Luận án Nghiên cứu đáp ứng tĩnh và động của các kết cấu vỏ composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn (sfem) kết hợp với phần tử vỏ mitc3

. Trong các Bảng 2-1 đến Bảng 2-3 vỏ được rời rạc lưới với 
kích thước ( 10 × 10) và (20 × 20) so sánh chuyển vị không thứ nguyên tại 
tâm của vỏ với nghiệm giải tích được thực hiện bởi tác giả Reddy và cộng sự 
của ông [104]. Qua kết quả thể hiện trong các Bảng 2-1 và Bảng 2-2 cho thấy 
 57 
 Hình 2-15. Mô hình vỏ 2 độ cong 
trong hầu hết tất cả các trường hợp với tỉ lệ bán kính và chiều dài 
 푅⁄ = 5, 10, 20, 50, 100 chiều dày là ⁄ℎ = 10, 100; số lớp khảo sát là 
[00⁄900], [00⁄900/ 00], [00⁄900/900/ 00] thì phần tử ES-MITC3 đều đạt 
được kết quả tốt hơn so với sử dụng phần tử gốc MITC3, ngang bằng với phần 
tử MITC4 và rất gần với nghiệm giải tích được thực hiện bởi tác giả Reddy và 
cộng sự [104] với sai lệch nhỏ hơn 2%. Bảng 2-3 thể hiện kết quả chuyển vị 
không thứ nguyên của vỏ composite 2 độ cong chịu tải trọng tập trung. Kết quả 
cho thấy khi sử dụng phần tử ES-MITC3 trong trường hợp này tốt hơn phần tử 
MITC3 và phần tử tứ giác MITC4 và rất gần so với phương pháp giải tích được 
thực hiện bởi Reddy và cộng sự [104]. Cụ thể kết quả sai lệch của phần tử ES-
MITC3 chỉ nhỏ hơn 4% so với phương pháp giải tích trong khi phần tử gốc 
MITC3 là trên 7% trong tất cả các tham số khảo sát. 
 Bảng 2-4 lưới được rời rạc (10 × 10) và kết quả chuyển vị và ứng suất 
không thứ nguyên so sánh với các tác giả Akhras và cộng sự [13]. Kết quả từ 
bảng cho thấy rằng phương pháp ES-MITC3 đạt tốt hơn với phương pháp sử 
dụng phần tử gốc MITC3 với sai lệch của phần tử ES-MITC3 lớn nhất là 3.24% 
 58 
trong khi phần tử MITC3 cho kết quả sai lệch lớn nhất là 5,39% và rất gần với 
kết quả sử dụng phần tử bốn nút cải tiến MITC4 trong tất cả các trường hợp 
khảo sát. Bảng 2-6 trình bày vỏ composite hai độ cong có các lớp bất đối xứng 
với các lớp cụ thể như sau: [00⁄00 /3 00⁄−600], [00⁄450/300/ 900], 
[00⁄300/600/ 450]. Các kết quả trên cho thấy với sự xếp lớp vật liệu bất đối 
xứng với các góc phương sợi trong trường hợp thứ ba [00⁄300/600/ 450] là 
cho đáp ứng chuyển vị nhỏ nhất. 
 2.5 
 2.4
 2.3
 2.2
 2.1
 Chuyen vi khong thu nguyen khongthu vi Chuyen Giai tich
 2 MITC3
 MITC4
 ES-MITC3
 1.9 
 0 100 200 300 400 500 600
 So bac tu do cua vo 
 Hình 2-16. Mức độ hội tụ của chuyển vị tâm của vỏ composite 2 độ cong với 
 số bậc tự do tăng dần của các kiểu phần tử khác nhau 
 59 
Bảng 2-1. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng dạng hàm sin ( =
 1000푤( ⁄2, ⁄2,0)ℎ3 
 , 푅 = 푅 = 푅),푤̅ = 2. 
