Luận án Nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục máy bằng bộ hấp thụ dao động

 của bộ hấp thụ dao động so với tâm trục 
 n: Số bộ lò xo-giảm chấn. 
 Thay (2.9), (2.10) và (2.11) vào (2.8), ta có hàm thế năng của cơ hệ được biểu 
diễn như sau: 
 n
 12 1 2
  ks  k ai e1 ai (2.12) 
 2i 1 2
 52 
2.2.3. Hàm hao tán 
 Năng lượng có hại của trục máy (dao động xoắn) bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt 
của bộ hấp thụ dao động DVA và của cản môi trường tác dụng lên trục máy: 
  s  a (2.13) 
trong đó: 
  là hàm hao tán của cơ hệ 
  a là hàm hao tán của các bộ cản nhớt DVA 
  s là hàm hao tán của cản môi trường tác dụng lên trục (hệ chính) 
Hàm hao tán do các bộ cản nhớt của bộ hấp thụ động lực DVA là: 
 n
 1 2
 
 a  c ai e2 a (2.14) 
 i 1 2
trong đó: 
 cai: hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động 
 e2: khoảng cách lắp các bộ cản nhớt so với tâm trục máy. 
 φa: góc quay tương đối của đĩa bị động và rotor của bộ hấp thụ dao động. 
 Để đơn giản trong thiết kế và thuận tiện trong quá trình lắp ráp, sửa chữa bộ hấp 
thụ động lực DVA ta nên chọn các bộ cản nhớt có hệ số cản nhớt bằng nhau, nghĩa là: 
 cai c aj c a với i j 
 Từ đó ta có: 
 n
 12 1
 2  2
 a  c ai e2 a nc a e 2 a (2.15) 
 i 1 2 2
Hàm hao tán do cản môi trường tác dụng lên hệ chính là: 
 1 2
  c  (2.16) 
 s2 s
Thay (2.15) và (2.16) vào (2.14) ta có hàm hao tán của cơ hệ là: 
 12 1 2 2
  c nc e  (2.17) 
 2s 2 a2 a
2.2.4. Lực suy rộng của cơ hệ: 
Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau: 
 53 
  
 Q Q*
 r r (2.18) 
  r  r
  
 Q Q*
 a a (2.19) 
  a  a
Do rotor chịu tác dụng của mô men kích động M(t) nên lực hoạt suy rộng của lực không 
thế phát động là: 
 Q* M(t)
 r (2.20) 
 Q* 0
 a (2.21) 
Thay (2.12), (2.17), (2.20) và (2.21) vào các biểu thức (2.18) và (2.19) ta có: 
 Q M (t) k  (2.22) 
 r s
 Q nk e2 nc e2 2
 a a 1 a a 2 a (2.23) 
2.2.5. Phương trình vi phân dao động xoắn của hệ 
 Thay (2.7), (2.22) và (2.23) vào phương trình (2.2) và (2.3) ta thu được phương 
trình vi phân mô tả chuyển động của cơ hệ như sau: 
 
 ()()Jr J a  r J a  a c s  k s r 0 t M t (2.24) 
 2 2 2
 Ja r Ja a nkae1 a ncae2 a 0 (2.25) 
 Trong quá trình làm việc phần lớn thời gian hoạt động của trục máy là ở chế độ 
quay đều. Vì vậy, ta xét trường hợp trục máy quay đều với tốc độ quay Ω0 là hằng số. 
 Từ phương trình góc xoắn (2.1), đạo hàm cấp hai theo thời gian ta thu được 
 
  r (2.26) 
 Mặt khác mô men quán tính khối lượng của rotor và đĩa bị động được xác định 
theo công thức: 
 2
 J r m r r (2.27) 
 2
 Ja ma a (2.28) 
trong đó: 
 mr : khối lượng rotor (trục máy), kg 
 54 
 ma : khối lượng đĩa bị động của bộ hấp thụ DVA, kg 
 ρr : bán kính quán tính của rotor (trục máy), m 
 ρa : bán kính quán tính đĩa bị động của bộ hấp thụ DVA, m 
 Thay các công thức (2.26), (2.27) và (2.28) vào (2.24), (2.25) ta thu được hệ 
phương trình vi phân chuyển động mô tả dao động xoắn (t) của cơ hệ như sau: 
 2 2 2 
 ()()mr r m a a  m a a  a c s  k s  M t (2.29) 
 2 2 2 2
 ma a  m a a  a nk a e1 a nc a e 2  a 0 (2.30) 
 Biểu diễn các phương trình (2.29) và (2.30) dưới dạng ma trận ta thu được: 
 Mq Cq Kq F (2.31) 
 Trong đó véc tơ tọa độ suy rộng là:
  
