Tóm tắt Luận án Ứng dụng lý thuyết điều khiển trong tối ưu tần số riêng và khối lượng của kết cấu thanh

 Nhƣ đã trình bày, tần số riêng của kết cấu là một dải vô số các giá tr dƣơng bao g m 
tần số riêng thứ nhất và các tần số riêng bậc cao. Tuy vậy các dao động riêng bậc cao 
thƣờng yếu và t t nhanh, nên trong động lực học máy, động lực kết cấu và công trình, 
ngƣời ta quan tâm nhiều nhất đến tần số riêng thứ nhất, và có thể quan tâm đến tần số riêng 
thứ hai. Chính vì vậy phù hợp với thực tế đó luận án lựa chọn bài toán đa mục tiêu dải tần 
số riêng là tối ƣu tần số riêng thứ nhất và thứ hai. Bài toán đa mục tiêu tối ƣu tiếp theo 
đƣợc nghiên cứu là tối ƣu đ ng thời tần số riêng thứ nhất ho c thứ hai với khối lƣợng kết 
cấu. 
2.3 Tối ƣu hóa kết cấu áp dụng PMP 47 
 Để tối ƣu hóa kết cấu với mục đích nêu trên ta sẽ áp dụng hàm đa mục tiêu tổng quát 
(2.74) cho từng trƣờng hợp. Ch ng h n, tối ƣu theo dải tần số riêng g m tần số riêng thứ 
nhất và thứ hai, ta nhận đƣợc: 
 cc1 1 2 2
 F k11 (1 k ) min (2.79) 
 01 02
 Tối ƣu theo tần số riêng thứ nhất (ho c thứ hai) và khối lƣợng, ta nhận đƣợc: 
 ci i c W W
 F (1 kWW ) k min (2.80) 
 00i W
 Trong (2.80), vì chỉ tối ƣu hai mục tiêu nên ta ký hiệu kw là trọng số thể hiện mức độ 
quan trọng (ƣu tiên) của mục tiêu khối lƣợng, do vậy 1-kw là trọng số của mục tiêu tần số 
riêng thứ nhất ho c thứ hai. Với (2.79) cũng ký hiệu tƣơng tự nhƣ vậy. 
 Có thể thấy rằng, các hàm mục tiêu theo (2.79), (2.80) có thể có 4 trƣờng hợp tổ hợp từ 
các mục tiêu max (min) cụ thể của các hàm mục tiêu thành phần. 
 Ch ng h n x t hàm mục tiêu theo (2.80), với mỗi trong 4 trƣờng hợp và ứng với một 
giá tr kw [0,1] cụ thể, ta sẽ tìm đƣợc một v c tơ biến điều khiển (biến thiết kế) với các 
phần t là đƣờng kính các đo n trục và thu đƣợc các giá tr của các hàm mục tiêu thành 
phần. Khảo sát toàn bộ các giá tr của kw sẽ cho mối quan hệ giữa các mục tiêu thành 
phần, hay c n gọi là tập Pareto, thể hiện mức độ nhƣợng bộ (trade-off) giữa các mục tiêu 
thành phần, xem Hình 2.6. 
 Tƣơng tự với các trƣờng hợp khác của hàm mục tiêu (2.80) sẽ thu đƣợc thêm 3 tập 
Pareto. Với tổng số 4 tập Pareto thu đƣợc sẽ hình thành tập giải pháp khả thi (feasible 
region) thể hiện tất cả các khả năng có thể có của cấu hình hệ trục đang xem x t đối với 
các mục tiêu thành 
phần (Hình Tập Pareto 2.6). 
 W 
 E B F 
 W 
 max Tập giải pháp 
 khả thi 
 O C 
 A 
 Tập Pareto Tập Pareto 
 Wmin G 
 H D 
 1min 1max 1 
Hình 2.6 Tập giải pháp khả thi và các tập Pareto. 
48 CHƢƠNG 2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN T I ƢU THEO PMP, HÀM ĐA MỤC TIÊU T NG QUÁT 
 Từ Hình 2.6, có thể thấy rằng: 
 - Đo n AB là tập Pareto của các mục tiêu 1 min và W max với điểm kỳ vọng E. 
 - Đo n BC là tập Pareto của các mục tiêu 1 max và W max với điểm kỳ vọng F. 