 푃 4
 [00⁄900] [00⁄900/ 00] [00⁄900/900/ 00] 
R/a Phương pháp a/h a/h a/h a/h a/h a/h 
 =10 =100 =10 =100 =10 =100 
5 FSDT† 11.4290 1.1948 6.4253 1.0337 6.3623 1.0279 
 MITC3 11.1948 1.1673 6.3411 1.0100 6.2563 1.0044 
 (10 10) (2.04%) (2.30%) (1.31%) (2.29%) (1.66%) (2.28%) 
 MITC4 11.4343 1.1760 6.4744 1.0216 6.4028 1.0158 
 (10 10) (0.04%) (1.57%) (0.76%) (1.17%) (0.63%) (1.17%) 
 ES-MITC3 11.4142 1.2060 6.5124 1.0428 6.4154 1.0370 
 (10 10) (0.12%) (0.93%) (1.35%) (0.88%) (0.83%) (0.88%) 
 †
10 FSDT 12.1230 3.5760 6.6247 2.4109 6.5595 2.4030 
 MITC3 11.9560 3.4991 6.5755 2.3584 6.4863 2.3512 
 (10 10) (1.37%) (2.15%) (0.74%) (2.17%) (1.11%) (2.15%) 
 MITC4 12.1845 3.5438 6.7024 2.4147 6.6247 2.3968 
 (10 10) (0.50%) (0.90%) (1.17%) (0.15%) (0.99%) (0.25%) 
 ES-MITC3 12.1010 3.5787 6.6988 2.4049 6.6010 2.4062 
 (10x10) (0.18%) (0.07%) (1.11%) (0.24%) (0.63%) (0.13%) 
 †
20 FSDT 12.3090 7.1270 6.6756 3.6150 6.6099 3.6104 
 MITC3 12.1615 6.9606 6.6373 3.5276 6.5466 3.5233 
 (10 10) (1.19%) (2.33%) (0.57%) (2.41%) (0.95%) (2.41%) 
 MITC4 12.3874 7.1188 6.7571 3.6322 6.6824 3.6275 
 (10 10) (0.63%) (0.11%) (1.22%) (0.47%) (1.09%) (0.47%) 
 ES-MITC3 12.2869 7.0971 6.7519 3.6143 6.6494 3.6080 
 (10 10) (0.17%) (0.41%) (1.14%) (0.01%) (0.59%) (0.06%) 
 †
50 FSDT 12.3620 9.8717 6.6902 4.2027 6.6244 4.2015 
 MITC3 12.2201 9.6038 6.6553 4.0965 6.5636 4.0945 
 (10 10) (1.14%) (2.71%) (0.52%) (2.52%) (0.91%) (2.54%) 
 MITC4 12.4454 9.9194 6.7736 4.2375 6.6988 4.2362 
 (10 10) (0.67%) (0.48%) (1.24%) (0.82%) (1.12%) (0.82%) 
 ES-MITC3 12.3400 9.8007 6.7660 4.1999 6.6631 4.1964 
 (10 10) (0.17%) (0.71%) (1.13%) (0.06%) (0.58%) (0.12%) 
 †
100 FSDT 12.3700 10.4460 6.6923 4.3026 6.6264 4.3021 
 MITC3 12.2286 10.1098 6.6579 4.1932 6.5666 4.1918 
 (10 10) (1.14%) (3.21%) (0.51%) (2.54%) (0.90%) (2.56%) 
 MITC4 12.4538 10.5100 6.7760 4.3409 6.7011 4.3403 
 (10 10) (0.67%) (0.61%) (1.25%) (0.89%) (1.12%) (0.88%) 
 ES-MITC3 12.3476 10.3651 6.7680 4.2998 6.6651 4.2965 
 (10 10) (0.18%) (0.77%) (1.13%) (0.06%) (0.58%) (0.13%) 
†Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 
 60 
Bảng 2-2. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng phân bố đều 
 1000푤( ⁄2, ⁄2,0)ℎ3 
( = , 푅 = 푅 = 푅),푤̅ = 2. 
