Luận án Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên

ận án của mình đã áp dụng lý thuyết trên 
để giải được các bài toán sau: 
- Trạng thái ứng suất chưa tới hạn nền đất thiên nhiên chịu tác dụng của 
trọng lượng bản thân. 
- Góc dốc tới hạn của khối cát khô. 
- Sức chịu tải của đất nền dưới móng băng khi không xét đến trọng lượng 
bản thân. 
TS Nguyễn Minh Khoa trong luận án của mình đã phát triển lý thuyết để giải 
bài toán ứng suất giới hạn trong nền đất tự nhiên dưới tải trọng tác dụng của nền 
đường đắp và bệ phản áp. 
Tuy nhiên, tải trọng nền đường đắp và bệ phản áp được quy thành tải trọng 
phân bố, tức là chưa xét đồng thời nền đắp và nền thiên nhiên 
35 
 Vì vậy, tác giả cũng dựa trên lý thuyết min (max) nên có thể áp dụng trực tiếp 
định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định nền đường (nghiên cứu ổn định đồng thời 
nền đắp và nền thiên nhiên). Tác giả chỉ cần dùng định lý giới hạn dưới mà không 
cần dùng thêm định lý giới hạn trên bằng cách giả thiết rằng tất cả các điểm đều có 
khả năng chảy dẻo. Đối với bài toán phẳng, ta có: 
    
V
2
max mindV)x(fG
1Z (1.48) 
trong đó: 
 
 cos.csin
2
)x(f yx ; 
 G là mô đun trượt của đất. 
 Trong ngoặc [] là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb viết dưới 
dạng ứng suất thành phần. 
 Nội dung nghiên cứu được trình bày trong các chương như sau: 
 1- Cơ sở lý thuyết, cách xây dựng bài toán và phương pháp giải dùng để 
nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên được trình bày trong 
chương 2. 
 2- Để kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết sử dụng, tác giả trình bày một 
số bài toán cổ điển sau đó so sánh kết quả với các lời giải trước đây và thực tế được 
đề cập trong chương 3. 
 3- Để nghiên cứu sự hình thành mặt trượt và cơ chế phá hoại của khối đất 
trong trường hợp chỉ do tải trọng ngoài và trong trường hợp do trọng lượng bản 
thân, tác giả trình bày bài toán nghiên cứu ổn định của khối đất có mái dốc thẳng 
đứng trong chương 4. 
 4- Áp dụng lý thuyết đã trình bày trên để nghiên cứu ổn định nền đắp trên 
nền thiên nhiên được đề cập trong chương 5. 
36 
Chương 2 
CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH 
NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN 
 Trong chương này trình bày lý thuyết min (max) và phân biệt với lý thuyết 
đàn hồi, tiếp theo trình bày cách xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong 
đất. Cuối cùng trình bày phương pháp giải theo sai phân hữu hạn và một số kết quả 
tính để chứng tỏ có thể sử dụng lý thuyết này để nghiên cứu ổn định nền đường đất 
đắp trên nền thiên nhiên. 
2.1. Lý thuyết min (max) 
 Đất là sản phẩm của quá trình phong hóa lớp trên cùng của vỏ trái đất, trầm 
tích lại mà hình thành. Kích thước hạt đất thay đổi rất nhiều từ m (hạt keo) đến vài 
chục cm (đá trong đất). Trong điều kiện tự nhiên, đất là vật liệu nhiều pha: pha rắn 
(hạt), pha lỏng và khí. Các tính chất cơ học của đất rất phức tạp, phụ thuộc trực tiếp 
vào tương tác của ba pha này với nhau. Tuy nhiên, trong quá trình trầm tích do có 
trọng lượng bản thân nên cùng với thời gian thì đất càng ngày càng “ổn định”. 
Trong thực tế, đê, đập được đắp bằng đất có thể không cần đầm hoặc công đầm rất 
ít nhưng không bị phá hỏng mặc dù 
thường xuyên tiếp xúc với nước. 
 Công tác đầm chặt đất ở hiện 
trường cũng như thí nghiệm đầm chặt 
đất bằng cối Proctor cho thấy, với 
công đầm nén nhất định, ở độ ẩm tốt 
nhất Wtn, đất đạt được độ chặt và 
trọng lượng thể tích khô lớn nhất 
kmax (hình 2.1). Hoặc nói cách khác, công đầm nén là ít nhất để đất đạt được độ 
chặt yêu cầu là tại độ ẩm tốt nhất. Công đầm nén càng lớn thì trọng lượng thể tích 
khô càng lớn. Tuy nhiên, khi thí nghiệm các mẫu đất sau lu lèn ngâm vào nước thì 
mẫu có công đầm nén lớn nhưng không phải ở độ ẩm tốt nhất sẽ bị phá hỏng trước 
so với các mẫu có công đầm nén ít hơn nhưng ở độ ẩm tốt nhất. Có thể nói, độ ẩm 
k (kN/m ) 3
§­êng cong no n­íc G=1
n=1
00
n=6
0
n=3
0
n=2
0
G=0,8
W(%)
kmax
Wtn
 Hình 2.1. Đầm chặt đất 
37 
tốt nhất khi đầm chặt đất là độ ẩm của đất hình thành trong quá trình nén chặt tự 
nhiên của đất. Điều này đã được áp dụng rất hiệu quả trong thực tế, đó là đất sau khi 
đào từ phạm vi nền đường đào hoặc từ mỏ đất được vận chuyển về đắp ngay mà 
không phải chờ một thời gian rồi mới đắp sẽ tiết kiệm được công đầm nén rất nhiều. 
Một ví dụ khác của A.Verruijt [48], lớp đất phía trên có thể vân vê được nhưng sâu 
khoảng 15m thì có thể chịu được lực rất lớn của cọc truyền vào. Nguyên nhân là do 
đất phân bố trên bề mặt rời rạc nên max lớn, lớp dưới đất chặt nênmax nhỏ vì vậy 
mới chịu được cọc truyền xuống. Từ những nhận xét trên, ta có thể nói quá trình 
hình thành đất là quá trình dẫn đến ổn định max → min. 
 Để phân biệt lý thuyết min (max) với lý thuyết đàn hồi, tác giả đi nghiên cứu 
trường ứng suất trong đất theo hai lý thuyết này. 
2.1.1. Trường ứng suất đàn hồi trong đất 
 Nếu coi đất là vật liệu đàn hồi thì trường ứng suất đàn hồi trong đất có thể 
được xác định thông qua trường chuyển vị, biến dạng của nó. Trong trường hợp 
dùng ứng suất là ẩn thì dựa trên các phương trình cân bằng và điều kiện cực trị của 
thế năng biến dạng để xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất. Đối với bài toán 
phẳng, ta có: 
 ràng buộc: (2.1)
trong đó: Z là thế năng biến dạng đàn hồi 
trong trường hợp bài toán phẳng [1]; 
 x, y, xy, yx là trạng thái ứng 
suất tại một điểm trong đất (hình 2.2); 
 E,  là môđun đàn hồi và hệ số 
Poisson của đất. 
 Hình 2.2. Ứng suất trên phân tố đất 











