Luận án Nghiên cứu lựa chọn một số thông số hợp lý của giá khung thủy lực di động dùng trong khai thác than hầm lò có góc dốc đến 25° vùng Quảng Ninh

trị của tải trọng cho trước. Trong những trường hợp xuất hiện áp lực 
mỏ không ổn định, đặc biệt khi vì chống làm việc ở gần giới hạn chiều cao 
nhỏ nhất, tải trọng công tác hợp lý cần phải gần với trị số Pbd , nếu không vì 
chống sẽ bị kẹt cứng khi độ dịch chuyển của vách chỉ gia tăng chút ít. Phương 
trình hypecbôl để xác định mối quan hệ giữa độ dịch chuyển và tải trọng của 
 a
vì chống có dạng: Uvc = (2.1) 
 P b
 Trong đó Uvc - độ biến dạng của cột chống thuỷ lực, mm; a và b - các 
hệ số thực nghiệm; P - tải trọng của cột, kN. 
 Như vậy, khi vì chống làm việc ở chế độ biến dạng tương hỗ, tải trọng 
tính toán của vì chống có ý nghĩa rất quan trọng. Đồng thời, khoảng cách từ 
gương lò chợ đến hàng cột chống đầu tiên cũng đóng vai trò đáng kể. Khoảng 
này được đặc trưng bởi chiều rộng của vùng gần gương được chống giữ bằng 
các phần xà công sơn. 
2.2. Ảnh hưởng của các quá trình sản xuất đến sự tác động tương hỗ của 
vì chống và đá vách[13] 
 Những quá trình sản xuất gây ảnh hưởng đến quan hệ của vì chống và 
đá vách là khấu than, chống giữ lò chợ và điều khiển đá vách. 
 41
 Điều kiện tác động tương hỗ tối ưu của vì chống với đá vách là tiền đề 
để đạt được các chỉ tiêu kinh tế-kỹ thuật cao của sản xuất. 
 Chỉ số định lượng chính về trạng thái của đá vách và quan hệ của nó 
với vì chống là trị số hạ võng, cũng như tốc độ hạ võng của vách. Độ hạ võng 
chung của vách trong lò chợ bao gồm độ hạ võng sau khi khấu than, sau khi 
di chuyển vì chống, đồng thời kể cả độ hạ võng của nó trong những lúc không 
thực hiện các quá trình sản xuất. 
 Trong khi khấu than bằng máy liên hợp, diện 
bóc lộ của vách gia tăng và dẫn đến sự thay đổi trạng 
thái ứng suất của đá nguyên khối. Sự thay đổi ứng 
suất trong đá làm chúng biến dạng với những tốc độ 
khác nhau, phụ thuộc vào mức ứng suất và khoảng 
cách tính từ máy liên hợp. Tốc độ hạ võng lớn nhất 
của vách được ghi nhận ở sát vị trí công tác của máy, 
càng xa máy tốc độ này càng giảm. Hình 2.2. 
 Vùng ảnh hưởng của khấu 
 Kích thước của vùng ảnh hưởng do khấu than đến sự dịch chuyển của 
than phụ thuộc vào chiều rộng khấu của máy, kiểu và đá vách 
 các thông số của vì chống, tốc độ chống lò, tốc độ khấu của máy liên hợp và 
v.v... 
 Vùng ảnh hưởng của công tác khấu đến sự dịch chuyển của đá ở trước 
và sau gương lò, cũng như theo chiều dốc xuống và dốc lên (theo A.A. 