 푃 4
 Phương [00⁄900] [00⁄900/ 00] [00⁄900/900/ 00] 
R/a 
 pháp a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 
5 FSDT† 19.9440 1.75350 9.79370 1.5118 9.8249 1.5358 
 MITC3 17.5446 1.7207 9.6695 1.4819 9.6470 1.5058 
 (10 10) (12.03%) (1.87%) (1.26%) (1.97%) (1.81%) (1.95%) 
 MITC4 17.9189 1.7311 9.8630 1.4934 9.8729 1.5198 
 (10 10) (10.15%) (1.27%) (0.70%) (1.21%) (0.48%) (1.04%) 
 ES-
 17.8533 1.7712 9.9155 1.5232 9.8720 1.5495 
 MITC3 
 (10.48%) (1.00%) (1.24%) (0.75%) (0.47%) (0.89%) 
 (10 10) 
10 FSDT† 19.0650 5.5428 10.1100 3.6445 10.1410 3.7208 
 MITC3 18.8196 5.4459 10.0682 3.5878 10.0417 3.6562 
 (10 10) (1.28%) (1.74%) (0.41%) (1.55%) (0.97%) (1.73%) 
 MITC4 19.1775 5.5126 10.2457 3.6470 10.2549 3.7233 
 (10 10) (0.59%) (0.54%) (1.34%) (0.06%) (1.12%) (0.06%) 
 ES-
 19.0048 5.5574 10.2424 3.6625 10.1943 3.7341 
 MITC3 
 (0.31%) (0.26%) (1.30%) (0.49%) (0.52%) (0.35%) 
 (10 10) 
20 FSDT† 19.3650 11.2730 10.1910 5.5473 10.2220 5.6618 
 MITC3 19.1638 11.0400 10.1734 5.4492 10.1453 5.5464 
 (10 10) (1.03%) (2.06%) (0.17%) (1.76%) (0.75%) (2.03%) 
 MITC4 19.5176 11.2894 10.3453 5.5956 10.3543 5.7067 
 (10 10) (0.78%) (0.14%) (1.51%) (0.87%) (1.29%) (0.79%) 
 ES-
 19.3164 11.2353 10.3276 5.5689 10.2783 5.6703 
 MITC3 
 (0.25%) (0.33%) (1.34%) (0.38%) (0.55%) (0.15%) 
 (10 10) 
50 FSDT† 19.4520 15.7140 10.2140 6.4827 10.2450 6.6148 
 MITC3 19.2621 15.3218 10.2042 6.3595 10.1744 6.4689 
 (10 10) (0.97%) (2.49%) (0.09%) (1.9%) (0.68%) (2.20%) 
 MITC4 19.6148 15.8245 10.3735 6.5628 10.3824 6.6903 
 (10 10) (0.83%) (0.70%) (1.56%) (1.23%) (1.34%) (1.14%) 
 ES-
 19.4054 15.6073 10.3518 6.5052 10.3021 6.6204 
 MITC3 
 (0.23%) (0.67%) (1.34%) (0.34%) (0.55%) (0.08%) 
 (10 10) 
100 FSDT† 19.4640 16.6450 10.2180 6.6421 10.2490 6.6772 
 MITC3 19.2762 16.1368 10.2087 6.5144 10.1796 6.6262 
 (10 10) (0.96%) (3.05%) (0.09%) (1.92%) (0.67%) (0.76%) 
 MITC4 19.6288 16.7813 10.3775 6.7282 10.3864 6.8585 
 (10 10) (0.84%) (0.81%) (1.56%) (1.29%) (1.34%) (2.71%) 
 ES-
 19.4182 16.5203 10.3552 6.6647 10.3055 6.7822 
 MITC3 
 (0.23%) (0.74%) (1.34%) (0.34%) (0.55%) (1.57%) 
 (10 10) 
†Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 
 61 
Bảng 2-3. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ hai độ cong chịu tải trọng tập trung ( =
 100푤( ⁄2, ⁄2,0)ℎ3 
 , 푅 = 푅 = 푅),푤̅ = 2. 
