Luận án Dao động và chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc

n của dầm ảnh hưởng khác nhau đến các tần số 
khác nhau. Cụ thể, tăng (giảm) chiều dầy của đoạn giữa dầm làm giảm (tăng) độ 
nhạy của tần số thứ 2 với vết nứt trên chính đoạn giữa dầm đó. Sự thay đổi tiết diện 
từng đoạn cũng làm thay đổi các điểm nút tần số (là điểm mà vị trí vết nứt tại đó 
không làm thay đổi tần số). 
 1 1
 B4S B4S
 0.995
 0.995 B3S
 B4S
 B4S B3S B2S B3S
 B4S B2S
 0.99 0.99
 B1S B3S
 B4S B3S B4S
 0.985 0.985
 BU2
 B1S B1S
 0.98 0.98
 B2S B2S
 B2S BU2 BU2
 B1S B1S
 0.975 0.975
 BU1
 B2S B2S
 B1S B1S
 0.97
 0.97 Ty so tan so thu hai
Ty so tan so thu nhat BU1: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m BU2: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m BU1 BU1
 h1=0.15;h2=0.15; h3=0.15m h1=0.10;h2=0.10; h3=0.10m
 0.965 0.965
 B1S: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m
 B2S: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m BU1: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m
 h1=0.15;h2=0.10; h3=0.15m h1=0.10;h2=0.15; h3=0.10m B1S: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m B3S: b1=0.15;b2=0.10; b3=0.15m
 h1=0.15;h2=0.15; h3=0.15m h1=0.15;h2=0.10; h3=0.15m h1=0.15;h2=0.10; h3=0.15m
 0.96 0.96
 B3S: b1=0.15;b2=0.10; b3=0.15m
 B4S: b1=0.10;b2=0.15; b3=0.10m BU2: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m B2S: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m B4S: b1=0.10;b2=0.15; b3=0.10m
 h1=0.15;h2=0.10; h3=0.15m
 h1=0.10;h2=0.15; h3=0.10m h1=0.10;h2=0.10; h3=0.10m h1=0.10;h2=0.15; h3=0.10m h1=0.10;h2=0.15; h3=0.10m
 0.955 0.955
 Bac thu nhat Bc thu hai Bac thu nhat Bc thu hai
 0.95 0.95
 0 1 Vi tri vet nut 2 3 0 1 Vi tri vet nut 2 3
 1
 B4S B4S
 0.995
 B4S B4S
 0.99
 B2S B3S B2S
 B3S B3S
 0.985
 0.98
 BU2 B1S BU2
 BU1 BU1
 0.975 BU2
 Ty so tan so thu ba B1S B1S
 0.97
 BU1
 BU1 BU1
 BU1: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m BU2: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m
 h1=0.15;h2=0.15; h3=0.15m h1=0.10;h2=0.10; h3=0.10m
 0.965
 B1S: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m B2S: b1=0.10;b2=0.10; b3=0.10m
 h1=0.15;h2=0.10; h3=0.15m h1=0.10;h2=0.15; h3=0.10m
 B3S: b1=0.15;b2=0.10; b3=0.15m B2S B4S: b1=0.10;b2=0.15; b3=0.10m
 0.96
 h1=0.15;h2=0.10; h3=0.15m h1=0.10;h2=0.15; h3=0.10m
 Bac thu nhat Bac thu hai
 0.955
 0 1 Vi tri vet nut 2 3 
 Hình 2.3. Ảnh hưởng của chiều dầy và vị trí vết nứt lên tần số riêng. 
 Hình 2.4 là các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tần số vào độ sâu và số 
lượng vết nứt ứng với ba trường hợp: một vết nứt tại đoạn thứ nhất; hai vết nứt tại 
hai đoạn thứ nhất và thứ hai và ba vết nứt tại cả ba đoạn. Kết quả cho thấy, nói 
chung số lượng vết nứt tăng làm giảm tần số trừ một số trường hợp khi vết nứt xuất 
 36 
hiện ở đoạn giữa làm giảm tần số thứ hai như đã nói ở trên. Khi đó tần số thứ hai 
của dầm có hai vết nứt không khác nhiều với dầm có ba vết nứt. 