Bôrisôv) được thể hiện trên hình 2.2. Trong các điều kiện trung bình, có thể 
tham khảo các kích thước của vùng này như sau: r1 = r2 = 520 m; r3 ≈ 2060 
m; r4 ≈ 2040 m. Tỷ lệ tương đối giữa các kích thước là: r1 ≈ r2 ; r3 = (23) r1; 
r4 = 2r1. Khi bóc lộ các diện vách mới, xuất hiện các biến dạng đàn hồi, biến 
dạng rão (từ biến) và sự phá huỷ của đá. Sự hạ võng của vách do biến dạng 
 42
đàn hồi và rão không thể loại trừ được trong thực tiễn. Tuy nhiên, sự phân lớp 
và phá huỷ của đá có thể bị giảm đáng kể nếu thực hiện chống giữ kịp thời 
với tải trọng công tác cần thiết của vì chống. Khoảng cách dựng vì chống phía 
sau máy liên hợp càng lớn, càng có nguy cơ gia tăng sự tách lớp, mất ổn định 
và phá huỷ của đá vách. Chiều rộng khấu của máy liên hợp ảnh hưởng lớn tới 
tác động tương hỗ của vì chống với đá vách. Với chiều rộng khấu lớn, sự 
võng của vách trong vùng gương lò xảy ra trong khu vực có chiều rộng tới 1,5 
m. Với chiều rộng khấu nhỏ hơn, nhưng sự dịch chuyển vì chống nếu xảy ra 2 
- 3 lần liên tục sẽ làm xuất hiện các lực kéo và nén thường xuyên trong các 
lớp dưới cùng của vách trực tiếp và làm tăng khả năng phá huỷ nhanh chóng 
đá vách. Loại vì chống ảnh hưởng rất lớn tới tác động tương hỗ giữa đá vách 
và vì chống lò chợ. Giá trị hạ võng tuyệt đối của đá vách trong lò chợ ở các 
vỉa dốc thoải, mỏng và dày trung bình, áp dụng vì chống cơ khí hoá, nhỏ hơn 
25 - 30% so với khi áp dụng vì chống đơn. Điều này được giải thích bởi tải 
trọng ban đầu và tải trọng công tác lớn hơn của vì chống cơ khí hoá, cùng với 
diện tiếp xúc gia tăng của các tấm xà và đế của chúng, ngăn ngừa hiện tượng 
lún của vì chống vào trụ và vách của vỉa. Mặc dù trị số dịch chuyển của đá 
trong lò chợ cơ khí hoá nhỏ hơn so với lò chợ dùng vì chống đơn, song trạng 
thái của vách ở trường hợp sau vẫn có thể tốt hơn. Điều này liên quan tới sự 
dịch chuyển liên tục của vì chống cơ khí hoá. Loại vì chống được dùng còn 
ảnh hưởng tới sự phân bố dịch chuyển của vách ở các quá trình sản xuất khác 
nhau. Chẳng hạn, với vì chống đơn quan hệ giữa độ dịch chuyển của vách 
trong quá trình khấu than Uk và quá trình phá hoả Uph là: 
 Uph = 0,65 Uk (2.2) 
 Với vì chống cơ khí hoá, quá trình di chuyển chúng ảnh hưởng rất lớn 
tới độ hạ võng của vách, so với khi khấu than. Bởi vì, khi dùng vì chống đơn, 
chỉ có hàng cột phía sau lò chợ được thu hồi và di chuyển, còn phần chiều 
 43
rộng còn lại của lò chợ duy trì chống giữ đá vách với tải trọng công tác ổn 
định đủ lớn. Trong khi đó, các đoạn vì chống cơ khí hoá khi được di chuyển 
về phía gương, bị dỡ tải trên cả chiều rộng của lò chợ và vách chỉ được chống 
giữ nhờ các đoạn vì lân cận. 
 Sơ đồ di chuyển vì chống có ý nghĩa quan trọng. Khi sử dụng vì chống 
cơ khí hoá, phổ biến nhất là sơ đồ di chuyển nối tiếp, trong đó các đoạn vì 
chống được di chuyển lần lượt theo thứ tự từng đoạn, hoặc cách quãng qua 
một hay hai đoạn và v.v..., lúc đó chỉ có một đoạn vì chống được dỡ tải và di 
chuyển trong lò chợ. Khi áp dụng sơ đồ di chuyển nhóm vì chống so le, một 
nửa số đoạn vì chống đồng thời bị dỡ tải và di chuyển trên cả chiều dài lò chợ. 
Trong thực tế, có khá nhiều các sơ đồ di chuyển vì chống trung gian giữa sơ 
đồ nối tiếp và sơ đồ theo nhóm so le. 