  
  
 
 0
xy
 0
yx
 mindV
2
)1(..
2E
1Z
xyy
yxx
2
yx
2
xy
yx
2
y
2
x
V
o x
y

x
xy
 xx
x 
dx
xy


dy
y
x dx
y y

y dy
yx y 
yx

x
xy
y
yx
38 
Trong bài toán (2.1) không xét tác dụng của lực khối (trọng lượng đất). V là 
diện tích khối đất. 
Bằng phép tính biến phân [13], [16] ta có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị trên 
cho ta đầy đủ các phương trình để xác định trạng thái ứng suất trong đất. Chú ý rằng 
các ứng suất là hàm của tọa độ x (x,y), y (x,y), xy (x,y) là các hàm cần xác định. 
Phiếm hàm Lagrange mở rộng của bài toán (2.1) được viết như sau: 
 mindV
xy
)y,x(dV
yx
)y,x(
dV
2
)1(..
2E
1F
xyy
V
2
yxx
V
1
2
yx
2
xy
yx
2
y
2
x
V




 




 
  
  
 
 (2.2) 
Bài toán cực trị có ràng buộc (2.1) được đưa về bài toán cực trị không ràng 
buộc (2.2). 1, 2 là các thừa số Lagrange và là các ẩn của bài toán. Từ phép tính 
biến phân ta nhận được 6 phương trình Euler- Lagrange sau: 










 
 


 
 


  


  
 0
xy
 0
yx
yE
1
yE
1
y
).(
E
1
x
).(
E
1
xyy
yxx
2
xy
1
yx
2
xy
1
yx
 (2.3) 
Hệ (2.3) là hệ 6 phương trình chứa 6 hàm là ẩn số chưa biết, gồm: x, y, yx, 
xy, 1và 2. 
Trong bài toán này, ứng suất tiếp xy = xy (khi không có mô men khối). Cộng 
hai phương trình thứ ba và thứ tư của (2.3), ta được: 








