Luận án Nghiên cứu hệ thống đo 3D chi tiết cơ khí bằng ánh sáng cấu trúc kết hợp mã gray và dịch đường luận

 lại) hoặc độc lập tuyến tính. 
Hai véc tơ 𝜐( và véc tơ 𝜐! phụ thuộc tuyến tính trong trường hợp hai đường thẳng song 
song, trong trường hợp này chúng không cắt nhau và không trùng nhau. Trong trường 
hợp khác nếu chúng độc lập tuyến tính thì véc tơ 𝜐( và véc tơ 𝜐! có thể cắt nhau hoặc 
không. 
Xét trong trong trường hợp chúng cắt nhau thì giao điểm p đó là giao điểm duy nhất 
thỏa mãn điều kiện cần và đủ để khi véc tơ 𝜐( và véc tơ 𝜐! là độc lập tuyến tính và các 
giá trị vô hướng 𝜆(	𝑣à	𝜆! sao cho: 𝑞( +	𝜆(𝜐( = 𝑞! +	𝜆!𝜐! (2-59) 
Hoặc tương tự véc tơ 𝑞( − 𝑞! là phụ thuộc tuyến tính vào véc tơ 𝜐( và véc tơ 𝜐!. 
Xét trường hợp hai đường thẳng không chắt nhau, ta có xác định giao điểm gần 
đúng là “điểm gần nhất với 2 đường thẳng”. Hay nói cách khác, cho dù hai đường thẳng 
cắt nhau hay không thì vẫn có thể xác định được giao điểm gần đúng là điểm p thỏa mãn 
điều kiện tổng bình phương khoảng cách nhỏ nhất đến cả 2 đường thẳng: 𝜙(𝑝, 𝜆(, 𝜆!	) = ‖𝑞( +	𝜆(𝜐( − 𝑝‖! + ‖𝑞! +	𝜆!𝜐! − 𝑝‖! (2-60) 
Để xác định giá trị của p, hàm 𝜙(𝑝, 𝜆(, 𝜆!	) được coi là một hàm không âm, 5 biến 
số bao gồm: Giá trị tọa độ 3 chiều của điểm p và hai biến số vô hướng 𝜆( và 𝜆! 
Hình 2-21 Xác định giao điểm gần đúng của 2 đường thẳng (nguồn: [79]) 
Trước hết cần xác định hai biến số 𝜆( và 𝜆! của hàm không âm bậc 2. Giả sử điểm 𝑝( = 𝑞( +	𝜆(𝜐( là điểm nằm trên đường thẳng 𝐿( và điểm 𝑝! = 𝑞! +	𝜆!𝜐! nằm trên 
đường thẳng 𝐿!. Trung điểm của đoạn thẳng nối giữa 𝑝( và 𝑝! là 𝑝(!, ta cố phương 
trình sau: 
 49 
𝑝(! =	𝑝( +	12 (𝑝! − 𝑝() = 𝑝! +	12 (𝑝( − 𝑝!) (2-61) 
Điều kiện để cho (𝑝, 𝜆(, 𝜆!	) của hàm 𝜙 là nhỏ nhất khi xét đạo hàm riêng của 𝜙 
theo 5 giá trị là nhỏ nhất, theo đó ta xét đạo hàm riêng của 𝜙 (công thức 2-60) theo 3 
biến của tọa độ điểm p: 𝜕Φ𝜕𝑝 = (𝑝 − 𝑝() +	(𝑝 − 𝑝!) = 0 (2-62) 