 - Đo n CD là tập Pareto của các mục tiêu 1 max và W min với điểm kỳ vọng G. 
 - Đo n AB là tập Pareto của các mục tiêu 1 min và W min với điểm kỳ vọng H. 
 - 4 tập Pareto t o thành đƣờng bao của tập giải pháp khả thi và không thể có cấu hình 
nào của hệ trục vƣợt ra kh i tập này. 
 - Giả s điểm O đ i diện cho một cấu hình hiện t i của hệ trục, có thể cải tiến hệ trục 
theo các mục tiêu liên quan đến 1 và W (điểm O di chuyển theo các hƣớng khác nhau). 
2.4 Kết uận chƣơng 
 Chƣơng 2 đã trình bày cơ sở điều khiển tối ƣu, đối tƣợng điều khiển là kết cấu trục 
ch u dao động xo n, thanh ch u dao động dọc và uốn. Hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái 
biểu diễn quá trình động lực của kết cấu đƣợc dẫn ra từ các tài liệu tham khảo. Từ việc giới 
thiệu các bài toán tối ƣu tổng quát, bài toán điều khiển tối ƣu áp dụng PMP đƣợc trình bày. 
NCS đã phân tích, thiết lập bài toán điều khiển tối ƣu cấu trúc kết cấu áp dụng PMP, trình 
bày các giải thuật tính toán. Những đóng góp mới của NCS là: 
  Đề xuất hàm đa mục tiêu tổng quát cho các bài toán tối ƣu đa mục tiêu: tối ƣu dải 
 tần số riêng; tối ƣu dải tần số riêng và khối lƣợng của kết cấu. Áp dụng hàm đa mục 
 tiêu tổng quát cho việc thiết lập các bài toán đƣợc thực hiện trong luận án g m tối 
 ƣu dải tần số riêng thứ nhất và thứ hai; tối ƣu đ ng thời tần số riêng và khối lƣợng 
 kết cấu. 
  Phân tích trọng số trong bài toán tối ƣu đa mục tiêu, dẫn ra việc xây dựng các tập 
 Pareto giúp đánh giá mức độ th a hiệp (trade-off) giữa các mục tiêu, từ đó có thể 
 xây dựng tập giải pháp khả thi (feasible region) để đƣa ra toàn bộ các cấu hình có 
 thể có của kết cấu đối với các mục tiêu quan tâm. 
3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 49 
CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU 
 TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 
 Chƣơng này trình bày phƣơng pháp giải bài toán tối ƣu đa mục tiêu tối ƣu hóa kết cấu 
trục và thanh. Mục tiêu là tối ƣu dải tần số riêng và khối lƣợng thanh. Các nội dung chính 
bao g m thiết lập bài toán cho từng trƣờng hợp, trình phƣơng pháp giải bài toán, đƣa ra sơ 
đ giải thuật cho việc tính toán và lập trình. 
3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục ao động oắn s ụng PMP 
 X t mô hình trục ch u xo n m t c t ngang hình tr n có tổng chiều dài L g m n-1 bậc, n 
nút nhƣ trên Hình 3.1 . 
 Đo n trục 1 2 e n- 2 n- 1 
 Nút 1 2 3 e e+1 n- 2 n- 1 n 
 x 
 d1 d2 de dn - 2 dn - 1 
 L1 L2 Le Ln - 2 Ln - 1 
 DOF 1 2 3 e e +1 n - 2 n - 1 n 
 Hình 3.1 Hệ tr c n-1 bậc. 
 Trong đó, de: đƣờng kính đo n thứ e, Le: chiều dài đo n thứ e, e: góc xo n t i nút thứ e 
của trục. 
 Hệ trục bậc đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân tr ng thái (2.6). 
 dM 
 dx GJ
 (2.6) 
 dM
 J 2 
 dx 
 Trong đó, G: mô đun đàn h i trƣợt; : khối lƣợng riêng; Jp: mô men quán tính m t c t 
 4
ngang, Jp = d /32; M: mô men xo n; : tần số riêng của trục. 