 Các kết quả nghiên cứu của Viện Mỏ Skachinski (Liên bang Nga) cho 
thấy rằng, với cùng một tải trọng công tác của vì chống, sơ đồ di chuyển nối 
tiếp bảo đảm giảm được trị số võng của vách khoảng 27 - 32% so với sơ đồ so 
le. Đó là bởi trong thời gian di chuyển vì chống theo sơ đồ so le, tải trọng 
công tác của chúng trên cả lò chợ bị giảm hai lần. Với sơ đồ nối tiếp, các đoạn 
vì chống có thể được di chuyển trực tiếp ngay phía sau máy liên hợp hoặc 
cách máy một khoảng uốn của máng cào lò chợ. 
 Khi di chuyển vì chống ngay sau máy liên hợp, việc khấu than và việc 
di chuyển vì chống cùng gây ảnh hưởng tới trạng thái của đá vách đồng thời 
tại một vị trí. Điều này dẫn đến sự gia tăng mạnh các ứng suất và tốc độ hạ 
võng của vách (khoảng 1,3 - 1,9 lần). Ngoài ra, khi đó cần phải chống giữ một 
khoảng rộng gia tăng của lò chợ bằng một bước di chuyển vì chống trên cả 
chiều dài lò chợ, làm cho điều kiện chống giữ vách trở nên khó khăn. 
 44
 Tốc độ hạ võng của vách sẽ suy giảm khi di chuyển các đoạn vì chống 
qua khoảng uốn của máng cào, cách máy liên hợp một đoạn 14 - 22 m. Khi 
đó, chỉ cần chống giữ khoảng rộng lớn nhất của lò chợ ở một phần nhỏ của 
nó, bằng đoạn uốn của máng cào, như vậy cải thiện được điều kiện chống giữ 
đá vách trong toàn bộ lò chợ. 
 Kết quả nghiên cứu của Viện ĐônUGI (Ucraina) cho thấy rằng, khi tăng 
tốc độ dịch chuyển gương lò chợ lên hai lần, thì giá trị hạ võng của vách ở 
gần tuyến phá hoả giảm đi 34 - 41% và đồng thời tốc độ hạ võng tăng lên 34 - 
46%. 
 Khi giảm giá trị hạ võng của đá vách, độ ổn định của nó trong lò chợ 
được gia tăng. Với tốc độ tiến gương trung bình hiện nay, 15 - 45% trị số 
võng của vách xảy ra trong quá trình khấu than. Phần trị số võng còn lại xuất 
hiện trong quá trình phá hoả và trong thời gian không tiến hành các quá trình 
sản xuất. Tốc độ dịch chuyển gương lò chợ càng lớn, thời gian vách hạ võng 
càng ngắn khi không thực hiện các quá trình sản xuất và trị số hạ võng của nó 
càng nhỏ. 
2.3. Một số giả thuyết về áp lực mỏ[13] 
 Để xác định lực tác động lên giá thủy lực khi chống giữ trong lò chợ bị 
ảnh hưởng của những biến đổi của áp lực mỏ. Do tính chất phức tạp của vấn 
đề này, cho đến nay có rất nhiều lý thuyết tính toán được đặt cơ sở trên các 
giả thuyết. 
2.3.1. Giả thuyết áp lực mỏ vòm cân bằng tự nhiên của giáo sư 
Protodiakonov M.M. 
 - Công nghệ khai thác áp dụng đối với tổ hợp giá thủy lực di động là 
công nghệ hạ trần và thu hồi than nóc. 
 45
 a 
 b 
 a) 
 c 
 a) Xung quanh lò cắt; 
 b) Sau khi phá hỏa ban đầu; 
 c) Giai đoạn khai thác ổn định. 
 Hình 2.3. Sự hình thành vòm cân bằng tự nhiên ở khu khai thác 
 - Việc khai thác than hầm lò chủ yếu vẫn áp dụng công nghệ khoan - nổ 
mìn (đất, đá bị nứt vỡ trên diện rộng) nên đất đá sập đổ sẽ hình thành dạng 
như hình 2.3 Trạng thái đầu tiên của lò chợ là lò cắt (hình 2.3a), lúc này sự 
phân bố áp suất của đá mỏ mà chủ yếu là đá vách, xung quanh nó tương tự 
như ở các đường lò chuẩn bị khác. Giáp với lò cắt là vùng ứng suất thấp hay 
còn được gọi là vùng biến dạng không đàn hồi, ở đây đá mỏ dịch chuyển, tách 
lớp và rạn nứt, chính vùng này gây ra áp lực tác động lên vì chống. Giới hạn 
phát triển của vùng này tạo ra một vòm được gọi là “vòm cân bằng tự nhiên”. 