Giá trị p là nhỏ nhất nếu nó là trở thành trung điểm 𝑝(! của đoạn thẳng nối giữa 𝑝( 
và 𝑝!; Như vậy cần xác định bình phương tối thiểu khoảng cách từ một điểm 𝑝( trên 
đoạn thẳng 𝐿( và một điểm 𝑝! trên đoạn thẳng 𝐿!. Trong trường hợp này xét tìm nhỏ 
nhất của phương trình không âm 2 biến: Ψ(𝜆(, 𝜆!) = 2𝜙(𝑝(!, 𝜆(, 𝜆!) = 	 ‖(𝑞! +	𝜆!𝜐!) − (𝑞( +	𝜆(𝜐()‖! (2-63) 
Từ công thức (2-22) ta xác định đạo hàm riêng của từ biến số 𝜆(, 𝜆! nhỏ nhất tiến 
dần tới 0: 𝜕Ψ𝜕𝜆( = 𝜐(/(𝜆(𝜐( −	𝜆!𝜐! +	𝑞( − 𝑞!) = 𝜆(‖𝜐(‖! − 𝜆!𝜐(/𝜐! + 𝜐(/(𝑞( − 𝑞!) (2-64) 𝜕Ψ𝜕𝜆! = 𝜐!/(𝜆!𝜐! −	𝜆(𝜐( +	𝑞! − 𝑞() = 𝜆!‖𝜐!‖! − 𝜆!𝜐!/𝜐( + 𝜐!/(𝑞! − 𝑞() (2-65) 
Hai phương trình tuyến tính (2-64), (2-65) biến 𝜆(, 𝜆! có thể được thu gọn và biểu 
diễn dưới dạng ma trận như sau: 
¢‖𝜐(‖! −𝜐(/𝜐!−𝜐!/𝜐( ‖𝜐!‖!£ ¢𝜆(	𝜆!£ = ¢𝜐(/(𝑞! − 𝑞()𝜐!/(𝑞! − 𝑞()£ (2-66) 
Phương trình (2-25) phụ thuộc vào tuyến tính độc lập của 2 véc tơ 𝜐( và véc tơ 𝜐!, 
ma trận 2x2 có thể được thu gọn lại: 
¢𝜆(	𝜆!£ = ¢‖𝜐(‖! −𝜐(/𝜐!−𝜐!/𝜐( ‖𝜐!‖!£8( ¢𝜐(/(𝑞! − 𝑞()𝜐!/(𝑞! − 𝑞()£ (2-67) 
Phương trình (2-67) có thể viết dưới dạng: 
¢𝜆(	𝜆!£ = 1‖𝜐(‖!‖𝜐!‖! − (𝜐(/𝜐!)! ¢‖𝜐!‖! 𝜐(/𝜐!𝜐!/𝜐( ‖𝜐!‖!£ ¢𝜐(/(𝑞! − 𝑞()𝜐!/(𝑞! − 𝑞()£ (2-68) 
 50 
Theo công thức (2-68) giao điểm gần đúng p có thể xác định được sau khi tìm được 
giá trị của biến số 𝜆(	ℎ𝑜ặ𝑐	𝜆!. 
2.4.2 Mô hình lỗ nhỏ của máy ảnh 
Đối với một hệ thống đo sử dụng phương pháp ánh sáng cấu trúc, máy ảnh có vai 
trò thu nhận hình ảnh các tia sáng phản xạ trên bề mặt vật từ hệ chiếu sáng. Để thể hiện 
quá trình tạo ảnh vật thể của một hệ thu ảnh người ta sử dụng mô hình lỗ nhỏ, mô hình 
này bao gồm một mặt phẳng ảnh I và một tâm điểm Oc, ta có thể biểu diễn mô hình như 
sau: 
Hình 2-22 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ (nguồn: [79]) 
Tuy nhiên, với mô hình như trên hình 2-22, ảnh của vật bị đảo ngược, do đó, người 
ta chuyển sang một mô hình tương đương để dễ dàng hơn trong quá trình tính toán. Trên 
hình 2-23, đổi vị trí giữa mặt phẳng ảnh và mặt phẳng lỗ nhỏ. 
