Luận án Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

 + 2µ " " dx : (3.5)
 ii kk α d α α ij ij
 α=1
 Vα
 Biến đổi:
 [ ]
 XN 1
 " =" ~0 + a ('α "~0 + 'α "~0 ) + b α "~0
 ii ii α 2 ;ik ki ;ik ki α ;iikl kl
 α=1
 XN ( ) XN
 α 0 α 0 α 0
 "ii = aα';ik"~ki + bα';kl"~kl = (aα + bα) ';ik"~ki :
 α=1 α=1
 Lưu ý tính chất:
 4 α 2 α
 r (x) = r ' (x) = δαβ ; x 2 Vβ :
 Khi đó (3.5) có dạng:
 Z ( )
 XN 2 XN XN
 k − µ (a + b )'β "~0 (a + b )'γ "~0 dx+
 α d α β β ;ij ij γ γ ;kl kl
 α=1 β=1 γ=1
 Vα
 8 9
 Z < [ ]=
 XN XN 1
 +2 µ "~0 + a ('β "~0 + 'β "~0 ) + b β "~0 :
 α : ij β 2 ;ik kj ;jk ki β ;ijkl kl ;
 α=1 β=1
 Vα
 ( [ ])
 XN 1
 : "~0 + a ('γ "~0 + 'γ "~0 ) + b γ "~0 dx :
 ij γ 2 ;ik kj ;jk ki γ ;ijkl kl
 γ=1
 Lưu ý trong chương 2 khi xây dựng mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp đẳng
 βγ
hướng đã đưa ra định nghĩa về tham số thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aα
 βγ
và trong chương này ta cần thêm tham số Bα mà mức độ phức tạp hơn hẳn khi
nó liên quan đến hàm thế song điều hòa (Phạm Đức Chính [1]):
 51
 Z Z
 βγ βα γα βα β − 1 β
 Bα = ijkl ijkldx ; ijkl = ;ijkl ;ijkldx ; (3.6)
 vα
 Vα Vα
 Tách các thành phần ra để tính:
 Z ( )
 XN 2 XN XN
• k − µ (a +b )'β "~0 (a +b )'γ "~0 dx
 α d α β β ;ij ij γ γ ;kl kl
 α=1 β=1 γ=1
 Vα
 ( ) [
 XN 2 v δ δ
 = k − µ (a + b )(a + b )" ~0 "~0 α αβ αγ δ δ +
 α d α β β γ γ ij kl d2 ij kl
 α,β,γ=1 ]
 Aβγ 2
 + α (δ δ + δ δ − δ δ )
 d2 + d − 2 ik jl il jk d ij kl
 ( )
 XN 2 Aβγ
 = 2 k − µ (a + b )(a + b ) α "~0 "~0 ;
 α d α β β γ γ d2 + d − 2 ij ij
 α,β,γ=1
 8 9
 Z < [ ]=
 XN XN 1
• 2 µ "~0 + a ('β "~0 + 'β "~0 ) + b β "~0 :
 α : ij β 2 ;ik kj ;jk ki β ;ijkl kl ;
 α=1 β=1
 Vα
 ( [ ])
 XN 1
 : "~0 + a ('γ "~0 + 'γ "~0 ) + b γ "~0 dx
 ij γ 2 ;im mj ;jm mi γ ;ijmn mn
 γ=1
 XN Z XN Z
 0 0 β γ 0 0
 = 2 µα"~ij"~ijdx + 2 µαbβbγ ;ijkl ;ijmn"~kl"~mndx+
 α=1 α,β,γ=1
 Vα Vα
 Z [ ]
 XN XN 1
 + 4 µ "~0 a ('γ "~0 + 'γ "~0 ) + b γ "~0 dx+
 α ij γ 2 ;im mj ;jm mi γ ;ijmn mn
 α=1 γ=1
 Vα
 N Z ( )
 X 1 ( )
 + 2 µ a a 'β "~0 + 'β "~0 'γ "~0 + 'γ "~0 dx+
 α β γ 4 ;ik kj ;jk ki ;im mj ;jm mi
 α,β,γ=1
 Vα
 XN Z ( )
 β 0 β 0 γ 0
 + 2 µαaβbγ ';ik"~kj + ';jk"~ki ;ijmn"~mndx
 α,β,γ=1
 Vα
 52
 Tiếp tục tính riêng các số hạng này:
 XN Z XN
 •• 0 0 0 0 0 0
 2 µα"~ij"~ijdx = 2 vαµα"~ij"~ij = 2µV "~ij"~ij
 α=1 α=1
 Vα
trong đó:
 XN
 µV = vαµα ; (3.7)
 α=1
là trung bình công số học Voigt.
