Luận án Nghiên cứu động lực học của tên lửa có tính đến ảnh hưởng của yếu tố đàn hồi

huyển vị nút: 
 m( t ) X2 + Y  2 + Z  2 
 GGG 
 n 1 T
 (1) T 
 T x y z A A  x y z dx 
 TL      
 i 1 (phan tu i ) 
 T n 1
 2 X Y  Z  A x y zT dx 
 GGG    
 i 1 (phan tu i ) 
 39 
 n 1
 T T T 
 d N()() x A A  N x d dx
  i i  i   i 
 i 1 (phan tu i ) 
 T n 1 
 T(2) 2 X Y  Z  A N ( x ) d dx 
 TL G G G   i  i 
 i 1 (phan tu i ) 
 n 1 T
 2 x y z A A  N ( x ) d dx 
     i  i 
 i 1 (phan tu i ) 
 n 1
 T T  
 d Ni( x )  N i ( x ) d dx
  i  i
 i 1 
 (phan tu i ) 
 n 1
    T  
 2 XG Y G Z G  A  N i ( x ) d dx
  i
 i 1 
 T (3) (phan tu i ) 
 TL n 1 
  T  
 2 x y z A  A  Ni ( x ) d dx
  i
 i 1 (phan tu i ) 
 n 1 
 T TT  
 2 d  Ni ( x ) A  A  N i ( x ) d dx
  i i 
 i 1 (phan tu i ) 
 (1)
 Thành phần TTL là động năng của tên lửa khi coi tên lửa như vật rắn tuyệt 
 (2)
đối, thành phần TTL là động năng của tên lửa khi tính đến ảnh hưởng của chuyển 
 (3)
vị đàn hồi, thành phần TTL là động năng của tên lửa khi tính đến ảnh hưởng của 
vận tốc dao động đàn hồi. Khi bỏ qua ảnh hưởng của yếu tố đàn hồi thì các 
 (2) (3)
thành phần TTL ,TTL sẽ bị triệt tiêu. 
Ký hiệu: 
 T
 N(1) xyzAAxyzdx   T ; 
 i    
 (phantu i)
 (2) T
 Ni  N i( x )  N i ( x ) dx ;
 (phantu i)
 T 
 N(3) N( x )T A A  N ( x ) dx ;
 i  i  i 
 (phantu i) 
 (4)
 Ni  N i ( x ) dx ;
 (phantu i) 
 40 
 N(5) x y z A AT N ( x ) dx ;
 i      i  
 (phantu i)
 T
 N(6) x y z A A  N ( x ) dx ; 
 i    i 
 (phantu i ) 
 N(7) N()(); xTT A A N x dx
 i  i    i  
 (phantu i)
 n 1 
 T 
 M t   x y z dx
 i 1 (phan tu i ) 
Thay các đại lượng được ký hiệu ở trên vào (2.12) ta được: 
 n 1 T 
 2  2  2 (2) 
 m( t ) XG + Y G + Z G d N i d 
  i  i
 i 1 
 n 1 n 1
 T 
 N(1) d N (3) d
  i  i i  i 
 i 1 i 1 
 T
 2 X Y  Z  A M t 
 GGG 
 n 1
 1    T (4)  
 TTL 2 X G Y G Z G  A N i d (2.13) 
  i 
 2 i 1
 T n 1
 2 X Y  Z  A N(4) d 
 G G G  i i
 i 1 
 n 1 n 1 
 (5) (6)
 2 Ni d 2 N i d 
  i  i
 i 1 i 1 
 n 1
 T (7)  
 2 d Ni d
  i i 
 i 1 
Rút gọn (2.13) bằng cách tổ hợp các vec-tơ chuyển vị nút của phần tử thành 
vec-tơ chuyển vị nút tổng thể, động năng của tên lửa được viết lại như sau: 
 T
 mt( ) X2 + Y  2 + Z  2 d N (2) d  N (1) 
 GGG     
 T T 
 d N(3) d 2 X Y  Z  A M t 
 GGG 
 1     
 TTL (2.14) 
 T
 T (4) (4) 
 2 2 XYZAN   d 2 XYZAN     d
 GGGGGG        
 T 
 2 N(5) d 2 N (6) d 2 d N (7) d 
         
