Luận án Phân tích dao động của kết cấu nhịp cầu dưới tác động của hoạt tải khai thác có xét đến độ mấp mô mặt cầu

hữu hạn. 
2.2.2 Phương trình dao động của hệ cầu dầm có xe chạy trên 
Phương trình dao động của toàn hệ kết cấu cầu dầm có xe chạy trên trong hệ tọa 
độ tổng thể khi chưa xét đến các điều kiện biên có dạng: 
 ( )t MU CU KU P (2.90) 
trong đó: 
M - Ma trận khối lượng toàn hệ, tập hợp từ các ma trận khối lượng mx của các 
phần tử; 
C - Ma trận cản nhớt toàn hệ, tập hợp từ các ma trận cản cx của phần tử; 
46 
K - Ma trận độ cứng toàn hệ, tập hợp từ các ma trận độ cứng kx của phần tử; 
P - Véc tơ lực quy nút tác dụng lên cầu do tải trọng xe chạy và các tải trọng 
khác đặt trên cầu tập hợp từ các véc tơ tải của phần tử và các tải trọng đặt trực tiếp 
trên các nút của hệ; 
U - Véc tơ gia tốc nút của toàn kết cấu có kể đến bậc tự do của các khối lượng 
di động trên cầu; 
U - Véc tơ vận tốc nút của toàn kết cấu có kể đến bậc tự do của các khối lượng 
di động trên cầu; 
U - Véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu có kể đến bậc tự do của các khối 
lượng di động trên cầu. 
Các ma trận này được viết trong hệ toạ độ tổng thể của kết cấu. 
Trong hệ phương trình trên, số ẩn số của phương trình bao gồm số bậc tự do của 
kết cấu và tổng số bậc tự do của các xe (khối lượng di động) trên cầu. Cụ thể, đối 
với bài toán xe chạy trên cầu dầm liên tục, số ẩn số của phương trình được tính theo 
công thức: 
 k = 2 (số nút kết cấu) + (số trục xe trên cầu) (2.91) 
Phương trình chuyển động của hệ hỗn hợp cầu và xe chạy trên cầu sau khi đã 
đưa các điều kiện biên vào có dạng tổng quát: 
 MU CU KU P (2.92) 
2.2.3 Phương pháp Time Newmark giải hệ phương trình chuyển động 
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ kết 
cấu (2.76) rất hiệu quả như phương pháp chồng mode (tiêu biểu như phương pháp 
chuyển vị mode, phương pháp gia tốc mode...), phương pháp tích phân trực 
tiếp...[33]. 
Như đã trình bày trong phần trước, hệ phương trình (2.92) có các ma trận hệ số 
K, M, C không đối xứng. Do vậy, không thể sử dụng được phương pháp chồng 
mode. Trong luận án này, phương pháp tích phân trực tiếp để giải hệ phương trình 
(2.92) được lựa chọn, cụ thể là chọn phương pháp tích phân Time Newmark. 
Theo phương pháp tích phân Time Newmark, nghiệm của hệ phương trình trên 
được tìm như sau [33]. 
47 
Giả sử đã biết chuyển động của hệ tại thời điểm t là 
tU , tU , tU , phương trình 
chuyển động (2.91) viết tại thời điểm t t có dạng: 
t t t t t t t t MU CU KU P (2.93) 
Khai triển theo chuỗi Taylor của 
tU và tU ta có: 
2 3
2
2 6
2
t t t t t t
t t t t t
t t
t
t
t
U U U U U
U U U U
 (2.94) 
Loại bỏ các thành phần bậc cao trong các phương trình (2.93) và viết lại theo 
dạng sau: 
2
3
2
2
t t t t t t
t t t t t
t
t t
t t

U U U U U
U U U U
 (2.95) 
trong đó α và δ là các tham số được xác định trước để đảm bảo độ chính xác và ổn 
định của lời giải. 