Hình 2-23 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ chuyển đổi (nguồn: [79]) 
Xét mô hình lỗ nhỏ (hình 2-22) với hệ tọa độ máy ảnh gồm tâm của phép chiếu q 
và hệ trực chuẩn cơ sở {𝜐(, 𝜐!, 𝜐)} và mặt phẳng ảnh tạo bởi 2 véc tơ cơ bản tại tiêu cự 
f =1. Với bất kỳ điểm p trong không gian 3 chiều của hệ tọa độ thực có tọa độ (𝑝(, 𝑝!, 𝑝)) 
đều có mối liên hệ với tọa độ của máy ảnh. Hình chiếu của điểm p lên mặt phẳng ảnh là 
điểm ảnh 2 chiều u được xác định bởi thông số 𝑢( và 𝑢), ta có thể viết tọa độ điểm u 
dưới dạng véc tơ 3 chiều 𝑢 = (𝑢(, 𝑢!, 1), giả sử ta có l là một tham số vô hướng không 
âm, mối liên hệ giữa điểm p thực và điểm ảnh u có thể được biểu diễn như sau: 
 51 
¥𝑝(𝑝!𝑝)¦ = 	𝜆 §𝑢(𝑢!1 ¨ (2-69) 
Gọi o là tâm chiếu của gốc tọa độ của hệ tọa độ thực có tọa độ (0, 0, 0)/, điểm q và 
véc tơ 𝜐( và 𝜐! được xác định theo: [𝜐(|𝜐!|𝑞] = §1 0 00 1 00 0 1¨ (2-70) 
Với mỗi hệ thu ảnh được gắn với một hệ tọa độ ảnh, một điểm p trong hệ tọa độ 
thực được biểu diễn dưới dạng véc tơ 𝑝K =	 (𝑝K( , 𝑝K! , 𝑝K) )/, trong hệ tọa độ ảnh cũng có 
dạng véc tơ 𝑝9 =	 (𝑝9(, 𝑝9!, 𝑝9))/, mối quan hệ giữa 2 véc tơ 𝑝K và 𝑝9 được biến đổi bằng 
một ma trận dịch chuyển 𝑇 ∈ ℝ) và một ma trận quay 𝑅 ∈ ℝ)4): 𝑝9 = 	𝑅𝑝K + 	𝑇 (2-71) 
Xét trong hệ tọa độ của máy ảnh, mối quan hệ giữa tọa độ điểm trong không gian 3 
chiều và tọa độ ảnh 2 chiều của phép chiếu bằng mô hình lỗ nhỏ với công thức (2-69) 
với 𝜆𝑢 = 𝑝9, mối liên hệ với tọa độ thực với tọa độ ảnh được thể hiện bằng công thức: 𝜆𝑢 = 𝑅𝑝K + 	𝑇 (2-72) 
Như vậy, các tham số (R, T) được gọi là các tham số ngoại của máy ảnh biểu diễn 
vị trí và hướng của máy ảnh so với hệ tọa độ thực. 
Giả sử đơn vị đo độ dài trên mặt phẳng ảnh bằng với hệ tọa độ thực, khoảng cách 
từ tâm hình chiếu đến mặt phẳng ảnh bằng một đơn vị độ dài và gốc của hệ tọa độ ảnh 
có tọa độ 𝑢( = 0 và 𝑢! = 0. Tuy nhiên trong thực tế, trường hợp này không xảy ra vì 
đơn vị đo trên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh, còn với hệ toạ độ thực là đơn vị chiều dài 
(mét, milimet hoặc inch,), khoảng cách từ tâm chiếu đến mặt phẳng ảnh có thể thay 
đổi tùy theo từng máy ảnh và theo quy định hệ tọa độ của ảnh là nằm trên cùng bên trái. 
