Luận án Nghiên cứu giải pháp kết cấu – công nghệ quấn vỏ composite tròn xoay chịu áp lực trong

0,0706 
1.3.2. Nghiên cứu trong nước 
 Nghiên cứu vật liệu composite và công nghệ chế tạo các chi tiết từ vật 
liệu composite đã được thực hiện nhiều nơi như ĐHBK Hà Nội, ĐHBK thành 
phố Hồ Chí Minh, Trung tâm nghiên cứu vật liệu mới thuộc Viện ứng dụng 
công nghệ mới  Các nghiên cứu vật liệu composite nền polyme ban đầu 
được tiến hành trên cơ sở nền polieste không no gia cường sợi thuỷ tinh ngắn 
hoặc vải thuỷ tinh. Tiếp sau là vật liệu composite nền êpoxy gia cường sợi 
hay vải thuỷ tinh có tính năng cơ-lý cao hơn được đầu tư nghiên cứu chế tạo. 
Công nghệ chủ yếu được sử dụng là ép nóng trong khuôn với sản phẩm nhỏ 
và lăn ép thủ công với sản phẩm cỡ lớn. Các tấm mỏng composite cỡ lớn 
trên cơ sở nền polieste không no được sử dụng làm tấm lợp nhà vòm để máy 
bay, tàu đánh cá cỡ nhỏ, xuồng gắn máy, thuyền ba lá, bể chứa chất lỏng và 
hòm hộp. Vật liệu composite nền polieste không no cốt sợi, vải thuỷ tinh bắt 
đầu được sử dụng trong ngành đường sắt. Vật liệu composite nền epoxy cốt 
sợi, vải thuỷ tinh được sử dụng trong chế tạo máy bay, thuỷ phi cơ cỡ nhỏ. 
 33 
 Nghiên cứu composite nền epoxy cốt sợi thuỷ tinh chất lượng cao, sợi 
cacbon, sợi kevlar đã được đầu tư trong giai đoạn 2000-2005 nhưng mới dừng 
lại ở mức độ chế ra mẫu vật liệu. Trong giai đoạn này, nghiên cứu công nghệ 
quấn vật liệu composite cốt sợi liên tục cũng đã được chú ý, đặc biệt là trong 
quân đội với mục đích chế tạo các chi tiết dạng ống trụ hở. Quá trình chế tạo 
ống được thực hiện bằng công nghệ quấn ướt trên máy tiện cải tiến. Tiếp tục 
hướng nghiên cứu này, các phôi ống phóng dài 6500mm đường kính trong 600 
mm từ composite cốt sợi thuỷ tinh E nền epoxy đã được chế tạo theo công nghệ 
quấn ướt [1]. Hướng nghiên cứu này chủ yếu tập trung vào vấn đề vật liệu 
composite cốt sợi nền polyme và công nghệ. Các vấn đề liên quan đến tính toán 
thiết kế kế cấu còn chưa đề cập tới. 
 Tiếp đến, từ năm 2008, các nghiên cứu về tính toán thiết kế, chế tạo bình 
cao áp hình trụ kín từ vật liệu composite độ bền cao theo công nghệ quấn ướt 
đã được các nhà nghiên cứu thuộc Viện Tên lửa thực hiện và đã thu được các 
kết quả: 
 - Đã xác định tỷ lệ nhựa nền phù hợp với yêu cầu thấm ướt tốt sợi gia 
cường, độ nhớt thấm và ổn định thời gian đến 48h ở 25÷300C đáp ứng cho yêu 
cầu quấn ướt. Vật liệu composite nghiên cứu có độ bền kéo 1501 MPa, mô đun 
đàn hồi 47 GPa, hệ số giãn dài 2,8% và tỷ trọng 2,053 g/cm3 đã đáp ứng tốt các 
yêu cầu vật liệu dùng chế tạo các kết cấu trong quân sự [4]. Cùng với đó, đã 
nghiên cứu về nhựa nền epoxy biến tính có mức độ thẩm khí rất thấp được công 
bố trong [14]. 
 - Đã thiết kế chế tạo máy quấn có điều khiển dùng quấn bình composite 
hình trụ kín với số bậc từ do là 2 và 4 [5], [12]. Các máy quấn này đã cho phép 
triển khai nhiều các nghiên cứu về thiết kế chế tạo các loại bình cao áp cỡ nhỏ 
và vừa từ composite. 