 q  (2.32) 
 a 
 và ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt, ma trận độ cứng và véc tơ của lực kích 
động được biểu diễn như sau: 
 2 2 2
 mr r m a a m a a 
 M 2 2 (2.33) 
 ma a m a a 
 cs 0 
 C 2 (2.34)
 0 nca e2 
 ks 0 
 K 2 (2.35) 
 0 nka e1 
 M() t 
 2 
 F mr r  (2.36) 
 0 
 Trường hợp bỏ qua cản của môi trường tác dụng lên hệ chính (cs=0), phương 
trình vi phân mô tả dao động của hệ được viết lại như sau: 
 55 
 2 2 2
 ()()mr r m a a  m a a  a k s  M t (2.37) 
 2 2 2 2
 ma a  m a a  a nk a e1 a nc a e 2  a 0 (2.38) 
 2.3. Mô phỏng số dao động xoắn của trục máy có lắp bộ hấp thụ DVA. 
 Trong mục này tác giả thực hiện mô phỏng số dao động xoắn của trục máy không 
cản có lắp bộ hấp thụ DVA với thông số bất kỳ (khi chưa tính toán xác định các tham 
số tối ưu). Để thực hiện mô phỏng số tác giả sử dụng số liệu mô phỏng trong công bố 
[35] của GS Hosek (Hình 1.2). Số liệu mô phỏng như sau: 
 5 2 2
 Trục máy có độ cứng xoắn ks=k1=1.125.10 kgm /s 
 -1 2
 Mô men quán tính khối lượng của trục máy là Jr=I1=1.125.10 kgm 
 Trục máy có bán kính quán tính ρr=0.15 m 
 Các thông số của bộ hấp thụ DVA được chọn bất kỳ như sau: 
 - Số lò xo-cản nhớt sử dụng: n = 4 
 - Bán kính quán tính của đĩa DVA: ρa = 0.15 m 
 - Khoảng cách lắp ráp lò xo: e1 = 0.075 m 
 - Khoảng cách lắp cản nhớt: e2 = 0.12 m 
 - Khối lượng đĩa DVA: ma = 0.2 kg 
 -3 2
 - Mô men quán tính khối lượng: Ja = 4.5.10 kgm 
 5 -1
 - Mỗi lò xo có độ cứng ka = 1.812 x 10 Nm 
 -1 
 - Mỗi bộ cản nhớt có hệ số cản nhớt ca = 14.658 Nsm
 Mô phỏng số kích động tuần hoàn 
 Với số liệu mô phỏng được chọn bất kỳ như ở trên, cơ hệ gồm trục máy chịu xoắn 
có lắp bộ hấp thụ DVA sẽ xảy ra cộng hưởng tại các tần số lần lượt là 49.997 s-1, 980.58 
s-1 và 1000.05 s-1. Trong phần này, tác giả thực hiện mô phỏng tại tần số cộng hưởng 
của hệ là 49.997 s-1. Đáp ứng dao động xoắn của trục máy trong mô phỏng này được thể 
hiện trên hình 2.3. 
 56 
 Hình 2.3. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động điều hòa 
 Mô phỏng số kích động va chạm 
 Hình 2.4. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích va chạm 
 57 
 Mô phỏng số kích động ngẫu nhiên 
 Xét hệ chịu kích động ngẫu nhiên được biểu diễn dưới dạng hàm Gaussian Noise 
như sau: 
 1 (t a )2
 1 2e 2 b2
 M() t 
 2 b
 trong đó a là giá trị trung bình; b là độ lệch chuẩn. 
 Chọn giá trị trung bình a = 10 và độ lệch chuẩn b = 1 để mô phỏng số. Đáp ứng 
dao động xoắn của trục khi chịu kích động ngẫu nhiên được biểu diễn trong hình 2.5. 
 Hình 2.5. Dao động xoắn của trục khi hệ chịu kích động ngẫu nhiên 
 Nhận xét: 
 Từ hình 2.3 ta thấy rằng với trường hợp hệ chịu kích động điều hòa làm việc 
trong miền tần số cộng hưởng, việc lắp bộ hấp thụ động lực DVA không những không 
mang lại hiệu quả giảm dao động mà biên độ dao động lại tăng so với trường hợp khi 
chưa lắp DVA. Đáp ứng dao động xoắn của trục với kích động va chạm được mô tả trên 
hình 2.4. Từ hình 2.4, ta thấy rằng trong trường hợp có lắp bộ hấp thụ động lực DVA 
dao động xoắn của trục có xu hướng giảm, tuy nhiên biên độ dao động xoắn giảm không 
 58 
đáng kể so với trường hợp khi chưa lắp DVA. Điều này cũng xảy ra tương tự trong 
trường hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên được thể hiện trên hình 2.5. 
 Từ những phân tích kể trên tác giả nhận thấy rằng: Việc xác định các thông số 
của bộ hấp thụ dao động DVA là rất quan trọng để tăng hiệu quả giảm dao động xoắn 
cho trục máy. Nếu các thông số thiết kế được chọn không hợp lý, có thể có tác dụng 
giảm dao động nhưng với hiệu quả thấp (hình 2.4 và 2.5), hoặc không những không 
mang lại hiệu quả giảm dao động mà còn làm tăng biên độ dao động của loại dao động 
có hại này. Từ đó ta thấy rằng, việc xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ DVA để 
nâng cao hiệu quả giảm dao động xoắn cho trục là một việc làm hết sức ý nghĩa và có 
ứng dụng thực tế kỹ thuật. 
2.4. Kết luận chương 2 
 Chương 2 đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động 
xoắn của trục máy có sử dụng bộ hấp thụ dao động DVA dạng đĩa-cản nhớt-lò xo trường 
hợp hệ chính có cản và không cản. Để thiết lập hệ phương trình vi phân dao động của 
hệ, tác giả sử dụng phương trình Lagrange loại II. Hệ phương trình vi phân tìm được là 
hệ tuyến tính. Từ quy luật dao động xoắn của trục máy, ta nhận thấy rằng nó có chứa 