 Z [ ]
 XN XN 1
 •• 4 µ "~0 a ('γ "~0 + 'γ "~0 ) + b γ "~0 dx
 α ij γ 2 ;im mj ;jm mi γ ;ijmn mn
 α=1 γ=1
 Vα
 XN Z XN Z
 γ 0 0 γ 0 0
 = 2 µαaγ ';im"~mj"~ijdx + 2 µαaγ ';jm"~mi"~ijdx
 α,γ=1 α,γ=1
 Vα Vα
 XN Z
 γ 0 0
 + 4 µαbγ ;ijmn"~ij"~mndx
 α,γ=1
 Vα
 XN v XN v δ
=4 µ a α δ "~0 "~0 + 4 µ b α αβ (δ δ + δ δ + δ δ )" ~0 "~0
 α γ d αβ ij ij α γ d(d + 2) ij mn im jn in jm ij ij
 α,γ=1 α,γ=1
 4 XN 8 XN
= a µ v "~0 "~0 + b µ v "~0 "~0 :
 d α α α ij ij d(d + 2) α α α ij ij
 α=1 α=1
 N Z ( )
 1 X ( )
 •• µ a a 'β "~0 + 'β "~0 'γ "~0 + 'γ "~0 dx
 2 α β γ ;ik kj ;jk ki ;im mj ;jm mi
 α,β,γ=1
 Vα
 N Z h
 1 X
 = µ a a 'β 'γ "~0 "~0 + 'β 'γ "~0 "~0 + 'β 'γ "~0 "~0 +
 2 α β γ ;ik ;jm kj mi ;ik ;im kj mj ;jk ;jm ki mi
 α,β,γ=1
 Vα i
 β γ 0 0
 +';jk';im"~ki"~mj dx
 53
 Z [
 1 XN 1 XN v δ δ
 ••• µ a a 'β 'γ "~0 "~0 dx = µ a a α αβ αγ δ δ +
 2 α β γ ;ik ;jm kj mi 2 α β γ d2 ik jm
 α,β,γ=1 α,β,γ=1
 Vα ( )]
 Aβγ 2
 + α δ δ + δ δ − δ δ "~0 "~0
 2 − ij km im kj ik jm kj mi
 2 d + d 2 3 d
 1 XN v XN d − 2
 = 4 µ a a α + µ a a Aβγ5 "~0 "~0 :
 2 α α α d2 α β γ d(d2 + d − 2) α ij ij
 α=1 α,β,γ=1
 Z [
 1 XN 1 XN v δ δ
 ••• µ a a 'β 'γ "~0 "~0 dx = µ a a α αβ αγ δ δ +
 2 α β γ ;ik ;im kj mj 2 α β γ d2 ik im
 α,β,γ=1 α,β,γ=1
 Vα ( )]
 Aβγ 2
 + α δ δ + δ δ − δ δ "~0 "~0
 2 − ii km im ki ik im kj mj
 2 d + d 2 3 d
 1 XN v XN Aβγ
 = 4 µ a a α + µ a a α 5 "~0 "~0 :
 2 α α α d2 α β γ d ij ij
 α=1 α,β,γ=1
 Z [
 1 XN 1 XN v δ δ
 ••• µ a a 'β 'γ "~0 "~0 dx = µ a a α αβ αγ δ δ +
 2 α β γ ;jk ;jm ki mi 2 α β γ d2 jk jm
 α,β,γ=1 α,β,γ=1
 Vα ( )]
 Aβγ 2
 + α δ δ + δ δ − δ δ "~0 "~0
 2 − jj km jm kj jk jm ki mi
 2 d + d 2 3 d
 1 XN v XN Aβγ
 = 4 µ a a α + µ a a α 5 "~0 "~0 :
 2 α α α d2 α β γ d ij ij
 α=1 α,β,γ=1
 Z [
 1 XN 1 XN v δ δ
 ••• µ a a 'β 'γ "~0 "~0 dx = µ a a α αβ αγ δ δ +
 2 α β γ ;jk ;im ki mj 2 α β γ d2 jk im
 α,β,γ=1 α,β,γ=1
 Vα ( )]
 Aβγ 2
 + α δ δ + δ δ − δ δ "~0 "~0
 2 − ji km jm ki jk im ki mj
 2 d + d 2 3 d
 1 XN v XN d − 2
 = 4 µ a a α + µ a a Aβγ5 "~0 "~0 :
 2 α α α d2 α β γ d(d2 + d − 2) α ij ij
 α=1 α,β,γ=1
vậy biểu thức:
 N Z ( )
 1 X ( )
 •• µ a a 'β "~0 + 'β "~0 'γ "~0 + 'γ "~0 dx
 2 α β γ ;ik kj ;jk ki ;im mj ;jm mi
 α,β,γ=1
 2 Vα 3
 XN v XN d2 + 2d − 4
 = 42 µ a a α + µ a a Aβγ5 "~0 "~0 :
 α α α d2 α β γ d(d2 + d − 2) α ij ij
 α=1 α,β,γ=1
 54
 XN Z ( )
 •• β 0 β 0 γ 0
 2 µαaβbγ ';ik"~kj + ';jk"~ki ;ijmn"~mndx
 α,β,γ=1
 Vα
 XN Z
 γ β 0 0
 = 4 µαaβbγ ;ijmn';ik"~kj"~mndx :
 α,β,γ=1
 Vα
 Lưu ý chỉ số chạy lặp lại trong các số hạng giống nhau nên 2 số hạng này có giá
trị như nhau.