Bao quanh vùng ứng suất thấp là vùng ứng suất cao hay được gọi là vùng biến 
 46
dạng đàn hồi, áp lực tăng của vùng này được mặt vòm tiếp nhận rồi truyền 
xuống chân vòm, gây ra áp lực tựa. Khi bắt đầu khai thác lò chợ, diện bóc lộ 
của đá vách sẽ lớn dần theo chiều dài khai thác và vùng biến dạng không đàn 
hồi cũng phát triển theo, tức là vòm cân bằng tự nhiên và áp lực tựa ở các 
vùng biên cũng sẽ lớn dần. Trên hình 2.3b thể hiện trạng thái phân bố áp suất 
và vị trí của vòm cân bằng tự nhiên ở thời điểm sau khi phá hỏa ban đầu. 
 Tiếp theo là giai đoạn khai thác ổn định của lò chợ đi cùng với các đợt 
phá hỏa đá vách thường kỳ như đã được phân tích ở trước. Trong giai đoạn 
này vòm cân bằng tự nhiên đạt kích thước tối đa và dịch chuyển theo tiến độ 
khai thác lò chợ (hình 2.3c), khi đó chân vòm phía trước luôn luôn gối lên 
trên khối than nguyên phía trước gương lò chợ, còn chân vòm phía sau rời 
khỏi khối nguyên, tiến dần vào khoảng trống đã khai thác và tựa lên vùng đá 
phá hỏa đã bị nén chặt trở lại. Để xác định áp lực mỏ tác động lên giá chống 
lò chợ theo giả thuyết áp lực mỏ vòm cân bằng tự nhiên của giáo sư M. M. 
Prôtôđiacônôv đề xuất sơ đồ tính toán được thể hiện trên hình 2.4. Giả thuyết 
cho rằng chỉ có đá vách nằm bên trong vòm cân bằng tự nhiên tác động lên 
giá chống lò chợ. 
 B C 
 H
 x y
 O x 
 M 
 ax
 x
 m
 y
 y
 A D 
 b 
 b1 
 a S 
 y 
 S 2a 
 2a1 
 Hình 2.4. Sơ đồ tính tải trọng tác động lên giá chống thủy lực. 
 47
2.3.2. Lý thuyết các block liên động do Kuznesov G.H. 
 - Lực tác dụng lên vì chống theo lý thuyết block liên kết động 
 Hình 2.5. Sơ đồ lực tác dụng lên cột của giá chống thuỷ lực. 
Thuần túy về lý thuyết bỏ qua góc , có phương trình cân bằng: 
 Mq -M R1 -M R2 =0 (2.3)
 RR Δh Δh
Từ giản đồ này: 1= 2 ; 1= 2 (2.4)
 Δh1 Δh 2 lt - d 1 l t
 Δh1 .R 2 lt .Δh 1
Ta có: R1 = và Δh2 = (2.5) 
 Δh2 lt -d 1
 q(l +l )2 .(l - d ).d
Cuối cùng có: R = t s t 1 2 (2.6) 
 1 2 2 
 2. lt +(l t - d 1 ) 
 q.(l +l )2 .l .d
 R = t s t 2 (2.7) 
 2 2. l2 +(l - d ) 2 
 t t 1 
Trong đó: lt- chiều rộng toàn phần; m. 
 lab- chiều rộng lò chợ; m. 
 ls- chiều dài consol- bước sập đổ trần than và đá vách phá hỏa; m. 
 q- tải trọng vách trực tiếp lên vì chống; T/m2. 
 R1- Tải trọng lên cột phía trước; T. 
 48
 R2- tải trọng lên cột phía sau; T. 
 d2- khoảng cách tính từ trục của 02 giá chống liền cạnh nhau; m. 
