Luận án Nghiên cứu ảnh hưởng của một số tham số động học, động lực học đến độ bền kết cấu thân và cánh tên lửa hành trình đối hải

x y x y xy 
 Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị, [36]: 
 u  v  u  v
 x ;  y ;  xy (3.11) 
 x  y  y  x
 và đặt u, v từ phương trình (3.2), nhận được 
 
  () xy 
 x x 1 2 3 2
 
  () xy 
 y y 4 5 6 6
 
  ()() x y x y 
 xy yx1 2 3 4 5 6 3 5
 57 
 m T T
 do đó: (x , y )  x  y  xy  2 6 3 5 (3.12) 
 hay: 
 
  x 0 1 0 0 0 0
 T
 m  0 0 0 0 0 1 (3.13) 
 (x , y )  y 1 2 3 4 5 6 
  0 0 1 0 1 0
 xy
 mm 
 hoặc có thể biểu diễn như sau:  (,)xy C  (3.14) 
 1
 m m m me
 sau đó nhận được: (,)xy CA  (3.15) 
 m m me
 biểu thức (15) có thể được viết như sau: (,)xy B  (3.16) 
 m m m 1
 Trong đó: BCA (3.17) 
 nhận được ma trận biến dạng màng như sau 
 y y0 y y 0 y y 0
 1 2 3 3 1 1 2
 Bm 0 x x 0 x x 0 x x (3.18) 
 2 3 2 1 3 2 1
 xxyyxxyyxxyy322313312112 
 m m me
 4. Quan hệ ứng suất  (,)xy theo biến dạng (,)xy và chuyển vị nút   
 T
 mm   A  (3.19) 
 (,)(,)x y x y xy x y 
 m m me
 Hay (,)xy AB  (3.20) 
 trong đó [A] - ma trận đàn hồi của trạng thái màng 
 m
 5. Biểu diễn quan hệ ứng suất  (,)xy với tải trọng nút tĩnh tương đương, 
quan hệ lực nút với chuyển vị nút và nhận được ma trận độ cứng phần tử [Kme] 
 Phiến hàm thế năng toàn phần được xác định theo công thức [36]: 
 m1 mTT m m m
  (,)(,)(,)(,)x y  x yd() vol F x y  x y  ds (3.21) 
 2 
 v S
 Từ (3.21) có thể nhận được quan hệ giữa tải trọng nút F me và chuyển vị nút 
  me và được biểu diễn trong phương trình sau 
 me mT m me
 F B  A B d() vol   (3.22) 
 v
 Nhận thấy rằng d() vol chính bằng diện tích tam giác nhân với chiều dày 
phần tử t, do đó nhận được 
 T
 Fme B m  A B m t  me (3.23) 
  
 58 
 10x1 y 1 a 11 a 12
 trong đó: 2 det 1x y ; A a a 0 
 2 2 21 22
 1x3 y 3 0 0 a 33
 me mT m
 Do đó ma trận độ cứng nhận được: K B  A B t (3.24) 
 m
 Tính AB nhận được 
 ayy112()()()()()() 3 axx 123 2 ayyaxxayy 113 1 121 3 111 2 axx 122 1
 m 1 
AB ayyaxxayyaxxayyaxx()()()()()() 
 2 212 3 223 2 213 1 221 3 211 2 222 1
 axx333()()()()()() 2 ayyaxxayyaxxayy 332 3 331 3 333 1 332 1 331 2
 (3.25) 
 Ma trận có kích thước (3x6), và ma trận chuyển vị nhận được 
 y2 y 30 x 3 x 2
 0 x x y y
 3 2 2 3
 T
 m 1 y3 y 10 x 1 x 3
 B 
 2 0 x x y y (3.26) 
 1 3 3 1
 y1 y 20 x 2 x 1
 0 x2 x 1 y 1 y 2
 m T
 Ma trận B có kích thước (6x3). 