 {[ ]
 XN v δ δ 4
 = 4 µ a b α αβ αγ − Aβγ δ ∆ +
 α β γ d2(d + 2) (d + 4)(d + 2)(d − 1)d α ik ijmn
 α,β,γ=1 }
 1
 + Aβγ (δ ∆ + δ ∆ + δ ∆ + δ ∆ ) "~0 "~0 ;
 (d + 4)(d + 2)(d − 1) α ii jmnk ji imnk mi ijnk ni ijmk kj mn
vì sự phức tạp của các số hạng nên ta có thể tách riêng ra để tính:
 ••• 0 0 0 0
 δik∆ijmn"~kj"~mn = (δijδmn + δimδjn + δinδjm) δik"~kj"~mn
 0 0 0 0 0 0 0 0
 =" ~kk"~mm +" ~jm"~jm +" ~jn"~jn = 2~"ij"~ij :
 ••• 0 0 0 0 0 0
 δii∆jmnk"~kj"~mn = d (δjmδnk + δjnδmk + δikδmn)" ~kj"~mn = 2d"~mn"~mn :
 ••• 0 0 0 0 0 0
 δij∆imnk"~kj"~mn = δij (δimδnk + δinδmk + δikδmn)" ~kj"~mn = 2~"mn"~mn :
 ••• 0 0 0 0 0 0
 δmi∆ijnk"~kj"~mn = δmi (δijδnk + δinδjk + δikδjn)" ~kj"~mn = 2~"mn"~mn :
 ••• 0 0 0 0 0 0
 δni∆ijmk"~kj"~mn = δni (δijδmk + δimδjk + δikδjm)" ~kj"~mn = 2~"mn"~mn :
 Vậy biểu thức:
 XN Z
 γ β 0 0
4 µαaβbγ ;ijmn';ik"~kj"~mndx
 α,β,γ=1V
 α {[ ]
 XN v δ δ 4
 = 4 µ a b α αβ αγ − Aβγ 2 +
 α β γ d2(d + 2) (d + 4)(d + 2)(d − 1)d α
 α,β,γ=1 }
 2(d + 3) βγ 0 0
 + − Aα "~ij"~ij
 2 (d + 4)(d + 2)(d 1) 3
 XN v XN d2 + 3d − 4
 = 8 4 µ a b α + µ a b Aβγ 5 "~0 "~0
 α α α d2(d + 2) α β γ α (d + 4)(d + 2)(d − 1)d ij ij
 2α=1 α,β,γ=1 3
 XN v XN Aβγ
 = 8 4 µ a b α + µ a b α 5 "~0 "~0 :
 α α α d2(d + 2) α β γ d(d + 2) ij ij
 α=1 α,β,γ=1
 55
 XN Z
•• β γ 0 0
 2 µαbβbγ ;ijkl ;ijmn"~kl"~mndx
 α,β,γ=1
 Vα
 N {h i
 X v δ δ 8Bβγ − 8(d + 3)Aβγ
= 2 µ b b α αβ αγ + α α ∆ ∆ +
 α β γ d2(d + 2)2 (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6) ijkl ijmn
 α,β,γ=1 }
 Bβγ − 6Aβγ=(d + 4) Aβγ(d3 + 3d + 6) − 2Bβγ(d + 2)
+ α α ∆ijkl + α α ∆¯ ijkl "~0 "~0 :
 (d2 − 1)d(d + 6) ijmn (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6) ijmn kl mn
 Tiếp tục tính từng số hạng như trên ta có:
••• 0 0 0 0
 ∆ijkl∆ijmn"~kl"~mn = (δijδkl + δikδjl + δilδjk)(δijδmn + δimδjn + δinδjm)" ~kl"~mn
= (δiiδklδmn + δklδmn + δklδmn + δklδmn + δmkδnl + δknδlm + δklδmn +
 0 0
 +δnkδml + δlnδkm)" ~kl"~mn
 0 0
= 4~"mn"~mn :
 ( )
••• ijkl 0 0 jkl jkl jkl jkl 0 0
 ∆ijmn"~kl"~mn = δii∆jmn + δij∆imn + δim∆ijn + δin∆ijm "~kl"~mn
 [ ( ) ( )
 kl kl kl kl kl kl
= δii δjj∆ + δjm∆ + δjn∆ + δij δij∆ + δjm∆ + δjn∆ +
 ( mn jn )jm ( mn in )]im
 kl kl kl kl kl kl 0 0
+ δim δij∆jn + δjj∆in + δjn∆ij + δin δij∆jm + δjj∆im + δjm∆ij "~kl"~mn
= fδii [δjj (δkmδln + δknδlm) + δjm (δjkδln + δknδjl) + δjn (δjkδlm + δkmδjl)] +