Về lý thuyết, áp lực lớn nhất sẽ có khi R1= 0 
 2
 q.(lt +l s )
 Rmax = (2.8) 
 2.lt
Suy ra, MR1= 0 từ (2.3) có tải trọng tác động toàn bộ lên cột phía trước. Rmax= 
R2. 
 2
 q.(lt l s ) .d 2
 RPmax i (2.9) 
 2.lt
Trong đó: Pi - tải trọng ban đầu; T. 
2.4. Lý thuyết về cơ học môi trường liên tục[15] 
2.4.1. Ten xơ ứng suất 
 Hình 2.6. Ten xơ ứng suất 
Ten xơ ứng suất được xác định như sau: 
 11  12  13 
 e1 e 2 e3 
  TTT    (2.10) 
 21 22 23 
 31  32  33 
Trong đó: 12  21;;  23  32  13  31 
2.4.2. Định luật Húc 
 Định luật Húc là định luật thể hiện mối quan hệ giữa ứng suất σ và biến 
dạng ε trong miền đàn hồi:  E  , trong đó E là mô đun đàn hồi. 
 49
Định luật Húc 3 chiều được viết như sau: 
 1
 11  11   22  33 
 E
 1
 22  22   33  11 
 E
 (2.11) 
 1
 33  33   11  22 
 E
 1 1 1
  ;;    
 122G 1223 2G 2331 2G 31
Hay viết dưới dạng ma trận: 
 11  11 1   0 0 0  11 
   1  0 0 0 
 22 22 22 
   1   1 0 0 0  
 33 33 33 (2.12) 
 212  12 E 0 0 0 2 1  0 0  12 
 2  0 0 0 0 2 1  0  
 23 23 23 
 0 0 0 0 0 2 1  
 232  32  32 
 ij 2  ij gọi là biến dạng cắt kỹ thuật. 
Công thức trên có thể viết lại như sau: 
 11 1    0 0 0  11 
 1   0 0 0 
 22 22 
  E  1  0 0 0  
 33 33 3.20 
 12 1  1 2  0 0 0 1 2  / 2 0 0 2  12 
  0 0 0 0 1 2  / 2 0 2  
 23 23 
 0 0 0 0 0 1 2  / 2 
 32 2  32 
Hoặc sử dụng các hằng số Lamê: ,  
 11 2    0 0 0  11 
   
 22 2    0 0 0 22 
 33  2   0 0 0  33 
 (2.13) 
 12 0 0 0 0 0 2  12 
 230 0 0 0 0 2  23
 32 0 0 0 0 0  2  32 
 50
 Đối với trường hợp ứng suất phẳng: 31  13  23  32  33 0 định luật 
Húc được viết dưới dạng sau: 
 11 1  0  11 
 1 
  1 0  (2.14) 
 22 E 22 
 212 0 0 2 1   12 
 11 1 0  11 
 E 
Hay:  1 0  (2.15) 
 22 1 2 22 
  1  2  
 12 0 0 12 
 2 
2.4.3. Ứng suất tương đương Von – Mises 
 Hình 2.7.Mô hình tính toán 
 1
Ứng suất thủy tĩnh:     
 m3 1 2 3
Định luật Húc một chiều được viết như sau:  E  
Trong đó:  là ứng suất, E là mô đun đàn hồi, là biến dạng đàn hồi. 