 Bốn điều kiện biên đƣợc xem x t bao g m: 
 (a) tự do-tự do: M(0) = M(L) = 0; (3.1a) 
 (b) ngàm-tự do: (0) = 0, M(L) = 0; (3.1b) 
 (c) tự do-ngàm: M(0) = 0, (L) = 0; (3.1c) 
50 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 
 (d) ngàm-ngàm: (0) = 0, (L) = 0. (3.1d) 
 Nhƣ đã chỉ ra ở chƣơng 2, hàm đa mục tiêu tổng quát nhất đƣợc NCS xây dựng có d ng 
(2.74). X t trƣờng hợp tối ƣu theo tần số riêng thứ i (thƣờng là tần số riêng thứ nhất ho c 
thứ hai) và khối lƣợng ta áp dụng (2.80): 
 (2.80) 
 Bài toán tối ƣuc đƣợci i phátc biểu W W nhƣ sau: tìm d (e = 1  n-1), d d, d , th a mãn 
 F (1 k ) k min e e min max 
 WW W
hàm đa mục tiêu (2.0080i ): 
 Trong đó, i là tần số thứ i, kW 0, 1 là trọng số, W là tổng khối lƣợng trục, 0i và 
W0 tần số riêng thứ i và tổng khối lƣợng trục ban đầu (trƣớc tối ƣu). ci = ±1 và cW = ±1 
tƣơng ứng với các trƣờng hợp cực tiểu và cực đ i các mục tiêu i và W. Hàm đa mục tiêu 
(2.80) x t đến tất cả các trƣờng hợp khi tối ƣu đ ng thời i và W nhƣ sau: 
 * i max and W min (ci = -1 và cW =1): 
 i W
 F (1 kWW ) k min (3.2a) 
 00i W
 * i max and W max (ci = -1 and cW = -1): 
 i W
 F (1 kWW ) k min (3.2b) 
 00i W
 * i min and W max (ci =1 and cW = -1): 
 i W
 F (1 kWW ) k min (3.2c) 
 00i W
 * i min and W min (ci =1 and cW =1): 
 i W
 F (1 kWW ) k min (3.2d) 
 00i W
 Có thể thấy, hàm mục tiêu trong công trình nghiên cứu liên quan [47], 
F 1 k  k W min khi i max và W min, là một trƣờng hợp riêng 
 W i W 
của hàm mục tiêu (2.80) khi ci= -1, cW = 1, 0i = 1, và W0 = 1. 
 Dựa vào phƣơng trình vi phân tr ng thái (2.6); hàm mục tiêu (2.80) cũng nhƣ tất cả các 
trƣờng hợp điều kiện biên (3.1a, 3.1b, 3.1c, 3.1d); đ nh lý sau đây là cần thiết để giải bài 
toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu (dải tần số - khối lƣợng) của hệ trục trên: 
3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 51 
 Định ý omeg : qua các phương trình (2.6), (2.80) và (3.1), hàm Hamilton H đạt cực 
đại đối với diện tích mặt cắt ngang S và hệ số tỉ lệ k giữa các biến trạng thái ban đầu và 
các biến trạng thái liên hợp đạt giá trị dương: 
 2
 1 M 2 2 2 ckWW
 H 2 cS i S max (theo S) (3.3) 
 k GcS W0
 hứng minh: Coi tần số riêng i là biến tr ng thái. Điều đó có nghĩa là i có vai trò 
tƣơng đƣơng nhƣ và M trong hệ phƣơng trình vi phân (2.6). Jp tỉ lệ thuận với bình 
 2
phƣơng của diện tích m t c t ngang S(x), gán Jp = cS (c: hằng số). Tổng khối lƣợng trục W 
cũng là một biến tr ng thái. Hệ phƣơng trình (2.6) đƣợc viết l i: 
 dM 
 (3.4a) 
 dx GcS 2
 dM
 cS 22  (3.4b) 
 dx i
 d
 i 0 (3.4c) 
 dx 
 dW
 S (3.4d) 
 dx
 Hàm mục tiêu (2.80) đƣợc viết l i dƣới d ng phiếm hàm mục tiêu Maier - điều khiển 
tr ng thái cuối nhƣ sau: 
 ci i()() L c W W L
 F (1 kWW ) k min. (3.5) 
 00i W
 Hàm Hamiltonian H đƣợc viết l i nhƣ sau: 
 M
 H p p cS2  2 p  , p S , (, 0) (3.6) 
 GcS 2 M i i w i
 Phƣơng trình tr ng thái của các biến liên hợp đƣợc xác đ nh nhƣ sau: 
 dp H 22
 cSiM p (3.7a) 
 dx  
 dp H 1
 M p (3.7b) 
 dx M GcS 2 
 dp H 2
 2 cS  iM p (3.7c) 
 dx i
 dp H
 w 0 (3.7d) 
 dx W
 Các biến liên hợp p ,,, pMw p p đƣợc xác đ nh từ phƣơng trình sau: 
52 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 
 mm
 (3.8) 
 pj( L ) y j ( L ) p j (0)  y j (0)  F 0
 jj 11
trong đó, m = 4; y1 = , y2 = M, y3 = i, y4 = W là các biến tr ng thái và p1 = p , p2 = pM, p3 
= p và p4 = pw là các biến liên hợp. 
