Luận án Phát triển và ứng dụng các phương pháp phân tích tín hiệu trong chẩn đoán vết nứt kết cấu hệ thanh

 với tần số cao (chi tiết). Xấp xỉ giữ nguyên dạng 
chính của tín hiệu, trong khi các chi tiết mô tả các tín hiệu khác thêm vào tín hiệu 
chính nhƣ: thay đổi nhỏ, nhiễu, tín hiệu không dừng 
 Quá trình phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết có thể đƣợc lặp lại bằng 
cách coi xấp xỉ ở mức trƣớc là tín hiệu và tiếp tục phân tích thành xấp xỉ và chi tiết 
ở mức cao hơn. Do đó một tín hiệu gốc có thể đƣợc phân tích thành nhiều thành 
phần với độ phân giải thấp dần. Cách thức phân tích tín hiệu nhƣ thế đƣợc gọi là 
cây phân tích nhƣ mô tả ở hình dƣới đây. Ở hình 3.1, S là tín hiệu gốc, đƣợc phân 
tích thành xấp xỉ cA1 ở mức 1 và chi tiết cD1 ở mức 1. Tiếp theo, cA1 lại đƣợc phân 
tích thành xấp xỉ cA2 ở mức 2 và chi tiết cD2 ở mức 2 v.v. 
 Hình 3.1. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết. 
3.1.2. Phổ năng lượng wavelet 
 Phổ năng lƣợng wavelet đƣợc định nghĩa là bình phƣơng của hệ số wavelet 
đƣợc viết dƣới dạng sau: 
 2
 1 * tb 
 S(,)(). a b f t dt (3.12) 
 aa 
 53 
 Phổ wavelet trung bình có thể xác định bằng cách tính tích phân trên miền 
thời gian, có thể đƣợc biểu diễn nhƣ sau đối với một tín hiệu trong khoảng thời gian 
hữu hạn: 
 21 T
 S(,)(,). a b S a b db
 wt (3.13) 
 CTg 0
 Năng lƣợng tích lũy trong miền tần số, ký hiệu bởi Ef() đƣợc xác định bởi 
toán tử tích phân tại mỗi tần số của phổ wavelet trung bình thông qua biểu thức sau: 
 fi f
 E f S0 df . (3.14) 
 WT f
 f1
 Tƣơng tự, phổ wavelet trung bình trong miền thời gian có thể đƣợc định 
nghĩa nhƣ sau: 
 fn
 f0
 SWT b S ,. b df (3.15) 
 f
 f1 
 Năng lƣợng tích lũy theo miền thời gian, ký hiệu là Et() đƣợc xác định nhƣ 
sau: 
 bj
 E b S(). t db (3.16) 
 j WT
 b1
 Tốc độ thay đổi của độ đo năng lƣợng tích lũy này theo thời gian hoặc tần số 
 dE() t dE() f
đƣợc ký hiệu bởi hay , cực đại của các tốc độ thay đổi này sẽ tạo nên 
 dt df
các “lƣỡi dao” trong mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn. 
 54 
 Hình 3.2. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số không đổi trong quá 
 trình dao động. 
 Hình 3.2 ở trên minh họa một phổ wavelet của một kết cấu có tần số không 
đổi trong quá trình dao động. Ở hình này ta thấy năng lƣợng của dao động tập trung 
tại tần số xung quanh 1.6 Hz trong suốt quá trình dao động. 
Hình 3.3. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số thay đổi trong quá trình 
 dao động. 
 Trong khi đó hình 3.3 minh họa phổ wavelet của một kết cấu có tần số thay 
đổi theo thời gian. Trên hình vẽ này ta thấy trong khoảng thời gian từ 0 đến khoảng 
7s tần số mang năng lƣợng lớn của dao động tập trung xung quanh giá trị 1.6 Hz, 
sau đó tần số này giảm xuống các giá trị thấp hơn trong khoảng thời gian từ 7s đến 
10s. Tần số này cuối cùng sẽ có những sự thay đổi nhỏ trong khoảng thời gian từ 
10s đến 17.6s. 
 Khi kết cấu cầu có vết nứt xảy ra đột ngột trong quá trình động đất thì độ 
cứng của cầu sẽ bị suy giảm đột ngột. Sự thay đổi tần số trƣớc và sau khi xuất hiện 
vết nứt đột ngột thƣờng rất khó có thể phát hiện đƣợc khi phân tích tín hiệu phản 
ứng động của kết cấu trong miền thời gian cũng nhƣ trong miền tần số. 