Năng lượng biến dạng theo một chiều được xác định theo công thức sau: 
   1 1
 A  d E  d E  2  
 0 0 2 2
Vậy tổng năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích được xác định theo 
 1
công thức sau: A       
 2 1 1 2 2 3 3
Mặt khác theo định luật Húc 3 chiều có: 
 51
 1
 1  1   2  3 
 E
 1
 2  2   3  1 
 E
 1
 3  3   1  2 
 E
 1
Suy ra: A      2 2 2 
 2E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 
 1 2 
 A    2 2 2 2    
 v6E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 
Năng lượng biến dạng lệch cho một đơn vị thể tích được xác định: AAAd v 
 2 2 2 
 1   1 2   2 3   3 1 
Hay: Ad 
 3E 2 
Trong các thí nghiệm kéo một chiều các vật liệu dẻo có: 1 S y ,  2  3 0 
 1  2
Thay vào phương trình được: AS , Sy là ứng suất chảy của vật liệu. Để 
 d3E y
 0.5
 2 2 2 
  1 2   2 3   3 1 
biến dạng dẻo xảy ra thì phải có: Sy 
 2 
Vế trái của phương trình đặc trưng cho ứng suất tương đương và được gọi là 
ứng suất Von-Mises, được kí hiệu là: σeq 
 1 2 2 2
        (2.16) 
 eq2 1 2 2 3 3 1
Trường hợp tổng quát cho ứng suất Von-Mises được viết như sau: 
 1 2 2 2
  eq   xx yy   yy zz   zz xx 6    xy yz zx (2.17) 
 2
 52
 Hình 2.8. Ứng suất Vôn –Mises trong không gian ứng suất chính 
2.5. Lý thuyết về ống dày[15] 
2.5.1. Khái niệm ống dày: 
 Ở đây ta chỉ xét các loại ống có mặt cắt ngang không đổi, chịu áp suất 
phân bố đều bên trong và bên ngoài. Ta gọi là ống dày vì chiều dày  của 
thành ống không quá nhỏ so với bán kính trong a. 
 Trong thực tế ta gặp các loại ống khác nhau: ống có hai đáy, ống có một 
đáy hoặc không có đáy. Ống có chiều dài khá lớn, nhưng cũng có chi tiết 
dạng ống nhưng chiều dài khá ngắn như các vòng đệm ở các ổ trượt 
v.v(hình 2.9) 
 Hình 2.9. Mô hình tính toán 
 Với loại ống có chiều dài khá lớn, vì biến dạng theo chiều trục bị cản trở 
nên các mặt cắt ngang vuông góc với trục ống xuất hiện một hệ ứng suất pháp 
 z . Khi đó biến dạng chỉ xảy ra trên các mặt cắt ngang, vì vậy bài toán được 
 53
gọi là bài toán biến dạng phẳng. Với loại chiều dài không lớn, do biến dạng 
theo chiều trục không bị cản trở nên không xuất hiện hệ ứng suất dọc trục. 
Trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất phẳng, nên được gọi là bài toán ứng 
suất phẳng. 
 Phương pháp giải hai bài toán này là như nhau. Vì vậy ta chỉ để ý đến bài 
toán ứng suất phẳng, nghĩa là thừa nhận biến dạng theo chiều trục là tự do, 
thành phần  z = 0. Để đơn giản bài toán, ta đưa giả thuyết sau đây: 
 Mặt cắt ngang của ống trước và sau biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với 
trục của ống. Điều đó có nghĩa là mọi điểm trên mặt cắt ngang có  z như 
nhau. Xét một lát mỏng được tách ra bởi hai mặt cắt ngang cách nhau một 
khoảng cách dz (hình 2.9). Kí hiệu a, b là các bán kính trong và ngoài của 
ống. Giả sử ống chịu áp suất phân bố đều bên trong pa và bên ngoài pb. Vấn 
đề đặt ra là phải xác định được trạng thái ứng suất và chuyển vị của các điểm 
trên thành ống. 
2.5.2. Công thức tính ứng suất và chuyển vị 
a) Tương quan giữa chuyển vị và biến dạng: 
 Vì tính chất đối xứng, một điểm nào đó trên thành ống chỉ có thể có thành 
phần chuyển vị theo hướng kính u và u là hàm số theo r, u = u(r). 
 Ta hãy xét hai điểm A và B nằm trên cùng đường bán kính r cách nhau 
khoảng cách vô cùng bé dr(hình 2.10) 
 u
 Gọi u là chuyển vị của A thì chuyển vị của B sẽ là: u dr 
 r
 u
 Vậy biến dạng theo chiều hướng kính của AB là:  
 r
 Vì u là hàm số chỉ phụ thuộc vào r nên biểu thức đó được viết lại như 
 du
 sau:  (2.18) 
 dr
 54
 Xét biến dạng theo phương tiếp tuyến taị A. Chu vi của đường tròn đi 
qua A trước khi biến dạng là 2 r . 
