Luận án Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

 0 (2.43) 
k dn dn dn
 dn 
Sdn 2
 2kdn AB  dn A 0 
dn
Từ đó dẫn tới 
 40 
 1  AB AB
k dn , k 
 dn2 BA2 dn dn 2
Hay [20-23] 
 1 AB r2
k  
 dn 2 2 , dn 2 (2.44) 
 2 r B 2 r 
trong đó ký hiệu 
 AB 2
r2 (2.45) 
 AB2 2
r 2 là đại lượng không thứ nguyên, theo bất đẳng thức Schwarz có đặc điểm 
r 2 1 (2.46) 
Anh và cộng sự áp dụng qui trình tiêu chuẩn đối ngẫu cho nhiều hệ dao động phi 
tuyến thu được kết quả chính xác hơn tiêu chuẩn kinh điển khi các hệ có tính phi 
tuyến khá lớn [20-23]. 
2.3. Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể 
(GLOMSEC) 
Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới gọi là Tiêu chuẩn sai 
số bình phương trung bình địa phương - tổng thể. Để có thể hiểu rõ xuất xứ của tiêu 
chuẩn này ta cần nhắc lại một số điểm căn bản của Tiêu chuẩn sai số bình phương 
trung bình kinh điển. 
Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do được biểu diễn dưới dạng 
 2
    (2.47) 
x 2 hx 0 x g ( x , x )  ( t ) 
trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương trình tuyến tính hóa 
tương đương của (2.47) có dạng 
 2 
x 2 hx  0 x  x   x  ( t ) (2.48) 
trong đó ,  là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình giữa (2.47) và (2.48) 
sẽ là 
 41 
e x, x g x, x x x (2.49) 
Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44] 
 2
 e( x , x ) min (2.50) 
 , 
Hay 
 2
 e( x , x ) P ( x , x  ) dxdx  min (2.51) 
 , 
Trong đó, P(x, x) là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x với P(x, x) P(x)P(x). 
Ta có: 
 e2 x,, x  e 2 x x  
 0, 0. (2.52) 
   
Với giả thiết xx 0 ta thu được 
 g(,)(,) x x x g x x  x 
 ,.  (2.53) 
 x2 x 2
Ta có hệ 3 phương trình (2.48) và (2.53) cho ba ẩn , và x(t). Do khoảng tích 
phân trong (2.51) là ( , ), tiêu chuẩn (2.51) có thể được gọi là tiêu chuẩn sai số 
bình phương trung bình tổng thể. Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân cần tập 
trung hơn để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số 
bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]: 
 x0 x 0
 2
 e( x , x ) P ( x , x  ) dxdx  min (2.54) 
 , 
 x0 x 0
trong đó x, x là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến đổi cho các biến 
 0 0 
không thứ nguyên x0 rx, x 0 r  x với r là một biến không thứ nguyên dương 
nào đó,  x và  x là độ lệch chuẩn của x và x . Như vậy tiêu chuẩn (2.54) dẫn đến 
 rx r  x
[(,)]exx2 exxPxxdxdx 2 (,)(,)    min (2.55) 
 , 
 rx r  x
 42 
trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương: 
 rx r  x
[.](.)(,) P x x dxdx  (2.56) 
 rx r  x
Tương tự tiêu chuẩn kinh điển ta có 
 g(,)(,) x x x  g x x  x  
(),().r  r (2.57) 
 2 2
 x x 
Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là hàm số của r. 
 (r), (r) 
Để tính toán (2.57) ta thay biến x t x , x t x và sử dụng (2.56), và ký hiệu 
 n n
2n x 2,  2 n x 2 ta thu được các momen địa phương bậc cao 2n  2 n 
 x x x , x 
biểu diễn qua các momen tổng thể bậc hai x2, x 2 như sau [15-19]: 
 r r 
 x x n
 2n 2 n   2
 x xPxdx( ) PxdxT ( ) 2n, r x 2 T 0, r ,
 rx r  x
 (2.58) 
 r r 
 x x n
 2n  2 n    2
 x xPxdx( ) PxdxT ( ) 2n, r x 2 T 0, r .