Ngoài ra, mặt phẳng ảnh có thể bị nghiêng so với mặt mô hình mặt phẳng ảnh lý tưởng, 
do vậy để thể hiện sự không đồng nhất giữa mô hình lý tưởng và mô hình thực tế, người 
ta sử dụng một ma trận 𝐾 ∈ ℝ)4) trong phương trình chiếu để mô tả các thông số nội 
tại của một hệ máy ảnh: 𝜆𝑢 = 𝐾(𝑅𝑝K + 	𝑇) (2-73) 
Ma trận K có dạng: 
𝐾 = 	§𝑓	𝑠( 𝑓	𝑠L 𝑜(0 𝑓	𝑠! 𝑜!0 0 1 ¨ (2-74) 
 52 
Trong đó f là chiều dài tiêu cự (được xác định là khoảng cách giữa tâm chiếu đến 
mặt phẳng ảnh). Các tham số 𝑠(, 𝑠! là tham số thể hiện tỷ lệ tọa độ thứ nhất và tọa độ 
thứ 2 do các hệ máy ảnh có kích thước điểm ảnh là hình chữ nhật. Tham số 𝑠L để bù cho 
mặt phẳng ảnh bị nghiêng. (𝑜(, 𝑜!)/ là tọa độ ảnh của giao điểm của đường thẳng đứng 
trong tọa độ máy ảnh với mặt phẳng ảnh, điểm này gọi là tâm ảnh hoặc điểm chính. Các 
tham số của ma trận K không phụ thuộc vào các vị trí đặt máy ảnh so với vật mà nó thể 
hiện các đặc tính vật lý liên quan đến thiết kế cơ học và quang học của máy ảnh. Nếu 
không có sự điều chỉnh khoảng cách giữa các thành phần linh kiên trong máy ảnh, thì 
ma trận K không thay đổi, do vậy chúng ta chỉ cần xác định thông qua quá trình hiệu 
chuẩn ban đầu và được sử dụng trong suốt quá trình tính toán sau này mà không cần 
phải thực hiện lại. Như vậy sau khi xác định được ma trận K thì ta cũng đã có được 
phương trình (2-73) thể hiện mối quan hệ của một điểm 3 chiều trong tọa độ thực với 
tọa độ ảnh 2 chiều. 
Với mỗi điểm ảnh có tọa độ 𝑢 = (𝑢(, 𝑢!, 1)/ theo hình 2-20 và công thức (2-53) 𝐿 = {𝑝 = 	𝑞< + 	𝜆𝜐 ∶ 	𝜆 ∈ ℝ} ta luôn xác định được một đường thẳng duy nhất nối với 
tâm chiếu, để tính toán tọa độ 3D của một điểm ảnh là cần xác các tham số trong hệ 
phương trình này. Như ta đã biết, với mỗi một điểm trong hệ tọa độ thực luôn nằm trên 
một đường thẳng nối dài từ tâm chiếu đi qua mặt phẳng ảnh, do đó để thể hiện tọa độ 
của một điểm thực đó từ công thức (2-32) ta có thể viết lại: 𝑝K = (−𝑅/𝑇) + 	𝜆(𝑅/𝑢) (2-75) 
Với 𝑅8( = 𝑅/. Từ công thức (2-53) và công thức (2-75) ta rút ra kết luận đường 
thẳng đi qua một điểm q có tọa độ trong hệ tọa độ thực là 𝑞K = −𝑅/𝑇 nếu q là tâm chiếu 
và véc tơ 𝜈 trong hệ toạ độ thực là 𝑣K = 𝑅/𝑢. 