 L1=L2=L3=1m,b1=b2=b3=0.1m,h1=h3=0.1m,h2=0.15m
 1 
 0.99
 0.98
 0.97
 1 vet nut
 2 vet nut
 0.96 3 vet nut
 0.95
 Ty so tan so thu nhat, Dam B2
 0.94
 Ty so tan so thu nhat, Dam B2S
 0.93 
 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
 Do sau vet nut
 L1=L2=L3=1m,b1=b2=b3=0.1m,h1=h3=0.1m,h2=0.15m
 1 
 0.99
 0.98
 0.97
 1 vet nut
 2 vet nut
 0.96 3 vet nut
 Ty so tan so thu hai, Dam B2
 0.95
 Ty so tan so thu hai, Dam B2S
 0.94 
 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
 Do sau vet nut
 L1=L2=L3=1m,b1=b2=b3=0.1m,h1=h3=0.1m,h2=0.15m
 1 
 0.98
 0.96
 0.94
 1 vet nut
 2 vet nut
 0.92 3 vet nut
 Ty so tan so thu ba, Dam B2
 0.9
 Ty so tan so thu ba, B2S Dam
 0.88 
 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
 Do sau vet nut 
 Hình 2.4. Ảnh hưởng của số lượng vết nứt đến sự thay đổi tần số riêng theo độ sâu 
 vết nứt. 
 37 
2.2. Dầm đa bậc Timoshenko có vết nứt 
2.2.1. Lời giải tổng quát cho phần tử dầm Timoshenko có vết nứt 
 Xét phần tử dầm có tiết diện không đổi có độ dài L, mật độ khối ρ, mô đun 
đàn hồi E và mô đun trượt G, diện tích mặt cắt ngang A = b× h và mô men quán 
tính I = bh3/12. Như trên ta đã thiết lập được phương trình dao động tự do của phần 
tử dầm Timoshenko dưới dạng 
 Aw-  GA(w  )=0; 
 I  -EI  -  GA(w  )=0 (2.26) 
 Nghiệm của (2.26) được tìm dưới dạng 
 w(x , t ) W( x ) eit ; (,)()x t  x eit (2.27) 
trong đó  là tần số riêng của dầm. Khi đó hệ phương trình (2.26) trở thành 
 2
 A W( x )  G (W  ) 0; 
 2
  I( x ) EI  ( x )  G (W  ) 0 (2.28) 
 xx
 Tìm nghiệm của (2.28) dưới dạng W(),()00x Cw e  x C e , từ đó đưa đến 
phương trình đặc trưng 
 42 bc 0; (2.29) 
với b (1);  c    ( ); 2 /; E  E /;  G A / I . 
 Đặt  2 , nghiệm của (2.29) được xác định như sau 
 b b22 44 c b b c
  ; (2.30) 
 1222
 Chú ý rằng, trong trường hợp c = 0, các nghiệm của (2.29) là 
 (1 )
  i b i ;0  (2.31) 
 1,2E 3,4
 2
xảy ra khi tần số đạt tới hạn  c 12 Gh / (gọi là tần số cắt của dầm). 