 푃 4
 R/a Phương pháp [00⁄900] [00⁄900/ 00] [00⁄900/900/ 00] 
 FSDT† 7.1015 5.1410 4.9360 
 6.5263 4.5305 4.3329 
 MITC3 (20 20) 
 (8.09%) (11.87%) (12.21%) 
 5 6.8155 4.8451 4.6427 
 MITC4 (20 20) 
 (4.02%) (5.75%) (5.94%) 
 ES-MITC3 6.9448 4.9720 4.7650 
 (20 20) (2.20%) (3.28%) (3.46%) 
 FSDT† 7.3836 5.2273 5.0186 
 6.8404 4.6281 4.4260 
 MITC3 (20 20) 
 (7.35%) (11.46%) (11.80%) 
 10 7.1191 4.9405 4.7343 
 MITC4 (20 20) 
 (3.58%) (5.48%) (5.66%) 
 ES-MITC3 7.2217 5.0492 4.8384 
 (20 20) (2.19%) (3.40%) (3.59%) 
 FSDT† 7.4692 5.2594 5.0496 
 6.925 4.6532 4.4500 
 MITC3 (20 20) 
 (7.28%) (11.52%) (11.87%) 
 20 7.2012 4.9652 4.7581 
 MITC4 (20 20) 
 (3.58%) (5.59%) (5.77%) 
 ES-MITC3 7.2968 5.0693 4.8576 
 (20 20) (2.30%) (3.61%) (3.80%) 
 FSDT† 7.4909 5.2657 5.0557 
 6.9495 4.6603 4.4560 
 MITC3 (20 20) 
 (7.22%) (11.52%) (11.87%) 
 50 7.2246 4.9722 4.7648 
 MITC4 (20 20) 
 (3.58%) (5.59%) (5.77%) 
 ES-MITC3 7.3182 5.0751 4.8631 
 (20 20) (2.30%) (3.61%) (3.80%) 
 FSDT† 7.4940 5.2666 5.0565 
 6.9530 4.6594 4.4566 
 MITC3 (20 20) 
 (7.21%) (11.52%) (11.86%) 
 100 7.2280 4.9732 4.7658 
 MITC4 (20 20) 
 (3.54%) (5.57%) (5.74%) 
 ES-MITC3 7.3213 5.0759 4.8638 
 (20 20) (2.30%) (3.62%) (3.81%) 
†Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 
 62 
Bảng 2-4. Chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên tại tâm của vỏ composite 
 0 0 0 0
[0 ⁄90 /90 / 0 ] dưới tác dụng của tải trọng dạng hàm sin ( = , 푅 = 푅 =
 100푤( ⁄2, ⁄2,0)ℎ3 ℎ2 ℎ2
푅, 푅⁄ = 109), 푤̅ = 2, 휎̅ = 휎 , 푖 = , , 휏̅ = 휏 . 
 푃 4 푖 푖 푃 2 푃 2
 푤̅ 휎̅ 휎̅ 휏 ̅ 
a/h Phương pháp ℎ ℎ ℎ
 ( , , 0) ( , , ) ( , , ) (0,0, − ) 
 2 2 2 2 2 2 2 4 2
4 FSDT † 17.1000 0.4059 0.5765 0.0308 
 MITC3 16.8933 0.3840 0.5537 0.0301 
 (10 10) (1.20%) (5.39%) (3.95%) (2.27%) 
 MITC4 17.2669 0.3999 0.5758 0.0310 
 (10 10) (0.97%) (1.47%) (0.12%) (0.64%) 
 ES-MITC3 17.2782 0.3931 0.5660 0.0298 
 (10 10) (1.04%) (3.15%) (1.82%) (3.24%) 
10 FSDT † 6.6280 0.4989 0.3615 0.0241 
 MITC3 6.5193 0.4736 0.3470 0.0236 
 (10 10) (1.64%) (5.07%) (4.01%) (2.07%) 
 MITC4 6.7019 0.4932 0.3609 0.0243 
 (10 10) (1.11%) (1.14%) (1.16%) (0.82%) 
 ES-MITC3 6.6657 0.4849 0.3551 0.0236 
 (10 10) (0.56%) (2.80%) (1.77%) (2.07%) 
20 FSDT † 4.9120 0.5273 0.2957 0.0221 
 MITC3 4.8112 0.5016 0.2824 0.0216 
 (10 10) (2.05%) (4.87%) (4.48%) (2.26%) 
 MITC4 4.9611 0.5223 0.2939 0.0222 
 (10 10) (0.99%) (0.94%) (0.60%) (0.45%) 
 ES-MITC3 4.9220 0.5135 0.2895 0.0216 
 (10 10) (0.20%) (2.16%) (2.09%) (2.26%) 
100 FSDT † 4.3370 0.5382 0.2705 0.0213 
 MITC3 4.2253 0.5110 0.2570 0.0208 
 (10 10) (2.57%) (5.05%) (4.99%) (2.34%) 
 MITC4 4.3761 0.5335 0.2681 0.0213 
 (10 10) (0.90%) (0.87%) (0.88%) (0%) 
 ES-MITC3 4.3310 0.5239 0.2641 0.0208 
 (10 10) (0.13%) (2.65%) (2.36%) (2.34%) 
†Phương pháp phần tử hữu hạn đề xuất bởi Akhras và cộng sự. [1993]. 