 
  
xy
G
xy)1(2
E 2121yxxy (2.4) 
39 
trong đó: G là môđun trượt của đất; 
)1(2
 EG
 
Bằng cách cân bằng thứ nguyên, ta thấy 1 và 2 có thứ nguyên của chuyển 
vị, hơn nữa 1 là chuyển vị theo phương x, 2 là chuyển vị theo phương y. Phương 
trình (2.4) là phương trình liên hệ giữa ứng suất tiếp và chuyển vị của môi trường 
đàn hồi. Giải bài toán bằng cách loại bỏ hai hàm ẩn 1và 2 trong hệ phương trình 
(2.3). 
Bốn phương trình đầu của hệ (2.3) có thể dẫn về một phương trình của ứng 
suất như sau: 
Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.3) theo y và kết hợp với phương trình 
thứ ba, nhận được : 
x
)1(
xE
1E
yx
E
xy
E
y
xyyx11
yx 

 

 








  

 (2.4a) 
Đạo hàm phương trình thứ hai của (2.3) theo x và kết hợp với phương trình 
thứ tư của (2.3), nhận được: 
y
)1(
yE
1E
xy
E
yx
E
x
xyxy22
xy 

 

 








  

 (2.4b) 
Đạo hàm phương trình (2.4a) theo y, ta được: 
yx
)1(
y
xy
2
yx2
2


  


 (2.4c)
Đạo hàm phương trình (2.4b) theo x, ta được: 
yx
)1(
x
xy
2
xy2
2


  

 (2.4d) 
Cộng (2.4c) với (2.4d) ta được : 
yx
)1(2
xy
xy
2
xy2
2
yx2
2


  


  

 (2.4e) 
Đạo hàm phương trình thứ 5 theo x và phương trình thứ 6 theo y của (2.3) rồi 
cộng lại ta được : 
40 
2
y
2
2
x
2
xy
2
yxyx
2






 (2.4f) 
Thay (2.4f) vào phương trình (2.4.e), rút gọn ta được: 
 0
yx yx2
2
yx2
2
  


  

 (2.5) 
 Phương trình (2.5) chính là phương trình tương thích dưới dạng chỉ chứa ứng 
suất pháp. 
Vậy với trạng thái ứng suất phẳng, tập hợp các phương trình trên dẫn đến 3 
phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi sau: 








  
0
xy
0
yx
0
xyy
yxx
yx
2
 (2.6)
 với 2 là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2
2
2
2
2
xy 



  
Trình bày trên cho thấy bài toán (2.1) là bài toán xác định trường ứng suất 
đàn hồi trong đất. Khi dùng ứng suất là ẩn thì trường ứng suất có thể xác định theo 
bài toán thế năng cực trị hoặc hệ (2.6). 
2.1.2. Trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) 
 Trên hình 2.3 biểu diễn các thành 
phần ứng suất trên các mặt của một 
phân tố trong bài toán phẳng. Nếu như 
xét một mặt phẳng bất kỳ đi qua trọng 
tâm phân tố thì trên mặt phẳng ấy ta có 
ứng suất tiếp  và ứng suất pháp . Ta 
cũng tìm được mặt phẳng trên đó có 
ứng suất tiếp max (max). 
x
xy
y
yx
x
xy
yx
y
max

 Hình 2.3. Ứng suất tiếp max (max) 
41 
Ứng suất tiếp max (max) và ứng suất pháp tương ứng () trên mặt này được 
xác định theo công thức sau: 
 
 
 
 
2
2
21
21
max
 (2.7) 
trong đó: 1, 2 là các thành phần ứng suất chính, được xác định thông qua ứng suất 
trong hệ tọa độ vuông góc theo công thức sau: 
 
  
 
 
 
  
 
 
2
xy
2
yxyx
2
2
xy
2
yxyx
1
22
22
 (2.8)
 Thay (2.8) vào phương trình thứ nhất của hệ (2.7), ta có ứng suất tiếp max 
(max) được xác định thông qua ứng suất thành phần như sau: 
2
2
xy
2
yx
max  
  
  (2.9) 
 Với giả thiết trên, bài toán phẳng xác định trường ứng suất trong đất như sau: 
ràng buộc: (2.10)
trong đó:  là trọng lượng thể tích của đất. 
 Để chứng tỏ rằng bài toán (2.10) là xác định, dùng phép tính biến phân [13], 
[16] ta có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị trên cho ta đầy đủ các phương trình để xác 
định trạng thái ứng suất trong đất. 
 0
xy
 0
yx
min 
2
xyy
yxx
2
xy
2
yx
max