 Cuối cùng, nhận được ma trận độ cứng phần tử (3.27): 
 m m m m m m
 k11 k 21 k 31 k 41 k 51 k 61
 m m m m m m
 k k k k k k
 21 22 32 42 52 62
 m m m m m m
 me 1 k31 k 32 k 33 k 43 k 53 k 63
 K 
 4 km k m k m k m k m k m
 41 42 43 44 54 64 (3.27) 
 m m m m m m
 k51 k 52 k 53 k 54 k 55 k 65
 m m m m m m
 k61 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66
 m 22
 Trong đó: k11 a 11()() y 2 y 3 a 33 x 3 x 2 
 m
 k21 axxyyaxxyy 213( 2 )( 2 3 ) 333 ( 2 )( 2 3 ) 
 m 22
 k22 a 22()() x 3 x 2 a 33 y 2 y 3 
 m
 k31 ayyyyaxxxx 112( 3 )( 3 1 ) 331 ( 33 )( 2 ) 
 m
 k32 axxyyaxxyy 123( 2 )( 3 1 ) 331 ( 3 )( 2 3 ) 
 m 22
 k33 a 11()() y 3 y 1 a 33 x 1 x 3 
 59 
 m
 k41 axxyyaxxyy 211( 3 )( 2 3 ) 333 ( 2 )( 3 1 ) 
 m
 k42 axxxx 221( 33 )( 2 ) ayyyy 332 ( 3 )( 3 1 ) 
 m
 k43 axxyyaxxyy 121( 3 )( 3 1 ) 331 ( 3 )( 3 1 ) 
 m 22
 k44 a 12()() x 1 x 3 a 33 y 3 y 1 
 m
 k51 ayyyy 111( 2 )( 2 3 ) axxxx 332 ( 13 )( 2 ) 
 m
 k52 axxyy 123( 21 )( 2 ) axxyy 332 ( 1 )( 2 3 ) 
 m
 k53 ayyyyaxxxx 111( 2 )( 3 1 ) 331 ( 32 )( 1 ) 
 m
 k54 axxyy 121( 31 )( 2 ) axxyy 332 ( 1 )( 3 1 ) 
 m 22
 k55 a 11()() y 1 y 2 a 33 x 2 x 1 
 m
 k61 axxyyaxxyy 212( 1 )( 2 3 ) 333 ( 21 )( 2 ) 
 m
 k62 axxxx 222( 13 )( 2 ) ayyyy 331 ( 2 )( 2 3 ) 
 m
 k63 axxyyaxxyy 122( 1 )( 3 1 ) 331 ( 31 )( 2 ) 
 m
 k64 axxxxayyyy 221( 32 )( 1 ) 331 ( 2 )( 3 1 ) 
 m
 k65 axxyy 212( 11 )( 2 ) axxyy 332 ( 11 )( 2 ) 
 m 22
 k66 a 22()() x 2 x 1 a 33 y 1 y 2 
 me mm
 Ma trận độ cứng [K ] là ma trận đối xứng với các thành phần kkij ji . 
 6. Thành lập ma trận chuyển vị ứng suất [Hme] 
 Quan hệ ứng suất - chuyển vị được cho trong phương trình 
 m m me
  H (3.28) 
 (,)xy 
 Trong đó: [Hm] = [Am][Bm] (3.29) 
 m
 Từ (3.28) có thể xác định được ứng suất  (,)xytại điểm bất kỳ (x,y) trong 
phần tử. Các ứng suất nhận được có chứa các số hạng phụ thuộc theo tọa độ x và y 
cho nên để nhận được ứng suất tại một điểm nào đó trong phần tử các tọa độ của 
điểm đó phải được đặt vào trong ma trận [Hm]. Trong trường hợp phần tử tam giác 
lấy tâm tam giác làm tọa độ của x, y tức là ứng suất nhận được tại tâm của tam giác. 