 Nhƣ vậy, 
 pL ()()()() L pLMLpLMi   L 
 pwM L  W L p 0  0 p 0  M 0 
 (3.9) 
 p 0 iw 0 – p 0  W 0 
 ci i()() L c W  W L
 (1 kWW ) k 0
 00i W
 Hay, 
 (1 kcWi )
 pLL ()()()() pLMLpLMi   L 
 0i
 kcWW
 pwM L  W L p 0  0 p 0  M 0 = 0 (3.10) 
 W0
 p 0 iw 0 – p 0  W 0 0
 Từ đó, ta thu đƣợc: 
 ck(1 )
 pL() iW
  
 0i
 ckWW
 pLw () (3.11) 
 W0
 p (0) 0
 
và các công thức phụ thuộc vào các điều kiện biên của hệ trục nhƣ sau: 
 (a) tự do - tự do: M(0) = M(L) = 0 p (L) = 0; p (0) = 0 (3.12a) 
 (b) ngàm - tự do: (0) = 0, M(L) = 0 p (L) = 0; pM(0) = 0 (3.12b) 
 (c) tự do - ngàm: M(0) = 0, (L) = 0 pM(L) = 0; p (0) = 0 (3.12c) 
 (d) ngàm – ngàm: (0) = 0, (L) = 0 pM(L) = 0; pM(0) = 0 (3.12d) 
 Gán: 
 pM H
 (3.13) 
 pMH 
 Kết hợp các phƣơng trình (3.7a), (3.7b) và (3.13) ta có: 
3.1 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu trục dao động xo n s dụng PMP 53 
 dM 
 HH 
 dx GcS 2
 (3.14) 
 dM
 H cS 22  
 dx iH
 Các điều kiện (3.12) có thể đƣợc viết l i nhƣ sau: 
 (a) p (L) = 0; p (0) = 0 (3.12a) MH(0) = 0; MH(L) = 0 (3.15a) 
 (b) p (L) = 0; pM(0) = 0 (3.12b) H(0) = 0; MH(L) = 0 (3.15b) 
 (c) pM(L) = 0; p (0) = 0 (3.12c) MH(0) = 0; H(L) = 0 (3.15c) 
 (d) pM(L) = 0; pM(0) = 0 (3.12d) H(0) = 0; H(L) = 0 (3.15d) 
 Có thể thấy rằng phƣơng trình (3.4a) và (3.4b) thể hiện giống với phƣơng trình (3.14). 
Phƣơng trình (3.1) và (3.15) thể hiện giống nhau, mô tả điều kiện của hệ ban đầu và hệ liên 
hợp. 
 Vì vậy có thể kết luận rằng, các biến tr ng thái gốc và các biến liên hợp tỉ lệ với nhau 
thông qua một hệ số tỉ lệ k nhƣ sau: 
 kMH M
 (3.16) 
 k H 
 Công thức tƣờng minh của k có thể đƣợc xác đ nh bằng cách tích phân phƣơng trình 
(3.7c) với các điều kiện thích hợp trong (3.11) và (3.16): 
 LLck(1 ) 2 
 p, dx p( L ) p (0) i W i cS 2 2 dx (3.17) 
     k
 000i 
 Vì vậy, 
 2   L
 k ii0 cS22 dx (3.18) 
 ckiW(1 ) 0
 Nhƣ vậy, hệ số tỉ lệ k là dƣơng âm đối với trƣờng hợp cực đ i cực tiểu i. Điều này 
đƣợc chứng minh bằng việc coi tần số riêng i nhƣ là biến tr ng thái. Hàm Hamilton (3.6) 
đ t cực đ i khi: 
 2
 1 M 2 2 2 ckWW
 H 2 cS i S max (theo S) (3.3) 
 k GcS W0
 Chú ý rằng kwW 0, 1 , trong trƣờng hợp kW = 1, hàm mục tiêu (2.80) trở thành cWW 
= min, đây là một lời giải tầm thƣờng với de = dmin (cW = 1) ho c dmax (cW = -1). 