  








  
  
 
42 
 Phiếm hàm Lagrange mở rộng của bài toán (2.10) được viết như sau: 
 mindV
xy
)y,x(dV
yx
)y,x(
dV
22G
1F
xyy
V
2
yxx
V
1
2
yxxy
2
yx
V
 




 




 
  
  
 (2.11)
trong đó: 1, 2 là các thừa số Lagrange và là các ẩn của bài toán; 
 x, y, xy là trạng thái ứng suất tại một điểm trong đất; 
 G là môđun trượt của đất. 
Từ phép tính biến phân đối với hàm mục tiêu (2.11), ta nhận được 6 phương 
trình Euler- Lagrange sau:
  










  


  


  


  
0
xy
0
yx
xG2
1
yG2
1
yG2
1
xG2
1
xyy
yxx
2
yxxy
1
yxxy
2
xy
1
yx
 (2.12) 
Bằng cách cân bằng thứ nguyên, ta thấy 1 và 2 có thứ nguyên của chuyển 
vị, hơn nữa 1 là chuyển vị theo phương x, 2 là chuyển vị theo phương y. Cộng 2 
phương trình đầu của hệ (2.12) ta được: 
 0
yx yx
21   



 (2.13)
 Từ phương trình (2.13) ta thấy, dựa trên lý thuyết min (max) thì biến dạng thể 
tích bằng 0. Đây chính là yếu tố quan trọng để ta có thể áp dụng đúng quy tắc chảy 
kết hợp của vật liệu đàn dẻo lý tưởng mà điều kiện chảy dẻo là Mohr- Coulomb. 
43 
Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.12) theo y và kết hợp với phương trình 
thứ ba, nhận được : 
 yxxy11yx xyxG2xyG2y  









  

 (2.13a) 
Đạo hàm phương trình thứ hai của (2.12) theo x và kết hợp với phương trình 
thứ tư, nhận được: 
 yxxy22xy zxyG2yxG2x  









  

 (2.13b) 
 Đạo hàm phương trình (2.13a) theo y, ta được: 
 yxxy
2
yx2
2
yxy
 


  

 (2.13c) 
Đạo hàm phương trình (2.13b) theo x, ta được: 
 yxxy
2
xy2
2
xyx
 


  

 (2.13d) 
Vế phải của (2.13c) và (2.13d) bằng nhau, nên ta lấy (2.13c) trừ (2.13d) ta 
được : 
 0
xyxy y2
2
2
2
x2
2
2
2
  




  



 (2.14) 
Hệ phương trình (2.12) bây giờ chỉ còn 3 phương trình sau : 
  








  
0
xy
0
yx
0
xyy
yxx
yx
2
 (2.15) 
với 2 là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2
2
2
2
2
xy 



  
Hệ (2.15) có ba phương trình để tìm ba ẩn chưa biết là x, y và xy. Vì vậy, 
bài toán xác định trạng trạng thái ứng suất trong đất (2.10) là có nghiệm. 
44 
So sánh hệ (2.6) của bài toán xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất và 
hệ (2.15) của bài toán xác định trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max) ta thấy 
sự khác nhau về dấu “±” của phương trình đầu tiên. 
Bây giờ, ta có trường ứng suất trong đất là trường tĩnh học xác định, đủ 
phương trình để giải. Do đó, bài toán cơ học đất là bài toán xác định, ta có thể dùng 
để giải cho các bài toán trạng thái ứng suất khác nhau (ví dụ như tải trọng ngoài). 
2.2. Xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong đất 
Sau khi có những kết quả trên, bài toán xác định trường ứng suất trong đất 
của các công trình đường, nhà, đê, đập... hoàn toàn có thể thực hiện được. Trong 
các bài toán cần phải xét thêm các điều kiện ràng buộc. Để trình bày rõ ràng hơn, ta 
đi xét bài toán trạng thái ứng suất nền đắp trên nền thiên nhiên do trọng lượng bản 
thân và tải trọng ngoài (hình 2.4). 
O x
y
n0
m1
m2
n2p1
c ,11  1
c ,00  0
m'1
m'2