Theo Newmark gia tốc của hệ được giả thiết là tuyến tính trong phạm vi mỗi 
bước thời gian, theo đó: 
1
t t t t
t
U U U (2.96) 
Thay biểu thức (2.96) vào (2.95) sẽ nhận được: 
2 2
1
0,5
t t t t t t
t t t t t t t
t t
t t t
 
U U U U
U U U U U
 (2.97) 
Các tham số α và δ được chọn như sau: 
2
0,5
0,25 0,5

 
 (2.98) 
Để đảm bảo sự ổn định và độ chính xác của lời giải theo phương pháp tích phân 
trực tiếp Newmark, chọn α = 0,25 và δ = 0,5. 
Đưa vào một số ký hiệu mới: 
48 
0 12
2 3
4 5
6 7
1
; ;
1 1
; 1;
2
1; 2 ;
2
1 ; ;
a a
tt
a a
t
t
a a
a t a t

 
 
 (2.99) 
Từ biểu thức (2.99) ta có thể biểu diễn gia tốc và vận tốc tại thời điểm t + t qua 
chuyển vị tại thời điểm t + t và các đại lượng đã biết tại thời điểm t như sau: 
1 4 5
0 2 3
t t t t t t t
t t t t t t t
a a a
a a a
U U U U U
U U U U U
 (2.100) 
Thay các giá trị t t U và t t U từ biểu thức (2.100) vào phương trình (2.92) ta 
có hệ phương trình chuyển động tại thời điểm t t chỉ chứa các ẩn số là chuyển 
vị t t U tại thời điểm đó: 
0 1 0 1 3
1 4 5
t t t t t t t
t t t
a a a a a
a a a
K M C U P M U U U
C U U U
 (2.101) 
hoặc viết gọn lại dưới dạng: 
 ˆ ˆt t t t KU P (2.102) 
trong đó: 
Kˆ - Ma trận độ cứng hiệu quả: 
 0 1ˆ a a K K M C (2.103) 
ˆ
t t P - Véc tơ tải trọng hiệu quả: 
0 1 3
1 4 5
ˆ
t t t t t t t
t t t
a a a
a a a
P P M U U U
C U U U
 (2.104) 
Giải (2.102) ta tìm được t t U . Thay giá trị này vào (2.100) sẽ tìm được t t U 
và t t U . 
49 
2.3 Mô hình động lực học của xe 
Mô hình dao động kết hợp cầu - xe là hệ nhiều vật phức tạp, bao hàm nhiều khối 
lượng liên kết qua các phần tử đàn hồi. Việc nghiên cứu sẽ dễ dàng hơn, dễ kiểm 
soát hơn khi chúng ta chia cơ hệ thành các hệ con, tức là mô đun hóa khi lập mô 
hình và lập trình. Phương pháp tách cấu trúc cũng phù hợp với tư duy mô phỏng 
trong Matlab Simulink. 
Trên ôtô, các khối lượng được treo và khối lượng không được treo liên kết với 
nhau qua hệ treo, có đặc tính đàn hồi, đặc tính cản. Trong mô hình có thể coi hệ treo 
như một mô đun (hệ con). Xét về góc độ dao động, bánh xe cũng là phần tử đàn hồi 
và do vậy nó cũng là hệ con. 
Xuất phát từ đối tượng thực (xe thực) cần phải thiết lập một mô hình vật lý (sơ 
đồ dao động tương đương) mà từ đó có thể thiết lập các phương trình toán học mô 
tả trạng thái dao động của các phần tử (xe), còn gọi là mô hình toán học. Với dao 
động ôtô và cầu theo nghĩa hẹp, tức là bỏ qua dao động biên độ bé và tần số cao, có 
thể coi dao động kết hợp của hệ cầu - xe là một hệ nhiều vật. Hệ nhiều vật là một hệ 
cơ học gồm hữu hạn các vật liên kết với nhau bằng các lực khớp với các điều kiện 
ràng buộc động lực học. 