 3.2.2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử tam giác phẳng chịu uốn [Kue] 
 Chuyển vị và lực tác dụng lên phần tử tam giác được chỉ ra trên hình 3.3. Tại 
mỗi nút của phần tử có một độ võng w và 2 góc xoay x và y theo các trục x và y 
 60 
tương ứng được xem là các bậc tự do của mỗi nút. Các góc xoay này chính là đạo 
hàm của hàm độ võng w theo y và x. Các chuyển vị của mỗi nút là 
 ww 
 wi ,  xi và yi 
 yx
 i i
 Như vậy, 9 thành phần chuyển vị phải được xét cho mỗi phần tử có 9 bậc tự 
do, được viết dưới dạng véctơ sau đây, [29]: 
 ue T T
  w1 x 1  y 1 w 2  x 2  y 2 w 3  x 3  y 3 (3.30) 
 1. Chọn hàm chuyển vị w(x,y) và xác định véctơ chuyển vị  (,)xy tại 
điểm bất kỳ của phần tử. 
 Vì phần tử tam giác có 9 bậc tự do nên hàm độ võng w(x,y) được xấp xỉ bằng 
một đa thức chứa 9 tham số. Để đảm bảo tính đẳng hướng hình học hàm đa thức 
xấp xỉ của độ võng có dạng sau, [29]: 
w(xy , ) xyx 2 xyy 2 x 3 ( xyxy 2 2 ) y 3
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3.31) 
hay được viết dưới dạng ma trận sau 
 2 2 3 2 2 3
 w(xy , ) 1 xyxxyyx ( xyxy ) y   Pxy ( , )  3.32) 
 TT
 trong đó:   
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 Đến đây, chúng ta kiểm tra tính tương thích của phần tử đang xét với hàm độ 
võng w(x,y) được chọn trong (3.31). Điều này có nghĩa là cần xem xét chuyển vị và 
các đạo hàm của nó trên các cạnh biên có xác định một cách duy nhất theo các 
chuyển vị nút (bậc tự do) không. 
 Giả sử xét cạnh biên ij là cạnh biên chung giữa hai phần tử A và B kề sát nhau 
như được chỉ ra trên hình 3.3. Trong hệ tọa độ địa phương cạnh ij có phương trình 
y = 0. Chuyển vị theo phương z hay độ võng theo cạnh này là 
 23
 w (w) x x x (3.33) 
 ijy 0 1 2 4 7 
 w
 Độ dốc theo phương x hay dọc theo cạnh này là 
 x
 ww 2
 2 23 4xx 7 (3.34) 
 xx
 ij y 0
 61 
 Vì nút i và j là nút chung của cả hai phần tử A và B nên các bậc tự do hay các 
chuyển vị nút của 2 nút này cũng là chung đối với hai phần tử có cạnh biên chung ij 
 w w
này. Tuy nhiên, nếu để ý tới 4 chuyển vị nút wi , , wj , , ta có thể thấy 
 x i x j
rằng bằng phương pháp đồng nhất 4 bậc tự do này với giá trị hàm w và giá trị đạo 
 w
hàm tại hai điểm nút i (x = 0) và j (y = a), tức là chúng có 4 điều kiện sau 
 x
 wi wij tai x 0
 ww 
 tai x 0
 xx i ij
 w w tai xa
 j ij
 ww 
 tai xa
 xx j ij
thì chúng ta hoàn toàn có thể xác định được 4 tham số 1 , 2 , 4 và 7 một cách 
 w
duy nhất theo 4 bậc tự do trên. Do đó, w và hoàn toàn xác định trên cạnh biên 
 x
ij và tính liên tục của chuyển vị và độ dốc dọc theo cạnh này được bảo đảm khi 
chuyển từ phần tử A sang phần tử B. 