 41 
Trong đó: d là vec-tơ chuyển vị nút tổng thể và N (1) , N (2) ,
    
 NN(3) ,, (4) NNN(5) ,, (6) (7) là các ma trận tổng thể được tổ hợp từ 
      
các ma trận thành phần NN(1) ,, (2) NN(3) ,, (4) NNN(5) ,, (6) (7) 
 i i i i i i i 
tương ứng, phương pháp tổ hợp các ma trận tổng thể sẽ được trình bày kỹ ở 
phần sau, khi trình bày phương pháp lập vec-tơ chuyển vị nút tổng thể và các 
ma trận tổng thể trong chương 3. 
b. Biểu diễn động năng của luồng phụt theo vec-tơ chuyển vị nút 
Ký hiệu: 
CCC1,  2 ,  3  :là ma trận biến đổi sao cho: 
 T
 u v w C d
  PPP   1  
  
 T
 u  v  w 
 x x x  C d
 xPPP  x  x 2   
 u
 x  C d 
 x P 3  
 NC(8) A T
     1 
 T
 (9) 
 NC A  1 
  
 NC(10) A T
     2 
 T
 N(11) x y z A A  x y z T
   PPPPPP  
 N(12) x y z A A T C
   PPP     1 
 T
 N(13) x y z A A  C
  PPP   1 
  
 42 
 (14)  T
 N  xPPP y z A  A  C2 
  
 NCC(15) T
   1  1 
 T
 NCAAC(16) T  
   1    1 
 NCNCC(17) 1 0 0 ; (18) T
   1   1  2 
 T
 NCC(19) T AA  
   1  1 
 T
 NC(20) 1 0 0 A A 
      1  
 (21) TT
 NCC  1 AA    2 
  
 NC(22) 
   3 
 T
 NCC(23) 
   2  2 
Thay các đại lượng được ký hiệu ở trên vào (2.7), ta được: 
 T
 XYZ2  2  2 2 XYZ    A xyz T 2 Nd (13) 
 GGGGGGPPP      
 2 X Y  Z  N(8) d 2 X  Y  Z  N (9) d
 GGGGGG      
 2U X Y  Z  N(10) d 2 U X  Y  Z   ATT 1 0 0 
 td G G G    hd G G G 
 (11) (12)  (14) (17)  
 NN 2 d 2 Uhd N d 2 U hd N d
 m        
 TLP T (2.15) 
 2  TT (15)  
 2Uhd x P y P z P  A A  1 0 0 d N d
    
 TT 
 2d N(16) d 2 U d  N (18) d
    hd    
 T 
 d N(19) d 2 U N (20) d 2 U 2 N (22) d 
    hd   hd   
 T T 
 U2 d N (23) d U 2 2 U d N(21) d 
 hd    hd hd     
 43 
c. Biểu diễn thế năng biến dạng của tên lửa theo vec-tơ chuyển vị nút 
 2 N() x 
 Ký hiệu i là ma trận được tạo thành bằng cách đạo hàm riêng 
 2 
 x 
cấp 2 các thành thần của ma trận Ni () x  đối với biến x , hay: 
 2 N() x 2 N() x 
 i i
 2 2
 x  x 
Từ biểu thức (2.10) suy ra: 
 T
 2u  2 v  2 w  2 N() x 
 i d (2.16) 
 2 2 2 2 i
 x  x  x i  x 
Thay (2.16) vào (2.8) ta được: 
 T 0 0 0 
 n 1 2 2
 1T Ni ( x )  N i ( x ) 
 U d 0 EJ 0 dx d (2.17) 
 e i 2 y 2 i
 2 i 1 (phan tu i ) x  x 
 0 0 EJ z 
Ký hiệu: 
 0 0 0
 2T 2
 Ni()() x  N i x 
 G 0 EJ 0 dx (2.18) 
  i 2 y 2 
 (phan tu i ) x  x 
 0 0 EJ z 
Thay (2.18) vào (2.17) ta được: 
 n 1
 1 T
 U d G d (2.19) 
 e i i   i
 2 i 1
Gọi G là ma trận tổng thể được tổ hợp từ các ma trận G tương ứng với 
   i 
vec-tơ chuyển vị nút tổng thể d ,(2.19) được viết gọn dưới dạng: 
  