 - Đã nghiên cứu thành công lý thuyết và công nghệ quấn bình cao áp 
hình trụ kín với vỏ làm kín bằng thép không gỉ SUS 304 và nhựa nhiệt dẻo 
HDPE với quỹ đạo sợi được rải theo đường trắc địa. Các kết của được công bố 
trong một số công trình [6], [7], [8], [9]. Theo đó đã xác định được mô hình 
toán mô tả đường cong biên dạng đáy; qui luật thay đổi góc quấn trên phần hình 
 34 
trụ và phần đáy, độ lớn ứng suất xuất hiện trong thành bình dưới tác dụng của 
áp suất bên trong, đồng thời, cũng đưa ra phương pháp tính toán các thông số 
kết cấu và các thông số công nghệ quấn. 
 - Đã nghiên cứu biến tính nhựa epoxy có mức độ thẩm thấu khí thấp phục 
vụ cho chế tạo bình cao áp, các ống trụ thẳng từ vật liệu composite bằng công 
nghệ quấn [14]. 
 Việc giảm khối lượng kết cấu có ý nghĩa rất lớn trong thiết kế, chế tạo 
thiết bị bay. Một trong các hướng giảm khối lượng là chế tạo các kết cấu bằng 
vật liệu composite với sơ đồ quấn theo đường trắc địa. Trong [3] đã trình bày 
phương án kết cấu vỏ động cơ phản lực nhiên liệu rắn 9M22Y từ vật liệu 
composite. Kết quả cho thấy, vỏ động cơ làm từ thép có khối lượng 19,75kg, 
trong khi đó, vỏ động cơ từ vật liệu composite chỉ có khối lượng bằng 45,7%. 
Theo tính toán, nhờ khối lượng động cơ giảm đáng kể, tầm bắn của quả đạn có 
thể tăng thêm 10% [2]. 
1.4. Kết luận và định hướng nghiên cứu 
 Chương 1 đã phân tích tình hình tổng quan về kết cấu, vật liệu và công 
nghệ chế tạo kết cấu tròn xoay từ vật liệu composite bằng công nghệ quấn. Phân 
tích các kết quả nghiên cứu liên quan về thiết kế chế tạo vỏ trụ composite có 
đáy chịu áp lực trong, chỉ ra các tồn tại, các vấn đề cần bổ sung phát triển. Một 
số điểm cốt lõi rút ra như sau: 
 1. Với ưu điểm về độ bền riêng cao, các kết cấu từ vật liệu composite nói 
chung đã và đang được phát triển mạnh mẽ trên thế giới, trở thành một xu thế 
phát triển của vật liệu kết cấu, nhất là phát triển các bình cao áp trong dân dụng 
và quốc phòng. 
 2. Vật liệu composite thuộc nhóm vật liệu đặc thù, vấn đề thiết kế kết 
cấu gắn liền với công nghệ vật liệu và công nghệ sản phẩm, nên việc thiết kế 
kết cấu từ vật liệu composite đóng vai trò mở đường cho việc chế tạo thành 
công sản phẩm từ vật liệu composite. 
 3. Việc thiết kế vỏ trụ composite có đáy chịu áp lực trong quy về 3 bài 
toán cơ bản là: thiết kế biên dạng đáy thỏa mãn điều kiện chống không trượt 
 35 
của sợi; bài toán tính toán chiều dày các lớp quấn thỏa mãn điều kiện bền; và 
bài toán xác định kích thước hình học từ điều kiện thể tích cho trước, trong đó, 
bài toán thiết kế biên dạng đáy là bài toán quan trọng nhất, phức tạp nhất. 
 4. Lý thuyết tính toán vỏ trụ composite chịu áp lực trong đi theo 2 hướng 
chính là lý thuyết lưới và lý thuyết liên tục, mỗi lý thuyết có ưu, nhược điểm 
riêng. Đối với các nhóm vật liệu composite mà các thuộc tính đàn hồi theo 
phương vuông góc nhỏ hơn đáng kể so với phương dọc trục sợi, việc sử dụng 
lý thuyết lưới trong thiết kế vỏ trụ composite mang lại hiệu quả hơn vì các 
phương trình tính toán trở lên đơn giản hơn. 