 63 
Bảng 2-5. Chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên của vỏ composite hai độ cong 
 0 0 0 0
[0 ⁄90 /90 / 0 ] dưới tác dụng của tải trọng dạng hàm sin ( = , 푅 = 푅 =
 100푤( ⁄2, ⁄2,0)ℎ3 ℎ2 ℎ2
푅, ⁄ℎ = 10), 푤̅ = 2,휎̅ = 휎 , 푖 = , , 휏̅ = 휏 . 
 푃 4 푖 푖 푃 2 푃 2
 푤̅ 휎̅ 휎̅ 휏 ̅ 
 R/a Phương pháp ℎ ℎ ℎ
 ( , , 0) ( , , ) ( , , ) (0,0, − ) 
 2 2 2 2 2 2 2 4 2
 FEM Q4-R † 6.3610 0.4540 0.3215 0.0347 
 MITC3 6.2563 0.4721 0.3507 0.0295 
 (10 10) (1.64%) (3.98%) (9.08%) (14.98%) 
 5 MITC4 6.4028 0.4695 0.3426 0.0282 
 (10 10) (0.65%) (3.41%) (6.56%) (18.7%) 
 ES-MITC3 6.4154 0.4878 0.3586 0.0332 
 (10 10) (0.85%) (7.44%) (11.53%) (4.32%) 
 FEM Q4-R † 6.5580 0.4796 0.3437 0.0297 
 MITC3 6.4863 0.4792 0.3537 0.0277 
 (10 10) (1.09%) (0.08%) (2.90%) (6.73%) 
 10 MITC4 6.6247 0.4908 0.3599 0.0269 
 (10 10) (1.01%) (2.33%) (4.71%) (9.42%) 
 ES-MITC3 6.6010 0.4917 0.3619 0.0290 
 (10 10) (0.65%) (2.52%) (5.29%) (2.35%) 
 MITC3 
 6.5466 0.4780 0.3516 0.0259 
 (10 10) 
 MITC4 
 20 6.6824 0.4943 0.3622 0.0257 
 (10 10) 
 ES-MITC3 
 6.6494 0.4897 0.3598 0.0264 
 (10 10) 
 MITC3 
 6.5666 0.4747 0.3481 0.0241 
 (10 10) 
 MITC4 
 100 6.7011 0.4938 0.3614 0.0246 
 (10 10) 
 ES-MITC3 
 6.6651 0.4861 0.3563 0.0242 
 (10 10) 
†Phương pháp phần tử hữu hạn được đề xuất bởi tác giả Reddy [1982]. 
 64 
 Bảng 2-6. Chuyển vị không thứ nguyên của vỏ composite bất đối xứng hai độ cong chịu 
 1000푤( ⁄2, ⁄2,0)ℎ3 
 tải trọng phân bố đều ( = , 푅 = 푅 = 푅),푤̅ = 2. 
 푃 4
 Phương [00⁄00 /3 00⁄−600] [00⁄450/300/ 900] [00⁄300/600/ 450] 
 R/a 
 pháp a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 
 5 ES-
 MITC3 12.3323 0.5338 10.1227 0.4657 9.8701 0.5333 
 (10 10) 
 10 ES-
 MITC3 13.9802 2.1086 12.2198 1.6746 11.2292 1.7950 
 (10 10) 
 20 ES-
 MITC3 14.3552 5.7965 13.0551 4.3613 11.5461 4.4970 
 (10 10) 
 50 ES-
 MITC3 14.3974 10.2149 13.4240 8.1797 11.5824 7.3295 
 (10 10) 
 100 ES-
 MITC3 14.3801 11.1855 13.5201 9.5639 11.5677 7.8844 
 (10 10) 
2.4.2.2. Dao động riêng của vỏ composite 
 Trong phần này, phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên phần tử nội suy 
hỗn hợp ES-MITC3 được sử dụng để khảo sát dao động tự do của vỏ hai độ 
cong, vỏ trụ và vỏ có hình dạng yên ngựa (hyperbol). Để kiểm tra mức độ hội 
tụ của phần tử ES-MITC3 tác giả luận án tiến hành giải với kết cấu vỏ thoải 
composite 2 độ cong được chế tạo từ vật liệu có tham số hình học như sau 
 0 0 0 0
 ⁄ = 1, 푅 = 푅 = 푅, ⁄ℎ = 100, [0 ⁄90 /90 / 0 ], kết quả được so sánh 
với phần tử MITC3, MITC4 và phương pháp giải tích của Reddy và Liu [104]. 