+ δij [δij (δkmδln + δknδlm) + δjm (δikδln + δinδkl) + δjn (δikδlm + δimδkl)]
+ δim [δij (δjkδln + δjlδkn) + δjj (δikδln + δilδkn) + δjn (δikδjl + δilδjk)]
 g 0 0
+ δin [δij (δjkδml + δjlδkm) + δjj (δikδml + δilδkm) + δjm (δikδjl + δilδjk)] "~kl"~mn
 0 0
= (2d + 4)(d + 3)~"mn"~mn :
 56
 (
 ijkl 0 0 kl jl jk il ik
 ••• ∆¯ "~ "~ = δij∆^ + δik∆^ + δil∆^ + δjk∆^ + δjl∆^
 ijmn kl mn ijmn ijmn ijmn ijmn ) ijmn
 ^ ij 0 0
 +δkl∆ijmn "~kl"~mn :
 (
 •••• ^ kl 0 0 kli lj kj
 δij∆ijmn"~kl"~mn = δij ∆jmn + δki∆mn + δkiδljδmn + δli∆mn +
 0 0
 +δliδkjδmn)" ~ "~
 ( kl mn
 li li li lj kj
 = δij δkj∆mn + δkm∆jn + δkn∆jm + δki∆mn + δkiδljδmn + δli∆mn +
 0 0
 +δliδkjδmn)" ~kl"~mn
 = δij [δkj (δmlδni + δmiδnl) + δkm (δjlδni + δijδln) + δkn (δjlδmi + δijδml)
 0 0
 +δki (δmlδnj + δmjδln) + δkiδljδmn + δli (δmkδnj + δmjδkn) + δliδkjδmn]" ~kl"~mn
 = (2d + 8)~"0 "~0 :
 mn mn (
 •••• ^ jl 0 0 jli lj jj
 δik∆ijmn"~kl"~mn = δik ∆jmn + δij∆mn + δijδljδmn + δli∆mn +
 0 0
 +δliδjjδmn)" ~ "~
 ( kl mn
 li li li lj jj
 = δik δjj∆mn + δjm∆jn + δjn∆jm + δij∆mn + δijδljδmn + δli∆mn +
 0 0
 +δliδjjδmn)" ~kl"~mn
 = δik [δjj (δmlδni + δmiδnl) + δjm (δjlδni + δijδln) + δjn (δjlδmi + δijδml)
 0 0
 +δij (δmlδnj + δmjδln) + δijδljδmn + δli (δmjδnj + δmjδnj) + δliδjjδmn]" ~kl"~mn
 0 0
 = (2d + 6)~"mn"~mn :
 •••• ^ jk 0 0 ^ il 0 0 ^ ik 0 0 ^ jl 0 0
 δil∆ijmn"~kl"~mn = δjk∆ijmn"~kl"~mn = δjl∆ijmn"~kl"~mn = δik∆ijmn"~kl"~mn
 0 0
 = (2d + 6)~"mn"~mn :
 •••• ^ ij 0 0
 δkl∆ijmn"~kl"~mn = 0 :
Vậy giá trị:
••• ¯ ijkl 0 0 0 0 0 0
 ∆ijmn"~kl"~mn = [(2d + 8) + 4 (2d + 6)]" ~mn"~mn = (10d + 32)" ~mn"~mn :
 Biểu thức:
 XN Z
 β γ 0 0
2 µαbβbγ ;ijkl ;ijmn"~kl"~mndx
 α,β,γ=1
 Vα
 N {h i
 X v δ δ 8Bβγ − 8(d + 3)Aβγ
 = 2 µ b b α αβ αγ + α α 4+
 α β γ d2(d + 2)2 (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)
 α,β,γ=1
 Bβγ − 6Aβγ=(d + 4)
 + α α (2d + 4)(d + 3) +
 2 −
 (d 1)d(d + 6) }
 Aβγ(d3 + 3d + 6) − 2Bβγ(d + 2)
 + α α (10d + 32) "~0 "~0 :
 (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6) kl mn
 57
 Biểu thức năng lượng được viết lại:
 Z Z ( ) Z
 XN 2 XN
 W = " : C : "dx = k − µ " " dx + 2 µ " " dx
 " α d α ii kk α ij ij
 V α=1V α=1V
 ( ) α α
 XN 2 Aβγ
 = 2 k − µ (a + b )(a + b ) α "~0 "~0 + 2µ "~0 "~0 +
 α d α β β γ γ d2 + d − 2 ij ij V ij ij