 5. Các lý thuyết về tính toán biên dạng đáy vỏ trụ theo các kiểu quấn trắc 
địa, phi trắc địa đã được nghiên cứu tương đối hoàn chỉnh. Về biên dạng đáy 
vỏ trụ composite được quấn phẳng cũng đã được một vài nghiên cứu quan tâm, 
song ở góc nhìn của tác giả còn chưa hoàn chỉnh, nhất là chưa đưa ra được 
phạm vi giới hạn của thông số hình học để làm cơ sở cho tính toán thiết kế. 
 Trên cơ sở tổng kết thành tựu KHCN thế giới và trong nước, Luận án 
định hướng trọng tâm nghiên cứu giải quyết bài toán thiết kế vỏ trụ composite 
có đáy được quấn phẳng dựa trên nền tảng của lý thuyết lưới, xác lập được 
phạm vi thông số hình học của vỏ trụ composite được quấn phẳng theo điều 
kiện không trượt của sợi với mục tiêu như đã đề cập trong phần mở đầu. Tuy 
nhiên, để thiết lập được mô hình toán cho vỏ trụ composite được quấn phẳng, 
cần nắm và hiểu rõ được lý thuyết chung về thiết kế vỏ trụ composite có đáy, 
từ đó, cùng với thiết lập các ràng buộc hình học theo điều kiện quấn phẳng để 
xây dựng mô hình toán. Chính vì vậy, Luận án xác định các nội dung nghiên 
cứu tiếp là: 
 - Nghiên cứu mô hình toán tổng quát vỏ trụ có đáy chịu áp lực trong được 
quấn từ composite. 
 - Nghiên cứu thiết lập mô hình toán cho vỏ trụ có đáy chịu áp trong bằng 
phương pháp quấn phẳng. 
 - Nghiên cứu thực nghiệm nhằm khẳng định tính đúng đắn của mô hình 
toán cho quấn phẳng. 
 36 
 CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH TOÁN THIẾT KẾ VỎ TRỤ COMPOSITE CÓ 
 ĐÁY NHẬN ĐƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUẤN 
 Từ định hướng nghiên cứu ở chương 1, trên cơ sở các thành tựu khoa 
học công nghệ đã có, chương 2 sẽ tổng hợp và hệ thống hóa các cơ sở khoa học 
cần thiết cho việc thiết kế vỏ composite hình trụ kín trong trường hợp chung 
với các bài toán chính là: 
 (1)- Bài toán xác định biên dạng đáy; 
 (2)- Bài toán xác định chiều dày lớp vỏ composite; 
 (3)- Bài toán xác định các kích thước hình học của vỏ trụ kín 
2.1. Bài toán xác định biên dạng đáy vỏ composite hình trụ kín 
2.1.1. Các phương trình cân bằng lực cơ sở cho xác định biên dạng đáy 
 Để xây dựng được các phương trình xác định biên dạng cơ sở của đáy 
vỏ composite hình trụ kín, cần xuất phát từ các bài toán cân bằng lực của kết 
cấu vỏ, trong đó, cần phải xác định các bài toán cân bằng lực sau: 
 (1)- Cân bằng lực của vỏ tròn xoay chịu áp lực trong, là bài toán chung 
cho tất cả các vỏ tròn xoay chịu áp lực trong; 
 (2)- Cân bằng lực của vỏ composite đơn hướng, là bài toán đặc trưng cho 
lý thuyết lưới; 
 (3)- Cân bằng lực sợi trên bề mặt vỏ, là bài toán mô tả toán học của quỹ 
đạo sợi (góc quấn) với các tham số tọa độ vỏ, r và z, cũng là bài toán cho phép 
xác định điều kiện ổn định hay điều kiện không trượt của sợi 
 a. Cân bằng lực của vỏ tròn xoay chịu áp lực trong 
 Xét một vỏ tròn xoay mô tả biên dạng đáy vỏ hình trụ kín quấn sợi trong 
hệ tọa độ cực như Hình 2.1. 