 55 
 Hơn nữa, việc phát hiện thời điểm xuất hiện vết nứt cũng rất quan trọng và 
cũng không thể phát hiện đƣợc dựa trên các phƣơng pháp phân tích số liệu thông 
thƣờng. 
 Tuy nhiên, biến đổi wavelet biến đổi tín hiệu sang miền tần số trong khi 
thông tin về thời gian vẫn giữ đƣợc lại, phổ wavelet có thể đƣợc sử dụng để phát 
hiện sự thay đổi đột ngột của tần số cả về thời điểm xảy ra lẫn mức độ thay đổi của 
nó ngay trong quá trình xảy ra động đất. Bình phƣơng của mô đun hệ số wavelet 
hay phổ năng lƣợng wavelet có thể diễn giải nhƣ là phân bố mật độ năng lƣợng trên 
mặt phẳng ab, thời gian - hệ số co giãn. 
 Năng lƣợng của một tín hiệu đƣợc tập trung trên mặt phẳng thời gian - hệ số 
co giãn xung quanh “lƣỡi dao” trong phổ wavelet. Do hệ số co giãn tƣơng ứng với 
tần số nên “lƣỡi dao” trong phổ wavelet tƣơng ứng với tần số phụ thuộc thời gian 
của tín hiệu dao động hay còn gọi là tần số tức thời (IF). Do đó, tần số tức thời của 
tín hiệu có thể đƣợc quan sát bằng cách quan sát sự thay đổi của “lƣỡi dao” trong 
phổ wavelet. 
 Để thuận tiện trong việc diễn giải tần số tức thời theo quan niệm thông 
thƣờng, mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn sẽ đƣợc biến đổi sang mặt phẳng thời 
gian - tần số thông qua tựa tần số nhƣ sau: 
 F
 F c . (3.17) 
 a a 
 Ở đây a là hệ số co giãn, là chu kỳ lấy mẫu, Fc là tần số trung tâm của 
hàm wavelet tính bằng Hz, Fa là tựa tần số tƣơng ứng với hệ số co giãn a, tính bằng 
Hz. 
 Nhƣ vậy, để quan sát sự biến đổi của tần số tức thời của cầu trong quá trình 
động đất, phổ năng lƣợng wavelet S a, b , mà nó chính là độ đo sự thay đổi tại mỗi 
thời điểm tại mỗi hệ số co gian sẽ đƣợc sử dụng luận án này. Sử dụng phổ wavelet 
để theo dõi sự thay đổi của tần số tức thời (IF) thì sự thay đổi đột ngột của tần số 
khi có vết nứt đột ngột sinh ra do tác động của động đất sẽ đƣợc phát hiện. 
 56 
 Sơ đồ thuật toán để trích ra đƣợc tần số tức thời IF đƣợc biểu diễn nhƣ sau: 
Đ ọc số liệu Biến đổi wavelet Tính phổ Quan sát tần 
 dao động số liệu dao động wavelet số tức thời IF 
 Sai IF 
 Không có hƣ hỏng thay đổi 
 Đúng 
 Có hƣ hỏng 
 3.1.3. Các hàm wavelet 
 Các loại tín hiệu khác nhau có thể đƣợc phân tích hiệu quả bởi các hàm 
 wavelet khác nhau. Nhiều hàm wavelet đã đƣợc xây dựng sẵn, trong số những hàm 
 này, một số hàm wavelet đã đƣợc chứng minh là có thể áp dụng trong thực tế. Phần 
 này sẽ giới thiệu ngắn gọn về một số hàm wavelet. 
 a. Hàm Haar 
 Hàm này không liên tục, tƣơng tự nhƣ hàm bƣớc nhảy. Hàm Haar đƣợc định 
 nghĩa nhƣ sau [122]: 
  xx 1 khi 0 0.5
  xx 1 khi 0.5 1 . (3.18) 
  xx 0 khi ,0  1, 
 Hình 3.4. Hàm Haar. 
 57 
b. Hàm Daubechies 
 Các hàm wavelet này không có biểu thức dạng hiện, ngoại trừ hàm wavelet 
Haar là trƣờng hợp đơn giản nhất của hàm wavelet Daubechies [123]. Hàm 
Daubechies là các hàm không đối xứng. Các hàm này rất tốt khi biểu diễn ứng xử 
đa thức trong tín hiệu. Hình 3.5 trình bày 9 hàm wavelet Daubechies. 
