Luận án Nghiên cứu thành phần, tính chất của bê tông cốt liệu nhẹ dùng trong xây dựng cầu ở Việt Nam

,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 
Đường kính lớn nhất của CL, mm 
40 
20 
10 
0,9 
1 
1,1 
0,9 
1 
1,1 
0,93 
1 
1,07 
0,93 
1 
1,07 
0,95 
1 
1,05 
0,95 
1 
1,05 
0,95 
1 
1,05 
Độ sụt của côn, mm 
54 
1 – 2 
2 – 5 
8 – 12 
1,07 
1,1 
1,25 
1,07 
1,1 
1,25 
1,07 
1,1 
1,25 
1,07 
1,1 
1,25 
1,07 
1,1 
1,25 
1,07 
1,1 
1,25 
1,07 
1,1 
1,25 
Xác định lượng nước dùng 
Lượng dùng nước tính đến độ cứng yêu cầu của hỗn hợp bê tông và loại cốt liệu 
lớn, được xác định theo Bảng 3. 10. 
Bảng 3. 10. Lượng dùng nước ban đầu (l/m3 BT) để chế tạo hỗn hợp bê tông 
dùng cát nặng và cốt liệu lớn 
Độ sụt, 
cm 
Độ 
cứng, s 
Dmax, mm 
Sỏi Đá dăm 
10 20 40 10 20 40 
8 – 12 - 235 220 265 265 250 235 
3 – 7 - 220 205 245 245 230 215 
1 – 2 3 – 5 205 190 225 225 210 195 
- 5 – 8 195 180 215 215 200 185 
- 8 – 12 185 170 200 200 185 175 
- 12 - 20 175 160 190 190 175 165 
Bảng trên sử dụng để chọn sơ bộ lượng nước dùng cho hỗn hợp bê tông dùng cát 
đặc thông thường (lượng nước yêu cầu Nc trung bình là 7%). Lượng nước yêu cầu 
của cát nhẹ (cát rỗng) lớn hơn của cát đặc 2 – 3 lần. 
Khi Nc ≠ 7%, hiệu chỉnh lượng nước dùng theo công thức: 
N1 = 0,02 ,
cr
C
(Nc – 7) 
Trong đó, ’cr là KLTT của cát nhẹ 
Khi lượng dùng xi măng lớn hơn 450kg/1m3 BT, lượng nước dùng sẽ tăng thêm 
0,15 l/m3, lượng dùng nước được điều chỉnh một lượng là N2 = 0,15(X – 450) 
Khi mật độ cốt liệu trong bê tông khác 0,35 – 0,4, thì cần hiệu chỉnh lượng nước 
dùng bằng công thức: N3 = 2000( – 0,37)
2 
Trong đó, là mật độ thể tích của cốt liệu lớn 
55 
Như vậy, tổng lượng nước nhào trộn được tính là: N = N1 + N2 + N3 
Xác định lượng cốt liệu lớn và cốt liệu nhỏ 
Được tính bằng cách giải hệ phương trình 
 bt = 1,15X + C + CLL 
1000 N
CLLCX
CLLcX 
Trong đó: 
 bt là KLTT của bê tông, kg/m
3 
 X là khối lượng riêng của xi măng, kg/m
3 
 'C, 'CLL là khối lượng riêng của cát và cốt liệu lớn trong hồ xi măng, kg/m
3 (với cát 
nặng 'C = C) 
1,15X là khối lượng đá xi măng (kg) trong 1m3 bê tông với lượng nước hydrat được 
tính bằng 15% lượng dùng xi măng 
Cũng có thể tính lượng cốt liệu lớn theo công thức sau: 
CLL = 1000. . ’CLL 
Trong đó: 
 'CLL là khối lượng riêng của CLL trong hồ xi măng, xác định bằng cách nhân khối 
lượng riêng của CLL với 1,05 nếu cốt liệu là sỏi nhẹ và 1,1 với dăm nhẹ. 
 là mật độ thể tích của CLL phụ thuộc vào KLTT của bê tông, khối lượng riêng 
của CLL trong hồ xi măng, lượng dùng nước, lượng dùng xi măng và lượng nước 
yêu cầu của cát, được xác định theo Bảng 3. 11. 
Bảng 3. 11. Mật độ thể tích của CLL với BTN dùng cát nặng 
 bt, 
kg/m3 
 'CLL, 
kg/m3 
Lượng nước yêu cầu của cát, % 
6 8 10 
Lượng dùng nước, l 
160 240 022 160 200 240 160 200 240 
1500 1 0,47 0,43 0,38 0,46 0,41 0,35 0,45 0,4 0,32 
 1,2 0,5 0,46 0,42 0,5 0,45 0,4 0,48 0,44 0,38 
 1,4 - 0,5 0,46 - 0,49 0,45 - 0,48 0,43 
56 
1600 1 0,43 0,38 0,32 0,42 0,35 0,25 0,39 0,32 - 
 1,2 0,47 0,2 0,3 0,46 0,4 0,3 0,44 0,38 0,27 
 1,4 0,5 0,46 0,41 0,5 0,45 0,39 0,48 0,43 0,36 