 rx r  x
trong đó ký hiệu các tích phân 
 r r
 1 2
T ttdtT2n(),(),().  tdtt  e t 2 (2.59) 
 n, r 0, r 
 0 0 2 
Khi r , các công thức (2.58) dẫn đến các công thức kinh điển: 
 n n
 x2n xPxdxPxdxT 2 n ( ) ( )  2 x 2 2 n 1 !! x 2 ,
 n , 
 n n
 x2n xPxdxPxdxT  2 n (  )  ( ) 2 x  2 2 n 1 !! x  2 .
 n , 
Các công thức (2.57) và (2.58) là hàm số của tham số r do vậy (r ),  ( r )có thể gọi 
là các hệ số TTH địa phương. Một số ưu điểm của LOMSEC như sau: Bằng cách 
thay đổi giá trị của r , LOMSEC có thể tạo ra một dãy các lời giải gần đúng và khi 
r , LOMSEC cho lời giải kinh điển. LOMSEC cũng có thể cho lời giải chính 
 43 
xác ứng với giá trị r nào đó ký hiệu là ( rexact ) và về nguyên tắc LOMSEC có thể cho 
nghiệm chính xác, trong khi tiêu chuẩn kinh điển không thể tạo ra được điều này [7, 
15-19]. Nhược điểm chính của LOMSEC là chưa cho được giá trị rexact . Sử dụng 
quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị thay cho việc xác định rexact ta có thể cho r thay 
đổi trên toàn miền giá trị không âm với lập luận sau đây. Ý nghĩa khoa học của 
(r ),  ( r ) là ở chỗ chúng là các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa 
phương[ rx , r  x ],[ r  x , r  x  ]. Thay cho việc chọn một giá trị cụ thể nào của 
(r ),  ( r ) làm đại diện cho tất cả các hệ số tuyến tính hóa trong miền địa phương ta 
có thể đặc trưng bằng giá trị trung bình của (r ),  ( r ) trên toàn bộ miền giá trị có thể 
của r, tức là miền các giá trị r không âm. Như vậy theo cách tiếp cận đối ngẫu các 
hệ số tuyến tính hóa ,  có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]: 
 1s 1 s 
 ()(),()().r Lim  rdr   r Lim  rdr (2.60) 
 s s s s 
 0 0 
trong đó là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ 
LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình 
địa phương – tổng thể (GLOMSEC). 
Tiếp theo ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – 
tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do. Giả sử rằng hệ dao động được mô 
hình hóa bởi một hệ nhiều bậc tự do MDOF được mô tả bằng một tập các phương 
trình vi phân bậc nhất phi tuyến: 
z g z f t (2.61) 
 T
Trong đó, dấu (. ) ký hiệu phép vi phân, z z1 , z 2 ,..., zn là vec tơ các biến trạng 
thái, n là số tự nhiên, g là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu 
nhiên chuẩn có giá trị trung bình bằng không. Giả sử rằng một nghiệm dừng của 
phương trình (2.61) tồn tại. Ký hiệu 
e z z g z f t (2.62) 
Phương trình (2.61) có thể viết ở dạng: 
 44 
e z 0 (2.63) 
Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong phương trình (2.62) như sau 
e z z AA z z g z f t (2.64) 
Trong đó A a là ma trận n×n. Gọi vector y là một nghiệm dừng của phương 
 ij nxn
trình tuyến tính sau 
y A y f t 0 (2.65) 
Từ (2.64) và (2.65) ta có: 
e y A y g y (2.66) 
 Ký hiệu p(y) hàm mật độ xác suất chung (PDF) của véctơ đáp ứng y của phương 
trình (2.65). Tiêu chuẩn TTH kinh điển có thể được viết dưới dạng: 
 2
 n ei y p y dy min (2.67) 
 aij
Vì tích phân được thực hiện trên toàn miền không gian tọa độ, do đó tiêu chuẩn 
(2.67) có thể được gọi là "tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể". Qua 