 Đáy vỏ được xét có các đặc trưng hình học cơ bản sau: 
 - Các tọa độ cực để mô tả vỏ gồm: tọa độ trục z, tọa độ hướng tâm r và 
tạo độ góc ; 
 37 
 Sợi 
 Hình 2.1.Mô tả hình học của đáy vỏ trụ trong hệ tọa độ cực. 
 - Trong mặt phẳng bất kỳ đi qua trục z, đường sinh vỏ là đường kinh 
tuyến được mô tả bởi hàm z(r) hoặc r(z) mà sẽ được ký hiệu lược giảm là z 
hoặc r; 
 - Trên vỏ, một sợi được đặt trên đó theo một quỹ đạo liên tục, mô tả quỹ 
đạo của sợi, được đặc trưng bởi góc quấn, , là góc tạo bởi tiếp tuyến của quỹ 
đạo sợi với tiếp tiếp đường sinh tại một điểm bất kỳ trên quỹ đạo sợi; 
 - Vỏ được đặc trưng bởi 2 bán kính cong chính, R1 và R2, ở đó, R1 là 
bán kính cong của cung kinh tuyến và R2 là bán kính cong của cung vĩ tuyến 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường kinh tuyến tại một điểm xét đến. 
Do vỏ là tròn xoay, nên tọa độ tâm của bán kính cong R1, R2 và tọa độ của điểm 
có các bán kính cong này nằm trên một đường thẳng, ở đó, tâm bán kính R2 là 
giao giữa điểm giữa vec tơ bán kính R2 và trục thẳng đứng z. Các bán kính R1 
và R2 được xác định theo tọa độ hướng tâm r như công thức (2.1) và (2.2) [30],[ 
[47],[53],[75]. 
 3
 1 r'2 
 R (2.1) 
 1 r''
 38 
 r
 R r. 1 r'2 (2.2) 
 2 cos 
ở đó, góc tạo bởi vectơ bán kính R2 và bán kính hướng tâm r, cũng đặc trưng 
cho độ cong kinh tuyến của vỏ, nếu góc càng lớn, độ cong kinh tuyến của vỏ 
càng giảm và ngược lại; r’, r’’là đạo hàm bậc nhất và bậc hai của r theo tọa độ z. 
 - Vỏ có bán kính lỗ cực (bán kính hướng tâm) là rp mà trong thực tế sẽ là 
lỗ để liên kết giữa các bích với vỏ composite. 
 - Vỏ chịu áp lực trong p và lực phân bố đường q tại lỗ cực. 
 Khi vỏ chịu áp lực trong p, trong vỏ sẽ xuất hiện các thành phần nội lực 
đường (lực trên đơn vị chiều dài) N1 theo phương kinh tuyến và N2 theo phương 
vĩ tuyến của vỏ. 
 Để xác định các nội lực N1, tiến hành xem xét sự cân bằng lực của một 
phần đáy vỏ trụ được tách ra bởi mặt phẳng bất kỳ vuông góc với trục tâm z 
của vỏ (Hình 2.1) trên phương trục z, ta có: 
 r
 2. .r.N1.cos 2. p.r.dr 2. .rpq (2.3) 
 rp
 Trong trường hợp thường gặp, áp suất bên trong vỏ là không đổi p = const, nên 
biến đổi (2.3), nhận được: 
 1 p 2 2 
 N1 (r rp ) rpq (2.4) 
 r.cos 2 
 Từ (2.2), ta có: 
 r
 cos (2.5) 
 R2
 Thay (2.5) vào (2.4) và thực hiện phép biến đổi, ta được: 
 2
 p.R2 2.q.rp p.rp
 N1 (1 ) (2.6) 
 2 p.r 2
 Xét một phân tố vỏ được tách ra từ phần đáy vỏ có các thành phần nội 
 39 
lực và đặc trưng hình học trình bày trên Hình 2.2. Cân bằng các lực tác dụng 
lên phân tố vỏ theo phương pháp tuyến, ta có: 
 d d 
 2.N .R .d .sin( 1 ) 2.N .R .d .sin( 2 ) p.R .d .R .d 0 (2.7) 
 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2
 và vĩ tuyến có bán kính tương ứng R1 và R2 của phân tố đang xét. 
 Hình 2.2.Các lực hoạt động trên một phân tố của đáy vỏ. 