 w
 Độ dốc theo phương y hay dọc theo cạnh biên chung ij. Thật vậy, trên 
 y
cạnh biên ij (y=0), có 
 ww 2
 3 5xx 8 (3.35) 
 yy
 ij y 0
 Có thể thấy rằng để xác định dọc theo cạnh biên chung ij, ta cần xác định 
được 3 tham số 3 , 5 và 8 . Nhưng chúng ta chỉ có được hai phương trình từ việc 
thay thế vào hai điều kiện dưới đây: 
 ww ww 
 tại x = 0; tại x = a 
 yy yy
 i ij j ij
 62 
 Do đó độ dốc vuông góc với biên ij là không xác định (hình 3.3). Độ dốc 
này tại các nút i và j là như nhau đối với cả hai phần tử, nhưng có thể là khác nhau 
tại các điểm khác dọc theo cạnh biên ij. Do vậy, phần tử này là không tương thích. 
Tuy nhiên, phần tử này vẫn có thể áp dụng được vì trên thực tế người ta thường sử 
dụng một loại phần tử tấm phẳng chỉ đòi hỏi sự liên tục của chuyển vị và góc xoay 
 w
tại các nút. Do đó các bậc tự do của mỗi nút sẽ là giá trị của w, và tại nút 
 x
đó. 
 chuyển vị dọc theo ij góc xoay dọc theo ij 
 Hình 3.3. Tính tương thích dọc cạnh biên chung giữa hai phần tử kề nhau 
 u
 2. Biểu diễn chuyển vị (,)xy tại điểm bất kỳ bên trong phần tử theo chuyển 
 w
 ue
vị nút   y
 Đạo hàm (3.32) theo x và y nhận được véctơ chuyển vị, [29]: 
 w 1xyx2 xyy 2 x 3 ( xyxy 2 2 ) y 3
 22
  x 0 0 1 0x 2 y 0 ( x 2 xy ) 3 y  (3.36) 
 22
  y 0 1 0 2x y 0 3 x (2 xy y ) 0
  
 Thay các tọa độ nút: nút 1 (0,0); nút 2 (x2 , 0); nút 3 (x3 , y3) nhận được 
 ue n
   A  (3.37) 
 n
 trong đó: , A - véctơ hệ số chưa biết và ma trận hằng số 
 63 
 1 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 1 0 0 0 0 0 0
 0 1 0 0 0 0 0 0 0
 1x 0 x23 0 0 x 0 0
 2 2 2
 An 0 0 1 0 x 0 0 x2 0 (3.38) 
 22
 2
 0 1 0 2xx 0 0 3 0 0
 22
 1xy x2 xyy 2 x 3 ( xyxy 2 2 ) y 3
 33 3 333 3 3333 3
 0 0 1 0x 2 y 0 ( x22 2 x y ) 3 y
 3 3 3 3 3 3
 0 1 0 2x y 0 3 x22 (2 x y y ) 0
 3 3 3 3 3 3
Giải phương trình (37) nhận được 
 u 1 ue
  A  (3.39) 
 u 1
 Ma trận A nhận được nhờ phần mềm Maple như sau: 
 1 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 1 0 0 0 0 0 0
 0 1 0 0 0 0 0 0 0
 3 2 3 1
 220 0 0 0 0
 x2 x 2 x 2 x 2
 1 1 1 1 1 1 1
 a51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 5600 a 59
 1 
 u 
 A 1 1 1 1 1 131 1
 a61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 662 a 69