Hình 2-17 biểu diễn độ hội tụ của tần số không thứ nguyên của vỏ composite 
bằng các phương pháp khác nhau. Qua đó ta thấy rằng với số bậc ngang bằng 
nhau thì phương pháp ES-MITC3 hội tụ tốt hơn so với phần tử gốc MITC3 và 
ngang bằng với phần tử bốn nút cải tiến MITC4. 
 65 
 26 
 Giai tich
 MITC3
 25 MITC4
 ES-MITC3
 24
 23
 22
 Tan so khong thu nguyen khongthuso Tan
 21
 20 
 0 200 400 600 800 1000 1200
 So bac tu do 
Hình 2-17. Tần số không thứ nguyên của vỏ composite hai độ cong được thực 
 hiện bằng các phương pháp khác nhau. 
 Tiếp theo, tác giả luận án tiến hành nghiên cứu dao động tự do của vỏ hai 
độ cong và vỏ trụ composite có các tham số hình học như sau ⁄ = 1, 푅 =
푅 = 푅 và vỏ trụ có thông số hình học ⁄ = 1, 푅 = 푅, 푅 = ∞. Bảng 2-7 
và Bảng 2-8 trình bày tần số không thứ nguyên của vỏ hai độ cong và vỏ trụ 
composite, tương ứng. Các bảng trên khảo sát tần số không thứ nguyên với sự 
thay đổi bán kính cong của vỏ 푅 = 5, 10, 20, 50, 100 và tỉ lệ cạnh trên chiều 
dày của vỏ lần lượt là ⁄ℎ = 1 0, 100, số lớp thay đổi lần lượt là [00⁄900], 
[00⁄900/ 00], [00⁄900/900/ 00]. Vỏ 2 độ cong và vỏ trụ được rời rạc thành 
lưới có dạng hình tam giác với kích thước lưới là 14 × 14 phần tử. Kết quả 
được thực hiện bởi phương pháp làm trơn trên cạnh ES-MITC3 được so sánh 
với các phương pháp khác và so sánh với lời giải giải tích của các tác giả Reddy 
và Liu [104]. Qua đó ta thấy rằng phương pháp ES-MITC3 đạt được độ hội tụ 
 66 
tốt hơn so với phần tử MITC3, ngang bằng với phần tử tứ giác cải tiến MITC4 
và sai lệch rất ít so với phương pháp giải tích. Cụ thể trong hầu hết các trường 
hợp khảo sát dao động tự do, kết quả sử dụng phần tử ES-MITC3 so với phương 
pháp giải tích sai lệch dưới 2%. Ngoài ra, dựa trên kết quả khảo sát cho thấy 
rằng, sau khi thực hiện phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho phần tử MITC3, 
phần tử ES-MITC3 trở nên mềm hơn vì vậy giá trị tần số dao động riêng luôn 
nhỏ hơn phần tử gốc MITC3 trong hầu hết các trường hợp khảo sát đối với vỏ 
composite 2 độ cong và vỏ trụ composite. Hình 2-18 và Hình 2-19 thể hiện 6 
mode dao động đầu tiên của vỏ composite hai độ cong và vỏ trụ. 
 67 
Bảng 2-7. Tần số không thứ nguyên của vỏ thoải composite 2 độ cong ( = , 푅 =
 2
 푅 = 푅), 휔̅ = 휔( )√휌/ . 