 Vì phân tố vỏ xét đến là rất nhỏ, nên d 0, do vậy, ta sẽ có 
sin(d / 2) d / 2. Thay vào (2.7), ta được: 
 d d 
 2.N .R .d . 1 2.N .R .d . 2 p.R .d .R .d 0 (2.8) 
 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2
 Rút gọn (2.8), thu được: 
 N1 N2
 p (2.9) 
 R1 R2
 Thay (2.6) vào (2.9), sẽ tìm được nội lực N2 như sau: 
 2
 p.R R 2.q.r p.r 
 N 2 2 2 1 p p (2.10) 
 2 2 R 2 
 1 p.r 
 40 
 b. Cân bằng lực của vỏ composite đơn hướng 
 Hình 2.3. Mô tả phân bố sợi trên bề mặt vỏ tròn xoay. 
 Xét cân bằng lực của vỏ composite được giả thiết là vật liệu đơn hướng. 
Giả sử chúng ta tách ra một phân tố vỏ composite trên đáy mà trên đó có hai 
băng quấn có chiều dày t và bề rộng w, mỗi băng quấn nghiêng góc với đường 
sinh một góc quấn  (Hình 2.3). Dưới tác dụng của áp suất p, theo chiều dọc 
trục sợi, vật liệu sẽ chịu nội lực F, khi đó, ứng suất trung bình theo phương dọc 
trục sợi (c) sẽ được xác định như sau: 
 F
  (2.11) 
 c w.t
 Chiếu lực này lên các trục dọc và vuông góc với kinh tuyến vỏ, ta có: 
 F 2.F.cos 
  1  .cos2  (2.12) 
 1 2.t.(w / cos  ) 2.t.(w / cos  ) c
 F .sin  2.F.sin 
  2  .sin 2  (2.13) 
 2 2.t.(w/sin  ) 2.t.(w/sin  ) c
 Mặt khác, chúng ta lại có, ứng suất trung bình tác dụng lên vỏ theo 
phương dọc và vuông góc với kinh tuyến vỏ (1, 2 ) có thể được xác định theo 
các thành phần nội lực ( N1, N 2 ) như sau: 
 41 
 N
  1 (2.14) 
 1 h
 N
  2 (2.15) 
 2 h
 ở đó, h là chiều dày của vật liệu composite. 
 Kết hợp các cặp phương trình (2.12) - (2.14) và (2.13) - (2.15) chúng ta 
nhận được: 
 2
 N1  c.h.cos  (2.16) 
 2
 N2  c.h.sin  (2.17) 
 Từ (2.16) và (2.17), chúng ta có: 
 2 N2
 tan  (2.18) 
 N1
 c. Cân bằng lực sợi trên bề mặt vỏ và điều kiện ổn định sợi 
 Xét một phân tố với một sợi chịu lực căng F, được đặt trên bề mặt vỏ 
tròn xoay (vỏ lồi) như Hình 2.4. Lực sợi trên đơn vị dài hoạt động trên bề mặt 
có có thể mô tả như sau: 
 fn.Rn.d n 2.F.sin(d n / 2) F.d n [59] (2.19) 
 f .Rg .d g 2.F.sin(d g / 2) F.d g (2.20) 
 f . fn (2.21) 
 ở đó, fn và f tương ứng là các lực tác động lên sợi gây ra bởi lực căng 
F nằm trong mặt phẳng pháp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc (mặt phẳng trắc địa) 
với bề mặt vỏ;  là hệ số ma sát trượt giữa sợi (hoặc bó sợi) với bề mặt vỏ hay 
còn gọi là hệ số trượt; Rn và Rg tương ứng là bán kính cong pháp tuyến và bán 
 42 
kính cong trắc địa của sợi; n và g tương ứng là góc bị chặn bởi cung 
cong trong mặt phẳng pháp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc có bán kính cong tương 
ứng là Rn và Rg. 
 Hình 2.4. Cân bằng lực sợi có xét đến ma sát trên phân tố vỏ.[36] 
 Từ (2.19), (2.20) và (2.21), chúng ta có: 
  f  / fn Rn / Rg k g / kn (2.22) 
 ở đó, kg và kn tương ứng là độ cong trắc địa và độ cong pháp tuyến của 
quỹ đạo sợi tại điểm đang xét, kg 1/ Rg và kn 1/ Rn . 