 1,6 0,54 0,5 0,45 0,53 0,49 0,44 0,53 0,48 0,43 
1700 1 0,39 0,31 - 0,36 0,26 - 0,32 - - 
 1,2 0,43 0,38 0,27 0,41 0,33 - 0,38 0,28 - 
 1,4 0,47 0,41 0,33 0,45 0,39 0,3 0,43 0,36 0,29 
 1,6 0,5 0,46 0,4 0,49 0,44 0,37 0,48 0,42 0,31 
 1,8 0,54 0,5 0,45 0,53 0,49 0,43 0,53 0,48 0,41 
1800 1,2 0,37 0,2 - 0,33 - - - - - 
 1,4 0,42 0,34 0,25 0,39 - - 0,36 - - 
 1,6 0,45 0,4 0,26 0,49 0,37 0,25 0,42 0,3 - 
 1,8 0,51 0,45 0,38 0,49 0,44 0,30 0,48 0,41 0,27 
 2,0 - 0,5 0,44 - 0,49 0,42 - 0,48 0,44 
Giá trị trong bảng ứng với lượng dùng xi măng là 300 kg/m3 bê tông. Khi lượng 
xi măng thay đổi cần tăng hoặc giảm đi 0,01 cho mỗi 100kg/m3 xi măng. Giá trị 
không giảm quá 0,25 và tăng quá 0,5 giá trị tối ưu ghi trong Bảng 3. 12. 
Bảng 3. 12. Mật độ thể tích tối ưu của cốt liệu lớn 
Độ 
rỗng 
giữa 
các hạt 
Mật độ thể tích tối ưu khi Độ 
rỗng 
giữa 
các hạt 
Mật độ thể tích tối ưu khi 
Độ 
cứng 
trên 10s 
Độ sụt 1-3 
cm hay độ 
cứng 3-10s 
Độ 
cứng 
trên 10s 
Độ 
cứng 
trên 10s 
Độ sụt 1-3 
cm hay độ 
cứng 3-10s 
Độ 
cứng 
trên 10s 
0,36 0,52 0,49 0,47 0,46 0,42 0,39 0,37 
0,38 0,5 0,47 0,45 0,48 0,4 0,37 0,35 
0,4 0,48 0,45 0,43 0,5 0,38 0,35 0,38 
0,42 0,46 0,43 0,41 0,52 0,36 0,33 0,31 
0,44 0,44 0,41 0,39 0,54 0,34 0,31 0,29 
Lượng dùng cát được xác định căn cứ vào KLTT của bê tông: 
C = bt – 1,15X - CLL 
57 
Có thể điều chỉnh KLTT của bê tông bằng cách thay thế một phần cát thường bằng 
cát nhẹ, mà vẫn đảm bảo mật độ thể tích tối ưu của cốt liệu lớn. Lượng dùng cát 
thường C và cát nhẹ Cn được xác định bằng cách giải hệ phương trình sau: 
C/ C + Cn/ 'cn + N0 = 1000(1 - ) + X/ X 
C + Cn = bt – 1,15X - 1000. . ’CLL 
3.1.4. Phân tích ưu nhược điểm các phương pháp 
Phương pháp của ACI 211-2 được phát triển một từ một giai đoạn mà bê tông được 
chế tạo chủ yếu từ cốt liệu, xi măng và nước. Do đó, phương pháp không được áp 
dụng trực tiếp khi sử dụng phụ gia hữu cơ và phụ gia khoáng [91]. Ở bước 4, quan 
hệ giữa tỉ lệ N/X và cường độ nén được giả thiết là duy nhất. Tuy vậy, nếu xét đến 
bản chất của các hạt cốt liệu và độ lệch của cường độ xi măng, cường độ nén, với 
một tỉ lệ N/X cho trước, có thể biến động tới hai lần. Do đó việc ước tính cường độ 
chỉ trên cơ sở tỉ lệ N/X là rất gần đúng. Ngoài ra, ở bước 6, lượng cốt liệu lớn được 
giả thiết độc lập với lượng xi măng và lượng nước. Nhìn chung, các dự báo về tỉ lệ 
CLN/cát cung cấp bởi các bảng tra của ACI 211 là tốt, tuy có thể điều chỉnh. 
Phương pháp của Chandra và Bertnsson coi BTCLN là vật liệu composit hai pha 
(cốt liệu và vữa xi măng). Trong đó, quan hệ giữa cường độ của bê tông với cường 
độ của hai pha (vữa và cốt liệu) và tỉ lệ thể tích giữa các pha được mô tả bằng một 
mô hình logarit. Cường độ của vữa theo thông lệ là một hàm của tỉ lệ N/CKD. 
Cường độ cốt liệu được định ra dựa trên công thức thực nghiệm, có quan hệ trực 
tiếp với KLTT hạt. Tuy nhiên, công thức này chỉ áp dụng với CLN sét nở chất 
lượng cao. 
Trong phương pháp của Bazenov, tỉ lệ N/X không được đề cập đến, mà lượng xi 
măng và lượng nước được tính sơ bộ một cách độc lập theo yêu cầu về cường độ và 