 2
 Với  c 12 Gh / , phương trình (2.29) có nghiệm 
 1,2 k 1; 3,4 ik 2 
 b b22 44 c b b c
 kk ; (2.32) 
 1222
 38 
 Do tần số tới hạn rất lớn nên dao động của dầm thường nghiên cứu tần số 
trong giới hạn (0,c ). Do vậy, trong giới hạn này, nghiệm tổng quát của phương 
trình (2.28) được biểu diễn dưới dạng 
 W0 (x , ) C 1 cosh kxC 1 2 sinh kxC 1 3 cos kxC 2 4 sin kx 2 (2.33) 
 0(x , ) rC 11 sinh kxrC 112 cosh kxrC 1232242 sin kxrC cos kx , (2.34) 
trong đó 
 2 2 2 2
  Gk12   Gk
 rr12 ; (2.35) 
 Gk12 Gk
 Đặc biệt, nghiệm (2.33-2.34) thỏa mãn điều kiện W0 (0) 0; W0 (0) 1; 
 0 (0) 1;  0 (0) 0; có dạng 
 Sw( x ) S 1 sinh k 1 x S 2 sin k 2 x ; S ( x ) rS1 1 cosh k 1 x r 2 S 2 cos k 2 x ; (2.36) 
 r2 k 2 r 1 k 1
 SS12 ;. (2.37) 
 rk1 2 r 2 k 1 rk 1 2 r 2 k 1
 Giả sử rằng phần tử dầm có vết nứt tại vị trí xc và vết nứt được mô hình hóa 
bằng lò xo xoắn tương đương có độ cứng K được xác định từ Cơ học phá hủy (xem 
trong phần 2.1.1). Do đó, tại vị trí vết nứt phải thỏa mãn điều kiện 
 Mx()
 W(xx ) W( ); ()();xx  c 
 cc ccK
 Q(xc ) Q( x c ) Q ( x c ); M( xc ) M( x c ) M ( x c ); (2.38) 
trong đó Q, M là lực cắt, mô men uốn tại mặt cắt x và được xác định 
 M EI  xx; Q  GA (W  ) 
hay viết dưới dạng ma trận 
 M( x )  0 EIx W( x )  W( x ) 
  P  (2.39) 
 Q()()() x  GA x GA  x  x 
 Thế (2.39) vào (2.38), ta có 
 W(xc ) W( x c ) W( x c ); Wx (x c ) W x ( x c )   x ( x c ); 
  x()()()x c  x x c  x c ; (xc )  ( x c )   x ( x c ); EI / K (2.40) 
 Áp dụng nghiệm riêng (2.36) thu được ở trên, dễ dàng chứng minh được 
rằng nghiệm tổng quát của phương trình (2.28) thỏa mãn điều kiện vết nứt (2.40) 
được biểu diễn dưới dạng 
 39 
 W()()ccx  W()0 x Kw x x 
     0 ()()xxcc  GC , (2.41) 
  cc()()x  0 ()x K x x 
trong đó 
 GGKc()(,)()x 0 x c x x c (2.42) 
 coshk1 x sinh k 1 x cos k 2 x sin k 2 x
 G0 (2.43) 
 r1 sinhk 1 x r 1 cosh k 1 x r 2 sin k 1 x r 2 cos k 2 x
 Kxw ( ) 0 a1 b 1 a 2 b 2
 Kc ()x (2.44) 
 0Kx ( ) a1 b 1 a 2 b 2
 a1 r 1 k 1 cosh k 1 xcc ; b 1 r 1 k 1 sinh k 1 x ; a2 r 2 k 2 cos k 2 xcc ; b 2 r 2 k 2 sin k 2 x 
 pp 0:xx 0 0: 0
 Kw ();() x pp K x (2.45) 
 Sw ( x ) : x 0 S ( x ) : x 0
 ppSS
 Spp() x w ; S () x  ; p 0,1,2,3. (2.46) 
 w xxpp
2.2.2. Phương pháp ma trận truyền 
 Xét dầm bậc Timoshenko gồm m đoạn dầm có tiết diện không đổi có kích 
thước bj h j L j , j = 1,,m. Giả sử rằng mỗi đoạn chứa một vết nứt tại vị trí x j và 
có độ lớn  j EI j/ K j . 
