Luận án Nghiên cứu phương pháp tính toán tấm bê tông xi măng mặt đường có xét ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang

 liên tiếp có liên hệ tuyến tính về đạo hàm: 
1
( )
2 ( )
x
n
n
dH x
nH x
d
 (3.6) 
Nhờ tính chất (3.6) mà ta có thể xây dựng hàm nội suy chuyển vị của phần tử 
tấm chữ nhật thỏa mãn điều kiện liên tục đến đạo hàm bậc nhất trên các cạnh biên 
của hai phần tử liền kề. 
3.1. THIẾT LẬP THUẬT TOÁN THEO PHƯƠNG PHÁP FEM. 
3.1.1. Phần tử chuyển vị w . 
Hình 3.1. Phần tử dầm, hai nút 
x
10
11
w, 22w,
- 56 - 
Xét phần tử dầm, có chiều dài là 1x với hai nút, mỗi nút có hai thông số 
là chuyển vị và góc xoay, như minh họa trên hình vẽ 3.1. 
- Tại nút 1: có chuyển vị 1w và góc xoay 1
0x
dw
dx
- Tại nút 2: có chuyển vị 
2w và góc xoay 2
1x x
dw
dx
Độ võng của phần tử dầm có tọa độ x được xác định theo các đa thức lập từ 
4 số hạng đầu tiên của hàm Hermite, [5], [22], [27], [33], [40]: 
 
0 0 1 1 2 2 3 3
0
12 3 2 3
2
3
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 4 2 8 12 1 2 4 2 8 12
w H x a H x a H x a H x a
a
a
w x x x x x x x x a
a
a
 
  
 
  
  
 (3.7) 
Ta có: 
 20 2 8 24 12
x
dw
x x a
d
 (3.8) 
Tại điểm có tọa độ 0x ; 1x và từ (3.7), (3.8) ta viết được hệ phương trình 
dưới dạng ma trận như sau: 
01
12
21
32
1 0 2 0
1 2 2 6
0 2 0 12
0 2 8 12
aw
aw
a
a
   
  
  
 (3.9) 
Hay: 
1
0 1
1 2
2 1
3 2
1 0 2 0
1 2 2 6
0 2 0 12
0 2 8 12
a w
a w
a
a
   
  
  
 (3.10) 
- 57 - 
Giải phương trình (3.10) xác định được các hệ số 0 1 2 3, , ,a a a a theo các thông 
số 
1 2 1 2, , ,w w của phần tử: 
0 1 2 1 2
1 1 2 2
2 1 2 1 2
3 1 2 1 2
1 3
2
4 4
1
+
2
1 1 1 3
2 2 8 8
1 1 1 1
+
6 6 12 12
a w w
a w w
a w w
a w w



 (3.11) 
 Đưa (3.11) vào (3.7) xác định được độ võng của phần tử theo các thông số 
1 2 1 2, , ,w w : 
 
1
2
1 2 3 4
1
2
w
w
w f f f f
 
 
 
 (3.12) 
Theo [5], [22], [27], [33], các hàm nội suy 1 2 3 4, , ,f f f f lấy như sau: 
3 2
1
3 2
2
3 2
3
3 2
4
( ) 2x 3x 1
( ) 2x 3x
( ) x 2x
( ) x x
f x
f x
f x x
f x
 

 
 (3.13) 
Như vậy, chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định theo 
(3.12) và (3.13). 
Tương tự như trên, xét phần tử dầm theo chiều y với các thông số về độ 
võng và góc xoay tại các nút là: 
 1 1 2 2
0 1
, , ,
y y y
dw dw
w w
dy dy
 (3.14) 
Ta có kết quả tương tự như (3.12) và (3.13): 
- 58 - 
 
1
2
1 2 3 4
1
2
y
y
w
w
w f f f f


 
 
 
 (3.15) 
Với các hàm nội suy 1 2 3 4, , ,f f f f trong (3.15), như sau: 
3 2
1
3 2
2
3 2
3
3 2
4
( ) 2 3 1
( ) 2 3
( ) 2
( )
f y y y
f y y y
f y y y y
f y y y
 

 
 (3.16) 
Bài toán dầm là bài toán 1 chiều, bài toán tấm là bài toán 2 chiều. Dựa vào 
kết quả phân tích phần tử dầm ở trên, ta đi xây dựng cho phần tử tấm hình chữ nhật 
4 nút của bài toán tấm chịu uốn, hình 3.2. 
Mỗi nút tấm có 4 thông số chuyển vị là: 
2
; ; ; ;( 1,2,3,4)
i i i
i i i
i x y xy
w w w
w i
x y x y
  