tính công tác của bê tông. Phương pháp này đã đưa ra yêu cầu về độ nén giập của 
cốt liệu theo cường độ của bê tông. Theo đó, BTCLN cường độ 40MPa chỉ đạt được 
khi sử dụng loại cốt liệu có độ nén giập là 5,5 MPa. Theo khảo sát thì các loại cốt 
liệu của Việt Nam và Trung Quốc hiện nay không đạt được chỉ tiêu chịu lực này. 
Ngoài ra theo ACI 213R-03 [25], không có quan hệ đáng tin cậy nào giữa cường độ 
của bê tông nhẹ và cường độ của cốt liệu. 
58 
3.2. Phương pháp đồng nhất hóa vật liệu composit và mô hình dự báo cường 
độ bê tông 
Giả thiết bê tông là vật liệu hỗn hợp đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng gồm 3 pha: cốt 
liệu, hồ xi măng và cát. Mỗi pha thành phần cũng là một vật liệu đàn hồi, đồng nhất 
và đẳng hướng. Đồng nhất hóa là phương pháp xác định ứng xử cơ học đồng nhất 
của vật liệu bê tông từ các đặc trưng cơ học của các thành phần, tỉ lệ cũng như các 
tính chất về hình thái và bề mặt của chúng. 
Kỹ thuật đồng nhất hóa được xét trên phần tử đặc trưng V. V phải đủ lớn so với các 
cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời 
phải đủ nhỏ so với kích thước của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý 
nghĩa. 
Khi chịu tác dụng của lực, trường ứng suất σ(y) (ten xơ bậc 2) trong vật thể phải 
thỏa mãn phương trình cân bằng (liên kết lý tưởng dẫn tới cân bằng của 
lực tại biên ngăn cách giữa các pha, điều kiện liên tục của chuyển vị): 
∇·σ(y) = 0 , y € V 
Trong đó toán tử nabla ∇ là gradien của một ten xơ đối xứng bậc 2 
Trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng ε(y) thông qua định luật 
Hook: 
σ(y) = C(y) : ε(y) 
Trong đó dấu ":" biểu thị tích vô hướng giữa hai ten xơ hạng cao (σij = Cijklεkl). 
C(y) là ten xơ độ cứng của các pha khác nhau trong phần tử đặc trưng V 
3.2.1. Các phương pháp đơn giản để đồng nhất hóa vật liệu 
3.2.1.1. Mô hình Voigt (mô hình song song) 
Theo cách tiếp cận của Voigt, trường chuyển vị động (y) là chấp nhận được, hay 
(y) =  với mọi y € V. Nếu vật liệu composit có hai thành phần 1 và 2 thì 
       (3.2) 
Trong đó là trường biến dạng đồng nhất (ten xơ bậc 2) trong vật liệu 
Do đó độ cứng đồng nhất của vật liệu theo phương pháp của Voigt là trung bình 
cộng theo thể tích của các pha: 
59 
Cv* = c1 C
 1) + c2C
 2) = C(1) + c2 (C
(2) – C(1)) (3.3) 
Với c1, c2 là tỉ lệ thể tích của mỗi pha composit, c1 + c2 = 1 
Mô hình lưu biến miêu tả phương pháp đồng nhất hóa Voigt gồm 2 lò xo mắc song 
song. Hai vật liệu đàn hồi song song chịu cùng một trường chuyển vị u(y) = .y 
Hình 3. 1. Mô hình Voigt (V) 
3.2.1.2. Mô hình Reuss (mô hình nối tiếp) 
Cách tiếp cận của Reuss có thể coi là ngược lại với Voigt. Reuss coi trường ứng 
suất  trong vật liệu composit 2 pha là đồng nhất và ứng suất tại mỗi điểm trong vật 
liệu bằng với ứng suất của vật liệu tổng thể, nghĩa là 
 (1) = (2)  (3.4) 
Do đó, tensơ độ mềm tương đương của vật liệu composit được tính bằng trung bình 
cộng theo thể tích của các tensơ độ mềm của các pha: 
SR* = c1S
(1) + c2S
(2) = S(1) + c2(S
(2) - S(1)) (3.5) 
Với c1 + c2 = 1; SR* = []
; S(1) = 
()