 Đưa vào véc tơ trạng thái cho đoạn dầm thứ j, 
 T
 Vj()x  W(), j x j (), x M j (), x Q j () x  
với mô men uốn Mxj ()và lực cắt Qxj () được xác định ở trên. Khi đó, điều kiện liên 
tục tại vị trí nối giữa các đoạn là 
 Vj+1(0) = Vj(Lj), j = 1,,m-1. (2.47) 
 Mặt khác, từ (2.41), véc tơ trạng thái Vj(x) được biểu diễn dưới dạng 
 Vj(x) = Hj(x). Cj, (2.48) 
 Gc ()x GK0 j ()()x  j cj x x c
trong đó Hj(x) = (2.49) 
 PG ()x PG()()x  PK x x
 c ()j 0 j j cj c
với Gc ()x được xác định trong (2.42) và PGc ()x là toán tử ma trận được định nghĩa 
trong (2.39) 
 0 EI x
 P . (2.50) 
 GA x GA
 40 
 Tương tự như phần 2.1.2, véc tơ trạng thái tại hai đầu của dầm bậc 
Timoshenko được biểu diễn dưới dạng 
 Vm(Lm) =T. V1(0), (2.51) 
trong đó 
 1
 T = T(m)T(m-1) T(1), THH(jL ) j ( j ). j (0) , j = 1, , m (2.52) 
T được gọi là ma trận truyền cho dầm bậc Timoshenko có vết nứt. 
 Đến đây, áp dụng điều kiện biên sẽ đưa đến phương trình tần số có dạng như 
trong mục 2.1.2, giải phương trình tần số sẽ cho ta nghiệm là các tần số. Giống như 
phần 2.1.2, tương ứng với mỗi tần số riêng k ,k 1,2,... sẽ xác định được hàm dạng 
tương ứng của mỗi đoạn của dầm bậc như sau 
 W()jk x
 jk()(,)x  D kGC c x  k j (2.53) 
  jk ()x
 1
 C jj HTTTV(0). (j 1) ( j 2)... (1).1 , j 1,..., m (2.54) 
 Như vậy, bài toán dao động tự do của dầm bậc Timoshenko đa vết nứt đã 
được giải hoàn toàn bằng phương pháp ma trận truyền. 
2.2.3. Kết quả số 
 Xét dầm công xôn (hình 2.5) với các thông số của dầm L=0.5m; E=210 Gpa; 
 3
 7860kg / m ; b=12 mm; h1=20 mm; h2=16 mm [61]. 
 L/2 L/2 
 Hình 2.5. Dầm công xôn một bậc. 
 Ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt lên tần số riêng của dầm được thể 
hiện trong các hình 2.6 và 2.7. Từ các hình vẽ cho thấy: Các tần số riêng của dầm 
công xôn có bước nhảy tại vị trí bậc trong dầm; Vết nứt càng gần đầu ngàm thì ảnh 
hưởng của nó lên tần số càng lớn; Độ sâu vết nứt càng lớn thì tần số riêng càng 
giảm. 
 41 
 Twostepped cantilever beam 
 1.05
 1 
 0.95 
 0.9
 1 
 0 
  01
 /
 1/ω
  1
 ω 0.85 
 0.8 
 0.75 ah = 0.1 
 ah = 0.3 
 ah = 0.5 
 0.7 
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 
 x /L 
 c 
 Hình 2.6. Tỷ số tần số thứ nhất phụ thuộc vào vị trí vết nứt. 
 Twostepped cantilever beam 
 1.05
 1 
 0.95
 / 02
 ω
 /
 2
 ω 0.9 
 0.85 
 ah = 0.1 
 ah = 0.3 
 ah = 0.5 
 0.8 
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 
 x /L 
 c 
 Hình 2.7. Tỷ số tần số thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt. 