   
 (3.17) 
 
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 4
T
e
x x x x y y y y xy xy xy xyw w w w w 
 (3.18) 
Các hàm nội suy iN được xác định như sau: 
1
2
3
4
1 1
2
1 1 1 1 9 1 3
2 2 2 1 10 2 3
3 3 1 2 11 1 4
4 4 2 2 12 2 4
5 3 1 13 3 3
6 4 1
: ( ) ( ) : ( ) ( )
: ( ) ( ) : ( ) ( )
: ( ) ( ) : ( ) ( )
: ( ) ( ) : ( ) ( )
: ( ) ( ) : ( ) ( )
: ( ) (
y
y
y
y
x xy
x
w N f x f y N f x f y y
w N f x f y N f x f y y
w N f x f y N f x f y y
w N f x f y N f x f y y
N f x f y x N f x f y x y
N f x f
2
3 3
4 4
14 4 3
7 3 2 15 3 4
8 4 2 16 4 4
) : ( ) ( )
: ( ) ( ) : ( ) ( )
: ( ) ( ) : ( ) ( )
xy
x xy
x xy
y x N f x f y x y
N f x f y x N f x f y x y
N f x f y x N f x f y x y



 (3.19) 
- 59 - 
Hình 3.2.Phần tử tấm chữ nhật 4 nút 
Các đại lượng ,x y là kích thước phần tử được đưa vào trong biểu thức 
(3.19) để đảm bảo các hàm nội suy có cùng thứ nguyên. 
Gọi wN là véc tơ dòng chứa 16 hàm nội suy iN thì chuyển vị w tại một 
điểm bất kỳ trên phần tử tấm chữ nhật được xác định theo công thức: 
   ee ww N w (3.20) 
3.1.2. Phần tử lực cắt xQ . 
Hình 3.3.Phần tử dầm 3 nút 
Xét phần tử dầm dài 1đơn vị, 3 nút, như hình 3.3. Sử dụng 3 số hạng đầu của 
đa thức Hermite, lực cắt tại điểm bất kỳ trong phần tử được xác định theo biểu thức: 
 20 0 1 1 2 2 0 1 2( ) ( ) ( ) 2 4 2xQ H x a H x a H x a a xa x a (3.21) 
Thay tọa độ các nút vào (3.21), được: 
0 2 1
0 1 2 2
0 1 2 3
2
2 2
a a Q
a a a Q
a a a Q
 
 
 
 (3.22) 
Viết dưới dạng ma trận: 
0 1
1 2
2 3
1 0 2
1 1 1
1 2 2
a Q
a Q
a Q
  
   
  
 (3.23) 
Giải phương trình (3.23), xác định được các giá trị 0 1 2, ,a a a theo 1 2 3, ,Q Q Q , đưa kết 
quả vào (3.21), ta được các thông số nút như sau: 
x
10
 x = 1
0,5
QQ Q
1 2 3
1 2 3
y
1 x2
43
 x = 1
y 
=
 1
- 60 - 
1
2
3
2
2
2
( ) 1 3x 2x
( ) 4x 4x
( ) x 2x
Q
Q
Q
f x
f x
f x
 
 
 
 (3.24) 
Với phần tử tấm 6 nút, hình 3.4, sự phân bố lực cắt xQ theo y phải lấy giống sự 
phân bố góc xoay 
x
w
x


 theo y . Ta viết được các hàm nội suy đối với lực cắt xQ 
của tấm chữ nhật như sau: 
1 11 4
2 22 5
3 33 6
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x
x x
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
N f x f y N f x f y
N f x f y N f x f y
N f x f y N f x f y
 
 
 
 (3.25) 
Hình 3.4.Phần tử lực cắt xQ của phần tử 
 tấm 6 nút 
Gọi 
x
e
QN là véc tơ dòng chứa 6 hàm nội suy (3.25): 
1 2 3 4 5 6x x x x x x x
e
Q Q Q Q Q Q QN N N N N N N (3.26) 
và gọi exQ là véc tơ cột chứa 6 thông số 1 2 3 4 5 6, , , , ,Q Q Q Q Q Q : 
 