 ℎ 2
R/a Phương pháp [00⁄900] [00⁄900/ 00] [00⁄900/900/ 00] 
 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 
5 FSDT† 9.2309 28.8250 12.372 30.9930 12.4370 31.0790 
 MITC3 9.2879 29.3270 12.4108 31.4788 12.4945 31.5722 
 (14 14) (0.61%) (1.74%) (0.31%) (1.56%) (0.46%) (1.58%) 
 MITC4 9.1550 29.1782 12.2550 31.2764 12.3343 31.3677 
 (14 14) (0.82%) (1.22%) (0.94%) (0.91%) (0.82%) (0.92%) 
 ES-MITC3 9.0106 28.3906 11.8465 30.5764 11.9447 30.6618 
 (14 14) (2.38%) (1.50%) (4.24%) (1.34%) (3.95%) (1.34%) 
10 FSDT† 8.9841 16.7060 12.2150 20.3470 12.2800 20.3800 
 MITC3 9.0667 16.9699 12.3057 20.6423 12.3876 20.6773 
 (14 14) (0.91%) (1.57%) (0.74%) (1.45%) (0.87%) (1.45%) 
 MITC4 8.9313 16.8359 12.1479 20.4326 12.2258 20.4673 
 (14 14) (0.58%) (0.77%) (0.54%) (0.42%) (0.44%) (0.42%) 
 ES-MITC3 8.9862 16.7516 12.1172 20.4100 12.2136 20.4384 
 (14 14) (0.02%) (0.27%) (0.80%) (0.30%) (0.54%) (0.28%) 
20 FSDT† 8.9212 11.8410 12.1760 16.6270 12.2400 16.6380 
 MITC3 9.0106 12.0325 12.2792 16.8747 12.3606 16.8861 
 (14 14) (1.00%) (1.61%) (0.84%) (1.48%) (0.98%) (1.49%) 
 MITC4 8.8746 11.8909 12.1207 16.6505 12.1982 16.6616 
 (14 14) (0.52%) (0.42%) (0.45%) (0.14%) (0.34%) (0.14%) 
 ES-MITC3 8.9785 11.9340 12.1770 16.7350 12.2748 16.7450 
 (14 14) (0.64%) (0.78%) (0.01%) (0.64%) (0.28%) (0.64%) 
50 FSDT† 8.9034 10.0630 12.1650 15.4240 12.2290 15.4260 
 MITC3 8.9949 10.2312 12.2717 15.6638 12.3530 15.6662 
 (14 14) (1.02%) (1.67%) (0.87%) (1.55%) (1.01%) (1.55%) 
 MITC4 8.8587 10.0800 12.1130 15.4259 12.1905 15.4283 
 (14 14) (0.50%) (0.16%) (0.42%) (0.01%) (0.31%) (0.01%) 
 ES-MITC3 8.9764 10.1599 12.1932 15.5346 12.2915 15.5383 
 (14 14) (0.81%) (0.96%) (0.23%) (0.71%) (0.51%) (0.72%) 
100 FSDT† 8.9009 9.78260 12.1630 15.2440 12.2280 15.2450 
 MITC3 8.9964 9.9483 12.2711 15.4824 12.3522 15.4835 
 (14 14) (1.07%) (1.69%) (0.88%) (1.56%) (1.01%) (1.56%) 
 MITC4 8.8564 9.7940 12.1119 15.2429 12.1894 15.2440 
 (14 14) (0.49%) (0.11%) (0.42%) (0.01%) (0.31%) (0.01%) 
 ES-MITC3 8.9761 9.8796 12.1955 15.3549 12.2939 15.3576 
 (14 14) (0.84%) (0.99%) (0.26%) (0.72%) (0.53%) (0.73%) 
†Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 
 68 
Bảng 2-8. Tần số không thứ nguyên của vỏ trụ composite ( = , 푅 = 푅, 푅 = ∞), 
 2
휔̅ = 휔( )√휌/ . 