 Để rõ hơn về khái niệm độ cong trắc địa và độ cong pháp tuyến của một 
đường cong tại một điểm khảo sát, xem xét một điểm P đường cong bất kỳ (C) 
nằm trên bề mặt cong (Hình 2.5). Chiếu đường cong C lên mặt phẳng pháp 
tuyến là mặt phẳng chứa vectơ pháp tuyến, np và vectơ tiếp tuyến của đường 
cong tại điểm P, ta nhận được hình chiếu C1; và chiếu đường cong C lên mặt 
phẳng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng pháp tuyến tại điểm P (mặt phẳng 
tiếp xúc), nhận được hình chiếu C2. Độ cong pháp tuyến và độ cong trắc địa sẽ 
là độ cong của cung C1 và cung C2. 
 43 
 Hình 2.5.Mô tả độ cong pháp tuyến và độ cong trắc địa của một đường cong 
 trên một bề mặt.[31] 
 Xét một bề mặt tròn xoay nằm trong hệ tọa độ cực có dạng như Hình 2.1. 
Theo lý thuyết độ cong trong hình học vi phân, độ cong pháp tuyến và độ cong 
trắc địa của quỹ đạo sợi tại một điểm bất kỳ được xác định như sau [26]: 
 r''.cos2  sin 2 
 (2.23) 
 kn 
 (1 r'2 )3 r. 1 r'2
 d r'.sin 
 k g (2.24) 
 ds r. 1 r'2
ở đó,  là góc quấn, r là bán kính hướng tâm và s là chiều dài của sợi. 
 Thay (2.23) và (2.24) và (2.22) và làm phép biến đổi, chúng ta có: 
 d sin 2  r''.cos2  r'.sin 
 ( ) (2.25) 
 ds r. 1 r'2 (1 r'2 )3 r. 1 r'2
 Xét một phân tố sợi trên bề mặt vỏ có chiều dài ds như Hình 2.6. Do sợi 
có định hướng góc  với kinh tuyến của vỏ, nên chúng ta có thể phân ds thành 
hai thành phần là một thành phần là dsm nằm dọc theo phương kinh tuyến và 
thành phần còn lại nằm dọc theo phương vĩ tuyến tại điểm đang xét. Khi đó 
chúng ta có thể biểu diễn d / ds như sau: 
 44 
 Hình 2.6.Quan hệ hình học vi phân của of z, s, sm và . 
 d d dz ds d 1
 . . m . .cos (2.26) 
 2
 ds dz dsm ds dz 1 r'
 Cân bằng 2 phương trình (2.25) và (2.26) và rút ra d / dz , ta có: 
 d sin .tan r''.cos r'.tan
 ' .( ) (2.27) 
 dz r 1 r'2 r
 ở đó, ’ là đạo hàm của  theo tọa độ z; r’ và r’’ tương ứng là đạo hàm 
bậc nhất và bậc hai của bán kính r theo tọa độ z. 
 Phương trình (2.27) là phương trình mô tả quỹ đạo sợi. Từ (2.27), chúng 
ta có thể biểu diễn  theo các tham số đặc trưng của quỹ đạo sợi là: 
 1 r'2 .(r'.sin  r. '.cos  )
  (2.28) 
 1 r'2 .sin 2  r.r''.cos2 
 Gọi  là hệ số trượt cho phép hay hệ số ma sát nghỉ giữa sợi và bề mặt 
vỏ. Khi đó, điều kiện để sợi không trượt là: 
   (2.29) 
 Trong thực tế, giá trị  có thể âm, vì vậy, kết hợp (2.28) với (2.29), chúng 
ta sẽ có điều kiện không trượt của sợi như sau: 
 45 
 1 r'2 .(r'.sin  r. '.cos )
  [] (2.30) 
 1 r'2 .sin 2  r.r''.cos2 
 Trong trường hợp,  = 0, tức là sợi không có xu hướng trượt, từ (2.28) 
chúng ta sẽ có: 
 r'.sin  r.'.cos = 0 (2.31) 
 Thấy rằng, vế trái của (2.31) là đạo hàm của r.sin  theo z, vì thế, để 
thỏa mãn (2.31), thì phải có r.sin  = const, là phương trình Clairaut (1.1) 
cho quỹ đạo quấn trắc địa. 