1 2 3 4 5 6
T
e
x x x x x x xQ Q Q Q Q Q Q (3.27) 
thì lực cắt xQ tại mỗi điểm trong phần tử tấm chữ nhật được viết như sau: 
 
x
e e e
x Q xQ N Q (3.28) 
3.1.3. Phần tử lực cắt yQ . 
 Tương tự như phần tử lực cắt xQ , các hàm nội suy của phần tử lực cắt yQ 
của tấm chữ nhật 6 nút, hình 3.5, được viết như sau: 
y
2 x3
64
 x = 1
 y
 =
 1
1
5
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
- 61 - 
1 11 4
2 22 5
3 33 6
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
y y
y y
y y
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
N f y f x N f y f x
N f y f x N f y f x
N f y f x N f y f x
 
 
 
 (3.29) 
Hình 3.5.Phần tử lực cắt yQ 
của phần tử tấm 6 nút 
Với : 
1
2
3
2
2
2
( ) 1 3 2
( ) 4 4
( ) 2
Q
Q
Q
f y y y
f y y y
f y y y
 
 
 
 (3.30) 
Gọi 
y
e
QN 
 là véc tơ dòng chứa 6 hàm nội suy theo biểu thức (3.29): 
1 2 3 4 5 6y y y y y y y
e
Q Q Q Q Q Q QN N N N N N N 
 (3.31) 
và gọi eyQ là véc tơ cột chứa 6 thông số 1 2 3 4 5 6, , , , ,Q Q Q Q Q Q : 
 
1 2 3 4 5 6
T
e
y y y y y y yQ Q Q Q Q Q Q (3.32) 
thì lực cắt yQ tại mỗi điểm trong phần tử tấm chữ nhật được viết như sau: 
 
x
e e e
y Q yQ N Q (3.33) 
3.1.4. Ma trận độ cứng phần tử tấm. 
Phần tử chuyển vị w có 16 ẩn, phần tử lực cắt Qx có 6 ẩn, phần tử lực cắt 
Qy có 6 ẩn, tổng cộng có 28 ẩn. Gọi U là véc tơ cột chứa 28 ẩn của phần tử: 
 
T
x yU w Q Q (3.34) 
Mở rộng véc tơ dòng hàm nội suy chuyển vị  wN chứa 16 thành phần thành 
véc tơ dòng  N chứa 28 thành phần bằng cách thêm 12 số “0” vào cuối dòng: 
y
x4
63
 x = 1
 y
 =
 1
1
Q
1
Q
4
Q
3
Q
6
52 Q2 Q5
- 62 - 
   , e 1,12wN N z ro (3.35) 
Chuyển vị w tại mỗi điểm trong phần tử, biểu thức (3.20), được viết lại bằng: 
   ew N U (3.36) 
Tương tự như vậy, mở rộng véc tơ dòng hàm nội suy lực cắt xQ (đó là véc tơ dòng 
x
e
QN trong biểu thức 3.2), thành véc tơ dòng xQN : 
 e 1,16 , , e 1,6
x xQ Q
N z ro N z ro (3.37) 
Mở rộng véc tơ dòng hàm nội suy lực cắt yQ ( đó là véc tơ dòng y
e
QN 
trong biểu 
thức 3.33), thành véc tơ dòng 
yQ
N 
: 
 e 1,22 ,
y yQ Q
N z ro N 
 (3.38)
Cuối cùng, ta được: 
- Lực cắt xQ tại mỗi điểm phần tử, biểu thức (3.28) được viết lại bằng: 
 
e
x QxQ N U (3.39) 
 - Lực cắt yQ tại mỗi điểm phần tử, biểu thức (3.33) được viết lại bằng: 
 y
e
y QQ N U (3.40) 
Biết cách xác định chuyển vị w theo (3.36), lực cắt Qx theo (3.39) và lực cắt 
Qy theo (3.40) ta dễ dàng tính được các liên hệ sau: 
 Biến dạng trượt do Qx : 
e
x xQ
Gh
 (3.41) 
 Biến dạng trượt do Qy : 
e
y yQ
Gh
 (3.42) 
 Góc xoay do mô men Mx : 
e
x x
w
x
 


 (3.43) 
- 63 - 
 Góc xoay do mô men My : 
e
y y
w
y
 


 (3.44) 
 Các biến dạng uốn: ;
yx
x y
x y
 

 
 (3.45) 
 Biến dạng xoắn: 
1
2
yx
xy
y x

 
  