các đại lượng thiết kế của bộ hấp thụ dao động DVA, đây chính là cơ sở để các nhà khoa 
học nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm tham số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động theo 
các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau. 
 Cuối chương tác giả mô phỏng số đáp ứng dao động xoắn của trục máy trong 
trường hợp không lắp và có lắp bộ DVA với thông số được chọn bất kỳ, từ đó thấy rằng 
việc lắp bộ DVA vào trục máy nó đã có tác dụng làm thay đổi biên độ dao động của 
trục, tuy nhiên không phải cứ lắp bộ hấp thụ dao động là biên độ dao động của trục máy 
giảm mà trong trường hợp chọn các thông số của bộ DVA không hợp lý thì không những 
biên độ dao động của trục máy không giảm mà còn tăng lên. Từ đây tác giả nhận thấy 
rằng việc nghiên cứu xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực DVA là hết 
sức cần thiết và ý nghĩa. Việc tính toán xác định tham số tối ưu này được tác giả trình 
bày trong chương 3. 
 59 
 CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH, TÍNH TOÁN VÀ XÁC ĐỊNH 
 CÁC THAM SỐ TỐI ƯU CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG DVA 
 Để xác định các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động DVA, ta có nhiều 
phương pháp khác nhau như: Phương pháp hai điểm cố định, phương pháp cực tiểu mô 
men bậc hai, phương pháp cực đại độ cản tương đương, phương pháp cân bằng cực, 
phương pháp cực tiểu hóa năng lượng, phương pháp bình phương tối thiểu, các phương 
pháp số,  và ứng với mỗi phương pháp khác nhau ta lại tìm được các thông số tối ưu 
khác nhau của các bộ hấp thụ dao động. Việc áp dụng phương pháp nào để tìm các 
thông số tối ưu, hoàn toàn phụ thuộc vào đáp ứng dao động của kết cấu mà yêu cầu của 
thực tiễn kỹ thuật cần giảm dao động. 
 Trong giới hạn của luận án này, tác giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp 
thụ dao động DVA với mục đích là giảm chuyển vị góc của hệ chính (dao động xoắn 
của trục) với mô hình trục máy không có cản (cs=0). Thông qua việc mô phỏng số (trình 
bày trong chương 4 của luận án), kết quả sẽ được chứng minh là vẫn có hiệu quả tốt đối 
với trường hợp hệ chính có cản. 
 Với mục tiêu là nghiên cứu, tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu để giảm chuyển 
vị của hệ chính. Các phương pháp tối ưu được sử dụng là trong luận án là: 
 - Phương pháp hai điểm cố định theo các tài liệu [29], [30], [59] khi trục máy 
chịu tác động của mô men kích động điều hòa. Mục đích chính của phương pháp này là 
giảm đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động tới giá trị nhỏ nhất có thể. 
 - Phương pháp cực tiểu mô men bậc hai [60], [67] và phương pháp cực đại độ 
cản tương đương [39] khi trục máy chịu tác dụng của kích động ngẫu nhiên ồn trắng với 
mật độ phổ Sf. 
 - Phương pháp cực tiểu hóa năng lượng [6], [63], [64], với mục đích là thiết kế 
bộ hấp thụ động lực DVA nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng của kết cấu. Bài 
toán đặt ra là xác định các tham số tối ưu của bộ hấp thụ DVA sao cho phiếm hàm tích 
phân năng lượng đạt cực tiểu. 
 60 
 Các tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động DVA bao gồm hệ số lò xo và hệ số 
cản nhớt. Xác định được các tham số này cho phép ta chọn được lò xo và dầu cản nhớt 
cho thiết kế DVA với hiệu quả giảm dao động tốt nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu kỹ 
thuật và kinh tế đặt ra khi thiết kế. 
3.1. Xác định tham số tối ưu trong trường hợp trục máy chịu kích động điều hòa 
 Với lực kích động điều hòa ta sử dụng phương pháp giải tích hai điểm cố định 
(gọi tắt là FPM-Fixed Points Method) để xác định tham số tối ưu. Trong phần này, tác 
giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động DVA với mục đích là giảm 
chuyển vị của hệ chính (dao động xoắn của trục). 
 Từ các phương trình vi phân dao động (2.37) và (2.38) ta có tần số dao động riêng 
của bộ hấp thụ dao động DVA là: 
 ka
 a (3.1) 
 ma
 và tần số dao động riêng của trục máy: 
 ks
 s (3.2) 
 Jr
 Ta đặt các đại lượng không thứ nguyên như sau: 
 ma
  là tỷ số giữa khối lượng của bộ hấp thụ và rotor 
 mr
 a
  là tỷ số bán kính quán tính của bộ hấp thụ và rotor 
 r
 e1
  là tỷ số vị trí lắp lò xo 
 r
 e2
  là tỷ số vị trí lắp bộ cản nhớt 
 r
 61 
 a
 là tỷ số giữa tần số riêng của bộ DVA với trục. 
 s
 