tính toán Anh và Di Paola đề xuất một khái niệm rằng tiêu chuẩn (2.67) có thể dẫn 
đến một sai số lớn đối với một số hệ phi tuyến, đặc biệt là phi tuyến mạnh. Để tăng 
độ chính xác, việc tích phân nên được thực hiện trong một khu vực nơi mà vectơ 
đáp ứng được tập trung. Do đó theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa 
phương (LOMSEC) ta có 
 y y
 2 1 n 2 i,j = 1,,n (2.68) 
 ei y n e i y p y dy min,
 y1 yn aij
Đưa vào biến không thứ nguyên 
 0
y y  (2.69) 
 n n yn
 0 0 0
trong đó y1 , y2 ,.....yn là các biến không thứ nguyên có giá trị dương, 
y1,  y 2 ,.....,  yn là các độ lệch chuẩn của các biến y1 , y2 ,.....yn . Khi đó ta có: 
 45 
 y0 y 0 
 2 1 y1 n yn 2
 e y 0 n 0 e y p y dy min, i,j = 1,,n (2.70) 
 i y y  i
 1y 1 n yn aij
Trong tuyến tính hóa tương đương các giá trị y1,  y 2 ,.....,  yn là độc lập với aij khi 
ta cực tiểu (2.70). Do vậy ta sẽ có: 
 TT 1
A g y y yy (2.71) 
Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề xuất bởi Atalik và 
Utku [59] như sau: 
 0 0 0
a) Gán giá trị ban đầu dương cho y1 ,y 2 ,.....y n . 
 T
b) Gán giá trị ban đầu cho ma trận tương quan yy 
c) Sử dụng phương trình (2.71) để xác định ma trận A. 
d) Giải hệ phương trình tuyến tính (2.65) để xác định ma trận tương quan 
 yy T  mới 
Lặp lại các bước b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định. 
Rõ ràng, tiêu chuẩn (2.70) (LOMSEC) có thể tạo ra một loạt các lời giải gần đúng 
khác nhau tùy thuộc vào cách lấy miền tích phân hữu hạn được thực hiện, và 
 0 0 0
LOMSEC cho lời giải của Caughey khi các biến y1, y 2 ,..... yn . LOMSEC chứa 
đựng sự tồn tại của một tập hợp các giá trị tối ưu y0, y 0 ,..... y 0 cho một hệ phi tuyến 
 1 2 n 
cụ thể, cho phép có được lời giải gần đúng nhất có thể có. Tuy nhiên, không thể tìm 
 0 0 0
ra một liên kết toán học giữa y1, y 2 ,..... yn và các tham số của hệ dao dộng phi 
tuyến, đặc biệt là tham số đặc trưng cho tính phi tuyến. Đây là một hạn chế đáng kể 
của LOMSEC, và điều đó phải được giải quyết bằng một cách nào đó. 
Anh và Di Paola [15], những người đầu tiên đề xuất LOMSEC cho các hệ dao động 
phi tuyến một bậc tự do và áp dụng cho các hệ dao động Duffing và Vanderpol, sau 
 0
đó các tác giả đề nghị chọn y 3, điều đó có nghĩa là y1 3 y 1 . Tuy nhiên, ta có 
thể chọn được giá trị khác của y0 để xác định miền tích phân để có lời giải tốt hơn. 
Điều này đòi hỏi nhiều nghiên cứu hơn. 
 46 
Sau kết quả ban đầu của Anh và Di Paola, L.X. Hùng đã phát triển LOMSEC cho 
các hệ thống phi tuyến nhiều bậc tự do (MDOF) và đã nghiên cứu một loạt các hệ 
phi tuyến khác nhau [7, 17 - 19]. Dựa trên các hệ phi tuyến mà các lời giải chính 
xác của chúng tồn tại hoặc ta có thể tìm các nghiệm mô phỏng Monte Carlo, và 
bằng cách gán các lời giải đó cho LOMSEC để giải quyết các bài toán ngược, L. X. 
 0 0
Hùng đã tìm thấy các giá trị tối ưu hiệu quả của yn là yn (2, 2.7) (trừ hệ dao động 
Van der Pol). Cuối cùng, với mục đích đưa ra một cách hợp lý giá trị y0 để áp dụng 
cho bất kỳ hệ dao động phi tuyến nào, các phép tính toán ngược cho các giá trị trung 
 0
bình dẫn đến một giá trị đề xuất là y 2.5, điều đó có nghĩa yn 2.5 yn [7, 17 - 
19]. 