 Vậy, dựa trên PMP trong điều khiển tối ưu tần số riêng của hệ tr c chịu xoắn, điều kiện 
cần tối ưu thu được bao gồm: phương trình vi phân trạng thái (2.6), 4 trường hợp điều 
54 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 
kiện biên (3.1), khoảng xác định của biến điều khiển và điều kiện cực đại 
của hàm Hamilton (3.3). 
 Sơ đ thuật toán của bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng và tổng khối 
lƣợng hệ trục xo n kể trên đƣợc thể hiện trên Hình 3.2. Thuật toán tối ƣu này g m hai mô 
đun. Mô đun phân tích s dụng Phƣơng pháp ma trận truyền (mục 2.1.4). Dữ liệu đầu vào 
của mô đun này g m các tham số hình học và vật liệu. Đầu ra của mô đun này là các giá tr 
 d d, d
tần số riêng i, tổng khối lƣợng của hệ trục W, nội lực mô men M, egóc xo min n max , và diện tích 
m t c t ngang S. Các tham số W, i, M, , S đƣợc s dụng tiếp nhƣ những dữ liệu đầu vào 
cho mô đun thứ 2, mô đun tối ƣu, với việc giải phƣơng trình (3.3) để tính toán các giá tr 
mới của de, i, W. 
 d + Kết quả 
 e Bài toán phân tích Hội tụ? 
 (ban đầu) (i, W) de, i, W 
 ¯ 
 de 
 (mới) Bài toán tối ƣu 
 Hình 3.2 Sơ đồ thuật toán của bài toán điều khiển tối ưu đa m c tiêu tần số riêng và 
 t ng khối lượng của hệ tr c xoắn. 
 Sơ đ chi tiết thuật toán của bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần số riêng và tổng 
khối lƣợng của hệ trục xo n xem phụ lục D trang 132 
3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh ao động ọc s ụng PMP 
 X t một thanh th ng có m t c t ngang tr n với tổng chiều dài L đƣợc chia thành n-1 
đo n, trong đó ở các nút có chứa các khối lƣợng tập trung me (e = 1 ÷ n), Hình 3.3. Le và de 
lần lƣợt là chiều dài và đƣờng kính của đo n thứ i. 
 Đo n thanh 1 2 e n- 2 n- 1 
 Nút 1 2 3 e e+1 n- 2 n- 1 n 
 x 
 m1 m2 m3 me me+1 mn-2 mn-1 mn 
 d1 d2 de dn - 2 dn - 1 
 L1 L2 Le Ln - 2 Ln - 1 
 DOF u 1 u2 u3 ue ue+1 un-2 un-1 un 
 Hình 3.3 Thanh th ng g m n-1 đo n và n khối lƣợng tập trung. 
3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh dao động dọc s dụng PMP 55 
Ở đây, E và lần lƣợt là mô đun đàn h i k o n n và khối lƣợng riêng của vật liệu chế t o 
ra thanh. u(x) là chuyển v dọc trục t i v trí x. A diện tích m t c t ngang của thanh.  là tần 
số dao động tự do của thanh. 
 Hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái có d ng (2.10): 
 du N
 dx EA
 (2.10) 
 dN 2c c W
 Aui i W de  d min, d max 
 Fdx (1 kWW ) k min
 00i W
 T i m t c t chứa khối lƣợng tập trung m, các điều kiện cân bằng và liên tục đƣợc viết 
nhƣ sau: 
 N N m2 u
 (3.19) 
 uu 
trong đó, N+ và u+, N− và u− lần lƣợt là nội lực dọc và chuyển v bên phải và bên trái của 
m t c t đang đƣợc xem x t. 
 Các điều kiện biên của hệ thanh bao g m: 
 (a) tự do - tự do: N(0) = N(L) = 0; (3.20a) 
 (b) ngàm - tự do: u(0) = 0, N(L) = 0; (3.20b) 
 (c) tự do - ngàm: N(0) = 0, u(L) = 0; (3.20c) 
 (d) ngàm - ngàm: u(0) = 0, u(L) = 0. (3.20d) 
 Thanh với hệ phƣơng trình vi phân tr ng thái (2.10), khối lƣợng tập trung (3.19) và các 
điều kiện biên (3.20) có thể dễ dàng xác đ nh đƣợc tần số riêng  và các biến tr ng thái u, 
N nhờ phƣơng pháp ma trận truyền (mục 2.1.4). 