  là tỷ số giữa tần số của kích động và tần số riêng của trục 
 s
 ca
  là tỷ số cản nhớt của bộ hấp thụ DVA. 
 maa
 Do đó phương trình vi phân dao động (2.25) và (2.26) trở thành: 
 M
 2  2  2
 (1  )  a  s 2 (3.3) 
 mr r
 2  2 2 2 2 2
    a n  s  a n  s  a 0 (3.4) 
 Khi so sánh hệ phương trình vi phân dao động xoắn (3.3), (3.4) với hệ phương 
trình vi phân dao động (1.9b) của Den Hartog (phần tổng quan thuộc chương 1 của luận 
án này), tác giả nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân (3.3), (3.4) thuộc dạng phương 
trình chuẩn của Den Hartog. Điều này có nghĩa là việc áp dụng lý thuyết điểm cố định 
kinh điển cho mô hình trục máy chịu xoắn được nghiên cứu trong luận án là hoàn toàn 
phù hợp và tin cậy. 
 Điểm mới và khác biệt trong luận án là ngoài việc luận án tập trung nghiên cứu 
cho mô hình mới - mô hình trục máy chịu xoắn có lắp bộ hấp thụ dao động DVA thì xét 
về mặt hệ số của hệ phương trình vi phân có chứa cả những đại lượng không thứ nguyên 
mô tả vị trí lắp đặt lò xo γ, vị trí lắp đặt bộ cản nhớt λ. Vì vậy trong biểu thức giải tích 
tối ưu xác định được ngoài việc chứa tỷ số khối lượng μ, còn chứa cả các đại lượng mô 
tả vị trí lắp lò xo và vị trí lắp bộ cản nhớt. Từ đó cho phép người thiết kế xác định được 
vị trí lắp đặt lò xo và bộ cản nhớt tối ưu phù hợp với các yêu cầu kỹ thuật và điều kiện 
lắp ráp đặt ra. Đặc biệt, từ việc tính toán các tham số tối ưu của bộ DVA cho mô hình 
trục máy có 1 bậc tự do, luận án phát triển phương pháp điểm cố định cho mô hình trục 
máy có nhiều bậc tự do (mục 4.2 chương 4 của luận án này). 
 Biểu diễn phương trình (3.3), (3.4) dưới dạng ma trận ta có: 
 Mq Cq Kq F (3.5) 
 62 
 Trong đó véc tơ tọa độ suy rộng, véc tơ tốc độ suy rộng và véc tơ gia tốc suy rộng 
lần lượt là: 
  