Hình 2-24 Mặt phẳng ảnh được xác định bởi đường thẳng trên ảnh và tâm chiếu 
Một đường thẳng trên ảnh được biểu diễn bằng 8 tham số trên tọa độ ảnh qua công 
thức sau: 𝐿 = 	𝑢 ∶ 	 𝑙/𝑢 = 𝑙(𝑢( + 𝑙!𝑢! +	𝑙) = 0 (2-76) 
 53 
Trong đó 𝑙 = 	 (𝑙(, 𝑙!, 𝑙))/ là một véc tơ với 𝑙( ≠ 0 hoặc 𝑙! ≠ 0, khi sử dụng hệ chiếu 
sáng để chiếu các vân lên bề mặt vật quét sẽ bao gồm các đường theo chiều dọc và chiều 
ngang, do đó ta có thể biểu diễn đường thẳng nằm ngang dưới dạng: 𝐿M = {𝑢:	𝑙/𝑢 = 	𝑢! − 𝜗 = 0} (2-77) 
Trong đó 𝜗 là tọa độ thứ 2 của một điểm trên đường thẳng. Trong trường hợp này 
ta có thể coi 𝑙 = 	 (0, 1, −𝜗	)/. Tương tự như vậy đối với đường thẳng nằm đứng: 𝐿N = {𝑢:	𝑙/𝑢 = 	𝑢( − 𝜗 = 0} (2-78) 
Trong đó 𝜗 là tọa độ thứ 1 của một điểm trên đường thẳng. Trong trường hợp này 
ta có thể coi 𝑙 = 	 (1, 0, −𝜗	)/. Từ đó ta có thể xác định được 1 mặt phẳng duy nhất tạo 
bởi đường thẳng L và gốc chiếu. Với mỗi điểm ảnh với tọa độ ảnh u trên đường thẳng 
L, đường thẳng sẽ luôn bao gồm một điểm thuộc mặt phẳng P và tâm chiếu. Giả sử p là 
điểm trên mặt phẳng P với gốc tọa độ thực 𝑝K chiếu lên một điểm ảnh với tọa độ ảnh là 
u. Vì hai véc tơ này thỏa mãn công thức (2-31) 𝜆𝑢 = 𝑅𝑝K + 	𝑇 và véc tơ u thỏa mãn 
điều kiện trong đường thằng L nên ta có: 0 = 𝜆𝑙/𝑢 = 	 𝑙/(𝑅𝑝K + 	𝑇	) = (𝑅/𝑙)/{𝑝K − (−𝑅/𝑇)| (2-79) 
Như vậy, mặt phẳng P biểu diễn bằng theo công thức (2-54) với 𝑃 =x𝑝:	𝑛/{𝑝 − 𝑞G	| = 0y có thể xác định với n là véc tơ với tọa độ thực 𝑛K = 𝑅/𝑙 và điểm 
q là tâm chiếu với tọa độ thực 𝑞K = −𝑅/𝑇. 
2.4.3 Mô hình khử méo ảnh cho hệ thu ảnh 
Trong thực tế, không có thấu kính nào là tuyệt đối hoàn hảo. Điều này là do hạn chế 
không thể tránh khỏi trong quá trình sản xuất các linh kiện quang học. Ngoài ra, cũng 
rất khó để lắp đặt các thấu kính thẳng hàng một cách chính xác tuyệt đối. Do đó, chúng 
ta mô tả hai méo ảnh chính đó là méo xuyên tâm [80][81][82] (gây ra do hình dáng của 
linh kiện quang) và méo tiếp tuyến (do quá trình lắp đặt hệ thống bên trong máy ảnh). 
Méo xuyên tâm: Các thấu kính của máy ảnh thực tế thường gây ra các biến dạng ở 
rìa của ảnh. Điều này thường dẫn đến hệ quả gây ra hiện tượng “barrel” hoặc “fish-eye”. 
Hình 2-25 biểu diễn lý do tại sao méo xuyên tâm xảy ra. Những tia sáng càng xa trung 
tâm thấu kính càng bị bẻ cong hơn so với những tia đi qua gần tâm. 
Đối với méo xuyên tâm, độ méo bằng 0 ở tâm của ảnh và tăng dần khi ra dần phía 
ngoài. Trong thực tế, độ méo này này nhỏ và có thể được mô tả nhờ khai triển Taylor 
quanh r = 0. Thông thường, chúng ta sử dụng 2 hệ số đầu tiên k1, k2. Với một số loại 
máy ảnh có biến dạng lớn, ta có thể sử dụng đến hệ sô thứ 3 k3. 