 
n1
n3
n4
Hình 2.4. Sơ đồ tính nền đắp hình thang 
Điều kiện biên ứng suất 
+ Trên mặt nằm ngang n2-n0 (hình 2.5): 
 y = 0; xy = 0 khi chỉ xét trọng lượng bản thân (2.16) 
 y ≠ 0; xy = 0 trong phạm vi có tải trọng ngoài tác dụng. (2.17) 
+ Trên mặt nghiêng (mái dốc): 
45 
Do không có tải trọng ngoài tác dụng lên mái dốc nên các thành phần ứng 
suất thỏa mãn điều kiện biên trên mặt thoáng là: ứng suất nén theo phương vuông 
góc với mái dốc n=0 và ứng suất tiếp trên mặt mái dốc n=0 (hình 2.6). Các thành 
phần ứng suất biểu diễn trong hệ trục tọa độ xOy là x ≠ 0; y ≠ 0; xy ≠ 0 thỏa mãn: 
 )n,ycos().n,xcos(..2)n,y(cos)n,x(cos xy
2
y
2
xn     (2.18) 
n n
Mm¸i dèc

y
yx
M
Hình 2.5. Mặt thoáng nằm ngang Hình 2.6. Mặt thoáng nghiêng 
+ Trên mặt nằm ngang m1-n1: 
 y = 0; xy = 0 khi không có phụ tải (2.19) 
+ Trên biên m1-m2: 
Ta hình dung khối đất nằm trong môi trường vô hạn nên khi ở càng xa nền 
đắp thì trạng thái ứng suất trên hai mặt m1 - m2 và m1’- m2’ càng gần giống nhau. Do 
đó, dưới dạng bình phương tối thiểu ta có: 
  
  
min)(
min)(
2)m,2(
xy
)m,1(
xy
2)m,2(
x
)m,1(
x (2.20)
 + Trên mặt đáy: 
Chiều sâu lớp đất càng lớn thì trạng thái ứng suất của lớp đất càng gần nhau. 
Dưới dạng bình phương tối thiểu ta có: 
  
   
min)(
min)y.(
2)n,12m(
xy
)n,2m(
xy
2)n,12m(
y
)n,2m(
y (2.21) 
46 
Điều kiện đất không có khả năng chịu kéo 
 Các ứng suất nén thỏa mãn điều kiện sau: 
 0x  và 0y  . (2.22) 
Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb 
 Trạng thái ứng suất trong đất phải thỏa mãn điều kiện chảy dẻo Mohr-
Coulomb sau: 
 0cos.csin
2
yx
max 
 
  (2.23) 
Điều kiện các điểm đều có khả năng chảy dẻo 
 mindxdy)cos.csin
2
(
G
1 2
V
yx
max 
 
  (2.24) 
trong đó: G là môđun trượt của đất. 
2.3. Phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán 
Giải trực tiếp bài toán trên rất khó, nhất là khi xét đến trọng lượng thể tích 
của đất. Vì vậy, tác giả giải bài toán bằng phương pháp sai phân hữu hạn [15], [22]. 
Chia khối đất thành các ô vuông (hình 2.4), mỗi điểm nút có 3 ứng suất chưa 
biết, trừ các điểm nút trên biên đã nói ở trên. Một cách tổng quát tại mỗi nút có 3 ẩn 
là x, y,xy. 
Xét 1 ô lưới hình vuông có các ẩn ứng suất tại các nút như hình 2.7. 
 x
 y
x xy
i,j
y
i,j i,j
x xy
i+1,j
y
i+1,j i+1,j
x xy
i,j+1
y
i,j+1 i,j+1
x xy
i+1,j+1
y
i+1,j+1 i+1,j+1
Hình 2.7. Ô lưới sai phân tính toán 
47 
Phương trình cân bằng được viết cho điểm nằm giữa của ô lưới nên hai 
phương trình cân bằng dạng sau: 
  
 
  
 
  
 
  
 
 .0
x
1
22
y
1
22
 ;0
y
1
22
x
1
22
)j,i(
xy
)1j,i(
xy
)j,1i(
xy
)1j,1i(
xy
)j,i(
x
)j,1i(
x
)1j,i(
y
)1j,1i(
y
)j,i(
xy
)j,1i(
xy
)1j,i(
xy
)1j,1i(
xy
)j,i(
x
)1j,i(
x
)j,1i(
x
)1j,1i(
x
 (2.25) 
 Hàm mục tiêu của (2.10) được viết cho điểm nằm giữa của ô lưới như sau: 
min
4
2
44
5.02)1j,1i(
xy
)1j,i(
xy
)j,1i(
xy
)j,i(
xy
2)1j,1i(
y
)1j,i(
y
)j,1i(
y
)j,i(
y
)1j,1i(
x
)1j,i(
x
)j,1i(
x
)j,i(
x
max
    