Quay lại tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể, các hệ số 
TTH a có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau: 
 ij 
 0 0 0
aij a ij( y1 , y 2 ,..... y n ) 
 0 0
 y1 yn 
 1 0 0 0 0 0 0 (2.72) 
 Lim .... ayyij (1 , 2 ,..... ydydy n ) 1 2 ..... dy n 
 y0, y 0 ,..... y 0 0 0 0 
 1 2 n y1 y 2 ..... yn 0 0
trong đó là ký hiệu giá trị trung bình thông thường cho hàm số. Ta thu được từ 
LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình 
địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do. 
Trong nhiều mô hình cơ học, đặc biệt trong phương pháp phần tử hữu hạn, hệ dao 
động được mô hình hóa bởi một hệ các phương trình vi phân bậc hai phi tuyến có 
dạng: 
Mq+Cq+Kq+ Φ(q,q)=Q(t)  (2.73) 
trong đó M m , C c , K k là các ma trận hằng n × n. 
 ij n n ij n n ij n n
 T T
 q,,,, q  1  2   n  là véc tơ các hàm phi tuyến của q q1 , q 2 , , qn  và 
 T
q q1 , q  2 , , q n  . (T) ký hiệu phép toán chuyển vị ma trận. Kích động Q(t) là véc 
tơ các quá trình ngẫu nhiên chuẩn có trung bình bằng không và hàm mật độ phổ 
S() S  với S  là các hàm mật độ phổ tương quan của Qi và Qj. 
 Q ij n n ij
 47 
Hệ phương trình tuyến tính tương đương sẽ là 
Mq+ C+Ce q+  K+K e q=Q(t) (2.74) 
trong đó, Ce ce , K e k e là các ma trận TTH xác định từ điều kiện min 
 ij n n ij n n
 T
của véc tơ hiệu sai số phương trình   1,,,  2   n  với 
 (,)q q CK q  q (2.75) 
 e e 
Để phân tích hệ tuyến tính (2.74) ta có thể sử dụng lý thuyết hàm mật độ phổ. Ta có 
[29, 44]: 
S( ) =α (-  ) S (  ) αT (  ) (2.76) 
 q Q 
trong đó, α(ω) là ma trận đáp ứng tần số của hệ tuyến tính 
 2 e e -1
α( )= -  M+i  (C+C )+(K+K ) (2.77) 
Các mô men bậc hai của đáp ứng sẽ tính theo công thức: 
 E qq S( ) d  , 
 i j qi q j
 E qqTT (  ) S (  ) (  ) d  , (2.78) 
  Q
 E qqTT 2 ()()()  S   d 
  Q
Để lập hệ phương trình khép kín ta cần các phương trình xác định các hệ số TTH 
tương đương. Ký hiệu p(,) q q là hàm mật độ xác suất liên kết dừng của véc tơ 
 T T
q  q1,,, q 2  qn  và q  q 1,,, q  2  q n  . Theo tiêu chuẩn sai số bình phương 
trung bình địa phương (LOMSEC) ta có 
 q01 q 0n q 01 qn
 2 (n ) ( n )  2 pqqdqdq ( , ) ... dqdqdq   ... dq  min
 1 2n 1 2 n
 e e
 c, k (2.79) 
 q01 q 0n q 01 q  0 n ij ij
( ,i , j 1,2,..., n )
 48 
với q01, q 02 ,..., q 0n , q 01 , q  02 ,..., q  0 n là những giá trị dương. Đưa vào đại lượng không 
thứ nguyên qrqr01 q 1, 02  q 2 ,..., qrqrqr 0 n  qn ; 01  q 1 ,  02  q  2 ,..., qr  0 n  qn  ; 
q1,  q 2 ,...,  qn ;  q 1 ,  q  2 ,...,  qn  là độ lệch chuẩn của các biến q1, q 2 ,..., qn và 
 T
q  q 1,,, q  2  q n  . khi đó ta có 
 rq1 r  qn r  q 1 r  qn 
 2 ()n () n  2 pqqdqdq (,) ... dqdqdq   ... dq  min
 1 2n 1 2 n (2.80) 
 ce, k e
 rq1 r  qn r  q 1 r  qn  ij ij
( ,,i j 1,2,..., n ) 
Cho các đạo hàm riêng triệt tiêu ta có 
  
 E 2 0, E  2 0; ( , i , j 1,2,..., n )
 e e (2.81) 
cij  k ij
 e e e e e e
Các hệ số TTH cij, k ij sẽ phụ thuộc vào r (có nghĩa là cij c ij( r ), k ij k ij ( r ) ). 
Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) 
 e e
các hệ số TTH c ij, k ij có thể chọn bằng giá trị trung bình tổng thể như sau [24]: 
 s s
 e e1 e e e 1 e
 cij c ij( r ) Lim c ij ( r ) dr , k ij k ij ( r ) Lim k ij ( r ) dr (2.82)
 s s s s 
 0 0 
Các phương trình (2.82) cùng với hệ phương trình tuyến tính (2.74) sẽ lập thành 
một hệ khép kín cho phép xác định đáp ứng của hệ. 
 49 
 Kết luận Chương 2 
Chương hai tập trung giới thiệu phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng 
trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Phương pháp tuyến tính hóa tương 
đương dựa trên tiêu chuẩn tương đương. Do vậy, tiêu chuẩn tương đương kinh điển 
do Caughey đề xuất và một số tiêu chuẩn tương đương khác được giới thiệu tóm tắt. 
Đặc biệt, trong chương này đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương 
trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - 
GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ một và nhiều bậc 
tự do. Các ví dụ áp dụng khẳng định ưu điểm nổi bật của kỹ thuật này sẽ được trình 
bày trong các chương 3 và 4 khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động 
phi tuyến ngẫu nhiên một và nhiều bậc tự do. 
Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong các bài báo [1,6] trong Danh sách 
các công trình đã công bố của luận án. 
 50 
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH 
 CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO 
 Trong chương này chúng ta sẽ ứng dụng Tiêu chuẩn sai số bình phương 
trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích dao động ngẫu nhiên 
cho hệ một bậc tự do. Việc đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu 
chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác (nếu có), hoặc nghiệm mô phỏng và 
nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao 
động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do. Vấn đề phân tích dao động ngẫu nhiên 
cho hệ nhiều bậc tự do sẽ được tiến hành trong chương 4 tiếp theo. 
3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ dao động phi tuyến 
 Như đã phân tích trong chương 2 tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa 
phương – tổng thể (GLOMSEC) được xây dựng trên cách tiếp cận đối ngẫu cho tiêu 
chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC). Cơ sở khoa học của 
tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) lại dựa trên giả 
thiết cho rằng phép lấy tích phân sai số phương trình cần tập trung trong một miền 
hẹp hơn để cho nghiệm chính xác hơn. Đây là một giả thuyết do Anh và Di Paola đề 
nghị vào năm 1995. Để làm rõ hơn giả thuyết này, trong luận án sẽ phân tích các 
hàm mật độ xác suất của một số hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên, 
trong đó sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa vùng tập trung đáp ứng của hệ và tham số 
phi tuyến. 
 3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng 
Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng có dạng 
x 2 hx   x  x3  t (3.1) 
với h,,,   là các hệ số dương,  t là quá trình ồn trắng Gauss với 
 t 0,   t   t   t (3.2) 
 t là hàm Delta Dirac. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ 
Duffing sẽ là [29, 44] 
 51 
 4h    2h
  2 4 2 
p x, x Cexp 2 x x exp 2 x  (3.3) 
  2 4    
trong đó C là hằng số chuẩn. Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF được 
tách thành hai hàm mật độ độc lập p x, x p x p x với 
  2h  (3.4) 
 4h  2  4  2
p x C1 exp 2 x x  p x C2 exp 2 x  
  2 4  ,  
Ký hiệu Prob a x a là xác suất sao cho đáp ứng của hệ Duffing rơi vào vùng 
 a, a. Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng a, a sẽ được xác 
định theo công thức: 
 a
Prob a x a p x dx (3.5) 
 a 
Giả sử ta chọn Prob a x a 0.98 và xét các tham số của hệ như sau: 
h 0.25; 1;  1 và tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị 
a (xem Bảng 3.1). Từ Bảng 3.1 nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các 
đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến  tăng. Các quan 
sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị của các hàm mật độ của dịch chuyển 
và vận tốc khi tham số phi tuyến  thay đổi, chẳng hạn đối với hàm p(x) (3.4) như 
thấy trên Hình 3.1(a,b,c,d). 