 Nguyên lý cực đ i Pontryagin đƣợc s dụng ở đây để điều khiển tối ƣu đa mục tiêu tần 
số riêng thứ i và tổng khối lƣợng của thanh dao động dọc tự do. 
 Bài toán tối ƣu đƣợc phát biểu nhƣ sau: tìm de (e = 1  n-1), , th a mãn 
hàm mục tiêu đa mục tiêu (2.80) nhƣ sau: 
 (2.80) 
 Trong đó, i là tần số thứ i, là trọng số, W là tổng khối lƣợng trục, 0i và 
 kwW 0, 1 
W0 tần số riêng thứ i và tổng khối lƣợng trục ban đầu (trƣớc tối ƣu). ci = ±1 và cW = ±1 
tƣơng ứng với các trƣờng hợp cực tiểu và cực đ i các mục tiêu i và W. 
56 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 
 Dựa vào các hệ phƣơng trình (2.10), (3.19); hàm mục tiêu (2.80) cũng nhƣ các điều kiện 
biên (3.20); đ nh lý sau đây là cần thiết để giải bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu (dải 
tần số - khối lƣợng) của thanh trên: 
 Định ý omeg : qua các phương trình (2.10), (3.19), (3.20) và (2.80), hàm Hamilton H 
đạt cực đại đối với diện tích mặt cắt ngang A và hệ số tỉ lệ k giữa các biến trạng thái ban 
đầu và các biến trạng thái liên hợp đạt giá trị dương: 
 2
 1 N22 cWW k
 H A i u A max theo A (3.21) 
 k EA W0
 hứng minh: Coi tần số riêng i là biến tr ng thái. Điều đó có nghĩa là i có vai trò 
tƣơng đƣơng nhƣ u và N trong hệ phƣơng trình vi phân (2.10). Tổng khối lƣợng trục W 
cũng là một biến tr ng thái. Hệ phƣơng trình (2.10) đƣợc viết l i nhƣ sau: 
 du N
 (3.22a) 
 dx EA
 dN
 Au2 (3.22b) 
 dx i
 d
 i 0 (3.22c) 
 dx
 dW
 A (3.22d) 
 dx
 T i m t c t chứa khối lƣợng tập trung m, từ các điều kiện cân bằng và liên tục (3.19) 
 ci i()() L c W W L
 F (1 kWW ) k min.
suy ra: 00i W
 2
 N  N m i  u
 (3.23) 
 u  u  u
 Hàm mục tiêu (2.80) đƣợc viết l i dƣới d ng phiếm hàm mục tiêu Maier - điều khiển 
tr ng thái cuối nhƣ sau: 
 (3.5) 
 Hàm Hamiltonian H có thể đƣợc thiết lập ở d ng sau: 
 N
 H p p A 2, u p  p A , (, 0) (3.24) 
 uEA N i i W i
 Phƣơng trình tr ng thái của các biến liên hợp đƣợc xác đ nh nhƣ sau: 
 dp H
 u Ap2 (3.25a) 
 dx u iN
 dp H 1
 N p (3.25b) 
 dx N EA u
3.2 Điều khiển tối ƣu đa mục tiêu thanh dao động dọc s dụng PMP 57 
 dp H
 2 iA i i up N (3.25c) 
 dx i
 dp H
 W 0 (3.25d) 
 dx W
 Các biến liên hợp pu,,, p N p p W đƣợc xác đ nh nhƣ sau: 
 mm
 pi( L ) x i ( L ) p i (0)  x i (0)  F ( L ) 0 (3.26) 
 ii 11
trong đó xi, pi lần lƣợt là các biến tr ng thái và liên hợp. 