 Hình 3.5. Hàm Daubechies. 
c. Hàm Symlets 
 Họ hàm wavelet này gần nhƣ là hàm wavelet đối xứng đƣợc đƣa ra bởi 
Daubechies [123]. Hình 3.6 mô tả sáu hàm wavelet Symlet. 
 58 
 Hình 3.6. Hàm Symlet. 
d. Hàm Coiflets 
 Các hàm wavelet Coiflets đƣợc sửa đổi từ hàm wavelet Daubechies [123]. 
Hình 3.7 mô tả bốn hàm wavelet Coiflets. 
 Hình 3.7. Hàm Coiflets. 
 59 
e. Hàm Morlet 
 Hàm Morlet có biểu diễn dạng hiện nhƣ sau [123]: 
 1
 x2
  (x ) Ce2 cos(5 x ). (3.19) 
 Hình 3.8 biểu diễn đồ thị của hàm wavelet từ phƣơng trình (3.19). 
 Hình 3.8. Hàm Morlet. 
f. Hàm Mexican Hat 
 Hàm wavelet Mexican Hat là hàm tỷ lệ với hàm nhận đƣợc từ đạo hàm bậc 
hai của hàm phân bố xác suất Gauss. Công thức của hàm Mexican Hat có dạng sau 
[123]: 
 1 x2
 2 
  x 42 1. x2 e (3.20) 
 3
 Hình 3.9. Hàm Mexican Hat. 
 60 
g. Hàm Meyer 
 Hàm wavelet Meyer đƣợc định nghĩa trong miền tần số nhƣ sau [123]: 
 1 j
 2 3 2 4 
 ˆ  2 2 e sin   1 khi  
 2 2 3 3
 1
 j
 2
 2 3 4 8 
 ˆ  2 e cos   1 khi  . (3.21) 
 2 2 3 3
 28 
 ˆ  0 khi  ,
 33
 Hình 3.10. Hàm Meyer. 
 Dựa vào hình dạng của các hàm wavelet này, ta có thể lựa chọn hàm wavelet 
phù hợp với dạng của tín hiệu. Nếu tín hiệu có hình dạng phức tạp, hoặc một số chi 
tiết trong tín hiệu bị ẩn đi, khi đó nên thử tất cả các hàm wavelet từ đó chọn ra hàm 
wavelet cho kết quả tốt nhất. 
3.2. Phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử trong miền tần số 
 Ta xét ma trận độ cứng của phần tử thứ i để làm rõ khái niệm “phân bố chỉ số 
độ cứng phần tử”: 
 i i i i
 k11 k 12 k 13 k 14
 ki k i k i k i
 Ki 21 22 23 24 . (3.22) 
 e i i i i
 k31 k 32 k 33 k 34
 i i i i
 k41 k 42 k 43 k 44
 Ma trận độ cứng tổng thể có dạng: 
 61 
 1 1 1 1
 k11 k 12 k 13 k 14 00
 1 1 1 1
 k21 k 22 k 23 k 24 00
 k1 k 1( k 1 k 2 ) ( k 1 k 2 ) k 2 k 2 0 0
 31 32 33 11 34 12 13 14
 k1 k 1( k 1 k 2 ) ( k 1 k 2 ) k 2 k 2 0 0
 41 42 43 21 44 22 23 24
 2 2 2 3 2 3 3 3
 0 0k31 k 32 ( k 33 k 11 ) ( k 34 k 12 ) k 13 k 14 0 0
 2 2 2 3 2 3 33
 0 0k41 k 42 ( k 43 k 21 ) ( k 44 k 22 ) k 23 k24 00
 0 0k3 k 3 ( k 3 k 4 ) ( k 3 k 4 ) k 4 k 4 0 0
 31 32 33 11 34 12 13 14
K 0 0k3 k 3 ( k 3 k 4 ) ( k 3 k 4 ) k 4 k 4 0 0 .
 41 42 43 21 44 22 23 24
 i 1 i 1 i 1 i i 1 i i i
 0 0k31 k 32 ( k 33 k 11 ) ( k 34 k 12 ) k 13 k 14 0
 0 0ki 1 k i 1 ( k i 1 k i ) ( k i 1 k i ) k i k i 0
 41 42 43 21 44 22 23 24
 00 ki k i()() k i k i 11 k i k i
 31 32 33 11 34 12
 i i i i 11 i i
 0 0k41 k 42 ( k 43 k 21 ) ( k 44 k 22 )
 (3.23) 
 i
 Phƣơng trình (3.23) ta thấy ma trận con K e có dạng: 
 i 11 i i i i i
 ()()k33 k 11 k 34 k 12 k 13 k 14
 i 11 i i i i i
 i ()()k43 k 21 k 44 k 22 k 23 k 24
 K e . (3.24) 
 ki k i()() k i k i 11 k i k i
 31 32 33 11 34 12
 i i i i 11 i i
 k41 k 42()() k 43 k 21 k 44 k 22
 Ma trận độ cứng tổng thể đƣợc thiết lập từ ma trận độ cứng của phần tử thứ i 
với một số thành phần bổ sung của ma trận độ cứng của phần tử thứ (i 1) và (i 1) . 
 i
 Từ đó, ma trận con K e đƣợc sử dụng để mô tả độ cứng của phần tử thứ i đối 
với bài toán phát hiện vết nứt. Thật vậy, từ phƣơng trình (3.24) ta thấy khi phần tử 
 i 1 i i 1
thứ i xuất hiện vết nứt, chỉ có ba ma trận Ke , K e , Ke bị thay đổi. 
 i
 Do đó, ma trận K e phản ánh tính chất về độ cứng địa phƣơng. Nhƣ vậy, sự 
 i
thay đổi về dạng của ma trận con K e có thể đƣợc dùng nhƣ một chỉ số của hƣ hỏng 
tại phần tử thứ i. 
 62 
 Từ ma trận độ cứng tổng thể, để phát hiện thay đổi về dạng của ma trận con 
 i
K e ta định nghĩa phân bố chỉ số độ cứng phần tử nhƣ sau: 
 1
  12,  ,..., Q ,iQ 1.. , (3.25) 
 max i 
 i
 i i T i
 ở đó i KKK emax j e e là chỉ số độ cứng phần tử thứ i; Q là 
 2 j 
số phần tử hữu hạn. Khi vết nứt xuất hiện tại phần tử thứ i, phân bố chỉ số độ cứng 
phần tử sẽ thay đổi ở phần tử thứ i. 
 Nếu ma trận độ cứng tổng thể có thể xây dựng lại từ số liệu đo đạc, thì dựa 
vào phân bố chỉ số độ cứng phần tử (3.25) có thể phát hiện đƣợc vết nứt trên kết cấu. 
Từ phƣơng trình dao động của kết cấu: 
 Ky(t ) f ( t ) My ( t ) Cy ( t ). (3.26) 
 Biến đổi Fourier hai vế phƣơng trình (3.26) thu đƣợc: 
 KY( ) F (  ) 2 MY (  ) i  CY (  ). (3.27) 
 Nếu biết các ma trận FY( ), ( ) , M, C, thì ma trận K có thể đƣợc xây dựng 
lại theo công thức (3.27). Tuy nhiên, dữ liệu phải đo đạc đồng thời là rất nhiều. Để 
khắc phục điều này, thì phƣơng pháp hàm đáp ứng tần số (FRFs) đƣợc sử dụng. 
 Thật vậy, giả sử chỉ có lực ngoài với biên độ không đổi tác dụng lên bậc tự 
do thứ k cố định và tín hiệu chuyển vị đƣợc đo liên tục tại mỗi bậc tự do, hàm đáp 
ứng tần số tƣơng ứng với bậc tự do thứ i có dạng: 
 Yi  
 Hi  , (3.28) 
 Fk  
 ở đó Yi () là thành phần thứ i của véc tơ Y; Fk () là thành phần thứ k của 
véc tơ F() , từ phƣơng trình(3.28) ta có: 
 YHFi  i  k  . (3.29) 
 Do đó, véc tơ Y có dạng: 
 63 
 YH  kk  F  , (3.30) 
 T
 ở đó Hkn  HHH12,,,  là véc tơ của hàm đáp ứng tần số , thu đƣợc 
từ lực ngoài tác động lên bậc tự do thứ k cố định với các tín hiệu đáp ứng đo đƣợc 
tại mọi bậc tự do. Hàm đáp ứng tần số có thể đƣợc đo bằng thiết bị rung động một 
đầu vào – một đầu ra. 
 Thay phƣơng trình (3.30) vào phƣơng trình (3.27), thu đƣợc: 
 2
 KH()()()().Fk  F   MH  F k  i  CH  F k  (3.31) 
 Chia hai vế (3.31) cho Fk () thu đƣợc: 
 F()
 KH( ) 2 MH (  ) i  CH (  ). (3.32) 
 Fk  
 Vì chỉ có thành phần thứ k của lực ngoài khác không, thành phần đầu tiên ở 
vế phải phƣơng trình (3.32) là véc tơ hằng số với thành phần thứ k bằng một, và các 
thành phần khác bằng không. Ký hiệu véc tơ hằng số này là L, phƣơng trình (3.32) 
có dạng: 
 KH( ) L 2 MH (  ) i  CH (  ). (3.33) 
 Trong thực tế phép quay rất khó đo đạc. Tuy nhiên, do phép quay là đạo hàm 
của phép tịnh tiến: 
 yt()
 yt(), t (3.34) 
 r x
 ở đó r và t ký hiệu phép quay và phép tịnh tiến, trong phân tích phần tử hữu 
hạn thì phép quay tại nút đƣợc xấp xỉ bằng phép tịnh tiến tại hai nút kề nhau nhƣ 
sau: 
 y()() t y t
 yt(), t, i 1 t , i (3.35) 
 ri, x
 ở đó ytri, () là góc quay tại nút thứ i; ytti, () và ytti,1 () là tịnh tiến của các nút 
thứ i và (i+1). Biến đổi Fourier hai vế của phƣơng trình (3.35) thu đƣợc: 
 64 
 YY()() 
 Y (). t, i 1 t , i (3.36) 
 ri, x
 Thay phƣơng trình (3.29) vào phƣơng trình (3.36), thu đƣợc: 
 HH()() 
 HFF(), t, i 1 t , i (3.37) 
 r, i k x k
 hay: 
 HH()() 
 H (). t, i 1 t , i (3.38) 
 ri, x
 Do đó, chỉ cần đo đạc hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với phép tịnh tiến, hàm 
đáp ứng tần số tƣơng ứng với phép quay đƣợc tính từ phƣơng trình (3.38) từ đó thu 
đƣợc toàn bộ véc tơ H. Véc tơ H không phụ thuộc vào lực và chuyển vị, mà chỉ phụ 
thuộc vào tính chất của dầm. 
 Nếu biết các ma trận H, M, C, thì ma trận K sẽ đƣợc tính từ phƣơng trình 
(3.33) khi chia hai vế của phƣơng trình này cho ma trận H. Giả sử các vết nứt 
không làm ảnh hƣởng đến ma trận khối lƣợng, khi đó ma trận phần tử hữu hạn M 
của dầm nguyên vẹn đƣợc xem là dữ liệu chính xác. Tuy nhiên, thực tế ma trận C 
không thể đo đạc đƣợc, ma trận này đƣợc tính xấp xỉ từ ma trận M và K của dầm 
nguyên vẹn theo phƣơng trình (2.45). 
 Do đó, khi xuất hiện vết nứt và vị trí vết nứt chƣa biết, thì ma trận K tính từ 
phƣơng trình (3.33) sẽ không chính xác. Để khắc phục điều này, các thành phần của 
ma trận độ cứng từ mỗi hàng đƣợc tính riêng biệt từ phƣơng trình (3.33). Thành 
phần trên mỗi hàng của ma trận độ cứng tƣơng ứng với phần tử nguyên vẹn đƣợc 
tính chính xác, vì các thành phần này đƣợc tính từ các thành phần của ma trận M, C 
thu đƣợc từ dầm nguyên vẹn. Chỉ có duy nhất thành phần của ma trận độ cứng trên 
các hàng tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt sẽ không đƣợc tính chính xác. Điều 
này sẽ dẫn đến sự thay đổi của phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Các thành phần của 
ma trận độ cứng trên mỗi hàng đƣợc tính từng bƣớc từ phƣơng trình (3.33) nhƣ sau. 
 Trƣớc tiên, phân tích các thành phần trên hàng đầu tiên của ma trận K. Từ 
phƣơng trình (3.23), nhận thấy bốn thành phần đầu tiên nằm trên hàng là khác 
 65 
không, do đó bốn phƣơng trình độc lập này phải đƣợc tính toán. Sử dụng các đáp 
ứng động lực học tại bốn tần số 1,,,  2  3  4 , thay vào phƣơng trình (3.33) thu 
đƣợc: 
 22
kH11 1()()()()()()() 1 kH 12 2  1 kH 13 3  1 kH 14 4  1 L 1  1  1 mH 11 1  1  1 mH 12 2  1 
 22
 1mH 13 3()()()()()()  1 1 mH 14 4  1 icH 1 11 1 1 icH 1 12 2  1 icH 1 13 3  1 icH 1 14 4  1
 22
k11 H 1()()()()() 2 k 12 H 2  2 k 13 H 3  2 k 14 H 4  2 L 1  2  2 m11 H 1()() 2  2 m 12 H 2  2
 22
 2mH 13 3()()()()()()  2 2 mH 14 4  2 icH 2 11 1 2 icH 2 12 2  2 icH 2 13 3  2 icH 2 14 4  2
 22
kH11 1()()()()()()() 3 kH 12 2  3 kH 13 3  3 kH 14 4  3 L 1  3  3 mH 11 1  3  3 mH 12 2  3 
 22
 3m 13 H 3()(  3  3 m 14 H 4  3 )()()()() icH3 11 1  3 icH  3 12 2  3 icH  3 13 3  3 icH  3 14 4  3
 22
kH11 1()()()()()()() 4 kH 12 2  4 kH 13 3  4 kH 14 4  4 L 1  4  4 mH 11 1  4  4 mH 12 2  4 
 22
 4mH 13 3()()()()()  4 4 mH 14 4  4 icH 4 11 1 4 icH 4 12 2  4 icH 4 13 3  4 icH 4 14 4 (4 ),
 (3.39) 
 ở đó kij, m ij , c ij , L i ( j ), H i ( j ) là các thành phần của ma trận K, M, C, L, H. 
 Ký hiệu: 
 HHHH1()()()() 1 2  1 3  1 4  1
 HHHH()()()()   
 A 1 2 2 2 3 2 4 2 , (3.40) 
 1 HHHH()()()()   
 1 3 2 3 3 3 4 3
 HHHH1()()()() 4 2  4 3  4 4  4
 ˆ T
 K1 k11 k 12 k 13 k 14  , (3.41) 
 44
 2
 L1()()() 1   1 m 1j H j  1 i  1 c 1 j H j  1
 jj 11
 44
 2
 L1()()() 2   2 m 1j H j  2 i  2 c 1 j H j  2
 jj 11
 B , (3.42) 
 1 44
 2
 L1()()() 3   3 m 1j H j  3 i  3 c 1 j H j  3
 jj 11
 44
 2
 L1()()() 4   4 m 1j H j  4 i  4 c 1 j H j  4
 jj 11
 phƣơng trình (3.39) có dạng: 
 ˆ
 AKB1 1 1, (3.43) 
 hay: 
 66 
 ˆ 1
 KAB1 1 1, (3.44) 
 Bốn thành phần trên hàng đầu tiên của ma trận K thu đƣợc bằng cách thay 
phần thực của A1 và B1 vào phƣơng trình (3.44): 
 KABˆ real 1 real . (3.45) 
 1 1 1 
 Tiếp theo, thành phần trên hàng thứ hai của ma trận K đƣợc tính tƣơng tự 
nhƣ hàng đầu tiên. 
 Tuy nhiên, trên các hàng tiếp theo có sáu thành phần, do đó phƣơng trình 
tổng quát để xác định thành phần của hàng thứ i có dạng: 
 KABˆ real 1 real , (3.46) 
 i i i 
 ở đó: 
 HHHHHHn()()()()()()1 n 11  n 21  n 31  n 41  n 51 
 HHHHHH()()()()()()     
 n2 n 12 n 22 n 32 n 42 n 52
 HHHHHHn()()()()()()3 n 13  n 23  n 33  n 43  n 53 
 Ai , (3.47) 
 HHHHHHn()()()()()()4 n 14  n 24  n 34  n 44  n 54 
 HH()()()()()()HHHH   
 nn5 1 5 n 2 5 n 3 5 n 4 5 n 5 5
 HHHHHHn()()()()()()6 n 16  n 26  n 36  n 46  n 56 
 ˆ T
 Ki k inin, k ,1,2,3,4,5 k in k in k in k in , (3.48) 
 67 
 nn 66
 2
 Ii()()() t1  1 m ij H j  1 i  1 c ij H j  1
 j n j n
 kn 66
 2
 Ii()()() t2  2 m ij H j  2 i  2 c ij H j  2
 j n j n
 kn 66
 2
 Ii()()() t3  3 m ij H j  3 i  3 c ij H j  3
 j n j n
 B , (3.49) 
 i kn 66
 2
 Ii()()() t4  4 m ij H j  4 i  4 c ij H j  4
 j n j n
 kn 66
 2
 Ii() t55  m ij Hj()()5 i  5 c ij H j  5
 j n j n
 kn 66
 I()()() t 2 m H  i  c H 
 i6 6 ij j 6 6 ij j 6
 j n j n
 n là chỉ số cột của thành phần khác không đầu tiên trên hàng thứ i. 
 Trên hai hàng cuối của ma trận K, chỉ có bốn thành phần khác không. Do đó, 
các thành phần này đƣợc tính toán tƣơng tự nhƣ đối với hai hàng đầu tiên. 
 Chú ý, số lƣợng các thành phần khác không của ma trận K trên hai hàng đầu 
tiên và hai hàng cuối cùng phụ thuộc vào điều kiện biên của dầm. Do đó, số phƣơng 
trình để xác định các thành phần của ma trận K trên hai hàng đầu và hai hàng cuối 
sẽ phụ thuộc vào điều kiện biên. 
 Bằng phƣơng pháp này, các thành phần trên hàng tƣơng ứng với phần tử 
nguyên vẹn sẽ đƣợc xây dựng chính xác, vì các thành phần của ma trận C đƣợc tính 
từ dầm còn nguyên vẹn. Khi các thành phần độ cứng trên các hàng tƣơng ứng với 
phần tử chứa vết nứt đƣợc xây dựng lại thì thành phần giống nhau của ma trận C 
không tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt, dẫn đến sự sai khác giữa các thành phần 
đƣợc xây dựng lại của ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt. 
 Do đó, sẽ xuất hiện sự thay đổi trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Tuy 
nhiên, nếu phần tử thứ i chứa vết nứt, sự thay đổi thêm này chỉ ảnh hƣởng đến ba 
 i 1 i i 1 i
ma trận con Ke , K e , Ke , trong đó ma trận con K e bị ảnh hƣởng nhiều nhất. 
 Nhƣ vậy, nhận định rằng có sự thay đổi lớn trong sự phân bố chỉ số độ cứng 
phần tử tại phần tử chứa vết nứt. 
 68 
a. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 
 Khi các tín hiệu đo đƣợc bị nhiễu, ma trận A và B trong phƣơng trình (3.45) 
và (3.46) sẽ chứa các sai số, do đó sẽ đƣa đến những phƣơng trình của bài toán đặt 
không chỉnh. Bài toán này rất nhạy cảm khi thay đổi dữ liệu đo đạc, kể cả khi xuất 
hiện sai số nhỏ cũng có thể làm sai lệch hẳn kết quả tính toán. Do đó, phƣơng pháp 
hiệu chỉnh Tikhonov [124] đƣợc sử dụng để giải quyết bài toán này. 
 Chú ý rằng, nhiễu trong phƣơng trình (3.45) và (3.46) chủ yếu có từ hàm đáp 
ứng tần số H. Do đó, vấn đề quan trọng là phải lọc đƣợc nhiễu của ma trận H trƣớc 
khi áp dụng phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tính toán ma trận H tại mỗi tần số, 
véc tơ H trở thành ma trận để mỗi hàng tƣơng ứng với một hàm đáp ứng tần số tại 
một bậc tự do. Phƣơng pháp phân tích giá trị kỳ dị rút gọn (TSVD) đƣợc áp dụng 
làm giảm nhiễu trong ma trận H. Các ma trận U, S, V đƣợc phân tích từ ma trận H: 
 H USVT . (3.50) 
 Điều quan trọng của phƣơng pháp SVD (phân tích giá trị kỳ dị) là ở chính 
các giá trị kỳ dị. Đối với bài toán đặt không chỉnh rời rạc, các giá trị kỳ dị của ma 
trận H dần tới không. Giá trị kỳ dị lớn nhất tƣơng ứng với thành phần trơn của ma 
trận H, trong khi giá trị kỳ dị nhỏ hơn tƣơng ứng với nhiễu của ma trận H. Do đó, 
để lọc ra nhiễu thì các giá trị kỳ dị dƣơng nhỏ đƣợc đặt bằng không [125]: 
 i khi i 
  i , (3