 yy33
 2 1 2 1
 30 2 3 0 2 0 0 0
 x2 x 2 x 2 x 2
 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 100 a 1
 81 82 83 84 85 86 89
 1 1 1 1 1 121 1
 a a a a a a a
 91 92 93 94 95 9632 99
 yy33
 1
Trong đó: aij được xác định như sau: 
 1 6x3 ( x 3 x 2 ) 1 2xy33 
 a51 2 ; a52 ; 
 x2 y 3(2 x 3 y 3 x 2 ) x2(2 x 3 y 3 x 2 )
 22
 1 34x3 x 2 x 3 x 2 1 6x3 ( x 3 x 2 )
 a53 ; a54 2 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 1 2xy33 1 x3(3 x 3 2 x 2 )
 a55 ; a56 ; 
 x2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 64 
 2 2 2 2 3
 1 x2 1 3(x3 y 3 x 2 x 3 2 x 3 x 2 x 2 y 3 x 2 )
 a59 ; a61 22 ; 
 y3(2 x 3 y 3 x 2 ) x2 y 3(2 x 3 y 3 x 2 )
 22
 1 2x3 x 3 y 3 4 x 2 x 3 2 x 2 y 3 2 x 2
 a62 ; 
 x2 y 3(2 x 3 y 3 x 2 )
 222
 1 x3( x 3 x 3 y 3 2 x 2 x 3 2 x 2 y 3 x 2 ) 1 3x3 ( y 3 x 2 )
 a63 2 ; a64 22 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 2 2
 1 3x3 (2 x 3 y 3 ) 1 x3() x 3 y 3 x 2
 a65 ; a66 2 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 1 x3(2 x 3 y 3 2 x 2 ) 1 6x3 ( x 3 x 2 )
 a69 2 ; a81 3 ; 
 y3(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 22
 1 1 1 34x3 x 3 x 2 x 2
 a82 ; a83 2 ; 
 x2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 1 6x3 ( x 3 x 2 ) 1 1
 a84 3 ; a85 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) x2(2 x 3 y 3 x 2 )
 x(3 x 2 x ) 1
 1 3 3 2 a 1 
 a86 3 ; 89 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3(2 x 3 y 3 x 2 )
 2 2 3 4 3 3 4
 1 2(y33x 3 y 33 x 2 y 332 x x 2 x 2 2 x 233 x x )
 a91 33 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 22
 1 x2 y 3 x 3 y 3 x 2 2 x 2 x 3 x 3
 a92 2 ; 
 x2 y 3(2 x 3 y 3 x 2 )
 2 2 3 2 2 3
 1 x332(2y x 4 yxx 323 2 yxx 33 2 3 xx 32 3 xxx 23 3 )
 a93 32 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 22
 1 2x3 (-3 x 2 y 3 2 x 3 y 3 2 x 2 x 3 x 3 ) 1 xx3(y 3 3 )
 a94 33 ; a95 2 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 )
 22
 1 x3(-2 x 2 y 3 2 x 3 y 3 x 2 x 3 x 3 ) 1 x3() x 3 x 2
 a96 32 ; a99 3 ; 
 y3 x 2(2 x 3 y 3 x 2 ) y3(2 x 3 y 3 x 2 )
 Ma trận nghịch đảo [Au]-1 nhận được bằng phương pháp đại số và kết quả 
nghịch đảo có thể kiểm tra bằng cách nhân [Au]-1 với [Au] đúng khi kết quả nhận 
được là ma trận đơn vị [I]. 