 q  (3.6) 
 a 
  
 q  (3.7)
 a  
 
 q  (3.8)
 a  
 Và ma trận khối lượng, ma trận cản nhớt, ma trận độ cứng và véc tơ của lực 
kích động được biểu diễn như sau: 
 1 2  2 
 M 
 2 2 (3.9) 
   
 0 0 
 C 2 (3.10)
 0 n s  
 2
 s 0 
 K 2 2 2 (3.11) 
 0 n s  
 M() t 
 2 
 F mr r  (3.12) 
 0 
 Xét trường hợp trục máy chịu tác động của mô men kích động tuần hoàn, do hệ 
thống lắp nối tiếp với trục tác dụng lên. Mô men kích động tuần hoàn tác dụng lên trục 
được biểu diễn dưới dạng phức như sau: 
 I t
 M() t Meˆ (3.13) 
 63 
 Trong đó: 
 Mˆ là biên độ phức của kích động tuần hoàn 
 ω là tần số của mô men kích động tuần hoàn 
 Khi trục máy (hệ chính) chịu tác động của kích động điều hòa thì đáp ứng biên 
độ của các tọa độ suy rộng được biểu diễn như sau: 
 ˆ It
  e (3.14) 
 It
 a ˆae (3.15) 
Trong đó: 
 ˆ
  và ˆa là biên độ dao động phức của hệ chính và DVA 
Thay vào phương trình vi phân dao động (3.5) ta thu được 
 Mˆ 
 ( 2 1) 2 2e Istˆ  2 2 2e I st ˆ  2eIstˆ  2e I st
 s s a s s 0
 ks 
 2 2 2 Ist 2 2 I st 2 2 2 Ist ˆ 2 2 2 I st
  n s e ˆa I  n s e ˆa    s e     s e ˆa 
 (3.16) 
Giải phương trình (3.16) ta thu được biên độ dao động phức của của dao động xoắn hệ 
chính (trục máy đàn hồi): 
 I 2 n   2 2 n  2  2 Mˆ 
 ˆ 
 42 23 2 22 222 2 22 
  I  n(1  ) n  (1  )  I  n n ks 
 (3.17) 
Và biên độ dao động phức của bộ hấp thụ DVA: 
 DM ˆ 
 ˆa (3.18) 
 E ks 
 64 
trong đó: 
 D 2  2 
 E 4  2 I n  2  3(1  2 ) 
 n 2 2(1  2 )  2 2 I  2 n 2 2 n 
Đặt: 
 B () I 2 n   2 2 n  2  2 
 C 4  2 I n  2  3(1  2 ) 
 n 2 2(1  2 )  2 2 I  2 n 2 2 n 
Khi ấy phương trình (3.17) trở thành: 
 ˆ
 ˆ BM 
  (3.19) 
 C ks 
Đặt các hệ số 
 2 2 2 2
 A1 Re( B )  n   (3.20) 
 1 2
 A2 Im( B )  n  (3.21) 
 