Như vậy, một hệ dao động cầu - xe được đưa về một mô hình vật lý (sơ đồ dao 
động tương đương) trong đó có các khối lượng và các mômen quán tính; các vật đó 
liên kết với nhau bằng các lực khớp. Việc mô tả dao động được thực hiện bằng hệ 
phương trình vi phân cấp 2 và có thể thiết lập được bằng nhiều phương pháp. 
Để lập phương trình chuyển động cho hệ nhiều vật có hai phương pháp [9]: 
- Phương trình Lagrange II (1) 
- Phương trình Newton-Euler (2) 
Với một hệ phức tạp thì khi dùng phương pháp (1) cần nhiều thời gian tính toán 
và nhiều quy tắc phức tạp. Phương pháp (2) thích hợp với hệ nhiều vật và người sử 
dụng hơn. Đó là phương pháp tách cấu trúc, mỗi vật trong hệ được coi là một hệ 
con. Việc thành lập phương trình cho một hệ con dựa vào nguyên lý lực cắt. 
Nguyên lý đó là: tại điểm cắt các lực ngược chiều và có cùng cường độ, các mômen 
ngược chiều và cùng cường độ tại một điểm quay. Cần chú ý rằng, khi sử dụng 
50 
phương pháp tách vật và nguyên lý lực cắt, cơ hệ và hệ con cần được thiết lập ở 
trạng thái cân bằng tĩnh. Khi đó các lực cắt trở thành (ngoại lực) gây dao động. 
Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp tách vật và nguyên lý lực 
cắt và sử dụng phương trình Newton-Euler để lập phương trình dao động. 
Các bước của phương pháp đó như sau: 
1. Cắt các vật ra khỏi hệ tại các điểm có liên kết; vật sẽ được cân bằng bởi các 
lực cắt; 
2. Chọn khối tâm Ci của các vật i làm gốc hệ toạ độ cục bộ (hệ toạ độ vật); 
3. Xác lập các lực cắt; 
4. Sử dụng phương trình Newton-Euler viết phương trình vi phân chuyển động 
cho các vật tại hệ toạ độ khối tâm hoặc cố định. 
Có thể coi các vật là các vật phẳng, do vậy không có dao động theo phương dọc 
x. 
Trước hết, ta qui định chung hệ toạ độ như sau (Hình 2.7): 
Hình 2.7 - Qui định hệ toạ độ 
Hệ toạ độ cố định:Oi(x, y, z) 
Hệ toạ độvật: Ci(x, y, z) 
Với giả thiết vừa nêu, ta có phương trình vi phân cho vật rắn phẳng: 


iy
zC
MJ
Fzm
 

 (2.105) 
Phương pháp tách vật được lựa chọn bởi các lý do sau: 
- Phương pháp là đơn giản, không cần các quy tắc biến đổi phức tạp, không 
hạn chế khối lượng, bậc tự do; 
- Phương pháp trên phù hợp với tư duy lập trình (mô phỏng) theo mô đun, cho 
phép thay đổi nhanh cấu trúc và tham số của mô hình. 
51 
2.3.1 Mô hình xe 1/4 
Mô hình một chiếc xe vượt qua một cây cầu cùng với tốc độ không đổi v (xem 
Hình 2.8). Cầu được mô phỏng như dầm đơn Euler-Bernoulli. Xe mô hình là một 
phần tư-xe với hai bậc tự do. Mô hình này cho phép chúng ta xem xét một bộ kết 
hợp bánh xe - mặt đường (bề mặt cầu). Đây chính là mô hình cơ bản để nghiên cứu 
mở rộng cho các loại xe 2 trục, 3 trục và đoàn xe. 
2.3.1.1 Các giả thiết khi lập mô hình 
- Vận tốc chuyển động của xe không đổi (v = const); 
- Xe được phân thành 2 khối lượng: khối lượng được treo ms và khối lượng 
không treo mu. Khối lượng được treo nối với khối lượng không treo thông qua hệ 
thống treo, đặc trưng bởi độ cứng ks và hệ số cản giảm chấn cs. Khối lượng không 
treo nối với đường (cầu) thông qua lốp, đặc trưng bởi độ cứng kt và hệ số cản ct 
(thông thường ct lấy bằng 0); 
- Cầu được coi như một dầm liên tục, có bề mặt mấp mô trung bình là r(x). 