 (3.46) 
 Các mô men uốn và xoắn: 
 1
x x y
y y x
xy xy
M D
M D
M D
 
 
 


 
 (3.47) 
Xem phần tử như một tấm, có liên kết hai chiều (liên kết giữ) nên điều kiện 
cực trị (2.17), không kể đến phản lực nền R, sẽ được viết thành: 
1 1
0 0
2 0
1,2,...28
y xy ye ex x
x y xy x y
i i i i i i
Z
M M M Q Q dxdy
u u u u u u
i
       
      
 (3.48) 
 Thực hiện các phép tính với i = 1,2,,28 ta được ma trận độ cứng phần tử 
tấm 28 28eA . 
Kết nối các ma trận độ cứng phần tử, cùng với hàm tải trọng ngoài, các điều 
kiện biên và các điều kiện về sự liên tục giữa hai phần tử liền kề , ta sẽ xây dựng 
được ma trận độ cứng tổng thể cho toàn tấm. 
Ví dụ 3.1: 
Xét tấm chữ nhật có kích thước (a b), 4 cạnh liên kết khớp, chịu tải trọng 
phân bố đều q . Ba điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm được minh họa như trên hình 
3.6. Chia tấm thành (3 3) phần tử có độ dài các cạnh x, y. Kết hợp với các điều 
kiện động học (chuyển vị w, 
w
x