 α,β,γ=1 "
 4 XN 8 XN XN v
 + a µ v "~0 "~0 + b µ v "~0 "~0 + 2 µ a a α +
 d α α α ij ij d(d + 2) α α α ij ij α α α d2
 α=1 α=13 α=1
 XN d2 + 2d − 4 XN v
 + µ a a Aβγ5 "~0 "~0 + 2 µ b b α +
 α β γ d(d2 + d − 2) α ij ij α α α d2(d + 2)2
 α,β,γ2 =1 α=1 3
 XN v XN Aβγ
 + 8 4 µ a b α + µ a b α 5 "~0 "~0 +
 α α α d2(d + 2) α β γ d(d + 2) ij ij
 α=1 α,β,γ=1
 [
 XN 8Bβγ − 8(d + 3)Aβγ
 + 2 µ b b 4 α α +
 α β γ (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6)
 α,β,γ=1
 Bβγ − 6Aβγ=(d + 4)
 + α α (2d + 4)(d + 3)+
 2 −
 (d 1)d(d + 6) ]
 Aβγ(d3 + 3d + 6) − 2Bβγ(d + 2)
 + α α (10d + 32) "~0 "~0 : (3.8)
 (d2 − 1)d(d + 2)(d + 4)(d + 6) ij ij
 Để thuận lợi cho việc tính toán về sau ta tách biểu thức năng lượng dưới dạng:
 [
 W XN 2 4b
 " = (I) + (II)Aβγ + (III)Bβγ = µ + µ v a + α +
 2~"0 "~0 α α V α α d α d(d + 2)
 ij ij α=1
 ( ) # [ ( )
 1 2b 2 XN µ a a d2 + 2d − 4 µ a b
 + a + α + Aβγ α β γ + 4 α β γ −
 d2 α d + 2 α 2d d2 + d − 2 d(d + 2)
 (α,β,γ=1 ) 3
 2
 k − µ (a + b )(a + b )
 µ b b α d α β β γ γ 7
 − 2 α β γ + 7 +
 d(d + 2)(d − 1) d2 + d − 2 5
 XN µ b b
 + 2 Bβγ α β γ : (3.9)
 α (d + 2)(d − 1)
 α,β,γ=1
 Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng (ở đây là tìm cực tiểu) ta dùng phương
pháp nhân tử Lagrange là một phương pháp tối ưu hàm số có ràng buộc:
 58
 1 W XN XN
 L(a ; b ; λ, κ) = " − λ a v − κ b v ; (3.10)
 α α 2 2~"0 "~0 α α α α
 ij ij α=1 α=1
với λ, κ là các nhân tử Lagrange đưa vào để tìm cực trị.
 ( " ( ) #
 1 XN 2 4b 1 2b 2
L(a ; b ; λ, κ) = µ + µ v a + α + a + α +
 α α 2 V α α d α d(d + 2) d2 α d + 2
 α=1
 [ ( )
 XN µ a a d2 + 2d − 4 µ a b µ b b
 + Aβγ α β γ + 4 α β γ − 2 α β γ +
 α 2d d2 + d − 2 d(d + 2) d(d + 2)(d − 1)
 (α,β,γ=1 ) 3 9
 − 2 >
 kα µα (aβ + bβ)(aγ + bγ)7 XN =
 d 7 βγ µαbβbγ −
 + 5 + 2 Bα
 d2 + d − 2 (d + 2)(d − 1)>
 α,β,γ=1 ;
 XN XN
 − λ vαaα − κ vαbα :
 α=1 α=1
 Để tìm cực trị, đạo hàm riêng theo các biến aα; bα; λ, κ các bước tiến hành như
sau:
 @L
 = fα(a; b) − vαλ = 0; α = 1;:::;N (3.11)
 @aα
 @L
 = gα(a; b) − vακ = 0; α = 1;:::;N (3.12)
 @bα
 @L XN
 = v a = 0; α = 1;:::;N (3.13)
 @λ α α
 α=1
 @L XN
 = v b = 0; α = 1;:::;N (3.14)
 @κ α α
 α=1
 −1 !
 Từ (3.11) nhân với µα rồi lấy tổng theo α từ 1 N kết hợp với điều kiện ràng
buộc (3.13):
 − −1 )
 F (a; b) µR λ = 0 = λ = µRF (a; b) ; (3.15)
 −1 !