 2 2 2 2 2 2 2
 A3 Re( C )   n     n 
 (3.22) 
 2  2  4  2 2  2n
 1 3 2 2 3 2 2
 A4 Im( C )  n  n  n (3.23) 
 
Do đó đáp ứng bình ổn của hệ chính có dạng: 
 65 
 ˆ 
 ˆ AIA1  2 M
  (3.24) 
 A3 I A 4 ks 
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức (3.24) với ()AIA3  4 ta có: 
 ˆ 
 ˆ (AIAAIA1  2 )( 3  4 ) M
  
 (A3 I A 4 )( A 3 I  A 4 ) ks 
 AAIAAIAAIAA   2  2 Mˆ 
 ˆ 1 3 1 4 2 3 2 4
 2 2 2 2 
 AIAAIAAIA3  3 4  3 4  4 ks 
 AAAAIAAAA 2  () Mˆ 
 ˆ 1 3 2 4 2 3 1 4
 2 2 2 
 AA3 4 ks 
 ()()AAAAAAAA  2 Mˆ 
 ˆ 1 3 2 4 I  2 3 1 4 
 2 2 2 2 2 2 k (3.25) 
 AAAA3 4 3 4  s 
Vậy độ lớn thực của đáp ứng ổn định của hệ chính là 
 2 2
 ˆ 2 
 ˆ M AAAAAAAA1 3 2 4 2 3  1 4 
  2 2 2 2 2 2 
 ks A3 A 4 A 3 A 4  
 Mˆ AAAAAAAAAAAAAAAA22 2 2224222   2  2222 
 ˆ 13 1324 24 23 1324 14
 2 2 2 2
 ks ()AA3 4
 Mˆ AAAAAAAA22 224 222  222 
 ˆ 1 3 2 4 2 3 1 4
 2 2 2 2 
 ks ()AA3 4
 Mˆ AAAAAA2()() 2 2 2 2  2 2  2 2  2
 ˆ 1 3 4 2 4 3
 2 2 2 2 
 ks ()AA3 4
 Mˆ (AAAA2 2 2 )( 2 2  2 )
 ˆ 1 2 3 4
 2 2 2 2 
 ks ()AA3 4
 66 
 ˆ AA2 2 2
 ˆ M 1 2
  (3.26) 
 k AA2 2 2
 s 3 4
Đặt: 
 2 2 2
 A1 A2
 A 2 2 2 (3.27) 
 A3 A4
 A được gọi là hàm khuếch đại biên độ. 
 Thay các hệ số A1, A2, A3, A4 trong các phương trình (3.20)-(3.23) vào biểu thức 
(3.27) trên ta thu được hàm khuếch biên độ-tần số đại như sau: 
 X 2 Y 2
 A (3.28) 
 V 2 W 2
 Trong đó: 
 X   n  2 (3.29) 
 Y  2 2 n 2 2 (3.30) 
 V 3 n 2 2  3 2 n   2 n  (3.31) 
 W 2  3  2  2 n 2  2  2 n 
 (3.32) 
 2  2  4  2 2  2n
 Hàm khuếch đại A với  0 
 H
 A (3.33) 
  0 K
 trong đó 
 H 2  2 n  2  2 
 K 2222 n  222 n  42  22 n  22 
 Hàm khuếch đại A với  
 1
 A  (3.34) 
  4 4 2 2 4 2 2 2 2  4 2 2 1
 67 
 Hình 3.1. Đồ thị hàm khuếch đại biên độ - tần số với α=0.9, μ=0.04, η=1, 
 γ=0.5, λ=0.8 và n=4. 
 Hình 3.1 mô tả đồ thị của hàm khuếch đại biên độ-tần số A theo tỷ số cản nhớt ξ. 
Ta thấy rằng với hai trường hợp tới hạn  0 (không cản) và  (cản tới hạn) đều 
dẫn tới đỉnh của đồ thị hàm khuếch đại tiến ra vô cùng. Điều đó cho thấy giữa hai giá trị 
này tồn tại một giá trị tối ưu nào đó của tỉ số cản  . Ngoài ra tính chất không cản của 
hệ chính dẫn tới sự tồn tại của hai điểm cố định S, T không phụ thuộc vào tỉ số cản  
của bộ hấp thụ dao động DVA. 
 Bước đầu tiên của phương pháp điểm cố định là tìm hai điểm cố định S, T. Giả 
sử hai điểm S, T có hoành độ là β1, β2. 
 Để A không phụ thuộc vào ξ thì: 
 A
 0 (3.35) 
 