, 
w
y


, 
2w
x y

 
) và điều kiện biên của mô men trên 
cạnh khớp xác định được toàn bộ số ẩn của tấm. 
- 64 - 
Ẩn chuyển vị w được trình bày trên (B.3.11), ẩn góc xoay /w x  trên 
(B.3.12), ẩn góc xoay /w y  ở (B.3.13), ẩn góc xoắn 
2 /w x y   ở (B.3.14), ẩn lực 
cắt Qx trên (B.3.15), và ẩn lực cắt Qy được ghi trong (B.3.16). 
Tổng cộng có 124 ẩn còn gọi là 124 thông số của các nút. Với cách đánh số ẩn như 
trên thì điều kiện biên về chuyển vị và lực cắt tại cạnh tấm tự động thỏa mãn. 
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 2 2 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 3 3 0 4 4 0 0
0 0 3 3 0 4 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 2 2 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 0 14 15 0 16 17 0 18
0 0 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0 20
0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 8 9 0 10 11 0 12
21 0 23 0 29 0 35
0 0 25 0 31 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 26 0 32 0 0
0 0 27 0 33 0 0
0 0 0 0 0 0 0
22 0 28 0 34 0 36
0 0 0 0 0 0 0
0 0 24 0 30 0 0
37 0 38 38 0 39 39 0 40
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
49 0 50 50 0 51 51 0 52
0 0 0 0 0 0 0 0 0
41 0 42 42 0 43 43 0 44
53 54 55 56 57 58 59 60 61
0 0 0 0 0 0 0 0 0
71 72 73 74 75 76 77 78 79
0 0 0 0 0 0 0 0 0
80 81 82 83 84 85 86 87 88
0 0 0 0 0 0 0 0 0
62 63 64 65 66 67 68 69 70
89 0 98 0 107 0 116
92 0 101 0 110 0 119
93 0 102 0 111 0 120
94 0 103 0 112 0 121
95 0 104 0 113 0 122
96 0 105 0 114 0 123
97 0 106 0 115 0 124
90 0 99 0 108 0 117
91 0 100 0 109 0 118
B.3.11 B.3.12
B.3.13 B.3.14
B.3.15 B.3.16
45 0 46 46 0 47 47 0 48
7 0 8 9 0 10 11 0 12
13 0 14 15 0 16 17 0 18
23
25
0
26
27
0
28
0
24
29
31
0
32
33
0
34
0
30
41 0 42 42 0 43 43 0 44
45 0 46 46 0 47 47 0 48
62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79
98
101
102
103
104
105
106
99
100
107
110
111
112
113
114
115
108
109
Hình 3.6. Mô hình tấm chu tuyến khớp,(3 3) phần tử 
y
3
3
1
b
a
4
4
x
9
9
y
x
w=0; My =0
 Mxy=0
o
w=0; Mx =0
Mxy=0
w=0; My =0
 Mxy=0
w=0; Mx =0
Mxy=0
a
b
- 65 - 
- Xét điều kiện biên về mô men uốn Mx , My : 
+ Tại cạnh 0x : 
1 (1,1) 0xg M 2 (1,3) (1,4) 0x xg M M 
3 (1,6) (1,7) 0x xg M M 4 (1,9) 0xg M 
5 (1,1) 0xyg M 6 (1,3) (1,4) 0xy xyg M M 
7 (1,6) (1,7) 0xy xyg M M 8 (1,9) 0xyg M 
+ Tại cạnh x a : 
9 (9,1) 0xg M 10 (9,3) (9,4) 0x xg M M 
11 (9,6) (9,7) 0x xg M M 12 (9,9) 0xg M 
13 (9,1) 0xyg M 14 (9,3) (9,4) 0xy xyg M M 
15 (9,6) (9,7) 0xy xyg M M 16 (9,9) 0xyg M 
+ Tại cạnh 0y : 
17 (1,1) 0yg M 18 (3,1) (4,1) 0y yg M M 
19 (6,1) (7,1) 0y yg M M 20 (9,1) 0yg M 
21 (1,1) 0xyg M 22 (3,1) (4,1) 0xy xyg M M 
23 (6,1) (7,1) 0xy xyg M M 24 (9,1) 0xyg M 
+ Tại cạnh y b : 
25 (1,9) 0yg M 26 (3,9) (4,9) 0y yg M M 
27 (6,9) (7,9) 0y yg M M 28 (9,9) 0yg M 
29 (1,9) 0xyg M 30 (3,9) (4,9) 0xy xyg M M 
31 (6,9) (7,9) 0xy xyg M M 32 (9,9) 0xyg M 
- Xét điều kiện liên tục về góc xoay x, y , ta có: 
+ Điều kiện liên tục theo chiều x: 
- 66 - 
8 64 9 65
33 0x x x xg Q Q
Gh Gh
 10 67 11 68
34 0x x x xg Q Q
Gh Gh
14 73 15 74
35 0x x x xg Q Q
Gh Gh
 16 76 17 77
36 0x x x xg Q Q
Gh Gh
+ Điều kiện liên tục theo chiều y: 
24 100 25 101
37 0y y y yg Q Q
Gh Gh
 26 103 27 104
38 0y y y yg Q Q
Gh Gh
30 109 31 110
39 0y y y yg Q Q
Gh Gh
 32 112 33 113
40 0y y y yg Q Q
Gh Gh
Ma trận tổng thể của tấm được xây dựng trên cơ sở ma trận độ cứng phần tử, 
các điều kiện biên và điều kiện liên tục giữa các phần tử. Khi đó, ma trận tổng thể 