tương tự từ (3.12) nhân với µα rồi lấy tổng theo α từ 1 N kết hợp với điều
kiện ràng buộc (3.14):
 − −1 )
 G(a; b) µR κ = 0 = κ = µRG(a; b) ; (3.16)
 59
trong đó µR là giá trị trung bình cộng điều hòa Reuss. Có dạng:
 !−1
 XN v
 µ = α : (3.17)
 R µ
 α=1 α
 Đi vào các bước tính cụ thể:
 [ ( )] [ ( )
 XN 2 −
 @L 1 1 2bδ δγ µαaγ d + 2d 4
 = µδvδ + 2 aδ + + Aα 2 +
 @aδ d d d + 2 2d d + d − 2
 (α,γ=1 ) 3
 2
 k − µ (a + b )
 2µ b α d α γ γ 7
 + α γ 7 − λv = 0
 d(d + 2) d2 + d − 2 5 δ
 [ ( )] [(
 1 1 2b XN 1
 µ v + a + δ + Aδγ k +
 δ δ d d2 δ d + 2 α (d + 2)(d − 1) α
 α,γ=1 )
 1 (d − 2)(d + 4)
 + − µα aγ+
 ( 2d (d + 2)()d ]1)
 1 d − 2
 + k + 2µ b − λv = 0 (3.18)
 (d + 2)(d − 1) α d(d + 2)(d − 1) α γ δ
 [ ( )]
 @L 2 2 2b
 =µ v + a + δ +
 @b δ δ d(d + 2) d2(d + 2) δ d + 2
 δ 2 ( ) 3
 2
 N k − µ (a + b )
 X 6 2µ a 2µ b α d α γ γ 7
 + Aδγ 6 α γ − α γ 7 +
 α 4d(d + 2) d(d + 2)(d − 1) d2 + d − 2 5
 α,γ=1
 XN 2µ b
 + Bδγ α γ − κv = 0
 α (d + 2)(d − 1) δ
 α,γ=1
 [ ]
 1 1 2
 2µ v + a + b +
 δ δ d(d + 2) d2(d + 2) δ d2(d + 2)2 δ
 [( )
 XN 1 2(d − 2)
 + Aδγ k + µ a
 α d(d + 2)(d − 1) α d(d + 2)(d − 1) α γ
 α,γ( =1 ) ]
 1 4
 + k + µ b
 d(d + 2)(d − 1) α d(d + 2)(d − 1) α γ
 XN µ b
 + 2 Bδγ α γ − κv = 0 : (3.19)
 α (d + 2)(d − 1) δ
 α,γ=1
 60
 −1 !
 Từ (3.18) và (3.19) nhân với µδ rồi lấy tổng theo δ từ 1 N ta được:
 {[ ]
1 XN 1 (d − 2)(d + 4)
 + Aδγ k + µ a µ−1
d α (d + 2)(d − 1) α 2d(d + 2)(d − 1) α γ δ
 α,δγ=1
 [ ] }
 1 2(d − 2) 2 XN
 + k + b µ−1 + b v − λµ−1 = 0
 (d + 2)(d − 1) α d(d + 2)(d − 1) γ δ d2(d + 2) δ δ R
 δ=1
 8
 < [(
 1 2 XN XN 1
λ = µ + b v + Aδγ k +
 R :d d2(d + 2) δ δ α (d + 2)(d − 1) α
 ) δ=1 (α,δγ=1 ) ]}
 (d − 2)(d + 4) 1 2(d − 2)
 + µ a µ−1 + k + µ b µ−1
 2d(d + 2)(d − 1) α γ δ (d + 2)(d − 1) α d(d + 2)(d − 1) α γ δ
 (3.20)
 [ ( )] [
 XN 2v 2 2 XN 2
 δ + a v + b v + Aδγ µ a
 d(d + 2) d2(d + 2) δ δ d + 2 δ δ α d(d + 2) α γ
 δ=1 α,δ,γ=1 ]
 2 (dk − 2µ )(a + b )
 − µ b + α α γ γ µ−1 +
 d(d + 2)(d − 1) α γ d(d + 2)(d − 1) δ
 XN µ b µ−1
 + 2 Bδγ α γ δ − κµ−1 = 0
 α (d + 2)(d − 1) R
 α,γ=1
 8
 < [( )
 XN 1 2(d − 2)
 κ = µ Aδγ k + µ a µ−1 +
 R : α (d + 2)(d − 1) α d(d + 2)(d − 1) α γ δ
 ( α,δ,γ=1 ) ]
 1 4)
 + k − µ b µ−1 +
 − α − α γ δ
 (d + 2)(d 1) d(d + 2)(d 1) )
 XN µ b µ−1 2 XN 2
 +2 Bδγ α γ δ + + a v : (3.21)
 α (d + 2)(d − 1) d(d + 2) d2(d + 2) δ δ
 α,γ=1 δ=1
 61
 Thay thế λ and κ từ các phương trình (3.20),(3.21) vào (3.18) và (3.19), ta được:
 0 1
 ( )
 v 2v XN v µ 2b
 δ (µ − µ ) + δ @µ b − b v µ A + δ δ a + δ +
 d δ R d2(d + 2) δ δ β β R d2 δ d + 2
 0 1 β=1
 {[ ]
 XN XN −
 @ δγ − vδµR βγA 1 (d 2)(d + 4)
 Aα Aα kα + µα aγ
 µβ (d + 2)(d − 1) 2d(d + 2)(d − 1)
 α,γ[=1 β=1 ] }
 1 2(d − 2)
 + k + µ b = 0 : (3.22)
 (d + 2)(d − 1) α 2d(d + 2)(d − 1) α γ