 1 T
 U d G d (2.20) 
 e 2    
Phương pháp xây dựng ma trận tổng thể G được trình bày kỹ ở chương 3. 
  
 44 
d. Biểu diễn lực suy rộng theo vec-tơ chuyển vị nút 
Hệ tọa độ suy rộng bao gồm: 
 u  v  w  u  v  w
 X,, Y Z ,,,,,   u1 ,, v 1 ,, w 1 ,...,, un ,, v n ,, w n
 G G G1x 1  x 1  x n  x n  x n  x 
Trong đó, với các tọa độ suy rộng là bậc tự do nút thì ta viết gọn dưới dạng vec-
tơ chuyển vị nút: 
 T
 u  v  w  u  v  w 
 d u1 v 1 w 1 ... un v n w n 
   1x 1  x 1  xn  x n  x n  x 
Ký hiệu: 
 AAA    
 A ; A ; A 
       
FFFF x,,: y z Lực tập trung tại điểm có tọa độ x 
 k k k k k
F() x Fx (), x F y (), x F z (): x Lực tập trung tại điểm có tọa độ x 
 i k i k i k i k k
trong phần tử thứ i. 
 p() x px (), x p y (), x p z (): x Lực phân bố tại điểm có tọa độ x 
 p() x px (), x p y (), x p z (): x Lực phân bố tại điểm có tọa độ x trong 
 i i i i 
phần tử thứ i. 
Theo (2.9) lực suy rộng được tính theo công thức: 
 r  r
 Q Fk p dx (2.21) 
 qi  k 
 qi(TL)  q i
Từ biểu thức: 
 T
 r XYZ xyz A uvw A IJK 
 k  G G G  k k k   k k k   
 T
 r XYZ xyz A uvw A IJK 
  GGG        
Ta suy ra: 
+ Lực suy rộng ứng với tọa độ của khối tâm G: 
 45 
Khai triển (2.21), ta có: 
 r  r 
 Q Fk p dx F I pIdx 
 XG  k  k 
 XXGG()()TL  TL 
 F X
 
Tương tự, ta có biểu thức tính lực suy rộng tương ứng với tọa độ YZGG, : 
 Y
 QF 
 YG 
 QF Z 
 ZG 
Ở đây, FFFXYZ,, là tổng hợp các ngoại lực (không bao gồm lực đẩy phản 
   
lực) tác dụng lên hệ tên lửa + luồng phụt theo các phương OX,OY,OZ tương 
ứng. 
+ Lực suy rộng ứng với các góc quay ,,   : 
Từ biểu thức: 
 r AA   T
 k x y z u v w I J K 
  k k k  k k k  
    
 T
 x y z A u v w A I J K 
  k k k  k k k  
 r AA   T
 x y z  u v w I J K 
    
 T
 x y z A u v w A I J K 
     
Thay vào công thức: 
 rk  r
 Q  Fk p dx
  (TL)  
 rigid flex
Ta nhận được: QMM 
Trong đó: 
 46 
 T
 rigid x y z T
 M  Fk F k F k A  x k y k z k 
 T 
 pxx () px y () px z ()A xyzdx T
  
 (tenlua)
 n 1 T
 flex x y z
 M  Fk F k F k A()  N i x k d i 
 i 1
 n 1 T
 x y z
  pxpxpxi () i () i ()A  Nxdxd i () i 
 i 1 (phan tu i )
 rigid
M là mômen lực tác dụng lên tên lửa khi coi tên lửa như vật rắn tuyệt đối. 
 flex
M là mômen lực tác dụng lên tên lửa do ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi. 
Lập luận tương tự, ta có: 
 rigid flex
 QMM   
 rigid flex
 QMM   
Trong đó: 
 T
 rigid x y z T
 M  Fk F k F k A   x k y k z k 
 T
 pxx () px y () px z ()A xyzdx T
   