 Đối với mọi trường hợp khác mà  0, quỹ đạo sợi được quấn đều là 
bị chệch so với quỹ đạo trắc địa và được gọi là quỹ đạo phi trắc địa. 
2.1.2. Hệ phương trình cơ sở xác định biên dạng đáy 
 Từ các bài toán cân bằng lực ở trên, tiếp theo, xây dựng các phương trình 
mô tả biên dạng cơ sở của đáy vỏ composite hình trụ kín. 
 Thay N1 và N2 từ công thức (2.6) và (2.10) vào công thức (2.18) và làm 
phép biến đổi, thu được: 
 2.q.r p.r2 
 R2 p p 
 2 1 2
 R1 p.r 
 tan2  (2.32) 
 2.q.r p.r2
 1 p p
 p.r2
 Tiếp theo, thay R1 và R2 từ công thức (2.1) và (2.2) vào (2.32) và làm 
phép biến đổi, chúng ta thu được: 
 2.r 2 1 r'2
 r'' tan2  (2.33) 
 2 2 2.q.rp r
 r rp 
 p 
 Kết hợp (2.33) và (2.27) chúng ta sẽ có hệ phương trình xác định biên 
dạng đáy như sau: 
 46 
 2.r2 1 r'2
 r'' tan2  
 2 2 2.q.rp r
 r rp (2.34) 
 p 
 sin .tan  r''.cos r'.tan 
  ' .( ) 
 r 1 r'2 r
 Để thuận tiện cho việc khảo sát, chúng ta sẽ chuyển hệ phương trình 
(2.34) về hệ phương trình trong hệ tọa độ không thứ nguyên bằng cách đặt, 
r r / R, z z / R và nhận được: 
 2.r 2 1 r'2
 r'' tan2  
 2 2 2.q.rp r
 r rp (2.35) 
 p.R 
 sin .tan  r''.cos  r'.tan 
  ' .( ) 
 z r 1 r'2 r
 Hệ phương trình (2.35) được gọi là hệ phương trình chung để xác định 
biên dạng cơ sở của đáy vỏ trụ kín chịu áp lực trong. 
 Xét các trường hợp làm việc thực tế của vỏ trụ composite: 
 - Trường hợp thứ nhất, vỏ trụ có lỗ cực được đóng kín bằng nắp (bích). 
Cân bằng lực tại lỗ cực theo phương dọc trục z, chúng ta có: 
 2
 2. .rp.q .rp .p (2.36) 
 Từ (2.36) suy ra: 
 p.r p.R.r
 q p p (2.37) 
 2 2
 Thay (2.37) vào (2.35), nhận được: 
 2
 2 1 r'
 r'' tan  2 
 r
 (2.38) 
 sin .tan  r''.cos r'.tan 
  ' .( ) 
 z r 1 r'2 r
 47 
 - Trường hợp thứ hai, vỏ trụ có lỗ cực hở. Do lỗ cực hở, nên lực phân bố 
tại lỗ cực, q = 0, khi đó, hệ phương trình (2.35) trở thành: 
 2.r 2 1 r'2
 r'' tan2  
 r 2 r 2 r
 p (2.39) 
 sin .tan  r''.cos  r'.tan 
  ' .( ) 
 z r 1 r'2 r
 Các hệ phương trình vi phân (2.38) và (2.39) không phải là các phương 
trình vi phân thuần túy, nên để giải chúng cần sử dụng phương pháp số với điều 
kiện biên: z(0) 0,r(0) 1, r'(0) 0,  (0) = eq (góc quấn tại xích đạo) và 
hệ số trượt  một hằng số hoặc một luật phân bố được cho trước. 
2.1.3. Một số kết quả tính toán biên dạng và góc quấn 
 a. Trường hợp quấn trắc địa 
 Đối với trường hợp quấn trắc địa, như đã nêu, quỹ đạo rải sợi phải thỏa 
mãn phương trình Clairaut, r.sin = const. Tại điểm trên quỹ đạo sợi ở lỗ cực, 
 0
góc quấn  = 90 và r = rp, nên chúng ta phải có: 
 0
 r.sin  rp.sin 90 rp (2.40) 
 Từ (2.