Hình 2.8 - Mô hình cầu - xe 1/4 
Các ký hiệu trên hình vẽ: 
v: Vận tốc chuyển động dọc của xe (m/s) 
x: Tọa độ trên trục dọc của cầu (x = vt) 
w(x,t): Độ võng của cầu (m) 
zs: Chuyển vị thẳng đứng của trọng tâm thân xe (m) 
ms: Khối lượng thân xe (khối lượng được treo) (kg) 
mu: Khối lượng không treo (kg) 
ks: Độ cứng hệ thống treo (N/m) 
52 
cs: Hệ số cản giảm chấn của hệ thống treo (N.s/m) 
kt: Độ cứng lốp (N/m) 
ct: Hệ số cản giảm chấn của lốp (N.s/m) 
zu: Chuyển vị thẳng đứng của trọng tâm khối lượng không treo trước (m) 
Như vậy cơ hệ gồm 3 vật: 
- Vật 1: Khối lượng được treo của xe, đặc trưng bởi khối lượng ms và có tọa độ 
suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zs dọc trọng tâm của nó. 
- Vật 2: Khối lượng không được treo của xe, đặc trưng bởi khối lượng mu và có 
tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zu dọc trọng tâm của nó. 
- Vật 3: Cầu, đặc trưng bởi khối lượng riêng , mô men đàn hồi của vật liệu E và 
mô men quán tính của mặt cắt ngang I. 
Khi nghiên cứu mô hình dao động của ô tô, người ta thường coi như nền đường 
(cầu) là ổn định (cứng tuyệt đối), khi đó h = w(x). Tuy nhiên, trong mô hình kết hợp 
cầu - xe, chuyển vị của cầu là tổng hợp của cả mấp mô bề mặt lẫn cả độ võng do 
dao động. 
Chuyển vị của cầu được xác định theo công thức: 
h(x) = w(x) + r(x) (2.106) 
trong đó: 
- r(x): Mấp mô bề mặt cầu (m); 
- w(x): Độ võng của cầu, được xác định dựa trên phân tích đáp ứng của cầu dưới 
tác động của xe có kể đến mấp mô mặt cầu được bàn kỹ trong Mục 2.5. 
2.3.1.2 Hệ phương trình vi phân mô tả dao động của xe theo mô hình 1/4 
Hệ phương trình vi phân mô tả hệ thống được xác lập trên nguyên lý Newton - 
Euler đã trình bày ở trên áp dụng đối với từng vật. Với mô hình cầu - xe 1/4 có 3 vật 
(Phần 2.3.1.1), sẽ có 3 phương trình vi phân mô tả dao động của chúng. Nếu xét 
trong hệ tọa độ suy rộng tương đối (hệ tọa độ vật) thì các phương trình vi phân có 
dạng: 
- Đối với khối lượng được treo: 
 sss Fzm  (2.107) 
- Đối với khối lượng không được treo: 
 stuu FFzm  (2.108) 
53 
Hệ phương trình vi phân bao gồm 9 phương trình mô tả toàn bộ hệ thống như 
sau: 
 s
s
s F
m
z
1
  (2.109) 
  st
u
u FF
m
z 
1
 (2.110) 
 cskss FFF (2.111) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
)()(
)()(
 (2.112) 
 )( suscs zzcF  (2.113) 
 ctktt FFF (2.114) 
0)(0
0)()(
tu
tuut
kt
fzhkhi
fzhkhizhk
F (2.115) 
 )( utct zhcF 
 (2.16) 
 )()( xrxwh (2.117) 
Hệ phương trình vi phân trên chính là mô hình toán học mô tả dao động kết hợp 
cầu - xe. Để giải hệ phương trình này có thể sử dụng phương pháp mô phỏng số, 
thông qua công cụ Simulink của phần mềm Matlab. 