 ()TL
 n 1 T
 flex x y z 
 M  Fk F k F k A()   N i x k d i 
 i 1
 n 1 T
 x y z
  pxpxpxi () i () i ()A   Nxdxd i () i 
 i 1 (phan tu i )
 T
 rigid x y z T
 M  Fk F k F k A   x k y k z k 
 T
 pxx () px y () px z ()A xyzdx T
   
 ()TL
 n 1 T
 flex x y z
 M  Fk F k F k A()   N i x k d i 
 i 1 
 n 1 T
 x y z
  pxi () px i () px i ()A   Nxdxd i () i 
 i 1 (phan tu i )
Ở đây: 
 47 
 rigid flex rigid flex
MMMM,,,    là các mômen lực khi coi tên lửa như vật rắn tuyệt đối 
và do ảnh hưởng của yếu tố đàn hồi tương ứng với các góc ,  . 
+ Lực suy rộng ứng với vec-tơ chuyển vị nút: 
Lần lượt tính lực suy rộng tương ứng với các bậc tự do nút và viết gọn dưới 
dạng vec-tơ, ta được: 
 n 1
 Q Fx()()()A() x F y x F z x TT N x
 d   i k i k i k    i k 
  i 1
 n 1 
 x y z TT
  pi()()()A() x p i x p i x    N i x dx
 i 1 (phan tu i )
 (Dấu  trong công thức trên mang tính quy ước để biểu diễn vec-tơ lực 
suy rộng tổng thể được tạo thành bằng cách tổ hợp các vec-tơ lực suy rộng 
thành phần) 
2.3.3 Phương trình chuyển động của tên lửa có tính đến ảnh hưởng của yếu tố 
đàn hồi trong không gian 3 chiều 
 Tên lửa tại Luồng phụt Tên lửa tại 
 thời điểm 
 tk thời điểm tk  
 Hình 2.7. Sơ đồ minh họa sự thay đổi trạng thái của tên lửa 
 Xét cơ hệ gồm tên lửa biến đổi trạng thái từ thời điểm tk t k  (tk là 
hằng số,  là biến số thời gian), khi đó hệ “tên lửa” cũ sẽ tách thành hệ “tên 
lửa” mới + luồng phụt. Cơ hệ gồm “tên lửa” + “luồng phụt” khi đó vẫn là cơ 
hệ bảo toàn khối lượng. 
Theo nguyên lý Hamilton: 
 tk 
  (T Ue W ) d  0
 tk
 48 
Trong đó: 
 T T(,) qi q i : là động năng của cơ hệ tên lửa+ luồng phụt. 
 Ue U e() q i : là thế năng biến dạng đàn hồi của cơ hệ. 
 W W() qi : là công của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bao gồm cả lực 
thế (trọng lực v.v) 
 qi : là các tọa độ suy rộng của cơ hệ. 
Áp dụng phương trình Lagrange ta có: 
 d T  T  U  W
 e 0 
 d  qi  q i  q i  q i
 W
Thay Q ta được: 
 qi
 qi
 d T  T  U
 e Q (2.22) 
 qi
 d  qi  q i  q i
Ở đây: TTT TL LP 
 Q là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng q . 
 qi i
Khai triển (2.22), ta có: 
 d T d  T  T  T  U
 TL LP TL LP e Q (2.23) 
 qi
 d qi d   q  i  q i  q i  q i
Theo (2.7), khai triển thành phần TLP ta được: 
 d T1d m 4  T(k) 1 4 d  T (k)
 LP  LP m  LP (2.24) 
 d qi2 d k 1  q  i 2 k 1 d   q  i
 TT1 4  (k)
 LP m LP (2.25) 
 qi2 k 1  q i
Thay t bởi t  vào biểu thức tính TTUQ,,, trong (2.23) và lấy giới 
 k TL LP e qi
hạn 2 vế của phương trình (2.23) khi  0, ta có: 
 49 
 dTTL t k  d  T LP t k  
 d q d   q 
 i i 
 lim limQq t k  (2.26) 
  0 T t   T t   U t   0 i
 TL k LP k e k 
 qi  q i  q i 
Khai triển và để ý rằng khi lấy giới hạn khi  0, thì: 
 dm(t  ) d m 
lim(m())t  m ( t ) ; lim m 0; limk lim  (); t  
 0k k  0  0d  0 d  k
Kết hợp với (2.24) và (2.25), ta có: 
 dT t  1 d m4  T(k) t  1 4 d  T (k)
 limLP k lim LP k lim m LP 
  0  0  0 
 d qi2 d k 1  q  i 2 k 1 d   q  i
Suy ra: 
 d T t  1 4  T(k) t 
 lim LP k  ()t LP k 
  0 k 
 d  qi2 k 1  q  i
 4 (k)
 TLP t k  m  T LP t k  
 lim lim 0 
  0  0  
 k 1
 qi 2  q i 
Thay giá trị của phép tính giới hạn bên trên vào khai triển (2.26), để biểu diễn 
biểu thức khai triển cho gọn, ta ký hiệu: 
   