 Suy ra: 
 pu()()()()()()()()LLLLLLLL u p N  N p  i p W  W
 –pu(0) u (0) – p N (0)  N (0) – p (0)  i (0) – p W (0)  W (0) (3.27) 
 ci i()() L c W W L
 pN  N p u  u p N  N p u  u (1) kkWW  0
 00i W
 Hay: 
 ciW(1 k ) cWW k 
 pu()()()()()()()()LLLLLLLL u p N  N p  i p W  W
 00i W 
 –pu(0) u (0) – p N (0)  N (0) –p (0)  i (0) – p W (0)  W (0)
 pN  N p u  u p N  N pu  u 0 (3.28)
 Ta thu đƣợc: 
 ck(1 )
 pL() iW
  
 0i
 ckWW
 pLW () (3.29a) 
 W0
 p (0) 0
 
 2
 pu p u p N m i
 (3.29b) 
 ppNN 
và các công thức phụ thuộc vào các điều kiện biên của hệ trục nhƣ sau: 
 (a) tự do - tự do: N(0) = N(L) = 0 pu(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30a) 
 (b) ngàm - tự do: u(0) = 0, N(L) = 0 pu(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30b) 
 (c) tự do - ngàm: N(0) = 0, u(L) = 0 pN(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30c) 
 (d) ngàm – ngàm: u(0) = 0, u(L) = 0 pN(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30d) 
 Gán: 
58 CHƢƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN T I ƢU ĐA MỤC TIÊU TRỤC VÀ THANH S DỤNG PMP 
 pNuH 
 (3.31) 
 puNH 
 Kết hợp các phƣơng trình (3.25a), (3.25b) and (3.31) ta thu đƣợc: 
 du N
 HH 
 dx EA
 (3.32) 
 dN
 H Au2
 dx iH
 2
 NH N H m i u H
 (3.33) 
 uuHH 
 Các điều kiện (3.30) có thể đƣợc viết l i nhƣ sau: 
 (a) pu(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30a) NH(0) = 0; NH(L) = 0 (3.34a) 
 (b) pu(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30b) uH(0) = 0; NH(L) = 0 (3.34b) 
 (c) pN(L) = 0; pu(0) = 0 (3.30c) NH(0) = 0; uH(L) = 0 (3.34c) 
 (d) pN(L) = 0; pN(0) = 0 (3.30d) uH(0) = 0; uH(L) = 0 (3.34d) 
 Có thể thấy rằng các phƣơng trình (3.32) và (3.33) thể hiện giống với các phƣơng trình 
(2.10) và (3.19). Phƣơng trình (3.34) và (3.20) thể hiện giống nhau, mô tả điều kiện của hệ 
ban đầu và hệ liên hợp. 
 Vì vậy có thể kết luận rằng, các biến tr ng thái gốc và các biến liên hợp tỉ lệ với nhau 
thông qua một hệ số tỉ lệ k nhƣ sau: 
 kNH N
 (3.35) 
 kuH u
 Công thức tƣờng minh của k có thể đƣợc xác đ nh bằng cách tích phân phƣơng trình 
(3.25c) với các điều kiện thích hợp trong (3.29a): 
 LLck(1 ) 2 
 p,2 dx p( L ) p (0) i W i Au dx
    (3.36) 
 000i k
 Vì vậy, 
 2   L
 k ii0 Au2 dx (3.37) 
 ckiW(1 ) 0
 Nhƣ vậy, hệ số tỉ lệ k là dƣơng âm đối với trƣờng hợp cực đ i cực tiểu i. Điều này 
đƣợc chứng minh bằng việc coi tần số riêng i nhƣ là biến tr ng thái. Hàm Hamilton (3.21) 
đ t cực đ i khi: 
 2
 1 N22 cWW k
 H A i u A max theo A (3.21) 
 k EA W0
3.3 Bài toán độ cứng dầm ch u uốn s dụng PMP 59 
 Chú ý rằng , trong trƣờng hợp kW = 1, hàm mục tiêu (2.80) trở thành cWW 
= min, đây là một lời giải tầm thƣờng với de = dmin (cW = 1) ho c dmax (cW = -1). 
 Vậy, dựa trên PMP trong điều khiển tối ưu đa m c tiêu dải tần số riêng và t ng khối 
lượng của thanh dao động dọc tự do có kể đến khối lượng tập trung, điều kiện cần tối ưu 
thu được bao gồm: phương trình vi phân trạng thái (2.10), (3.19), 4 trường hợp điều kiện 
biên (3.20), khoảng xác định của biến điều khiển và điều kiện cực đại của 
 d  d, d 
hàm Hamilton (3.21). e min max
 Sơ đ thuật toá