; S(2) = 
()


; 
Hình 3. 2. Mô hình Reuss (R) 
Mô hình lưu biến Reuss có thể đơn giản hóa thành dạng 2 lò xo mắc nối tiếp. Hai 
vật liệu đàn hồi nối tiếp, chịu cùng một trường lực kéo . n=n. 
60 
3.2.1.3. Giới hạn (biên) của Hashin-Shtrikman (HS) 
Giới hạn của Hashin-Shtrikman [55] đã được thiết lập với trường hợp vật liệu n pha 
đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng. Các giới hạn này có đặc điểm phổ biến bởi 
không hạn chế về mặt hình học cũng như tỉ lệ thể tích của mỗi pha. Phương pháp sử 
dụng một vài nguyên tắc biến đổi lý thuyết đàn hồi, các giới hạn năng lượng biến 
dạng của vật rắn không đồng nhất dưới tác dụng của ứng suất. 
Với vật liệu composit hai pha chịu nén một trục, các giới hạn biểu diễn theo mô đun 
nén (K1, K2) và mô đun cắt (G1, G2) và tỉ lệ thể tích hai pha (c1, c2): 
Kmin = K1 + c2
1
11
1
12 43
31
 GK
c
KK
 (3.6) 
Kmax = K2 + c1
1
22
2
21 43
31
 GK
c
KK
 (3.7) 
Gmin = G1 + c2
1
111
111
22 )43(5
)2(61
 GKG
cGK
GG
 (3.8) 
Gmax = G2 + c1
1
222
222
21 )43(5
)2(61
 GKG
cGK
GG
 (3.9) 
Trong đó Kmax, Kmin, Gmax, Gmin là các biên (giới hạn) trên và dưới của mô đun nén 
và mô đun cắt. Đối với mỗi pha, K và G được viết như sau ( là hệ số Poisson) 
K1 =
)21(3 1
1
 