của tấm là ma trận A(164 164) gồm 124 thông số nút và 40 ẩn phụ đó chính là các 
thừa số Lagrange. 
 Vì tải trọng chỉ tác dụng tại nút có chuyển vị nên véc-tơ tải trọng B là véc-
tơ cột có kích thước 164 1 và trong trường hợp này chỉ có tải trọng đặt tại hàng 1 
với giá trị là P = q* x* y/4: 
   1/ 4 0 0 0..........0
T
B 
Trình bày ở trên chỉ đúng khi chia tấm thành (3 3) phần tử. 
Ví dụ 3.2: 
Xét tấm chữ nhật kích thước (a b), 3 cạnh liên kết khớp, cạnh còn lại y = b 
hoàn toàn tự do, chịu tải trọng phân bố đều q . Chia tấm thành (2 2) phần tử có độ 
dài các cạnh x, y. Với các điều kiện động học và điều kiện biên trên mỗi cạnh 
tấm, ta có 60 ẩn là 60 thông số nút. 
Ẩn chuyển vị w được trình bày trên (B.3.17), ẩn góc xoay /w x  trên 
(B.3.18), ẩn góc xoay /w y  ở (B.3.19), ẩn góc xoắn 
2 /w x y   ở (B.3.20), ẩn lực 
cắt Qx trên (B.3.21), và ẩn lực cắt Qy được ghi trong (B.3.22). 
- 67 - 
Với cách đánh số ẩn như trên thì điều kiện biên về chuyển vị và lực cắt tại 
cạnh tấm tự động thỏa mãn. 
 - Xét điều kiện biên về mô men uốn Mx , My : 
 + Tại cạnh 0x : 
1 (1,1) 0xg M 2 (1,3) (1,4) 0x xg M M 5 (1,3) (1,4) 0xy xyg M M 
3 (1,6) 0xg M 4 (1,1) 0xyg M 6 (1,6) 0xyg M 
 + Tại cạnh x a : 
7 (6,1) 0xg M 8 (6,3) (6,4) 0x xg M M 11 (6,3) (6,4) 0xy xyg M M 
9 (6,6) 0xg M 10 (6,1) 0xyg M 12 (6,6) 0xyg M 
+ Tại cạnh 0y : 
13 (1,1) 0yg M 14 (3,1) (4,1) 0y yg M M 17 (3,1) (4,1) 0xy xyg M M 
15 (6,1) 0yg M 16 (1,1) 0xyg M 18 (6,1) 0xyg M 
+ Tại cạnh y b , cạnh tự do: 
19 (1,6) 0yg M 20 (3,6) (4,6) 0y yg M M 23 (6,6) 0xyg M 
21 (6,6) 0yg M 22 (1,6) 0xyg M 
- Xét điều kiện liên tục về góc xoay x, y , ta có: 
+ Điều kiện liên tục theo chiều x: 
6 37 7 38
24 0x x x xg Q Q
Gh Gh
 10 43 11 4425 0x x x xg Q Q
Gh Gh
+ Điều kiện liên tục theo chiều y: 
16 54 17 55
26 0y y y yg Q Q
Gh Gh
Ma trận tổng thể là ma trận B(86 86) gồm 60 thông số nút và 26 ẩn phụ đó 
chính là các thừa số Lagrange. 
- 68 - 
Hình 3.7.Mô hình tấm 3 cạnh khớp,1 cạnh ngàm, (2 2) phần tử 
3.1.5. Ma trận phần tử phản lực đất nền R theo mô hình Winkler. 
Theo mô hình nền Winkler, phản lực đất nền tỷ lệ với chuyển vị thẳng đứng 
 w của tấm, thông qua hệ số nền k , nên ta viết ngay được biểu thức xác định 
phản lực đất nền R tại một điểm bất kỳ dưới phần tử tấm được theo công thức: 
   ee e wR kw k N w (3.49) 
Phản lực nền R tại mỗi điểm trong phần tử, được viết lại bằng: 
   eR kw k N U (3.50) 
B.3.18
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
3 0 0 0 40
5 0 6 7 80
5 0 6 7 80
9 0 10 11 120
B.3.17
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1
1
0
2
0
1
1
0
2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B.3.19
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
13 0 15 15 190
0 0 16 16 00
0 0 17 17 00
14 0 18 18 200
B.3.20
21 0 22 22 0 23
0
24
24
0
27 0
0
0
0
0
0
25
25
0
28
0
25
25
0
28 29
0
26
26
0
0
0
0
0
0
35 36 37 38 4039
B.3.21
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
30 31 32 32 3433
35 36 37 38 4039
41 42 43 44 4645
48 0 53 570
50 0 55 590
47 0 52 560
49 0 54 580
49 0 54 580
51 0 0 600
53
55
52
54
54
0
B.3.22
y
x
w=0; My =0
 Mxy=0
o
w=0; Mx =0
Mxy=0
Qy=0; My=0
 Mxy=0
w=0; Mx =0
Mxy=0
a
b
y
x
3 6
3
6
1
b
a
4
4
- 69 - 
3.1.6. Ma trận phần tử đất nền theo mô hình bán không gian đàn hồi. 
 Phần tử đất nền được lựa chọn là một phần tử khối 8 nút, [27], [33], [40]. Tại 
mỗi nút có 3 chuyển vị , , du v w lần lượt theo các phương , ,x y z . 
Chuyển vị theo , ,x y z của 1điểm trong phần tử xác định như sau: 
8 8 8
1 1 1
, , ; , , ; , ,