 Thay (3.27) vào (3.35) ta có: 
  ()AAAA2 2 2 2
 1 4 2 3 0
 2 2 2 (3.36) 
 2
 2 2 2 AA1 2
 AA4 3 2 2 2
 AA3 4
Từ (3.36) ta có: 
 68 
 2 2 2 2
 AAAA1 4 2 3 0 (3.37) 
 2 2 2 2
 AAAA1 4 2 3 (3.38)
 2 2
 AA1 2
 2 2 (3.39) 
 AA3 4
từ đó suy ra: 
 A1 A2
 (3.40) 
 A3 A4
Thay (3.20)-(3.23) vào phương trình (3.40) ta thu được: 
 2 2n  22 n2
 2 2n2 2 2 2 2n  42 2 2n  22 322n 32n 2n 
 (3.41) 
Giải phương trình (3.41) ta thu được các giá trị tối ưu của β như sau: 
 1
  4n2 (2 1)2 4 2 2 2 2n  4 n(2 1) 2 2  2 2
 1,opt (3.42) 
  2 2
 1
  4n2 (2 1)2 4 2 2 2 2n  4 n(2 1) 2 2  2 2
 2,opt (3.43) 
  2 2
 Thay β=β1,opt và β=β2,opt vào biểu thức của hàm khuếch đại (3.27) ta thu được giá 
trị của hàm khuếch đại tại hai điểm cố định S và T. 
 1
 A 
 S (3.44) 
 BB1 2
 B3
 1
 A 
 T (3.45) 
 BB1 2
 B3
trong đó 
 69 
 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4
 B1 ( 1)  n (  1) 2   n  
 2 2 4 2 2 2 2 2 2
 B2    n (2   n 1)   n 
 2 2
 B3 (  2) 
 Theo Den Hartog [29], muốn đồ thị của hàm khuếch đại biên độ A không thay 
đổi lớn trong khoảng giữa hai đỉnh thì trước hết cần phải cho hai điểm S và T có độ cao 
bằng nhau, nghĩa là: 
 AA
 AA 2 2
 ST     (3.46) 
 AA41 4 2
 Thay (3.20)-(3.23) vào phương trình (3.46), sau đó giải phương trình ta thu được 
tham số tối ưu của α như sau: 
 
 (3.47) 
 opt  n 1  2 
 Tiếp theo ta tìm hệ số cản ξ để đường cong biên độ-tần số đạt cực đại tại các điểm 
cố định S và T. 
 Để thỏa mãn điều kiện này ta có : 
 A
 0 (3.48) 
 
 Từ phương trình (3.27) ta có: 
 AAAAA2 2 2 2 2 2  2
 3 4 1 2 (3.49) 
 Đạo hàm hai vế của phương trình (3.49) theo β và giải ra nghiệm ξ2 
 A A A
 A2 A3 AA 2 A 1
 3 3   1  
  2 
 AAA  (3.50) 
 A2 A4 AA 2 A 2
 4 4   2  
 Thay điều kiện (3.48) vào phương trình (3.50) ta có: 
 70 
 A A
 AAA2 3 1
 3 1  
  2 
 AA  (3.51) 
 AAA2 4 2
 4 2  
 Thay các giá trị tố