 0 1
 2v 2v XN 4v µ b
 δ (µ − µ ) + δ @µ a − a v µ A + δ δ δ +
 d(d + 2) δ R d2(d + 2) δ δ β β R d2(d + 2)2
 0 1 β=1
 {[ ]
 XN XN −
 @ δγ − vδµR βγA 1 2(d 2))
 Aα Aα kα + µα aγ
 µβ (d + 2)(d − 1) d(d + 2)(d − 1)
 α,γ[=1 β=1 ] }
 1 − 4
 + − kα − µα bγ
 (d + 2)(d 1) 0d(d + 2)(d 1) 1
 XN XN
 µαbγ @ δγ − vδµR βγA
 +2 Bα Bα = 0 : (3.23)
 (d + 2)(d − 1) µβ
 α,γ=1 β=1
 Viết dưới dạng tổng quát:
 vµ + Aµ · a = 0 ; (3.24)
với các véc tơ vµ; a và ma trận Aµ nằm trong miền không gian 2N chiều:
 f ··· ··· gT
 a = an1; ; aN ; b1; ; bN ; (3.25)
 v1 vN
 vµ = (µ1 − µR); ··· ; (µN − µR) ;
 d d }
 2v (µ − µ ) 2v (µ − µ ) T
 ; 1 1 R ; ··· ; N N R ; (3.26)
 n o d(d + 2) d(d + 2)
 A Aµ ···
 µ = αβ ; α; β = 1; ; 2N ; (3.27)
 62
trong đó (các hệ số α; β = 1; :::; N; αb = N + α; βb = N + β)
 ! [
 v XN XN k
 Aµ = α µ δ + Aαβ − v µ µ−1Aδβ γ +
 αβ d2 α αβ γ α R δ γ (d + 2)(d − 1)
 γ=1 δ=1 ]
 µγ(d − 2)(d + 4)
 + − ;
 " 2d!(d + 2)(d 1)
 XN XN
 µ 4vα αβ −1 δβ
 A = µαδαβ + A − vαµR µ A :
 αbβb d2(d + 2)2 γ δ γ
 ( γ=1 ) δ=1
 kγ − 4µγ
 : − − +
 (d + 2)(d 1) d(d + 2)(d 1) ! #
 XN 2µ
 + Bαβ − v µ µ−1Bδβ γ ; (3.28)
 γ α R δ γ (d + 2)(d − 1)
 δ=1
 2vα
 A b = Ab = (µ δ − µ v ) +
 αβ αβ d2(d + 2) α αβ R β
 ! [ ]
 XN XN k µ 2(d − 2)
 + Aαβ − v µ µ−1Aδβ γ + γ :
 γ α R δ γ (d + 2)(d − 1) d(d + 2)(d − 1)
 γ=1 δ=1
 Từ phương trình (3.24), tìm được lời giải cho aα; bα:
 −A−1 ·
 a = µ vµ : (3.29)
 Biểu thức năng lượng (3.9) có thể viết dưới dạng tổng quát:
 c
 W = µV + G · a + a · G · a : (3.30)
 Đạo hàm theo a:
 1
 G + 2G · a = 0 =) G · a = − G : (3.31)
 2
 Vậy
 1
 Wc = µ + G · a ; (3.32)
 V 2
 hay [ ]
 W XN a 2b
 " = µ + α + α (3.33)
 2~"0 "~0 V d d(d + 2)
 ij ij α=1
 Biểu thức năng lượng (2.1) kết hợp với (3.24) và (3.33) được viết gọn lại như
 63
sau:
 Z " ( )#
 1 XN 2b
 W = " : C : "dx = µ + v µ a + α 2~"0 "~0
 " V d α α α d + 2 ij ij
 α=1
 V ( )
 0 · 0 0 − 0 · A−1 · 0 0
 = (µV + v µ a) 2~"ij"~ij = µV v µ µ vµ 2~"ij"~ij ; (3.34)
trong đó:
 { }
 v µ v µ 2v µ 2v µ T
 v0 = 1 1 ; ··· ; N N ; 1 1 ; ··· ; N N : (3.35)
 µ d d d(d + 2) d(d + 2)
 Từ phương trình (2.1),(3.34) cuối cùng tác giả xây dựng được biên trên mô đun
đàn hồi trượt vĩ mô cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần:
 eff ≤ U f g f βγ βγg − 0 · A−1 ·
 µ MAB( kα; µα; vα ; Aα ;Bα ) = µV vµ µ vµ : (3.36)
3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu
 đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng
 lượng bù cực tiểu
 Để xây dựng giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng hướng
nhiều thành phần dựa vào nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (2.23), với σ0 là ứng
suất cho trước và trường ứng suất σ phải thỏa mãn phương trình cân bằng (2.24).