 Đặt (3.39) vào (3.32) nhận được 
 u -1 ue
 w = [P(x,y)] [A ] { } (3.40) 
 u ue
 3. Biểu diễn (,)xy tại điểm bất kì theo chuyển vị nút { } 
 65 
 Các biến dạng trong tấm là  x ,  y và  xy được xác định theo công thức (1.2) 
chương 1 và được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: 
 2 2 2 T
 u T w  w  w
 (,)x y  x  y  xy  z 222 (3.41) 
 x  y  x  y
 u
 Từ (3.40) và (3.41) véctơ biến dạng (,)xy được biểu diễn qua chuyển vị nút 
{ue} như sau: 
 22  
 22 P(,) x y  
 xx 
 22
  11 
 u z P(,)(,) x y A u  ue z P x y A u  ue
 (,)xy 22        (3.42) 
 yy 
 22 
 2 2P ( x , y ) 
 x  y   x  y 
 u u ue
 Hoặc có thể viết: (,)xy B  
 Trong đó: ma trận biến dạng uốn [Bu] = -z[Cu][Au]-1 (3.43) 
 2
 x2
 0 0 0 2 0 0 6xy 2 0
 2
 u  
 C P(,) x y 0000020 2 x 6 y (3.44) 
  2   
 y
 0000200(4xy 4) 0
 2
 2
  xy
 4. Xác định ma trận độ cứng uốn của phần tử [Kue] 
 Ma trận độ cứng uốn [Kue] phần tử tam giác 3 nút được xác định từ công thức 
 T
 ue u u
tổng quát sau, [29]: K B  D B dV (3.45) 
 Ve
 Bằng cách thay [Bu] xác định theo công thức (43) vào (4.45), nhận được 
 t/2 11T T
 Kue zdzA2 u C u  DCAdS u u (3.46) 
 t/2 
 S
 Vì [Au]-1 chỉ chứa các hằng số nên đưa ra khỏi dấu tích phân và nhận được 
 3 T
 uet u 11 uT u u
 K A C  D C dS A (3.47) 
 12 
 S
 Trong đó: t và S lần lượt là chiều dày và diện tích phần tử tam giác. 
 T
 ue u 11 u
 Công thức (3.47) có thể viết như sau: KAIA   (3.48) 
 66 
 uuT
 Trong đó: I C  D C dS 
 S
 Ở đây [D] - ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn và xác định theo công 
thức (1.4) chương 1 như sau 
 dd11 12 0
 D d d 0
   21 22 (3.49) 
 00d
 33
 Tính tích phân ma trận [I] trước hết phải tính tích của 3 ma trận [Cu]T[D][Cu] 
và được tiến hành dưới đây. Từ đó nhận được ma trận có kích thước (9x9) và lấy 
 I b dS
tích phân từng số hạng bij theo diện tích tam giác S:   ij (3.50) 
 S
 u
 Các số hạng bij được xác định bằng cách lần lượt nhân [D][C ] và sau đó nhân 
tiếp [Cu]T,cuối cùng nhận được ma trận đối xứng sau đây 
 0
 00
 000 (đối xứng) 
 000b44
 T
 b Cuu  D C 0 0 0 0 b
 55 
 0 0 0bb64 0 66
 0 0 0b 0 b b
 74 76 77
 000b84 b 85 b 86 b 87 b 88
 0 0 0b94 0 b 96 b 97 b 98 b 99
 Các thành phần bij được xác định như sau: 
 b44 = 4d11; b55 = 4d33; b64 = 4d21; b66 = 4d22; 
 2
 b74 = 12d11 x ; b76 = 12d12 ; b77 = 36d11 x ; 
 b84 = 4(d11 xy + d21 ); b85 = 8( + y ) d33; b86 = 4(d12 y + d22 ); 
 b87 = 12(d11 xy + d21 ); 
 b88 = 4y(d11 y + d12 ) + 4 (d21 y + d22 ) + 16( + y )(d33 + d33 ); 
 b94 = 12d12 y ; b96 = 12d22 ; b97 = 12d21 xy ; 
 2
 b98 = 12y(d21 + d22 ); b99 = 36d22 y ; 
 67 
 mn
 Tích phân (50) có dạng, [29]: I x y dS (3.51) 
 S
 Sử dụng tích phân số theo công thức sau, [29]: 
 m 1 r s m 11 n 
 mn ( 1)m ! m 11 s s n x33 y