2.3. Dao động của dầm bậc FGM có vết nứt 
 Xét một phần tử dầm FGM có tiết diện không đổi có vết nứt, ta đã nhận được 
nghiệm tổng quát ở dạng (1.48) được viết lại thành 
 T
 z(xx ) ΦCc ( ). , z {,,}UW (2.55) 
trong đó 
 ΦGKGc ()(,)()(,)x 00 x x e e (2.56) 
 42 
 GGcc(x ) : x 0; ( x ) : x 0;
 KK()()xx (2.57) 
 0 :xx 0; 0 : 0;
 GGcs()()xx  
 coshk x cosh k x cosh k x 
 1 1 1 2 2 3 3 111213
 G (x ) cosh k x cosh k x cosh k x . ; 
 s 1 2 3 21 22 23 
 1sinhk 1 x  2 sinh k 2 x  3 sinh k 3 x 313233 
 k112( 3 ) k 223  ( 1 ) k 331  ( 2 ); 
 11 k 33 k 2212 ;;; 322 k  23313 k  2 3 
 21 k 11 k 33 ;;; 22 133 k  311 k  23 3 1 
 31 k 22 k 1132 ;;; 211 k  122 k  33 1 2 
  a 00
  00 
 b
 00 b
 Biểu thức hiển của hàm dạng (2.55) được sử dụng để phát triển phương pháp 
ma trận truyền trong phân tích dao động của dầm bậc FGM có nứt. 
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền 
 Tương tự như dầm bậc Timoshenko đa vết nứt trong mục 2.2.2, ta đưa vào 
véc tơ trạng thái cho đoạn dầm thứ j, j = 1,,m của dầm bậc FGM ở dạng 
 T
 Vj()x  { Ux j (), j (), xWxNxMxQx j (), j (), j (), j ()} , (2.58) 
thì điều kiện liên tục tại các mối nối của dầm bậc sẽ là 
 VVj(0) j 1 (L j ), j 2,..., m (2.59) 
 Từ đây ta cũng xây dựng được ma trận truyền T cho dầm bậc FGM tương tự 
dầm bậc Timoshenko nhưng ma trận Hj(x) được xác định như sau 
 Φ ()x
 H ()x c (2.60) 
 j  Φ ()x
 xc  j
với 
 A11 x 00
  00A  (2.61) 
 xx 22
 0 AA33 33 x
 và cũng xác định được phương trình tần số ở dạng (2.21) nhưng với ma trận B có 
kích thước 6x6. Sau khi áp dụng điều kiện biên cụ thể ta nhận được phương trình 
tần số cho các trường hợp điều kiện biên cổ điển như sau: 
 43 
 Dầm công xôn: 
 TTT44 45 46
 DTTT( ) det 0; (2.62) 
 CF 54 55 56
 TTT64 65 66
 Dầm ngàm hai đầu 
 TTT14 15 16
 DTTT( ) det 0; (2.63) 
 CC 24 25 26
 TTT34 35 36
 Dầm gối tựa hai đầu 
 TTT12 14 16
 DTTT( ) det 0, (2.64) 
 SS 32 34 36
 TTT52 54 56
trong đó Tij là các phần tử của ma trận truyền T. 
2.3.2. Kết quả số 
 Xét dầm bậc FGM với kích thước mặt cắt ngang và hằng số vật liệu được lấy 
từ tài liệu [78] như sau: b = 0.1m ; h = 0.1m. 
 3
 Mặt trên (Al2O3): Et = 390 Gpa; t 3960 kg/m ; t 0.25; 
 3
 Mặt dưới (thép): Eb = 210 Gpa; b 7800 kg/m ; b 0.30; 
 Loại I Loại II 
 L1, b1, h1 L2, b2, h2 L3, b3, h3 
 Hình 2.8. Hai loại dầm bậc FGM. 
 Năm tần số riêng không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc FGM được so sánh 
với dầm FGM có tiết diện không đổi được thể hiện trong bảng 2.2. Các kết quả cho 
thấy tần số riêng trong dao động uốn của dầm bậc có hoặc không có vết nứt tăng 
(giảm) khi độ dày đoạn giữa tăng (giảm) ngoại trừ tần số riêng của dầm bậc công 
xôn. Quan sát từ bảng 2.2 ta cũng thấy rằng, đối với dầm có biên đối xứng (ngàm 
hai đầu, gối tựa hai đầu), trong trường hợp có một vết nứt, khi vết nứt xuất hiện tại 
giữa các đoạn một và ba cho tần số giống nhau; mặt khác, số vết nứt trong dầm 
càng tăng thì tần số riêng càng giảm. 