Mô hình dao động kết hợp 1/4 chính là cơ sở để nghiên cứu dao động kết hợp 
giữa cầu và xe trong các điều kiện sử dụng thực, sát với cấu trúc của xe trên cầu (xe 
2 trục, xe 3 trục, đoàn xe...). Vấn đề được ghi nhận ở đây chính là động lực học dao 
động tại điểm nối giữa bánh xe với cầu, từ đó cho được kết quả là các lực động tại 
điểm liên kết giữa bánh xe với cầu, độ võng w(x) của cầu. Trong khảo sát mô hình 
trên, thời gian nghiên cứu nằm trong khoảng 0 ≤ t ≤ L/v, đây là thời gian xe đi hết 
qua cầu. 
Hệ phương trình vi phân mô tả dao động xe gồm nhiều phương trình vi phân cấp 
2, trong đó có hàm kích động vế phải là hàm thời gian. Để giải hệ phương trình này, 
trong luận án sử dụng phần mềm mô phỏng Matlab - Simulink cũng là lời giải bằng 
số các hệ phương trình vi phân. 
Phương pháp mô phỏng chính là căn cứ vào hệ phương trình vi phân, phương 
trình các số hạng, các thừa số của vế phải (có chứa các vi phân cấp 1, cấp cao hơn 
54 
và hệ số), chọn các khối cơ bản và liên kết chúng lại theo điều kiện cân bằng của 
phương trình. Các khối cơ bản dùng để tính toán mô phỏng như khối tích phân, khối 
nhân hệ số, khối tính tổng, khối đạo hàm...cùng với phân tích nêu trên giúp tổng 
hợp sơ đồ mô phỏng dao động ô tô với mô hình 1/4 như trên. Chi tiết việc xây dựng 
mô hình mô phỏng như thế được cho tại Phụ Lục 1. 
2.3.2 Mô hình xe 2 trục 
Mô hình một chiếc xe có 2 trục bánh xe (loại xe con, khách, tải nhỏ và trung 
bình) vượt qua một cây cầu với tốc độ không đổi v (xem Hình 2.9). Cầu được mô 
phỏng như dầm đơn Euler-Bernoulli. Xe mô hình là một phần hai-xe với bốn bậc tự 
do (mô hình phẳng). Mô hình này cho phép chúng ta xem xét một trạng thái dao 
động kết hợp thực tế cầu - xe. Đây chính là mô hình để nghiên cứu trạng thái 1 xe 
qua cầu, từ đó có thể nghiên cứu ảnh hưởng thông số kết cấu của xe đến tải trọng 
động và độ võng cầu, cũng là mô hình 1 xe trong tổng thể đoàn xe qua cầu. 
Hình 2.9 - Mô hình cầu - xe 2 trục 
2.3.2.1 Các giả thiết khi lập mô hình 
- Vận tốc chuyển động của xe không đổi (v = const); 
- Xe được phân thành 3 khối lượng: khối lượng được treo ms (đặt tại trọng tâm T 
và có các tọa độ a, b, Lx) và 2 khối lượng không treo trước mu1 và sau mu2. Khối 
lượng được treo nối với khối lượng không treo thông qua hệ thống treo, đặc trưng 
bởi độ cứng ks1, ks2 và hệ số cản giảm chấn cs1, cs2. Khối lượng không treo nối với 
đường (cầu) thông qua lốp, đặc trưng bởi độ cứng kt1, kt2 và hệ số cản ct1, ct2 (thông 
thường ct lấy bằng 0); 
55 
- Cầu được coi như một dầm liên tục, có bề mặt mấp mô trung bình là r(x). 