E
; K2 =
)21(3 2
2
 
E
 (3.10) 
G1 =
)1(2 1
1
 
E
 ; G2 =
)1(2 2
2
 
E
 (3.11) 
Mô đun đàn hồi của vật liệu composit được tính từ quan hệ sau, theo định luật Húc: 
KGE 9
1
3
11
 (3.12) 
Các giới hạn của Hashin & Shtrikman có thể được đơn giản hóa khi sự chênh lệch 
hệ số Poisson giữa hai pha là nhỏ. Ta có thể nhận được cân bằng giữa K và G dẫn 
tới biểu thức tính mô đun đàn hồi tổng cộng E* của vật liệu composit hai pha (cốt 
liệu và nền) với c = Vg là tỉ lệ thể tích của cốt liệu (Hobbs [61]): 
61 
E* = m
mggg
mggg E
EVEV
EVEV
)1()1(
)1()1(
 (3.13) 
Trong đó Eg, Em tương ứng là mô đun đàn hồi của cốt liệu và của nền 
3.2.2. Mô hình nối tiếp/song song dự báo cường độ của bê tông cốt liệu nhẹ 
Khi vật liệu có mức độ không đồng nhất cao, ví dụ bê tông, nếu sử dụng hai mô 
hình nối tiếp hoặc song song để dự báo ứng xử của vật liệu composit thì độ chính 
xác sẽ giảm. Để có thể dự báo tính chất của bê tông, De Larrard [91] đã kết hợp 2 
mô hình Voigt và Reuss thành một mô hình có khả năng dự báo tốt ứng xử của vật 
liệu này. Mô hình song song/nối tiếp Reuss/Voigt dùng cho bê tông nặng thông 
thường và mô hình nối tiếp/song song Voigt/Reuss thích hợp cho BTCLN. 
 Mô hình song song/nối tiếp 
Hình 3. 3. Mô hình song song/nối tiếp thích hợp cho bê tông nặng 
Vùng nối tiếp: S = S(1) + c2
2/3(S(2) – S(1)) 
Vùng song song: C* = C(1) + c2
1/3(Cs – C
(1)) 
Với Cs là độ cứng của vùng nối tiế, Cs = [Ss]
-1 
 Mô hình nối tiếp/song song 
Với BTCLN sử dụng cát thường, độ cứng của vữa thường lớn hơn độ cứng của cốt 
liệu lớn (cốt liệu nhẹ). Do đó, CLN sẽ dễ biến dạng hơn, ứng suất trong vữa vì thế 
sẽ lớn hơn trong cốt liệu nhẹ. Dĩ nhiên cường độ của bê tông sẽ nhỏ hơn của vữa 
[89]. Mô hình miêu tả tốt đóng góp về độ cứng của cốt liệu nhẹ cho bê tông đề xuất 
bởi Virlogeux [97]. Mô hình này coi BTCLN là một vật liệu không đồng nhất chứa 
một thể tích g CLN hình lập phương cạnh là a (g = a3) trong một đơn vị thể tích bê 
tông. 
62 
Hình 3. 4. Mô hình composit cốt liệu nhẹ/vữa cho BTCLN sử dụng cát thường 
Đặt thể tích vữa Vv là một hàm theo thể tích cốt liệu g, ta có: 
Vcl = g = a
3 
Vv = 1 – g = 1 – g + g
1/3 - g1/3 = (1 - g1/3) + (g1/3 - g) 
Từ mô hình nối tiếp/song song (Hình 3. 4), khi chịu nén một trục, mô đun độ cứng 
(mô đun đàn hồi) của vùng song song vữa và CLN như sau (De Larrard [91]): 
E* = (1 – g2/3)Ev + g
2/3Ecl 
Trong đó Ev , Ecl là mô đun đàn hồi của vữa và cốt liệu nhẹ 
Bỏ qua chuyển vị tương đối giữa vữa và CLN khi chịu nén (nghĩa là giả thiết rằng 
liên kết giữa hai thành phần này là tuyệt đối), tại vùng song song, ta có: 
cl = v = 


=


 hay  =


 
Với  là ứng suất trong vùng nối tiếp 
 = 






 hay  = 
/
/ 

 
Khi ứng suất  đạt tới giá trị giới hạn (khi mẫu bị phá hủy) thì  = Rb (cường độ 
chịu nén của bê tông); v = Rv (cường độ chịu nén của vữa) 
Rb = [1 – (1 - 