 Sau khi biến dạng, điểm A có chuyển vị u nên đường tròn qua A có 
chiều dài là 2 (r + u). 
 2 r u 2 r u
Vậy biến dạng theo phương tiếp tuyến là:  (2.19) 
 r 2 r r
b) Phương trình vi phân cân bằng 
 Tách ra khỏi A một phân tố ABCDEFGH bằng các mặt cắt sau đây: hai 
mặt trụ đi qua A,B hai mặt cắt chứa trục z của ống và tạo với nhau một góc 
d (hình 2.10) 
 Hình 2.10. Điều kiện cân bằng phân tố 
 Vì u chỉ phụ thuộc r nên những điểm có cùng khoảng cách đến trục phải 
có cùng chuyển vị. Nói một cách khác các góc vuông của phân tố không thay 
đổi trong quá trình ống biến dạng. Phân tố không có biến dạng góc, vậy trên 
các mặt cắt không có ứng suất tiếp. Nói một cách khác, các mặt phẳng của 
phân tố là các mặt chính. Nếu kí hiệu hiệu ứng suất pháp trên mặt AEHD là 
 r thì ứng suất trên mặt BFGC là  r + d r; Vì lí do đối xứng nên ứng suất 
pháp  r trên các mặt cắt ABCD Và EFGH được xem là bằng không, vì  z 
không bị cản trở. 
 Chiếu tất cả các lực lên phương phân giác của d ta có phương trình: 
 55
 d 
    drdz d r drddz  2 dzdrsin 0 
 r r r t 2
 Sau khi rút gọn và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao ta được: 
 d
   rr 0 (2.20) 
 r t dr
 Đó là phương trình vi phân cân bằng của phân tố. 
c) Tương quan giữa ứng suất và biến dạng 
 Như trên chúng ta vừa phân tích, trạng thái ứng suất của phân tố là trạng 
thái ứng suất phẳng, vì vậy ta có các tương quan giữa biến dạng và ứng suất 
theo định luật Húc như sau: 
 1
  []  
 tE t r
 1
  []   (2.21) 
 rE r t
 
  []  
 zE t r
Trong đó  là hệ số Poát-xông 
 Vì mọi điểm trên mặt cắt đều có  z như nhau nên có thể xem  z là một 
hằng không phụ thuộc vào r. Vậy từ biểu thức thứ ba của (2.21) ta có thể viết: 
  t +  r = 2A (2.22) 
A là một hằng số nào đó thay (2.22) vào (2.20) công thức trên ta được: 
 d
 2 rr 2A 
 r dr
Nhân cả 2 vế với r, phương trình có dạng: 
 d
 2r r2 r 2Ar 
 r dr
 d
Hay: (r2 ) 2Ar 
 dr r
 56
 2 2
Sau khi lấy tích phân ta có: r  r Ar B (2.22) 
Trong đó B là hằng số tích phân. Kết hợp giữa hai công thức (2.22) và (2.21) 
 B
 r A 2
ta tìm thấy: r (2.23) 
 B
  A 
 t r2
Các hằng số A và B được xác định từ các điều kiện biên sau đây: 
Khi r = a,  r = -pa và khi r = b,  r = -pb . Ta có hệ phương trình: 
 BB
 A p ;A p 
 a2a b 2 b
Giải hệ phương trình đó ta có: 
 p a2 p b 2 a 2 b 2 (p p )
 A;B a b b a (2.24) 
 b2 a 2 b 2 a 2
Vậy ứng suất  r và  t có trị số là: 
 p a2 p b 2 a 2 b 2 (p p )
  a b b a 
 r b2 a 2 (b 2 a 2 )r 2
 p a2 p b 2 a 2 b 2 (p p )
  a b b a (2.25) 
 t b2 a 2 (b 2 a 2 )r 2
Các công thức đó gọi là công thức của Lame. 
 1
Kết hợp (2.19) và biểu thức thứ nhất của (2.21) ta có: u (   )r 
 E t r
Thay (2.23) vào đây ta có công thức của chuyển vị: 
 1  1 
 u