Các ký hiệu trên hình vẽ: 
T: Trọng tâm thân xe (khối lượng được treo); 
v: Vận tốc chuyển động dọc của xe (m/s); 
x: Tọa độ trên trục dọc của cầu (x = vt); 
w(x,t): Độ võng của cầu (m); 
zs: Chuyển vị thẳng đứng của trọng tâm thân xe (m); 
s: Chuyển vị lắc dọc (góc lắc dọc) của trọng tâm thân xe (rad); 
Lx: Chiều dài cơ sở của xe (khoảng cách giữa tâm vết bánh xe trục 1 và trục 2) 
(m); 
a, b: Tọa độ trọng tâm thân xe so với trục 1 và trục 2 (m); 
ms: Khối lượng thân xe (khối lượng được treo) (kg); 
Jy: Mô men quán tính quanh trục ngang (đi qua trọng tâm T) (kg.m2); 
mu1, mu2: Khối lượng không treo trục 1, trục 2 (kg); 
ks1, ks2: Độ cứng hệ thống treo trước (1) và sau (2) (N/m); 
cs1, cs2: Hệ số cản giảm chấn của hệ thống treo trước (1) và sau (2) (N.s/m); 
kt1, kt2: Độ cứng lốp trước (1) và sau (2) (N/m); 
zu1, zu2: Chuyển vị thẳng đứng của trọng tâm khối lượng không treo trước (1) và 
sau (2) (m); 
zs1, zs2: Chuyển vị tại điểm nối giữa hệ thống treo trục 1, 2 với thân xe (m). 
Như vậy cơ hệ gồm 4 vật: 
- Vật 1: Khối lượng được treo của xe, đặc trưng bởi khối lượng ms, mô men 
quán tính quanh trục ngang Jy và có 2 tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zs và 
góc lắc dọc s quanh trọng tâm của nó. 
- Vật 2: Khối lượng không được treo của trục trước (trục 1) của xe, đặc trưng 
bởi khối lượng mu1 và có tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zu1 quanh trọng 
tâm của nó. 
- Vật 3: Khối lượng không được treo của trục sau (trục 2) của xe, đặc trưng bởi 
khối lượng mu2 và có tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zu2 quanh trọng tâm 
của nó. 
56 
- Vật 4: Cầu, đặc trưng bởi khối lượng riêng , mô men đàn hồi của vật liệu E và 
mô men quán tính của mặt cắt ngang I. 
Trong mô hình cầu - xe 2 trục, chúng ta xác định 4 điểm cắt: 
- Điểm cắt thứ nhất là ở vị trí hệ thống treo 1 (vị trí nối giữa khối lượng được 
treo và khối lượng không được treo trên trục 1). Tại đó có lực cắt Fs1 đặc trưng cho 
lực tác dụng của hệ thống treo. 
- Điểm cắt thứ hai là ở vị trí hệ thống treo 2 (vị trí nối giữa khối lượng được treo 
và khối lượng không được treo trên trục 2). Tại đó có lực cắt Fs2 đặc trưng cho lực 
tác dụng của hệ thống treo. 
- Điểm cắt thứ ba là ở vị trí bánh xe 1 (vị trí nối giữa khối lượng không được 
treo 1 và cầu). Tại đó có lực cắt Ft1 đặc trưng cho lực tác dụng của bánh xe. 
- Điểm cắt thứ tư là ở vị trí bánh xe 2 (vị trí nối giữa khối lượng không được treo 
2 và cầu). Tại đó có lực cắt Ft2 đặc trưng cho lực tác dụng của bánh xe. 