 44 
Bảng 2. 2. Tần số của dầm FGM có các đoạn bị nứt khác nhau với các điều kiện 
biên cố điển. 
Điều kiện Mode Dầm Một vết nứt Hai vết nứt Ba vết 
 biên No nguyên nứt 
 vẹn Đoạn Đoạn Đoạn Đoạn Đoạn Đoạn 
 thứ nhất thứ hai thứ ba 1-2 2-3 1 -3 
 h1 = h2 = h3 = 0.1 (Dầm có tiết diện không đổi) 
 1 3.5398 3.4940 3.3674 3.4940 3.3280 3.3280 3.4503 3.2903 
 Gối tựa 2 14.0799 13.5598 14.0799 13.5598 13.5570 13.5570 13.0862 13.0862 
 hai đầu 3 31.3899 30.0040 30.0041 30.0040 28.6963 28.6963 28.6906 27.4346 
 4 55.1111 53.4955 55.1111 53.4955 53.4747 53.4747 51.8173 51.8173 
 5 84.7885 84.0027 81.4306 84.0027 80.5544 80.5544 83.1568 79.5981 
 1 7.9785 7.9365 7.7020 7.9365 7.6535 7.6535 7.8940 7.6042 
 Ngàm 2 21.7766 21.6773 21.7766 21.6773 21.6772 21.6772 21.5824 21.5824 
 hai đầu 3 42.1394 41.0615 40.3133 41.0615 39.3583 39.3583 40.0966 38.4874 
 4 68.5517 66.2036 68.5517 66.2036 66.1608 66.1608 63.9534 63.9534 
 5 100.5146 98.2482 96.6856 98.2482 94.4136 94.4136 95.8386 91.9287 
 1 1.2623 1.1902 1.2473 1.2621 1.1776 1.2470 1.1899 1.1773 
 Công 2 7.8690 7.8355 7.4886 7.8270 7.4477 7.4538 7.7935 7.4128 
 xôn 3 21.8485 21.7492 21.8472 21.3063 21.7470 21.3061 21.2237 21.2237 
 4 42.3012 41.2090 40.4889 40.3693 39.5234 38.7238 39.4397 37.8779 
 5 58.4491 58.4471 58.4479 58.4484 58.4463 58.4467 58.4449 58.4437 
 h1 = 0.1, h2 = 0.2, h3 = 0.1 (Dầm bậc loại I) 
 1 4.1614 4.0533 4.0406 4.0533 3.9417 3.9417 3.9547 3.8510 
 Gối tựa 2 14.3388 13.7559 14.3388 13.7559 13.7530 13.7530 13.1895 13.1895 
 hai đầu 3 42.1888 40.5121 39.0797 40.5121 37.5947 37.5947 39.0151 36.2223 
 4 62.8789 61.3195 62.8789 61.3195 61.2762 61.2762 59.5669 59.5669 
 5 93.9094 93.9089 92.3312 93.9089 91.8443 91.8443 93.9084 91.3204 
 1 8.4536 8.4524 8.1720 8.4524 8.1693 8.1693 8.4512 8.1667 
 Ngàm 2 22.2215 22.0492 22.2215 22.0492 22.0489 22.0489 21.8824 21.8824 
 hai đầu 3 55.9854 54.1833 51.2302 54.1833 49.8419 49.8419 52.6839 48.6170 
 4 80.2675 77.5143 80.2675 77.5143 77.3679 77.3679 74.6078 74.6078 
 5 93.9290 93.9229 93.9290 93.9229 93.9224 93.9224 93.9189 93.9189 
 1 1.2471 1.1641 1.2437 1.2469 1.1613 1.2435 1.1639 1.1612 
 Công 2 10.0552 10.0525 9.6572 9.9360 9.6564 9.5533 9.9339 9.5526 
 xôn 3 22.8209 22.6601 22.8148 22.0554 22.6505 22.0553 21.9094 21.9087 
 4 54.7353 54.0325 51.1249 52.9604 49.7418 48.8050 51.6049 47.6471 
 5 55.9513 54.8422 54.8034 54.8554 54.7951 54.8029 54.8138 54.7948 
 h1 = 0.1, h2 = 0.05, h3 = 0.1 (Dầm bậc loại II) 
 1 1.8841 1.8788 1.8147 1.8788 1.8100 1.8100 1.8735 1.8053 
 Gối tựa 2 9.8838 9.7222 9.8838 9.7222 9.7221 9.7221 9.5693 9.5693 