  AAA   
 BBB ;;   
      
  AAA     
 BBB ;; 
             
   
 NNNNNN(24) (1);; (25) (1) (26) (1)
             
 50 
   
 NNNNNN(27) (3);; (28) (3) (29) (3)
             
   
 NNNNNN(30) (5);; (31) (5) (32) (5)
             
   
 NNNNNN(33) (6);; (34) (6) (35) (6)
             
   
 NNNNNN(36) (7);; (37) (7) (38) (7)
             
   
 NNNNNN(39) (11);; (40) (11) (41) (11)
             
   
 NNNNNN(42) (12);; (43) (12) (44) (12)
             
   
 NNNNNN(45) (13);; (46) (13) (47) (13)
             
   
 NNNNNN(48) (14);; (49) (14) (50) (14)
             
   
 NNNN(51) (16) ; (52) (16) ; NN (53) (16) 
             
   
 NNNNNN(54) (19);; (55) (19) (56) (19)
      
        
   
 NNNNNN(57) (20);; (58) (20) (59) (20) 
      
        
   
 NNNNNN(60) (21);; (61) (21) (62) (21) 
             
 T T
 N(63) xyzB A A  B xyzdx T
     
  
 51 
 T T
 N(64) N()AA() xT B   B N x dx
    i  i 
 T
 N(65) x y z B AT A A N ( x ) dx
        i 
 T T
 N(66) x y z B A A  B N ( x ) dx
      i 
 T
 N(67) N()AA() xTT B  A N x dx
    i    i 
 T T
 N(68) xyzB A A  B xyzdx T
        
 T T 
 N(69) N( x )T B A A  B N ( x ) dx
    i    i 
 T
 N(70) xyzBA T AA Nxdx ( )
          i 
 T T
 N(71) xyzBA  AB  Nxdx ( )
        i 
 T
 N(72) N()AA() xTT B  A N x dx
    i      i 
 T T
 N(73) xyzB A A  Bxyzdx T
        
 T T
 N(74) N()AA() xT B   B N x dx
    i    i 
 T
 N(75) x y z B AT A A N (x) dx
          i 
Thay các ký hiệu trên vào khai triển (2.26) ta thu được hệ phương trình vi phân 
chuyển động của tên lửa trong không gian với biến thời gian là tk . Do hệ 
phương trình đúng với mọi t nên thay t bởi t và thay FUhd  [8] vào hệ 
 k k pl hd 
phương trình thu được, ta có hệ phương trình vi phân chuyển động tổng quát 
của tên lửa trong không gian 3 chiều như sau: 
 52 
*Hệ phương trình ứng với chuyển động tịnh tiến của khối tâm G: 
 TT
 m() t X  100 A MM t  100 A   (t) 
 G 
 T
 1 0 0 A N( 4) d 1 0 0 AT N ( 4 ) d 
          