Bảng 3.1. Các giá trị của a phụ thuộc theo  
  0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100 
 a 2.04 1.65 1.46 1.05 0.89 0.69 0.61 0.54 0.51 
 52 
 p p
 0.4 0.5
 0.4
 0.3
 0.3
 0.2
 0.2
 0.1 0.1
 x x
 - 3 - 2 - 1 1 2 3 - 3 - 2 - 1 1 2 3 
 a.  =0.1 b.  =1 
 p p
 1.2
 0.6 1
 0.8
 0.4
 0.6
 0.4
 0.2
 0.2
 x x
 - 1.5 - 1 - 0.5 0.5 1 1.5 - 1 - 0.5 0.5 1 
 c.  =10 d.  =100 
 Hình 3.1. Đồ thị hàm PDF p(x) của hệ Duffing, ( =0.1, 1, 10, 100) 
 3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng 
Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi 
phương trình sau: 
x  1 x2 x  2 x  x d  t (3.6) 
Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44]: 
  2 
p x, x C exp x2 x  2 0.5 x 2 x  2 
  (3.7) 
 d  
trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng 
 a, a sẽ được xác định theo công thức: 
 a 
Prob a x a p x , x dx  dx (3.8) 
 a 
Tương tự, giả sử ta chọn Prob a x a 0.98 và xét tham số d=2 trong khi 
tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (Bảng 3.2). Từ Bảng 
 53 
3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với 
xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến  tăng. Các quan sát tương tự cũng thu 
nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều của các hàm mật độ của dịch 
chuyển và vận tốc p x, x khi tham số phi tuyến  thay đổi, thể hiện trên Hình 
3.2(a,b,c,d). 
Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo  
  0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100 
a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07 
 0.04
 p
 4
 0.02
 2
 0
 0
 -4 x
 -2 -2
 0
 x 2 -4
 4 
 a.  =0.1 
 0.1
 0.075p
 0.05 2
 0.025
 0
 0 x
 -2
 0
 x -2
 2
 b.  =1.0 
 54 
 p0.2 2
 0.1 1
 0
 -2 0 x
 -1
 0 -1
 x 1
 -2
 2 
 c.  =10 
 0.4
 0.3
 p
 0.2 1
 0.1
 0
 0 x
 -1
 0
 x -1
 1
 d.  =100 
 Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF p x, x của hệ cản phi tuyến, ( =0.1, 1, 10, 100) 
 3.1.3. Hệ dao dộng có lực cản và đàn hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng 
Ta xét thêm hệ dao động phi tuyến thứ 3. Hệ dao dộng này có cả lực cản và lực đàn 
hồi phi tuyến chịu kích động ồn trắng được mô tả bởi phương trình: 
 2 
 1 20 2 4 2 3 
x 4 h x  x x x  0 x  x  ( t ) (3.9) 
 2 2 4
Hệ này có hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF như sau [29, 44] 
 2 2 
 4h 1 2  2  4 
p x, x C exp x 0 x x  (3.10) 
  2 2 2 4 
  
 55 
trong đó C là hằng số chuẩn. Giả sử ta chọn Prob a x a 0.98 và xét tham số 
h 0.1; 1; 2 1 trong khi tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các 
 0 
giá trị a (xem Bảng 3.3). Từ Bảng 3.3 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] 
trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 co lại khi tham số phi tuyến  tăng. 
Các quan sát tương tự cũng thu nhận được khi vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều 
của các hàm mật độ của dịch chuyển và vận tốc p x, x khi tham số phi tuyến  
thay đổi,