 ℎ 2
 [00⁄900] [00⁄900/ 00] [00⁄900/900/ 00] 
R/a Phương pháp 
 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 a/h=10 a/h=100 
5 FSDT† 8.9082 16.6680 12.2070 20.3320 12.2670 20.3610 
 MITC3 8.9856 16.8766 12.0764 20.5358 12.4513 20.6821 
 (14 14) (0.86%) (1.25%) (1.06%) (1.00%) (1.50%) (1.57%) 
 MITC4 9.1678 16.7762 11.9294 20.3829 12.0606 20.4746 
 (14 14) (2.91%) (0.64%) (2.27%) (0.25%) (1.68%) (0.55%) 
 ES-MITC3 9.1170 16.9360 12.3216 20.6172 12.4172 20.6519 
 (14 14) (2.34%) (1.60%) (0.93%) (1.40%) (1.22%) (1.42%) 
10 FSDT† 8.8879 11.8310 12.1730 16.6250 12.2360 16.6340 
 MITC3 9.3048 12.4510 12.6379 17.4240 12.7141 17.4355 
 (14 14) (4.69%) (5.24%) (3.81%) (4.80%) (3.90%) (4.81%) 
 MITC4 9.0138 11.9403 12.2347 16.8078 12.3384 16.8092 
 (14 14) (1.41%) (0.92%) (0.50%) (1.09%) (0.83%) (1.05%) 
 ES-MITC3 9.0333 11.9981 12.2527 16.8134 12.3515 16.8267 
 (14 14) (1.63%) (1.41%) (0.65%) (1.13%) (0.94%) (1.15%) 
20 FSDT† 8.8900 10.2650 12.1660 15.5560 12.2300 15.5590 
 MITC3 9.2883 10.8466 12.6260 16.3284 12.7010 16.3314 
 (14 14) (4.48%) (5.66%) (3.78%) (4.96%) (3.85%) (4.96%) 
 MITC4 8.9972 10.3640 12.2228 15.7032 12.3253 15.7059 
 (14 14) (1.20%) (0.96%) (0.46%) (0.94%) (0.77%) (0.94%) 
 ES-MITC3 9.0098 10.3975 12.2355 15.7155 12.3350 15.7218 
 (14 14) (1.34%) (1.29%) (0.57%) (1.02%) (0.85%) (1.04%) 
50 FSDT† 8.8951 9.78160 12.1630 15.2440 12.2280 15.2240 
 MITC3 9.2852 10.3529 12.6227 16.0080 12.6974 16.0084 
 (14 14) (4.38%) (5.84%) (3.77%) (5.01%) (3.83%) (5.15%) 
 MITC4 8.9940 9.89740 12.2294 15.3065 12.3217 15.3064 
 (14 14) (1.11%) (1.18%) (0.54%) (0.40%) (0.76%) 
 (0.54%) 
 ES-MITC3 9.0016 9.90240 12.2306 15.3938 12.3304 15.3980 
 (14 14) (1.19%) (1.23%) (0.55%) (0.98%) (0.83%) (1.14%) 
100 FSDT† 8.8974 9.71080 12.1630 15.1980 12.2270 15.1990 
 MITC3 9.2853 10.2805 12.6222 15.9617 12.6969 15.9618 
 (14 14) (4.35%) (5.86%) (3.77%) (5.02%) (3.84%) (5.01%) 
 MITC4 8.9941 9.82300 12.2290 15.3392 12.3212 15.3288 
 (14 14) (1.86%) (1.15%) (0.54%) (0.92%) (0.77%) (0.85%) 
 ES-MITC3 8.9999 9.82950 12.2300 15.3473 12.3298 15.3511 
 (14 14) (1.15%) (1.22%) (0.55%) (0.98%) (0.84%) (1.00%) 
†Nghiệm giải tích của Reddy và Liu [1985]. 
 69 
 Mode 1 Mode 2 
 Mode 3 Mode 4 
 Mode 5 Mode 6 
Hình 2-18. Sáu mode dao động đầu tiên của vỏ hai độ cong composite ( =
 0 0 0
 , 푅 = 푅 = 푅, a/h=100, [0 ⁄90 / 0 ]) rời rạc lưới 20 × 20 sử dụng phần 
 tử ES-MITC3. 
 70 
 Mode 1 Mode 2 
 Mode 3 Mode 4 
 Mode 5 Mode 6 
Hình 2-19. Sáu mode dao động đầu tiên của vỏ trụ composite ( = , 푅 =
 0 0 0
푅, 푅 = ∞, a/h=100, [0 ⁄90 / 0 ]) rời rạc lưới 20 × 20 sử dụng phần tử 
 ES-MITC3. 
 71 
 Trong ví dụ tiếp theo, tác giả luận án tiến hành khảo sát vỏ composite dạng 
yên ngựa có điều kiện biên tựa đơn và biên ngàm trên các cạnh như Hình 2-20. 
Để tiến hành so sánh kết quả với tài liệu được công bố bởi các tác giả 
Pradyumna và Bandyopadhyay [95], c