    
   
 
 (2.26) 
 Trường hợp xem đất như vật thể đàn hồi tuyến tính, hàm mục tiêu của (2.1) 
cũng được viết cho điểm nằm giữa của ô lưới như sau: 
minyx
4
)1(
44
2
44
E
1Z
2)1j,1i(
xy
)1j,i(
xy
)j,1i(
xy
)j,i(
xy
)1j,1i(
y
)1j,i(
y
)j,1i(
y
)j,i(
y
)1j,1i(
x
)1j,i(
x
)j,1i(
x
)j,i(
x
2)1j,1i(
y
)1j,i(
y
)j,1i(
y
)j,i(
y
2)1j,1i(
x
)1j,i(
x
)j,1i(
x
)j,i(
x
i j
    
 
    
    
 
    
    

(2.27) 
 Bài toán có hàm mục tiêu dạng bình phương, ràng buộc là các phương trình 
tuyến tính và phi tuyến. Có rất nhiều phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến 
48 
trên [29], nhưng để tận dụng các hàm cực trị có sẵn [37], tác giả sử dụng cách lập 
trình trên phần mềm Matlab để giải. 
2.4. Lời giải bài toán Flamant bằng số 
 Để kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp giải và chương trình tính, tác 
giả giải bài toán Flamant bằng phương pháp sai phân hữu hạn, sau đó so sánh với 
lời giải giải tích. 
 Bài toán Flamant là bài toán xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất do 
tải trọng hình băng phân bố đều trên nền đất đồng nhất giới hạn bởi mặt phẳng 
nằm ngang. 
 Như đã trình bày ở phần trên, đây chính là bài toán (2.1) với các ràng buộc 
(2.16), (2.17), (2.20), (2.21). Sai phân hóa biểu thức của (2.1) ta được hệ (2.25) và 
(2.27). Sơ đồ giải bài toán được trình bày trên hình 2.8. 
Hình 2.8. Sơ đồ giải bài toán Flamant 
Rời rạc hóa khối đất 
Chọn ẩn là ứng suất: x, y,xy 
Hai phương trình cân bằng được viết 
cho điểm giữa ô lưới sai phân, hệ (2.25) 
Hàm mục tiêu được viết 
cho điểm giữa ô lưới (2.27) 
Điều kiện biên 
trên mặt nằm ngang (2.16), (2.17) 
và ở vô cùng (2.20), (2.21) 
Giải hệ phương trình 
Nghiệm: ứng suất x, y,xy 
49 
 Tác giả viết chương trình Dothang1 và Dothang1a để giải bài toán. 
 Số liệu tính toán: Nền đất có: mô đun đàn hồi E=30000kPa, hệ số Poisson 
=0.3. Tải trọng phân bố đều trên bề rộng 2a= 10m, cường độ p=30kPa. Lưới sai 
phân có bề rộng 40m với ptx phần tử và chiều sâu 40m với pty phần tử. 
 Do dải tải trọng dài vô hạn, nên trạng thái ứng suất trong nền đất được xem 
là bài toán phẳng. Sơ đồ tính theo phương pháp sai phân được trình bày như trên 
hình 2.9. 
b=40m
h=
40
m

2a=10m
p
O x
y
m1
n1

n0
c,  
Hình 2.9. Sơ đồ tính toán theo phương pháp sai phân 
 Lần lượt tính toán ứng suất pháp y tại vị trí giữa dải tải trọng với số lượng 
phần tử theo mỗi phương là 16, 32 và 40, ta được kết quả như bảng 2.1. 
50 
Bảng 2.1. Ứng suất pháp y theo lý thuyết đàn hồi tại vị trí giữa dải tải trọng (kPa) 
Chiều 
sâu 
(m) 
 Lần 1 
ptx=pty=16 
 x = y= 
2,5m 
 Lần 2 
ptx=pty=32 
 x = y= 
1,25m 
 Lần 3 
ptx=pty=40 
 x = y= 
1,0m 
Sai số của 
lần 1 so với 
lần 3 
(%) 
Sai số của 
lần 2 so với 
lần 3 
(%) 
0 30 30 30 0 0 
10 18,25 17,12 17,08 6,86 0,27 
20 9,72 8,93 8,91 9,09 0,30 
30 6,90 6,21 6,01 14,69 3,21 
40 6,00 5,34 4,75 26,44 12,5