- Quan hệ hình học trên mô hình: 
sss
sss
bzz
azz


2
1
 (2.118) 
2.3.2.2 Hệ phương trình vi phân mô tả hệ thống 
Hệ phương trình vi phân mô tả hệ thống được xác lập trên nguyên lý Newton - 
Euler đã trình bày ở trên áp dụng đối với từng vật. Mô hình hệ thống treo và mô 
hình bánh xe đã được xây dựng ở phần trước đó. Do đó phương pháp xây dựng 
phương trình vi phân mô tả hệ thống cũng trương tự như hệ phương trình vi phân 
mô tả mô hình dao động 1/4. Điểm khác biệt ở đây là có thêm 1 phương trình mô tả 
dao động lắc dọc s của khối lượng được treo và độ võng w(x) của cầu được xác 
định thông qua độ võng tổng cộng w1(x) và w2(x) (các độ võng độc lập do các lực 
động từ các trục bánh xe xuống điểm tiếp xúc với mặt cầu) theo phương pháp cộng 
tác dụng: 
 w(x) = w1(x) + w2(x) (2.119) 
* Đối với khối lượng được treo: 
 21 ssss FFzm  (2.120) 
 21 sssy bFaFJ 
 (2.121) 
* Đối với khối lượng không được treo trước (khối lượng không được treo 1): 
57 
 1111 stuu FFzm  (2.122) 
* Đối với khối lượng không được treo sau (khối lượng không được treo 2): 
 2222 stuu FFzm  (2.123) 
* Các lực tác động của hệ thống treo: 
 111 cskss FFF (2.124) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11121111
1111111
1
)()(
)()(
 (2.125) 
)( 1111 suscs zzcF  (2.126) 
 222 cskss FFF (2.127) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11122222
2222222
2
)()(
)()(
 (2.128) 
)( 2222 suscs zzcF  (2.129) 
trong đó: 
sss
sss
bzz
azz


2
1
* Tại vị trí tiếp xúc giữa bánh xe trước (bánh xe số 1) với cầu: 
- Lực động tác dụng từ bánh xe lên cầu: 
 111 ctktt FFF (2.130) 
trong đó: 
0)(0
0)()(
111
111111
1
tu
tuut
kt fzhkhi
fzhkhizhk
F 
)( 1111 utct zhcF 
 
với chuyển vị của cầu tại các điểm nối giữa bánh xe với cầu được xác định theo 
công thức: 
 h1 = w1 + r1 (2.131) 
- r1: Bề mặt mấp mô trung bình của mặt cầu. 
- w1: Độ võng của mặt cầu tại mặt cắt có bánh xe 1 tác động, được xác định dựa 
trên phân tích đáp ứng của cầu dưới tác động của xe có kể đến mấp mô mặt cầu và 
được bàn kỹ trong Mục 2.5. 
58 
* Tại vị trí tiếp xúc giữa bánh xe sau (bánh xe số 2) với cầu: 
- Lực động tác dụng từ bánh xe lên cầu: 
 222 ctktt FFF (2.132) 
trong đó: 
0)(0
0)()(
222
222222
2
tu
tuut
kt fzhkhi
fzhkhizhk
F 
)( 2222 utct zhcF 
 
với chuyển vị của cầu tại các điểm nối giữa bánh xe với cầu được xác định theo 
công thức: 
 h2 = w2 +r2 (2.133) 
- r2: Bề mặt mấp mô trung bình của mặt cầu r2 trễ so với r1 với khoảng thời gian 
Lx/v 
- w2: Độ võng của mặt cầu tại mặt cắt có bánh xe 2 tác động, được xác định dựa 
trên phân tích đáp ứng của cầu dưới tác động của xe có kể đến mấp mô mặt cầu và 
được bàn kỹ trong Mục 2.5. 
* Độ võng tổng cộng của cầu: 
 w = w1 + w2 (2.134) 
Tập hợp các phương trình từ (2.135) đến (2.250), ta có hệ phương trình vi phân 
bao gồm 16 phương trình mô tả toàn bộ hệ thống như sau: 
 21
1
ss
s
s FF
m
z  (2.135) 
 21
1
ss
y
s bFaF
J
  (2.136) 
 11
1
1
1
st
u
u FF
m
z  (2.137) 
 22
2
2
1
st
u
u FF
m
z  (2.138) 
 111 cskss FFF (2.139) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11121111
1111111
1
)()(
)()(
 (2.140) 
)( 1111 suscs zzcF  (2.141) 
59 
 222 cskss FFF (2.142) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzk