Luận án Tính toán ổn định khí động Flutter của dầm chủ trong kết cấu cầu hệ dây bằng phương pháp bước lặp

ồn tại 0m (giả sử với 4m ) còn 1,2,3 0 thì 4q t giới nội và 1,2,3 0q khi 
t 
Điều kiện ổn định sẽ là 0m với m . 
+ Trường hợp 3: Hệ (3.17) có các nghiệm 
 31 1 41 1 2 1 3 4cos ; sin ; ;
tt t t
q e t q e t q e q e
    
Khi 0m với m thì 0mq khi t 
Khi tồn tại 0m (giả sử với 4m ) thì 4q t khi t 
Khi tồn tại 0m (giả sử với 4m ) còn 1,2,3 0 thì 4q t giới nội và 1,2,3 0q khi 
t 
Điều kiện ổn định sẽ là 0m với m . 
Do n là hàm của K , trong đó K là tần số thu gọn, điều kiện ổn định flutter là 
0
0
n
n
K n
K n


  
  
Trường hợp tới hạn: 0n K 
59 
3.2.2 Thuật toán phương pháp bước lặp 
Phương pháp RSBS đươc̣ tác giả Matsumoto [115, 116] đề xuất dựa trên phương pháp giải 
bước lăp̣ của hê ̣ hai phương trình uốn xoắn , nghiêṃ của phương trình trước dùng để xác điṇh 
lưc̣ khí đôṇg kết hơp̣ ở phương trình sau . Từ quá trình biến đổi , nhâṇ thấy phương pháp bước 
lăp̣ áp duṇg cho hai nhánh xoắn và uốn . Bởi vì ổn điṇh nhánh xoắn là trội trong hầu hết các 
trường hơp̣ , do đó phân tích ổn điṇh từng bước cho nhánh xoắn se ̃là thuâṇ tiêṇ hơn để áp 
dụng khi so với nhánh uốn. 
Bước 1 
Giả thiết chuyển vị xoắn có dạng 
0 sin
F Ft
Fe t
   (3.22) 
với 0 là biên độ của dao động xoắn và t là thời gian. Ta suy ra 
 0 sin sin
2
F F t
F F F Fe t t
      
 (3.23) 
Để tổng hơp̣ dao đôṇg sin sin
2
F F Ft t
  
 ta sử duṇg phương pháp giản đồ 
vectơ quay (hình 3.3) 
 Hình 3.3 Giản đồ vector quay tổng hợp hai dao động 
Dao đôṇg tổng hơp̣ có daṇg 
 2 0sin sin 1 sin
2 2
F F F F Ft t t
     
với 
0 arctan
1
F
Như vâỵ 
 0
2
0 0
sin sin
2
1 sin
2
F F
F F
t
F F F F
t
F F F
e t t
e t
 
 
    
    

 (3.24) 
Bước 2 
Chuyển vi ̣ uốn phát sinh bởi các ngoaị lưc̣ gây ra bởi chuyển vi ̣ xoắn , thay (3.22), (3.24) 
vào (3.14), ta đươc̣ daṇg dao đôṇg cưỡng bức như sau 
2
1
21 F 0
2
1
21 F 0

F
0F 
F
0F 
60 
2 2 3 3
* 2 2 * * 2 *
1 4 2 3
3
* 2
2 0 0
3
2 *
3 0
2
2 2 2 2
1 sin
2 2
sin
2
F F
F F
h h F h F F F
t
F F F F
F F
B B B B
h H h H h H H
m m m m
B
H e t
m
B
H e t
m
 
 
       
    
 
  
 (3.25) 
Đặt 
2
*2 2 2 *
4
2
h h F
B
H
m
   (3.26)
2
* * *
12 / (2 )
2
F
h h h h
B
H
m
 
   
 (3.27) 
ta đưa phương trình (3.25) về daṇg 
3
* * *2 * 2 2
2 0 0
3
2 *
3 0
2 1 sin
2 2
sin
2
F F
F F
t
h h h F F F
F F
B
h h h H e t
m
B
H e t
m
 
 
      
 
 
 (3.28) 
Nghiêṃ của phương trình (3.28) có dạng 
 1 2h h h h (3.29) 
(i) h là nghiệm của phương trình dao động tự do 
 * * *22 0h h hh h h   
  (3.30) 
Nghiêṃ phương trình (3.30) có dạng 
*
*
0 sin
ht
hh h e t
  (3.31) 
Chú ý rằng với các giá trị lớn của t, nghiệm thuần nhất (3.31) xấp xỉ bằng 0 và nghiệm tổng 
quát của phương trình (3.28) xấp xỉ nghiệm riêng. 
(ii) 1h là nghiệm của phương trình dao động cưỡng bức 
3
* * *2 * 2 2
2 0 02 1 sin
2 2
F F t
h h h F F F
B
h h h H e t
m
         
  (3.32) 
Ta tìm nghiêṃ phương trình (3.32) dưới daṇg 
1 1 0 1 0sin cos
2 2
F F F Ft t
F Fh M e t N e t
        
 (3.33) 
suy ra 
1 1 1 0
1 1 0
sin
2
cos
2
F F
F F
t
F F F F
t
F F F F
h M N e t
M N e t
 
 
    
    

 (3.34) 
61 
2 2 2 2
1 1 1 1 0
2 2 2 2
1 1 1 0
2 sin
2
2 cos
2
F F
F F
t
F F F F F F
t
F F F F F F
h M M N e t
M N N e t
 
 
      
      

 (3.35) 
Thay (3.33), (3.34), (3.35) vào (3.32) ta đươc̣ 
2 2 2 2
1 1 1 0
2 2 2 2
1 1 1 0
* *
1 1 0
*2
1 1 0 1
2 sin
2
2 cos
2
2 sin
2
cos
2
F F
F F
F F
F F F F
t
F F F F F F
t
F F F F F F
t
h h F F F F
t t
F F F F h
M M N e t
M N N e t
M N e t
M N e t M e
 
 
 
   
      
      
      
     
0
3
* 2 2
1 0 2 0 0
sin
2
cos 1 sin
2 2 2
F F F F
F
t t
F F F F
t
B
N e t H e t
m
   
 
      
 (3.36) 
Sử duṇg biện pháp so sánh hệ số cho 
0sin
2
F F t
Fe t
    
 và 
0sin
2
F F t
Fe t
    
hai vế của phương trình (3.36) ta rút ra 
 2 2 2 2 * * *21 1 1 1 1 1
3
* 2 2
2 0
2 2
1
2
F F F F F h h F F F h
F F
M M N M N M
B
H
m
          
  
 (3.37) 
 2 2 2 2 * * *21 1 1 1 1 12 2 0F F F F F h h F F F hM N N M N N           (3.38) 
Biến đổi hê ̣phương trình (3.37), (3.38) về daṇg hệ 2 phương trình bâc̣ nhất với 1 1,M N 
3
2 2 * * *2 2 2 * * * 2 2
1 1 2 02 2 1
2
F F h h F F h F F F h h F F F
B
M N H
m
               (3.39) 
 2 * * 2 2 * * *2 21 12 2 0F F h h F F F h h F F h FM N             (3.40) 
Như vâỵ nghiêṃ của hê ̣(3.39), (3.40) có dạng 
3
* 2 2 2 * *
2 0
2 2 * * *2 2
1 2 2 * * *2 2 2 * *
2 * * 2 2 * * *2 2
3
2 2 * * *2 2 * 2 2
2 0
2
1 2
2
0 2
2 2
2 2
2 1
2
F F F F h h F
F F h h F F h F
F F h h F F h F F F h h F
F F h h F F F h h F F h F
F F h h F F h F F F
F F
B
H
m
M
B
H
m
       
       
            
            
         
 
2 2
2 * * *2 2 2 * *2 4h h F F h F F F h h F           
 (3.41) 
62 
3
2 2 * * *2 2 * 2 2
2 0
2 * *
1 2 2 * * *2 2 2 * *
2 * * 2 2 * * *2 2
3
2 * * * 2 2
2 0
2 2 * *
2 1
2
2 0
2 2
2 2
2 1
2
2
F F h h F F h F F F
F F h h F
F F h h F F h F F F h h F
F F h h F F F h h F F h F
F F h h F F F
F F h h F
B
H
m
N
B
H
m
         
    
            
            
      
    
2 2
*2 2 2 * *4F h F F F h h F        
 (3.42) 
Nghiêṃ 
1h có thể được biểu diễn dưới dạng 
1 10 0 01sin
2
F F t
Fh h e t
     
 (3.43) 
với 
10 01 1
10 01 1
cos
sin
h M
h N


suy ra 
3
* 2 2
2 0
2 2
10 1 1
2 2
2 2 * * *2 2 2 * *
1
2
2 4
F F
F F h h F F h F F F h h F
B
H
mh M N
  
            
 (3.44) 
* 2 2 * * *2 2
21
01
2 2
* 2 2 * * *2 2 2 * *10
2
* 2 * *
21
01
2 2
* 2 2 * * *2 2 2 * *10
2
2
cos
2 4
2
sin
2 4
F F h h F F h F
F F h h F F h F F F h h F
F F h h F
F F h h F F h F F F h h F
HM
h
H
HN
h
H
       

            
    

            
 (3.45) 
Để thuâṇ tiêṇ ta viết laị dưới daṇg 
 1 10 1sin Fh h t  với 1 01 0
2
   (3.46) 
(iii) 2h là nghiệm của dao động cưỡng bức 
3
* * *2 2 *
3 02 sin
2
F F
h h h F F
B
h h h H e t
m
         (3.47) 
Ta tìm nghiêṃ phương trình (3.47) dưới daṇg 
 2 2 2sin cosF F F F
t t
F Fh M e t N e t
     (3.48) 
suy ra 
2 2 2
2 2
sin
cos
F F
F F
t
F F F F
t
F F F F
h M N e t
M N e t
 
 
   
   

 (3.49) 
63 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 sin
2 cos
F F
F F
t
F F F F F F
t
F F F F F F
h M M N e t
M N N e t
 
 
     
     

 (3.50) 
Thay (3.48), (3.49), (3.50) vào (3.47) ta đươc̣ 
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
* *
2 2
*2
2 2 2
3
2 *
2 3 0
2 sin
2 cos
2 sin
cos sin
cos sin
2
F F
F F
F F
F F F F
F F F F
t
F F F F F F
t
F F F F F F
t
h h F F F F
t t
F F F F h F
t
F F
M M N e t
M N N e t
M N e t
M N e t M e t
B
N e t H e
m
 
 
 
   
   
     
     
     
     
  
 Ft
 (3.51) 
Sử duṇg biêṇ pháp so sánh hê ̣số cho sinF F t Fe t
   và sinF F t Fe t
   hai vế của 
phương trình (3.51) ta rút ra 
 2 2 2 2 * * *22 2 2 2 2 2
3
2 *
3 0
2 2
2
F F F F F h h F F F h
F
M M N M N M
B
H
m
          
 
 (3.52) 
 2 2 2 2 * * *22 2 2 2 2 22 2 0F F F F F h h F F F hM N N M N N           (3.53) 
Biến đổi hê ̣phương trình (3.52), (3.53) về daṇg hệ 2 phương trình bâc̣ nhất với 1 1,M N 
3
2 2 * * *2 2 2 * * 2 *
2 2 3 02 2
2
F F h h F F h F F F h h F F
B
M N H
m
              (3.54) 
 2 * * 2 2 * * *2 22 22 2 0F F h h F F F h h F F h FM N             (3.55) 
Như vâỵ nghiêṃ của hê ̣(3.54), (3.55) có dạng 
3
2 2 * * *2 2 2 *
3 0
2 2 2
2 2 * * *2 2 2 * *
2
2
2 4
F F h h F F h F F
F F h h F F h F F F h h F
B
H
mM
         
            
 (3.56) 
3
2 * * 2 *
3 0
2 2 2
2 2 * * *2 2 2 * *
2
2
2 4
F F h h F F
F F h h F F h F F F h h F
B
H
mN
      
            
 (3.57) 
Nghiêṃ 2h có thể được biểu diễn dưới dạng 
 2 20 2sinF F
t
Fh h e t
    (3.58) 
với 
20 2 2
20 2 2
cos
sin
h M
h N


suy ra 
64 
3
2 *
3 0
2 2
20 2 2
2 2
2 2 * * *2 2 2 * *
2
2 4
F
F F h h F F h F F F h h F
B
H
mh M N
 
            
 (3.59) 
* 2 2 * * *2 2
32
2
2 2
* 2 2 * * *2 2 2 * *20
3
* 2 * *
32
2
2 2
* 2 2 * * *2 2 2 * *20
3
2
cos
2 4
2
sin
2 4
F F h h F F h F
F F h h F F h F F F h h F
F F h h F
F F h h F F h F F F h h F
HM
h
H
HN
h
H
       

            
    

            
 (3.60) 
Như vâỵ, nghiêṃ phương trình dao đôṇg uốn có daṇg 
 10 1 20 2sin sinF F F F
t t
F Fh h e t h e t
       
1 2 10 1 10 1
20 2 20 2
sin cos
sin cos
F F F F
F F F F
t t
F F F F F
t t
F F F F F
h h h h e t h e t
h e t h e t
   
   
      
      
  
Khai triển ,h h và chú ý rằng 
0 0
sin ; cosF F F F
t t F F
F F
F
e t e t
       
 

, ta có 
10 1 10 1
0 0
20 2 20 2
0 0
cos sin
cos sin
F F
F
F F
F
h h h
h h
   
 
 
   
 
 


 (3.61) 
10 1 10 1
0 0
10 1 10 1
0 0
20 2 20 2
0 0
20 2 20 2
0 0
cos sin
cos sin
cos sin
cos sin
F F
F F F F
F
F F
F F
F
F F
F F F F
F
F F
F F
F
h h h
h h
h h
h h
   
     
 
   
   
  
   
     
 
   
   
  




Bước 3 
Tiếp tuc̣, chuyển vi ̣ xoắn laị đươc̣ phát sinh bởi chuyển vi ̣ uốn, có dạng dao động tự do 
3 3 4 4
2 * 2 * * 2 *
1 4 2 32
2 2 2 2
F F F F
B B B B
A h A h A A
I I I I
           (3.62) 
Khai triển lưc̣ tư ̣kích có nguyên nhân do uốn bên vế phải 
65 
3 3 3
* 2 * *
1 4 1 10 1
0
10 1 10 1
0 0
10 1 20 2 20 2
0 0 0
20 2 20 2
0 0
cos
2 2 2
sin cos
sin cos sin
cos sin
F F F F F
F F F F
F F F
F F
F F
F F F F F
F
F F
F F
F
B B B
A h A h A h
I I I
h h
h h h
h h
     
     
    
  
   
       
 
   
   
  

 

 3 2 *
4 10 1
0
10 1 20 2 20 2
0 0 0
cos
sin cos sin
F
F F F F
F F
b
A h
I
h h h
 
     
  
  
 
3 3
2
3/2
* * 2 2
1 2 1
2 2
2 2 * * *2 2 2 * *
* * 2 2 * * 2 2
1 3 2 4 2 1 1
* * 2 * * 2
4 3 2 2 1 2 1 1
* *
1 3
2 2 { 1 sin
2 4
1 sin 1 (cos sin )
(cos sin )} { 1 sin cos
F
F F
F F h h F F h F F F h h F
F F F F F
F F F F F
F
B B
I m A H
A H A H
A H A H
A H

  
            
       
        
 
 * * 2 * *2 2 4 2 1 4 3 2sin cos 1 sin sin }F F F FA H A H       

 (3.63) 
Để thuâṇ tiêṇ ta ký hiêụ 
2
2
4
1 2
2 2
2 2 * * *2 2 2 * *
2
;
2
2 4
F
F F h h F F h F F F h h F
B
mB
I

            
   
 (3.64) 
như vâỵ 
3 3
3/2
* 2 * * * 2 2
1 4 1 2 1 2 1
* * 2 2 * * 2 2
1 3 2 4 2 1 1
* * 2 * * 2
4 3 2 2 1 2 1 1
* * * * 2
1 3 2 2 4 2
{ 1 sin
2 2
1 sin 1 (cos sin )
(cos sin )} { 1 sin cos
sin cos 1 sin
F F F F
F F F F F
F F F F F
F F F F
B B
A h A h A H
I I
A H A H
A H A H
A H A H
    
       
        
     
   

* *
1 4 3 2sin }FA H   

 (3.65) 
Thay (3.65) vào phương trình (3.62) ta có 
66 
3/2
2 * * 2 2
1 2 1 2 1
* * 2 2 * * 2 2
1 3 2 4 2 1 1
* * 2 * * 2
4 3 2 2 1 2 1 1
* * * * 2 * *
1 3 2 2 4 2 1 4 3
2 { 1 sin
1 sin 1 (cos sin )
(cos sin )} { 1 sin cos
sin cos 1 sin
F F
F F F F F
F F F F F
F F F F
A H
A H A H
A H A H
A H A H A H
      
       
        
      
   
 
2
4 4
* 2 *
2 3
sin }
2 2
F
F F
B B
A A
I I
  
  


 (3.66) 
Phương trình (3.66) đươc̣ viết laị dưới daṇg chuẩn 
 22 0F F F      (3.67) 
với 
3/2
2 2 * 2 * * 2
1 3 1 2 1 2 1
* * 2 * * 2
1 3 2 4 2 1 1
* * 1/2
4 3 2 2
[ { 1 sin
1 sin 1 (cos sin )
(cos sin )}]
F F F F
F F F
F
A A H
A H A H
A H
      
     
  
    
 (3.68) 
* * * 2
1 2 1 2 1 2 1 1
* * * * 2 * *
1 3 2 2 4 2 1 4 3 2
2 2 { 1 sin cos
sin cos 1 sin sin }
F F F
F
F F
A A H
A H A H A H
      

     
    
 (3.69) 
Sau khi tính được F , theo định nghĩa độ cản Lehr [10], ta suy ra 
 2F F  (3.70) 
Chú ý rằng, ứng với mỗi vận tốc gió, 1 2 2, ,F Fconst     , 1 1sin ,cos ,  
2sin , 2cos cũng là các hàm của F và F . Vậy hệ (3.68) và (3.69) là hệ hai phương trình 
đại số phi tuyến với 2 ẩn F và F . Giải hệ hai phương trình này bằng phương pháp lặp 
Newton-Raphson, ta tìm được ,F F  . Sau đó ta tìm F theo công thức (3.70). 
Dựa trên thuật toán trình bầy ở trên và sử dụng phần mềm đa năng MATLAB, chúng tôi đã 
xây dựng một phần mềm tính toán vận tốc flutter tới hạn của mô hình mặt cắt của dầm chủ của 
cầu. Phần mềm được đặt tên là Flutter-BK01. Các tham số flutter * *,i iA H được tính theo các 
công trình của Starossek và các cộng sự [156, 157, 165] đối với một số mặt cắt thông dụng của 
dầm cầu. 
Hình 3.4 mô tả sơ đồ thuật toán tóm tắt của phương pháp bước lặp. 
67 
 Hình 3.4 Sơ đồ khối thuật toán phần mềm Flutter-BK01 
Nhập các dữ liệu động lực của kết cấu , , , , , , ,h hm I B     , min max, ,U U U 
0 0, 0F F    
Nhập các đa thức xấp xỉ của 
* *, ( 1,2,3,4)i iH A i theo redU 
 1i 
 ( )U i 
Đ 
S 
In đồ thị ( , )U f , In đồ thị ( , )FU  
Kiểm tra vị trí thứ k , tại đó 
min
0 ,F F Fk k U U k   
min max: :U U U U 
1i i 
 U i U i U 
Giải hệ hai phương trình phi tuyến (3.68), (3.69) với hai ẩn 
,F F  , xấp xỉ ban đầu là 0 0,F F  
Vòng lặp vận tốc gió 
 i length U 
( ) / 2Ff i  ; 2F Fi  
0 0,F F F F    
 End 
 Begin 
68 
420 
252 
6
1
,5
9
84 84 
183,39 183,39 
26,61 26,61 
4
0
,5
3
1
8
,2
1
2
,7
9
3.3 Mô hình thí nghiệm mặt cắt dầm cầu tại trường Đại học Kỹ thuật 
Hamburg 
Mô hình mặt cắt dầm cầu GB được thực hiện trong hầm gió của Viện Phân tích kết cấu và 
Công trình thép thuộc Đại học Công nghệ Hamburg, mặt cắt có dạng thu nhỏ của mặt cắt 
ngang dầm cầu Great Belt ở Đan Mạch. Bốn máy đo chuyển vị laser để đo chuyển vị theo 
phương thẳng đứng tại bốn điểm góc của mặt cắt dầm cầu. 
Hầm gió có dạng hầm gió mở kiểu Eiffel với vận tốc gió lớn nhất là 24m/s. Bề rộng và 
chiều cao của thí nghiệm mô hình mặt cắt đều là 0,8m. Cường độ rối nhỏ hơn 0,1% tại vận tốc 
gió cực đại (hình 3.6) 
Các thông số của mô hình: 
34,8kgm , 20,71kgmI , 2790 N/mhk , 70,8Nm/radk , 
0hc c , 2 0,420mB b 
Hình 3.5 Hình dáng mặt cắt mô hình thí nghiệm (đơn vị: mm) 
Hình 3.6 Mô hình thí nghiệm trong thí nghiệm hầm gió 
Kết quả vận tốc gió tới hạn của mô hình thực hiện trong hầm gió của trường Đại học Kỹ 
thuật Hamburg là 9,8 m/s (35,28km/h) 
69 
Bảng 3.2 Các tham số khí động * *, ( 1,2,3,4)i iH A i mặt cắt GB, 
0Re 250000, 2 [156]
red
U
U
fB
 *
2H 
*
3H 
*
2A 
*
3A 
20,957 8,372 -49,004 -2,704 12,05 
13,954 2,93 -19,326 -1,2 4,95 
10,458 1,338 -10,024 -0,636 2,668 
8,373 0,066 -6,19 -0,404 1,666 
6,988 -0,124 -4,09 -0,27 1,148 
5,979 -0,322 -2,886 -0,196 0,836 
5,236 -0,458 -2,168 -0,156 0,646 
4,650 -0,502 -1,684 -0,118 0,516 
4,194 -0,464 -1,362 -0,092 0,422 
3,831 -0,486 -1,108 -0,08 0,354 
3,493 -0,468 -0,938 -0,064 0,304 
3,222 -0,454 -0,796 -0,06 0,264 
2,991 -0,418 -0,704 -0,05 0,234 
2,801 -0,398 -0,6 -0,044 0,208 
2,622 -0,384 -0,53 -0,04 0,188 
2,468 -0,36 -0,478 -0,034 0,17 
2,328 -0,33 -0,418 -0,028 0,156 
2,209 -0,31 -0,384 -0,026 0,146 
2,100 -0,294 -0,346 -0,022 0,136 
red
U
U
fB
 *
1H 
*
4H 
*
1A 
*
4A 
20,880 -14,052 -1,574 3,57 0,696 
13,974 -8,702 -2,352 2,052 0,64 
10,531 -5,954 -1,804 1,508 0,4 
8,378 -4,506 -0,81 1,154 0,33 
6,982 -3,758 0,05 0,928 0,274 
5,986 -3,036 -0,072 0,798 0,15 
5,245 -2,614 0,114 0,696 0,144 
4,657 -2,276 0,064 0,618 0,106 
4,196 -1,998 0,158 0,546 0,084 
3,808 -1,744 0,376 0,508 0,076 
3,492 -1,602 0,45 0,464 0,048 
3,227 -1,44 0,524 0,43 0,044 
2,998 -1,306 0,582 0,402 0,034 
2,795 -1,17 0,624 0,396 0,024 
2,624 -1,136 0,6 0,362 0,014 
2,468 -1,058 0,638 0,348 0,006 
2,330 -0,98 0,672 0,336 -0,006 
2,207 -0,94 0,656 0,32 -0,002 
2,098 -0,854 0,662 0,312 -0,014 
70 
Hình 3.7 Đồ thị 
* *,i iA H theo redU của mặt cắt GB 
Chú ý: 
Trong trường hợp chiều dài mô hình khác 1 đơn vị, phương trình (3.14) - (3.15) có dạng 
2 2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
1
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2
h h h
h B h
m h h h U Bl KH K KH K K H K K H K
U U B
   
   
 (3.71) 
2 2 2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
1
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2
h B h
I U B l KA K KA K K A K K A K
U U B
    
 
  
 (3.72) 
redU redU 
redU redU 
redU redU 
redU redU 
71 
với l là chiều dài mô hình, ,m I là khối lượng và momen quán tính của mô hình. Trong 
trường hợp mô hình thí nghiệm tại trường Đại học Kỹ thuật Hamburg, chiều dài của mô hình 
là 0.79m. 
Đa thức nội suy bậc ba của các * *, 1,2,3,4i iA H i với biến redU là 
* 5 3 2
1 5,3*10 0,0016 0,11 0,058red red redA U U U
* 5 3 2
2 3,6*10 0,0076 0,017 0,03red red redA U U U
* 3 2
3 0,00027 0,022 0,014 0,066red red redA U U U 
* 3 2
4 0,00018 0,0046 0,02 0,069red red redA U U U 
* 3 2
1 0,00032 0,019 0,42 0,1red red redH U U U 
* 3 2
2 0,00075 0,053 0,4 0,32red red redH U U U 
* 3 2
3 0,0015 0,086 0,11 0,21red red redH U U U 
* 3 2
4 0,002 0,052 0,13 0,59red red redH U U U 
 Hình 3.8 Đồ thị quan hệ U f và FU  đối với mô hình thí nghiệm tại Đại học Hamburg 
Sử dụng phần mềm Flutter-BK01 ta tìm được vận tốc flutter tới hạn như trên hình 3.8. 
 9,31m/s 33,5km/h
1,4996Hz 9,42rad/s
F
F F
U
f 
Kết quả trên phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm là 9,8m/sFU , sai số là 5%. 
72 
 Hình 3.9 Đồ thị góc xoắn theo thời gian t của mặt cắt GB với các vận tốc gió 
3.4 Tính toán vận tốc gió tới hạn mô hình mặt cắt của một vài cầu cụ 
thể 
3.4.1 Tập hợp các số liệu với mặt cắt GB của tác giả Thiesemann [165] 
Trong mục này của luận văn, tính toán lại vận tốc flutter của bốn bộ số liệu với mặt cắt GB 
của tác giả Thiesemann trong tài liệu [165] bằng phương pháp bước lặp. Sử dụng phần mềm 
Flutter-BK01, tìm được các vận tốc flutter tới hạn và tần số thu gọn flutter tới hạn như bảng 
3.4 và 3.5. 
Bảng 3.3 Tập hợp bốn bộ số liệu với mặt cắt GB [165] 
 Đơn vị 1 2 3 4 
b m 5,95 15,5 15,5 30 
h rad/s 0,84 0,62 0,622 0,383 
  rad/s 1,11 1,17 1,71 0,509 
m kg/m 8500 17800 22740 39500 
I kgm
2
/m 177730 2173000 2470000 26700000 
h - 0 0 0,002 0,003 
  - 0 0 0,002 0,0015 
73 
1 Công thức Selberg [37] 
 22.623 1 1/FU f B r    (3.73) 
 với 
 2 2
2
/ ; ;
h
m
r I mB
B
 

 
 
Bảng 3.4 Kết quả tính toán vận tốc flutter FU (m/s) 
 1 2 3 4 
Tính toán lý thuyết trong luận văn 21,78 39,6 74,1 19,4 
Kết quả tính lý thuyết [165] 21,5 40,2 73,0 15,5 
Kết quả tính thực nghiệm [165] 20,6 41,3 70,2 16,1 
Công thức Selberg1 21,90 41,73 73,54 23,16 
Sai số giữa kết quả tính toán lý thuyết 
trong luận văn và trong tài liệu [165] 
1,3% 1,49% 1,5% 25,16% 
Bảng 3.5 Kết quả tính toán tần số thu gọn flutter Fk (m/s) 
 1 2 3 4 
Tính toán số 0,27 0,38 0,26 0,74 
Kết quả tính toán lý thuyết [165] 0,27 0,37 0,26 0,96 
Kết quả thực nghiệm [165] 0,29 0,37 0,28 0,92 
Sai số giữa kết quả tính toán lý thuyết 
trong luận văn và trong tài liệu [165] 
0% 2,7% 0% 22,91% 
3.4.2 Cầu Great Belt của Đan Mạch 
Cây cầu Gr