)g2/3]Rv (3.14) 
Công thức trên cho phép dự đoán cường độ chịu nén trung bình của BTCLN khi 
biết mô đun đàn hồi của vữa, mô đun đàn hồi của cốt liệu nhẹ, cường độ chịu nén 
của vữa và tỉ lệ thể tích cốt liệu. 
Vữa 
cốt liệu 
Ev 
Ev Ecl 
63 
3.2.3. Mô hình biến động dự báo cường độ của vữa xi măng – cát 
Shink [95] đã đề xuất một mô hình biến động trường ứng suất khi đưa các hạt cốt 
liệu vào đá xi măng chịu tải trọng. Việc đưa thể tích cốt liệu vào tính toán cho phép 
thiết lập một mô hình dự báo các tính chất của vật liệu composit theo các tính chất 
cơ học của đá xi măng và cốt liệu. Mô hình đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm. 
3.2.3.1. Vật rắn không đồng nhất gồm đá xi măng và một loại cốt liệu 
Một phần tử đặc trưng V, bao gồm đá xi măng M và một loại cốt liệu cầu G, chịu 
một trường ứng suất dọc trục không đổi σ = σo trên S (Hình 3. 5). Liên kết giữa hai 
pha được xem là lý tưởng. Người ta cũng xét rằng hai pha đồng nhất và đẳng 
hướng, có ứng xử đàn hồi tuyến tính với mô đun đàn hồi Em và Eg. Giống hai pha 
của nó, vật rắn không đồng nhất cũng có ứng xử tuyến tính và đàn hồi. 
Ứng suất kéo trên bề mặt ứng với trường ứng suất σ = σo là: 
to = n · σo trên S (3.15) 
Trong đó n là vectơ pháp tuyến trên mặt phẳng S 
Nếu phần tử là đồng nhất trên toàn thể tích V, trường ứng suất phát triển bên trong 
V cũng như trường biến dạng là đồng nhất dưới tác dụng của ứng suất kéo bề mặt. 
Các trường này tương ứng là σo và εo = σo/Em. 
Hình 3. 5. Vật rắn không đồng nhất gồm đá xi măng M và một loại cốt liệu G 
chịu một trường ứng suất dọc trục không đổi  = 0 
Tuy nhiên, vì có sự không tương thích về độ cứng giữa các pha M và G, trường ứng 
suất và biến dạng nhận được không đồng nhất. Trên thực tế, người ta mô tả các 
trường biến đổi này tương ứng là σ và ε là: 
σ = σo + σp và ε = εo + εp (3.16) 
64 
trong đó σpvà εp là các biến động của σo et εo gây ra do sự có mặt của cốt liệu G. 
Các trường ứg suất và biến dạng tạo thành σ và ε, liên kết bởi định luật Húc theo 
cách sau: 
σ = σo + σp = Emε = Em (ε
o + εp) trên M = V - G 
= Eg (ε
o + εp) trên G (3.17) 
3.2.3.2. Vật rắn đồng nhất tương đương 
Thay vì phân tích vật rắn không đồng nhất trên Hình 3. 5, sẽ dễ hơn và hiệu quả hơn 
nếu xác định một vật rắn đồng nhất tương đương đặc trưng bởi mô đun đàn hồi của 
đá xi măng trên thể tích V (thậm chí trên G). Để tính đến sự không tương thích về 
độ cứng giữa cốt liệu và đá xi măng, người ta đưa vào một trường biến dạng  trên 
G bằng cách cho vật rắn đồng nhất tương đương chịu cùng một trường ứng suất và 
biến dạng nhận được như vật rắn không đồng nhất (Hình 3. 6). 
Tương tự, trường ứng suất nhận được là: 
σ = σo + σp = Em(ε – ε*) = Em(ε
o + εp) trên M 
= Em(ε
o + εp – ε*) trên G (3.18) 
Quan hệ này cho thấy ε sinh ra một sự xáo trộn quan hệ ứng ứng suất – biến dạng. 
Trên thực tế, σ và ε không chỉ liên hệ với Em trong G. Hơn thế, khi biết σ
o = Emε
o, 
phương trình (3.18) cho phép viết 
σp = Em(ε
p ε ) trên V (3.19) 
Hình 3. 6. Vật rắn không đồng nhất (trái) và đồng nhất tương đương (phải) 
Vì trường ứng suất nhận được σ = σo + σp cần được cân bằng và cần tạo ra một 
trường biến dạng tương thích, sự biến động εp thường được xác định nhờ nhân tố S 
trên ε : 
εp = Sε (3.20) 
65 
Cũng như vậy, người ta thấy rằng sự biến động của trường ứng suất trong cốt liệu, 
σpG, khi chỉ xét đến một hạt cốt liệu có thể viết thành: 
σpG = Em(S 1)ε (3.21) 
Nhân tố S là ten xơ định vị ứng suất và biến dạng độc lập với tính chất cơ học của 
cốt liệu (Eshelby [48]). Nó chỉ phụ thuộc vào hệ số Poisson của đá xi măng và hình 
dạng của các thành phần khi đá xi măng được xem là đẳng hướng. Đối với tải trọng 
theo một phương và cốt liệu hình cầu, S được đơn giản hóa như sau: 
)1(15
57