 T
 1 0 0AT N( 4 ) d 1 0 0 A N ( 4 ) d
          
 TT
 1 0 0 A N ( 4) d  1 0 0 A  N ( 4 ) d
     
 T T
 1 0 0 A x y z  1 0 0 N(8) d
    PPP      
 (9 ) hd (10 ) 
  1 0 0 N d Fpl  1 0 0 N d
     
 hd
 QFX pl cos cos 
 G
 TT
 m() t Y 010 A MM t 010 A   (t) 
 G     
 T
  ( 4) T  ( 4 ) 
 0 1 0 A N d  0 1 0 A N d 
    
 T
 0 1 0AT N( 4 ) d 0 1 0 A N ( 4 ) d
          
 TT
 0 1 0 A N ( 4) d 0 1 0 A  N ( 4 ) d
          (2.27) 
 T
 0 1 0 A x y zT   0 1 0 N(8) d
 PPP   
  0 1 0 N(9 ) d Fhd 0 1 0 N (10 ) d
     pl     
 QF hd cos sin 
 YG pl
 TT
 m() t Z  001 A MM t  001 A   (t) 
 G 
 T
 ( 4) T ( 4 )
 1 0 0 AN d 0 0 1 A N d 
          
 T
 0 0 1AT N( 4 ) d 0 0 1 A N ( 4 ) d
          
 TT
 0 0 1 A N ( 4) d 0 0 1 A  N ( 4 ) d
         
 T T
 0 0 1 A x y z  0 0 1 N(8) d
    PPP      
  1 0 0 N(9 ) d Fhd  0 0 1 N (10 ) d
   pl   
 QF hd sin
 ZG pl
 53 
*Hệ phương trình ứng với chuyển động quay của tên lửa: 
Phương trình quay của tên lửa ứng với góc chúc ngóc : 
 1TT 1
 N(24) d N (27) d d N  (27) d
 2     2    
 T T
 XYZBXYZB    MM (t)     (t) 
 GGGGGG     
 TT
 X Y  Z  B M (t) X  Y  Z  B N(4) d
 GGGGGG     
   
 T T
 XYZB    N(4) d X Y  Z  B N  (4) d
 GGG    GGG    
 T
 X Y  Z  B N(4) d N  (30) d  N (30) d 
 GGG        
 T
 N (33) d N (33) d d  N (36) d 
        
 TT 
 d N (36) d d N (36) d  
       
 T T
  X Y  Z  B x y z
 GGGPPP    (2.27) 
 T
    1 (39) 
  X Y Z B  C d  N
 GGG 1  2  
  N(42) d  N (45) d Fhd x y z B ATT 1 0 0
      pl P P P      
 T
 Fhd N(48) d  d N (51) d F hd N (57) d
 pl      pl   
 1 T T 1
  d N (54) d Fhd d N(60) d N (63) 
   pl  
 2      2  
 1 T T
 d N(64) d X Y  Z  B M (t)
     GGG  
 2
 TT
 XYZAN   (4) d XYZBN    (4) d
 GGGGGG     
 T
 N(65) d N (66) d d N (67) d  Q
         
 54 
Phương trình quay của tên lửa ứng với góc lắc ngang  : 
 1TT 1
 N(25) d N (28) d d N  (28) d
 2     2    
 T T
 XYZBXYZB   MM (t)     (t)
 GGGGGG       
 TT
 X Y  Z  B M (t) X  Y  Z  B N(4) d
 GGGGGG    
   
 T T
 XYZB    N(4) d X Y  Z  B N  (4) d
 GGG    GGG    
 T
 X Y  Z  B N(4) d N  (31) d  N (31) d 
 GGG        
 T
 N (34) d N (34) d d  N (37) d 
        