 x y dS  x2 x 3 y 3 
S rs 10 (m 1)!( r r s )!!( s n r 1) ( m 1)( m n 2) 
 (3.52)
 Sử dụng phần mềm Maple tính được các giá trị tích phân Iij trong (3.50) và ma 
trận [I] có dạng 
 0
 00
 000 (đối xứng) 
 000I44
 II 0 0 0 0
 55 (3.53) 
 0 0 0II64 0 66
 0 0 0III 0
 74 76 77
 000IIIII84 85 86 87 88
 0 0 0IIIII94 0 96 97 98 99
 Các thành phần Iij được xác định như sau 
 I44 = 2d11 xy23; I55 = 2d33 xy23; I64 = 2d21 xy23; I66 = 2d22 xy23; 
 2
 I74 = 2d11( xy2x 3 3 + xy23); I76 = 2d12( + ); 
 2 2
 y 8d21 x 2 x 3 y 3 x 2 y 3 
 I = 3d ( xy2 + xy2 x + x x2 y ); I =2dx 3 ; 
 77 11 23 2 3 3 2 3 3 84 11 2 33
 4d x x y x2 y 2 2 x x y x2 y
 33 2 3 3 2 3 4d33 x 2 y 3 xy2 3 2 3 3 2 3 
 I85 = ; I86 =22dd12 22 ;
 33 3 3 
 22
 xy23 2 3 2 2
 I87 = d11 xxy 233 dxyxxyxxy 2123 233 233 ; 
 2
 2 3 2 2
 xy x2 y 3 x 2 x 3 y 3 x 2 x 3 y 3 
 I d 44 d 23 x x y2 d d 
 88 11 3333 2 3 3 11 33
 2 22
 x2 y33 x 2 x 3 y
 d12 d 21 8 d 33 
 63
 xy2
 I = 2d x y2 ; I = 2d x y2 ; I = 2d 23 x x y2 ; 
 94 21 23 96 22 2 3 97 21 2 3 3
 2
 68 
 2 2
 xy2 3
 I = 2ddx y22 3 x x y ; I = 3d xy 
 98 212 3 22 2 2 3 3 99 22 23
 Từ biểu thức (3.48) nhận được ma trận độ cứng của phần tử tam giác [Kue]. 
Ma trận [Kue] nhận được bằng cách nhân từng đôi các ma trận [I][Au]-1 sau đó nhân 
với ([Au]-1)T nhận được ma trận có kích thước (9x9) và ma trận có tính chất đối 
 uu
xứng kkij ji . 
 5. Thành lập ma trận chuyển vị - ứng suất [Hue] 
 Quan hệ ứng suất - chuyển vị được cho trong phương trình (3.28) và (3.29) 
 u H ue ue
như sau: (,)xy  
 Trong đó: [Hue] = [D][Bu] 
 Trong trường hợp phần tử tam giác, nếu lấy tâm tam giác làm tọa độ của x, y 
thì nhận được ứng suất tại tâm tam giác. 
 3.2.3. Xác định ma trận độ cứng tổng thể [Ke] của phần tử tam giác đồng 
thời chịu lực màng và chịu lực uốn 
 Ma trận độ cứng phần tử [Ke] có kích thước (18x18) và được tập hợp bởi hai 
ma trận độ cứng của trạng thái màng được biểu diễn trong công thức (3.27) và ma 
trận độ cứng của trạng thái uốn được biểu diễn trong biểu thức (3.48). 
 Trước hết xem xét quan hệ giữa lực và chuyển vị tại nút 1 trong trạng thái 
màng và uốn được biểu diễn như sau 
 Fkm m m (3.54) 
 1 11 1 
 Fku u u (3.55) 
 1 11 1 
 Sử dụng các quan hệ nhận được trong các phương trình (3.54) và (3.55), nhận 
được quan hệ giữa tất cả các lực và chuyển vị tại nút 1 như sau 
 mm  m 
 F11 k11 00    
 u u u
 F1 F 1  00 k 11   1   (3.56) 
 T 0 0 0
 z1       z1 
  
 Trong đó: các chỉ số trên m, u chỉ ma trận độ cứng trong các trạng thái màng 
 m u
và uốn tương ứng, ma trận con k11 có kích thước (2x2), ma trận con k11 có 
 69 
kích thước (3x3) và kết hợp với xoắn trong mặt phẳng nên ma trận tập hợp trong 
phương trình (3.56) có kích thước (6x6). 