 Để tìm được đánh giá dưới tốt nhất µeff trong (2.23) ta lựa chọn trường khả dĩ:
 XN [ ( )
 0 α 0 α 0 − Iα 0 −
 σij =σ ~ij + aα ';ikσ~kj + ';jkσ~ki σ~ij
 α=1 ]
 − α 0 α 0
 (aα + bα)δij';klσ~kl + bα ;ijklσ~kl ; i; j = 1; :::; d ; (3.37)
 0 0 0
trong đó σij =σ ~ij (~σii = 0) là ứng suất lệch cho trước; aα; bα các hệ số tự do
 hσi = σ0 Iα α
chịu sự ràng buộc , là8 hàm chỉ số hình học pha :
 <
 1 ; x 2 Vα
 Iα
 (x) = : : (3.38)
 0 ; x 2= Vα
 Trước tiên kiểm tra trường khả dĩ thỏa mãn điều kiện cân bằng:
 XN [ ( ) ]
 α 0 α 0 − α 0 α 0
 σij;j = aα ';ijkσ~kj + ';jjkσ~ki (aα + bα)δij';jklσ~kl + bα ;ijjklσ~kl
 α=1
 XN [ ]
 α 0 − α 0 α 0
 = aα';ijkσ~kj (aα + bα)';iklσ~kl + bα';iklσ~kl = 0
 α=1
 64
 4 α 2 α
 (Lưu ý tính chất: r (x) = r ' (x) = δαβ ; x 2 Vβ ).
 Kiểm tra điều kiện trung bình: hσi = σ0
 Z
 XN [ ( ) ]
 α 0 α 0 − Iα 0 − α 0 α 0
 aα ';ikσ~kj + ';jkσ~ki σ~ij (aα + bα)δij';klσ~kl + bα ;ijklσ~kl dx
 V α=1 0 1
 Z Z Z
 XN B C
 0 α 0 α − 0 Iα
 = aα @σ~kj ';ikdx +σ ~ki ';jkdx σ~ij dxA
 α,β=1
 Vβ Vβ Vβ
 XN Z XN Z
 − 0 α 0 α
 (aα + bα) δijσ~kl ';kldx + bασ~kl ;ijkldx = 0
 α,β=1 α,β=1
 Vβ Vβ
 N ( )
 X v v
 =) a σ~0 β δ δ +σ ~0 β δ δ − σ~0 v δ −
 α kj d αβ ik ki d αβ jk ij β αβ
 α,β=1
 XN v XN v δ
 (a + b ) δ σ~0 β δ δ + b σ~0 α αβ (δ δ + δ δ + δ δ ) = 0
 α α ij kl d αβ kl α kl d(d + 2) ij kl ik jl il jk
 α,β=1 α,β=1
 [( ) ]
 XN 2 2v b
 () − 1 v a + α α σ~0 = 0 :
 d α α d(d + 2) ij
 α=1
 Ta lại nhận được điều kiện ràng buộc (3.3).
 XN
 vαaα = 0 ;
 α=1
 XN
 vαbα = 0 :
 α=1
 Bắt đầu triển khai biểu thức (2.23):
 Z [ ]−
 XN 2 1
 W = σ σ k δ δ + µ (δ δ + δ δ − δ δ ) dx
 σ ij kl α ij kl α ik jl il jk d ij kl
 α=1
 Vα
 Z [ ( )]
 XN 2
 = σ σ k + µ σ σ + σ σ − σ σ dx
 ii kk α α il il jl jl d ii kk
 α=1
 Vα
 Z [ ( ) ]
 XN 2
 = σ σ k − µ + 2µ σ σ dx :
 ii kk α d α α ij ij
 α=1
 Vα
 ( )
 −1 1 1 1 − 1 1
Wσ = σ : C : σ = 2 σiiσkk+ σijσij = 2 σiiσkk+ σijσij
 d kα 2µα d kα 2dµα 2µα
 65
 1
trong đó : σ = σ − σ δ
 ij ij d kk ij
 ( ) Z Z
 XN 1 1 XN 1
 = − σ σ dx + σ σ dx ; (3.39)
 d2k 2dµ ii kk 2µ ij ij
 α=1 α α α=1 α
 Vα Vα
tính các số hạng:
 XN [ ( ) ]
 α 0 α 0 − Iα 0 − α 0 α 0
 σii = aα ';ikσ~ki + ';ikσ~ki σ~ii (aα + bα)δii';klσ~kl + bα ;iiklσ~kl
 α=1
 XN [ ( ) ]
 α 0 α 0 − α 0 α 0
 = aα ';ikσ~ki + ';ikσ~ki d(aα + bα)';klσ~kl + bα';klσ~kl
 α=1
 XN
 − − 0 0
 = [(2 d)aα + (1 d)bα]σ ~ijσ~ij :
 α=1
 Công thức (3.39) được viết lại:
 8
 ( )
 XN Z < XN
 1 − 1 0 0 β γ