 TT
 d N (37) d d N (37) d  
      
 T T
  X Y  Z  B x y z
 GGGPPP   
 T
    1 (40) 
  X Y Z B  C d  N
 GGG  1  2  
 (2.27) 
  N(43) d  N (46) d Fhd x y z B ATT 1 0 0
      pl P P P      
 T
 Fhd N(49) d  d N (52) d F hd N (58) d
 pl      pl   
 1 T T 1
  d N (55) d Fhd d N(61) d N (68) 
   pl  
 2      2  
 1 T T
 d N(69) d X Y  Z  B M (t)
     GGG   
 2
 TT
 XYZAN   (4) d XYZB    N (4) d
 GGGGGG       
 T
 N(70) d N (71) d d N (72) d  Q
         
 55 
Phương trình quay của tên lửa quanh trục dọc ứng với góc  : 
 1TT 1
 N(26) d N (29) d d N  (29) d
 2     2    
 T T
 XYZBXYZB   MM (t)     (t)
 GGGGGG       
 TT
 X Y  Z  B M (t) X  Y  Z  B N(4) d
 GGGGGG    
   
 T T
 XYZB    N(4) d X Y  Z  B N  (4) d
 GGG    GGG    
 T
 X Y  Z  B N(4) d N  (32) d  N (32) d 
 GGG        
 T
 N (35) d N (35) d d  N (38) d 
        
 TT
 d N (38) d d N (38) d  
      
 T T
  X Y  Z  B x y z
 GGGPPP    (2.27) 
 T
    1 (41) 
  X Y Z B  C d  N
 GGG  1  2  
  N(44) d  N (47) d Fhd x y z B ATT 1 0 0
      pl P P P      
 T
 Fhd N(50) d  d N (53) d F hd N (59) d
 pl      pl   
 1 T T 1
  d N (56) d Fhd d N(62) d N (73) 
   pl  
 2      2  
 1 T T
 d N(74) d X Y  Z  B M (t)
     GGG   
 2
 TT
 XYZAN   (4) d XYZBN    (4) d
 GGGGGG       
 T
 N(75) d N (76) d d N (77) d  Q
         
 56 
*Hệ phương trình ứng với dao động đàn hồi của thân tên lửa 
 T
 1(2) 1 (2) 1 (2)
 N d N d  N  d 
 2   2   2   
 1 TT T
 N(2) d N (4)  A X Y  Z  
 2    GGG 
 TTT
 (4) (5) (7)
 N A X  Y  Z  N  N  d
   GGG 
     
 TT T T
 N(7) d 2 N (8) X Y  Z   N (12) 
    GGG  
 (2.27) 
 1 (15) (15)T  (16) 
  N N d  N d 
 2   
 T 1
 Fhd N(17) F hd N (18) d N (3) d
 pl pl    
 2
 TT
 1 (3) (6) (7)
 N d N N d
 2      
 1 T
 G G d Q 
 d 
 2     
Nhận xét: Hệ phương trình (2.27) là hệ phương trình vi phân chuyển động 
tổng quát của tên lửa trong không gian bao gồm cả chuyển động tịnh tiến của 
khối tâm G theo 3 phương (biểu diễn bởi XYZGGG, , ), chuyển động quay theo 
phương ngang (lắc ngang, biểu diễn bởi góc  ), chuyển động quay theo 
phương thẳng đứng (lắc dọc, biểu diễn bởi góc ), chuyển động quay quanh 
trục dọc (biểu diễn bởi góc  ), dao động uốn theo 2 phương vuông góc với trục 
tên lửa (chuyển vị v, w). Thực tế, người ta thường coi tên lửa không điều khiển 
chỉ chuyển động trong mặt phẳng bắn (mặt phẳng thẳng đứng), do đó hệ phương 
trình chuyển động của tên lửa không điều khiển thường đơn giản hóa dưới dạng 
bài toán 2 chiều. 
 57 
2.4 Hệ phương trình chuyển động của tên lửa có tính đến ảnh hưởng của yếu tố 
đàn hồi trong mặt phẳng bắn. 
 Hình 2.8. Chuyển động của tên lửa trong hệ tọa độ tuyệt đối 
 Do đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng 
của dao động uốn lên chuyển động của tên lửa không điều khiển trong mặt 
phẳng thẳng đứng, do đó hệ phương trình vi phân chuy