 Đến đây, quan hệ giữa lực và chuyển vị tại nút 1 đã được xác định. Quan hệ 
tương tự như vậy sẽ tồn tại tại 2 nút còn lại của phần tử. Chẳng hạn như, lực tại nút 
2 có thể biểu diễn theo chuyển vị tại nút 3 như sau: 
 mm  m 
 F23 k23 00    
 u u u
 F2 F 2 00 k 23   3   (3.57) 
 T 0 0 0
 z2       z3 
  
 Tập hợp tất cả các quan hệ giữa lực và chuyển vị nút cho tất cả các phần tử có 
thể viết dưới dạng phương trình (3.58) đối với bài toán tính toán trường ứng suất - 
biến dạng của thân tên lửa được xấp xỉ bằng những phần tử phẳng dạng tam giác và 
ma trận độ cứng [Ke] có kích thước (18x18) 
 k m
 11
 0 k u
   11
 0 0 0
       (đối xứng) 
 kkmm00
 21     22 
 K e 0kkuu 0 0
   21     22 (3.58) 
 0  0  0  0  0  0
 km0 0 k m 0 0 k m
 31     32     33 
 0ku 0 0 k u 0 0 k u
   31     32     33 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0
 Đối với những vị trí đặt khoang thân và thanh dọc của thân tên lửa thì ma trận 
độ cứng [Ke] trong (3.58) được tính như sau: với giả thiết vỏ bọc của thân tên lửa 
được gắn chặt với khung thân ghép nối và thanh dọc tăng cường của thân tên lửa, 
như vậy với các vị trí liên kết này giả thiết các khung thân và thanh dọc được coi 
như dầm chịu lực màng và đồng thời chịu uốn. Ma trận độ cứng phần tử đối với các 
vị trí khung thân và thanh dọc chịu lực được cộng thêm độ cứng đối với trạng thái 
 màng và uốn của phần tử dầm, [29]: 
 m AE
 - Đối với trạng thái màng: kkij ij 
 L
 70 
 u 12EJ
 - Đối với trạng thái uốn: kkij ij - đối với vị trí độ võng w 
 L3
 6EJ
 kk u 
 ij ij 2 - đối với vị trí góc xoay y 
 L
 Trong đó: A - tiết diện mặt cắt ngang của khung thân hoặc thanh dọc 
 J - mômen quán tính của mặt cắt ngang khung thân hoặc thanh dọc 
 L - chiều dài phần tử dầm của khung thân hoặc thanh dọc 
 3.2.4. Chuyển hệ trục tọa độ 
 Khi xây dựng các công thức tính ma trân độ cứng của phần tử, thường chúng 
ta sử dụng một hệ tọa độ địa phương phù hợp sao cho việc xây dựng công thức là dễ 
dàng và đơn giản. Các hệ tọa độ địa phương này có thể là khác với hệ tọa độ tổng 
thể chung cho toàn hệ. Do đó, trước khi ghép nối phần tử để xây dựng ma trận độ 
cứng tổng thể, ta cần chuyển ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương vào hệ tọa 
độ tổng thể. Trong bài toán vỏ cũng như bài toán thanh, các phần tử kề nhau được 
nối nghiêng với nhau. Bởi vậy, trước khi tập hợp các phần tử và ma trận độ cứng 
của toàn hệ kết cấu được thành lập thì chuyển vị và lực của mỗi phần tử riêng biệt 
phải được biểu diễn trong hệ tọa độ tổng thể. Hệ này như một hệ tọa độ chung và 
được ký hiệu xy*, *, và z*. Chuyển vị trong hệ tọa độ này gồm 6 thành phần như 
được chỉ ra trên hình 3.2 và 3.5. 
 Hình 3.4. Hệ tọa độ tổng thể 
 Xét một phần tử điển hình và quan hệ giữa chuyển vị trong hệ tọa độ địa 
phương và tổng thể tại nút 1 (hình 3.2 và 3.3) của phần tử được