 hai đầu 3 27.0956 25.8719 26.4460 25.8719 25.2977 25.2977 24.8498 24.3221 
 4 42.7455 40.7812 42.7455 40.7812 40.7494 40.7494 38.7788 38.7788 
 5 62.6042 61.3129 60.8392 61.3129 59.5166 59.5166 59.8601 57.9966 
 1 7.5452 7.4085 7.4641 7.4085 7.3255 7.3255 7.2693 7.1841 
 Ngàm 2 15.8614 15.8565 15.8614 15.8565 15.8565 15.8565 15.8516 15.8516 
 hai đầu 3 34.9936 34.4556 33.9884 34.4556 33.5192 33.5192 33.9803 33.0983 
 4 55.3211 53.0909 55.3211 53.0909 53.0535 53.0535 51.1913 51.1913 
 5 74.8560 72.5183 73.0840 72.5183 70.7859 70.7859 69.8861 68.1189 
 1 0.8579 0.8371 0.8380 0.8578 0.8185 0.8379 0.8370 0.8184 
 2 5.6066 5.4550 5.5091 5.5965 5.3539 5.4999 5.4456 5.3452 
 Công 3 15.0284 15.0148 15.0266 14.9169 15.0129 14.9143 14.9022 14.8995 
 xôn 4 35.0967 34.5378 34.0700 34.0089 33.5838 33.0877 33.5565 32.6851 
 5 54.7870 53.5402 54.7866 52.6835 53.4842 52.6307 50.8111 50.8096 
 L1=L2=L3=1m;b1=b2=b3=0.1m;E1=390; E2=210GPa, 1 =3960; 2 =7850 kg/m3; 1 =0.30;  2 = 0.25 
 Vết nứt có độ sâu 40% đặt tại giữa các đoạn. 
 45 
 Trên các hình vẽ 2.9 – 2.11 là đồ thị của tỷ số tần số riêng của dầm bậc FGM 
loại I và loại II (hình 2.8). Các tỷ số tần số này phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương 
ứng với các giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt và các tham số vật liệu. 
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=5,10,20,30,40%
 1
 S2
 S2
 S1 S1 S1
 0.98 S0
 S1
 S1
 S1 S1 S0
 S0
 S2
 S2 S0
 0.96
 S2 S2
 S1 S1
 Ty so tan so thu nhat 0.94
 S0: h1=h2=h3=0.1
 S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
 S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
 0.92
 0.9 
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Vi tri vet nut
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=5,10,20,30,40%
 1.01 
 1
 S2 S2
 0.99
 S1 S1
 S2
 S0 S2
 0.98 S0
 S0
 S0
 S1 S1
 0.97
 S0 S0
 S2 S2
 Ty so tan so thu hai
 0.96
 S1
 0.95 S1
 S0: h1=h2=h3=0.1
 S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
 0.94
 S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
 0.93 
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Vi tri vet nut
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=5,10,20,30,40%
 1.01
 1
 0.99
 S2 S2 S2
 0.98
 S1 S1
 S0 S2
 S0 S2 S2 S0
 0.97
 S1
 S0 S1
 S0 S0
 0.96 S0
 S1
 0.95
 Ty so tan so thu ba
 0.94
 S0: h1=h2=h3=0.1
 0.93
 S1 S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
 S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
 0.92
 0.91
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Vi tri vet nut 
Hình 2.9. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu phụ thuộc vào độ sâu 
