó 
khăn cho kĩ sư trong quá trình tính toán. Vì thế, để có một công thức xấp xỉ đơn giản 
cho mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương, ta quan sát trong mục 3.1.2: kết quả 
của kEI trong công thức số (3.19) trùng với kết quả của EIk trong công thức (3.21) 
khi biểu diễn tương tự như xấp xỉ Maxwell cho vật liệu hai thành phần nền – cốt, với 
mô đun pha nền là 11, IIk  mô đun pha cốt là 22 , IIk  và tỉ lệ thể tích tương ứng 
'
1
'
2 , II  . Biểu diễn của mô đun thể tích kEI gợi ý cho chúng tôi một công thức tương 
tự xấp xỉ Maxwell cho mô đun đàn hồi trượt : 
1
11
11
11
1
12
2
11
1
126
89
I
II
II
I*I*
I*I
'
I
I*I
'
I
SEI
K
K
, 








 (3.72) 
Với giá trị EIEIk , được đưa ra trong công thức (3.21) và (3.72), sẽ được sử 
dụng như các mô đun đàn hồi của cốt tương đương đơn giản trong phương pháp của 
tác giả và cộng sự để tìm các giá trị hiệu dụng của vật liệu ban đầu với cốt hình cầu 
được phủ. Các công thức đó thuận lợi khi thực hành. 
3.1.4. Công thức tổng quát 
Ở trên mục 3.1.2 và 3.1.3 xét cho các cốt có kích thước giống nhau và cùng 
một loại vật liệu. Một cách tổng quát, giả sử các cốt được phủ khác nhau. Có thể làm 
từ các vật liệu khác nhau (hoặc cùng một loại), nhưng khác nhau về tỉ lệ thể tích giữa 
pha cốt và lớp phủ ( 12 / II  khác nhau). Sau khi đồng nhất tất cả các cốt được phủ 
đó bằng cốt tương đương tương ứng, chúng ta nhận được hỗn hợp nhiều thành phần 
với mô đun tương đương khác nhau 11, EIEIk  (tỉ lệ thể tích 1EI ), 22 , EIEIk  (tỉ lệ 
thể tích 2EI ) ,..., EInEInk , (tỉ lệ thể tích EIn ) trong pha nền có mô đun MMk , và 
tỉ lệ thể tích M . Sau đó chúng ta sử dụng phương pháp xấp xỉ phân cực đơn giản để 
tính mô đun hiệu dụng của vật liệu tương đương ‘‘( Phạm và cộng sự [75])’’. 
;k,k
kkkk
k MM*M*
n
M*M
M
M*EI
EIeff 

3
4
1
1
 (3.73) 
71 
.
k
k
, M
MM
MM
M*M*
n
M*M
M
M*EI
EIeff 








126
89
1
1 

(3.74) 
Các công thức xấp xỉ trong (3.73), (3.74) được kì vọng là phù hợp với vật liệu 
có tỉ lệ thể tích pha nền đáng kể và các pha cốt rời rạc. Nếu tỉ lệ thể tích pha nền nhỏ 
và các cốt gần sát nhau, sai số chắc chắn sẽ xảy ra. Còn trong trường hợp nếu hỗn 
hợp chỉ bao gồm các cốt được phủ ( 0 M ), áp dụng xấp xỉ tự tương hợp với hỗn 
hợp tương đương sẽ phù hợp: 
 ;k,k
kk
k eff**
n
M*EI
EIeff 

3
4
1
1
 (3.75) 
 .
k
k
, eff
effeff
effeff
**
n
*EI
EIeff 






126
89
1
1 
 (3.76) 
3.1.5. Kiểm tra và so sánh 
Để kiểm tra độ tin cậy của các công thức tính keff, μeff khi sử dụng xấp xỉ cốt 
tương đương trong công thức (3.19), (3.32) hay xấp xỉ cốt tương đương đơn giản 
trong công thức (3.21), (3.72). Tác giả so sánh với các kết quả đạt được trong nghiên 
cứu của các tác giả khác như Qui và Weng [54], Sarvestani [76], Hori và Nemat-
Nasser [77]. Trong nghiên cứu của Sarvestani, Hori và Nemat-Nasser đều sử dụng 
phương pháp tiếp cận cốt tương đương đồng nhất bằng cách bổ sung biến dạng riêng 
thích hợp. Còn trong nghiên cứu của Qui và Weng, khi tính mô đun đàn hồi thể tích 
tác giả sử dụng mô hình cốt tương đương và đưa ra giá trị mô đun đàn hồi thể tích 
của cốt tương đương, còn mô đun đàn hồi trượt tác giả xây dựng đường bao dựa trên 
nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu. 
Trường hợp thứ nhất khi GPaGPaGPa IIM 25,5,1 21  , hệ số 
Poisson cho tất cả các pha là 0.3 và tỉ lệ thể tích 21 2 II  . Kết quả thể hiện trên 
bảng 3.1 cho giá trị của mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng, bảng 3.2 cho mô đun đàn 
hồi trượt hiệu dụng của các nghiên cứu. Kí hiệu (U) - kết quả theo giới hạn trên và 
(L)- giới hạn dưới cho mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng μeff trong nghiên cứu của Qui 
và Weng. 
72 
Trường hợp thứ hai khi GPaGPaGPa IIM 1,5,25 21  , hệ số 
Poisson cho tất cả các pha là 0.3 và tỉ lệ thể tích 21 2 II  . Kết quả thể hiện trên 
bảng 3.3 cho giá trị của mô đun đàn hồi