 

  i i i i d i di
i i i
u x y z N u v x y z N v w x y z N w (3.51) 
 Hàm tổng quát xác định chuyển vị của 1 điểm bất kỳ theo các tọa độ: 
0 0 0
1
1 1 1
8
1,2....8
iN xx yy zz
i


 
 (3.52) 
Ở đây, 0 0 0, ,x y z là tọa độ của điểm nút. Còn , ,x y z là tọa độ điểm cần tính. 
a/
4 1
6
7
5
23
8
x
y
o
(-1,1,1)
(1,1,1)
(1,-1,1)
(-1,-1,1)
(-1,1,-1)
(1,-1,-1)(-1,-1,-1)
(1,1,-1)
z 
xo
zy
1
1
 x = 1
 y
 =
 1
b/
Hình 3.8. a/ Phần tử đất nền 8 nút và b/ Phần tử tấm BFS-16 
Hình 3.9. Mô hình tính toán tấm tự do trên nền bán không gian đàn hồi, theo FEM 
P
z
TÊm 4 c¹ nh tù do
PhÇn tö BFS-16
§ Êt nÒn
PhÇn tö 8 nót
VÞ trÝ t¶i träng
y
§ Êt nÒn
PhÇn tö 8 nót
 x y
z
x
- 70 - 
 Mỗi thành phần chuyển vị u , v và dw có 8 ẩn, tổng cộng có 24 ẩn. 
Gọi K là véc tơ cột chứa 24 ẩn chuyển vị này, ta có: 
   
T
dK u v w (3.53) 
Chuyển vị tại mỗi điểm của phần tử đất sẽ là: 
 
 
 
 
  
 d
e e
u
e e
v
e e
d w
u N K
v N K
w N K
 (3.54) 
trong đó , ,
d
e e e
u v wN N N là véc tơ dòng chứa 8 thành phần là các hàm nội 
suy theo biểu thức (3.52). 
Mở rộng các véc tơ dòng hàm nội suy chuyển vị , ,
d
e e e
u v wN N N thành 
véc tơ dòng chứa 24 thành phần bằng cách viết thêm các số “0” cần thiết: 
  
  
, e 1,16
e 1,8 , , e 1,8
e 1,16 ,
d d
e
u u
e
v v
e
w w
N N z ro
N z ro N z ro
N z ro N
 
  
 
 (3.55) 
Chuyển vị tại mỗi điểm trong phần tử, được viết lại bằng: 
  
  
 
 
 
 d
e
u
e
v
e
d w
u N K
v N K
w N K
 (3.56) 
Biết cách xác định chuyển vị theo (3.56), ta dễ dàng tính được các thành 
phần ứng suất và các quan hệ sau nhờ phần mềm Symbolic trong Matlab: 
- 71 - 
1 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1
ee e e
o o d
x
o o
ee e e
o o d
y
o o
e ee e
o d o d
z
o o
e e
o
xy o xy
o
yz o yz
E wu u v
x x y z
E wv u v
y x y z
E w wu v
z x y z
E u v
G
y x
G


 


 


 
 

 
   
     
   
     
   
     
  
   
2 1
2 1
ee
o d
o
ee
o d
zx o zx
o
E wv
z y
E wu
G
z x

 



 
   
    
 (3.57) 
Trong (3.57), Eo, o, Go là mô đun đàn hồi, hệ số poisson và mô đun trượt của đất 
nền. Lượng cưỡng bức của phiếm hàm dZ của đất nền được viết như sau: 
 0xy yz zxd x x y y z z xy yz zx
o o oV V V V V V
Z dV dV dV dV dV dV
G G G
  
          
(3.58) 
1 1 1
1 1 1
0
j j j
e e ee e e e ee
d d dj xy j j yz j ji zx
x y z
o o o
w w wv u v v uu
dxdydz
x y z G y x G z y G z x
  
        
        
          
(3.59) 
Thực hiện các phép tính, j=1,2,...8 được ma trận độ cứng phần tử nền: (24 24)eC 
3.1.7. Ma trận độ cứng tổng thể tấm+nền bán không gian. 
Như mục 2.3 đã trình bày, phiếm hàm lưỡng cưỡng bức mind tZ Z Z , khi: 
1 1
0 0
2
1,2,...28
j j
i
y xy ye ex x
x y xy x y
i i i i i
e ee e e e e
d dj j xy j j yz j
x y z
o o
ee
dzx i
o
M M M Q Q dxdy
u u u u u
i
w wu v u v v
x y z G y x G z y
wu
G z x
   
 
       


    
     
       
        
  
   
1 1 1
1 1 1
0
1,2,...8
dxdydz
j
 (3.60) 
- 72 - 
 Kết nối ma trận độ cứng phần tử của tấm với ma trận độ cứng phần tử của 
nền đất, ta sẽ xây dựng được ma trận độ cứng phần tử tấm-nền. 
 Cuối cùng, xem phần tử tấm-nền như là một tấm-nền, và cùng với hàm tải 
trọng ngoài, các điều kiện biên, các điều kiện liên tục của hai phần tử liền kề của 
tấm, thiết lập được ma trận độ cứng tổng thể cho toàn bộ tấm-nền. 
Giải bài toán, đồng thời tính được các chuy