 S (3.22) 
Người ta tính được S = 0,5 khi  = 0,2. 
3.2.3.3. Vật rắn đồng nhất tương đương chứa đá xi măng và N hạt cốt liệu 
Bây giờ ta xét một vật rắn đồng nhất tương đương giới thiệu trong phần 3.2.3.2 
nhưng gồm đá xi măng M và N hạt cốt liệu (
i
N
i
GG  1 ), phân bố cách đoạn trên 
thể tích V (Hình 3. 7). Trường ứng suất nhận được trong đá xi măng và trong cốt 
liệu được viết theo cách sau: 
σM = σ
o + (σp)M và σG = σ
o + (σp)G (3.23) 
trong đó(σp)M và (σ
p)G là các biến động trung bình của trường ứng suất σ
o trên M và 
trên Gi do sự có mặt của cốt liệu. 
Giả thiết rằng đối với một hạt cốt liệu cho trước, biến động trung bình trong cốt liệu 
(σp)G bằng biến động trung bình trong đá xi măng (σ
p)M cộng biến động trong một 
hạt cốt liệu khi chỉ một hạt cốt liệu được xét hay σpG trong phương trình (3.21) : 
(σp)G = (σ
p)M+ σ
p
G =(σ
p)M + Em(S-1)
* (3.24) 
Giả thiết này cho phép liên hệ ứng suất trung bình trong cốt liệu và ứng suất trung 
bình trong vữa, trên cơ sở mô hình của Mori & Tanaka [68]. 
Tổng các biến động của trường ứng suất bằng 0 để đảm bảo cân bằng. Cũng như 
vậy, đối với một tỉ lệ thể tích Vg của cốt liệu, các biến động (σ
p)M và (σ
p)G được cân 
bằng như sau: 
Vg(σ
p)G + (1 Vg)(σ
p)M= 0 (3.25) 
66 
Hình 3. 7. Vật rắn đồng nhất tương đương tạo bởi đá xi măng M và N hạt cốt 
liệu chịu một trường ứng suất không đổi σ = σo 
Các phương trình (3.24) et (3.25) cho phép tính (σp)M theo tỉ lệ thể tích của cốt liệu: 
(σp)M = - VgEm(S – 1)ε (3.26) 
và viết lại phương trình (3.24): 
(σp)G = (1 Vg)Em(S 1)ε (3.27) 
3.2.3.4. Tính toán trường ứng suất nhận được 
Phương pháp cộng tương đương cho phép đánh giá sự biến động (σp)M và (σ
p)G tạo 
ra bởi sự có mặt của N hạt cốt liệu. Ta có thể viết lại phương trình (3.17) để xác 
định trường ứng suất nhận được trên tập hợp cốt liệu: 
σG = σ
o + (σp)G = Eg(E
1
m (σ
o + (σp)M)+ Sε ) (3.28) 
Phương trình này cho phép tách giá trị ε khi sử dụng các biểu thức (σp)M và (σ
p)G 
xác định như phần trên: 
ε = α 1(Em Eg)E
1
mσ
o (3.29) 
trong đó 
α = (1 Vg)(Eg Em)S Vg(Em Eg) + Em (3.30) 
Cuối cùng, khi thay thế biểu thức ε trong các phương trình (3.26), (3.27) và (3.28) 
ta có các biểu thức ứng suất tổng cộng nhận được trong đá xi măng và cốt liệu: 
σM = σ
o + (σp)M = [1 VgEm(S 1)α
1(Em Eg)E
1
m ]σ
o (3.31) 
và 
σG = σ
o + (σp)G = [1 + (1 Vg)Em(S 1)α
1(Em Eg)E
1
m ]σ
o (3.32) 
Các ứng suất nhận được này hiển nhiên là một trục, nghĩa là song song với tải trọng 
σ = σo. 
67 
3.2.3.5. Mô hình dự báo 
Giả thiết rằng σo = σoM là ứng s