 vết nứt (a/h); 
 46 
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=30%,n=0.2;0.5;1;2;5;10
 1.01 
 1 S1 S2 S2 S1
 S2
 S0
 S0 S0
 0.99 S0
 S1
 S1
 S1
 0.98 S2 S2
 S0
 0.97
 Ty so tan so thu nhât 0.96
 S1: h1=0.1;h2=0.2; h3=0.1
 S0: h1=0.1;h2=0.1; h3=0.1
 0.95
 S2: h1=0.1;h2=0.05;h3=0.1
 0.94
 0.93 
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Vi tri vet nut
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=30%,n=0.2;0.5;1;2;5;10 
 1.01 
 1
 S2 S1 S1 S2
 0.99
 S0 S0
 0.98
 S2
 S2
 0.97
 Ty so tan so thu hai
 S1 S1
 0.96
 S0: h1=0.1;h2=0.1; h3=0.1
 S1: h1=0.1;h2=0.2; h3=0.1
 S2: h1=0.1;h2=0.05;h3=0.1
 0.95
 0.94 
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;a/h=30%,Vi tri vet nut 
 n=0.2;0.5;1;2;5;10 
 1 
 S2
 S1 S0 S1
 S2
 0.99
 S2
 S1
 0.98 S2 S2
 S0 S0
 0.97
 S0: h1=0.1;h2=0.1; h3=0.1 S0
 S1: h1=0.1;h2=0.2; h3=0.1
Ty so tan so thu ba
 S2: h1=0.1;h2=0.05;h3=0.1
 0.96
 S1
 0.95
 0.94 
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Vi tri vet nut 
 Hình 2.10. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu có nứt phụ thuộc 
 vào chỉ số (n); 
 47 
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;r =0.2,1.0, 2.0,5.0,10
 S0 S2
 1 S1
 S0
 S2
 S1
 S0
 0.99
 S1 S1
 S1
 S0
 0.98
 S2 S2
 0.97 S2
 S2
 S1
 S1
 S0: h1=h2=h3=0.1
 Ty so tan so thu nhat S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
 0.96
 S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
 S1
 0.95
 0.94 
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Clamped Beam, L1=L2=L3=1;rVi tri vet nut =0.2,1.0, 2.0,5.0,10
 1.01 
 S1 S0 S2 S2 S0 S1
 1
 S2
 S2 S1 S1
 Ty so tan so thu hai
 0.99
 S0 S0
 S2 S1 S1 S2
 0.98
 S2 S2
 S0 S0
 0.97
 S1 S1
 S0: h1=h2=h3=0.1
 0.96 S1: h1=h3=0.1;h2=0.2
 S2: h1=h3=0.1;h2=0.05
 0.95
 0 0.5 1Clamped Beam,1.5 L1=L2=L3=1; 2 2.5 3
 r =0.2,1.0,Vi tri vet 2.0,5.0,10 nut 
 1
 S2 S1 S0 S2 S2 S0 S1 S2
 0.995
 S2
 0.99
 S1
 0.985
 S1 S2 S1
 0.98 S0
 S0 S2 S2
 S0
 0.975
 0.97 S2 S1
 Ty so tan so thu ba 0.965
 0.96
 S0: h1=h2=h3=0.1
 S1: h1=h2=0.1;h3=0.2
 0.955 S1
 S2: h1=h2=0.1;h3=0.05
 0.95
 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 Vi tri vet nut 
Hình 2.11. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu có nứt phụ thuộc tỷ 
 số mô đun đàn hồi (r). 
 48 
 Khảo sát các đồ thị trên hình vẽ 2.9 – 2.11, ta thấy: (1) Giống như dầm đồng 
chất, dầm bậc FGM cũng có những điểm nút tần số, vết nứt xuất hiện tại đó không 
làm thay đổi tần số. Vị trí các điểm nút phụ thuộc vào sự thay đổi đột ngột chiều 
dầy trong dầm (vị trí của bậc). Ví dụ như, dầm loại I, điểm nút