 54 
Hình 2-25 Méo xuyên tâm 𝑥9OPP = 𝑥(1 + 𝑘(𝑟! + 𝑘!𝑟5 + 𝑘)𝑟Q) 𝑦9OPP = 𝑦(1 + 𝑘(𝑟! + 𝑘!𝑟5 + 𝑘)𝑟Q) (2-80) 
Trong đó, (𝑥, 𝑦)	là điểm trên ảnh, và (𝑥9OPP, 𝑦9OPP	)	là tọa độ mới sau khi đã bù trừ 
méo ảnh. 
Méo tiếp tuyến, được gây ra do lỗi quá trình sản xuất làm cho lens không định vị 
song song hoàn toàn so với mặt phẳng ảnh và được mô tả theo phương trình sau: 𝑥9OPPR9/RS = 𝑥 +	(2𝑝(𝑦 + 𝑝!(𝑟! + 2𝑥!) 𝑦9OPPR9/RS = 𝑦 +	(2𝑝(𝑥 + 𝑝((𝑟! + 2𝑦!) (2-81) 
Như vậy để giải quyết triệt để méo ảnh do hệ quang gây ra, có tổng cộng 5 hệ số để 
mô tả và cần được tính toán (𝑘(, 𝑘!, 𝑝(, 𝑝!, 𝑘)).	
2.4.4 Hiệu chuẩn máy ảnh 
Thực hiện quá trình hiệu chuẩn máy ảnh [83][84][85][86] thực chất là tìm các thông 
số của máy ảnh gồm 4 thông số nội (𝑓4, 𝑐4, 𝑓T, 𝑐T), 3 thông số ma trận xoay, 3 thông số 
của véc tơ tịnh tiến (𝑇4, 𝑇T, 𝑇U), và 5 hệ số méo ảnh (𝑘(, 𝑘!, 𝑝(, 𝑝!, 𝑘)). 
Quá trình hiệu chuẩn thực chất là đi tìm các thông số này khi ta có các điểm 𝒬(, 𝒬!,  , 𝒬$ đã biết vị trí trong hệ tọa độ vật, và ảnh 𝑞(, 𝑞!,  , 𝑞$ của chúng trên mặt 
phẳng ảnh. Thông thường, để tạo các điểm này ta thường hay sử dụng bảng ô bàn cờ 
hoặc dạng ma trận các điểm 2D tương tự như một dạng thước mẫu trong đo chiều dài 
 55 
Hình 2-26 Bàn cờ được sử dụng để hiệu chỉnh máy ảnh 9x12 ô đen trắng 
Giả sử bỏ qua các hệ số méo ảnh, có 10 thông số cần tìm. Như vậy cần xác định ít 
nhất 5 điểm trên bàn cờ (mỗi điểm có tọa độ x, y, do đó có thể thiết lập được 2 phương 
trình từ 1 điểm) 
Giả sử có các điểm trong tọa độ thực là 𝒬" = [𝑋" 𝑌" 𝑍"]= có ảnh = [𝑥" 𝑦"]=(𝑖 =1, 2,  , 𝑛) 
Đặt 𝒬²" = [𝑋" 𝑌" 𝑍" 1]=, 𝑞³" = [𝑥V́ 𝑦V́ 𝑤]= 
Với 𝑥" = 𝑥V́ 𝑤¶ và 𝑦" = 𝑦V́ 𝑤¶ 
Với 𝑀 = ·𝑓4 0 𝑐40 𝑓T 𝑐T0 0 1 ¸ là ma trận thông số nội máy ảnh 𝑅, 𝑇 là các ma trận xoay, tịnh tiến của máy ảnh. 
Theo quan hệ giữa các hệ tọa độ, có biểu thức sau: 𝑞³" = 𝑀[𝑅	𝑇]𝒬²" (2-82) 
Đặt = 𝑀[𝑅	𝑇] 𝐻 là ma trận 3 × 4, 𝐻 có thể được viết dưới dạng các vector theo hàng như sau với ℎ(, ℎ!, ℎ) là các vector 1 × 4: 𝐻 = [ℎ( ℎ! ℎ)]= (2-83) 
Từ công thức (2-82) và (2-83) suy ra: 𝑞³" = 𝐻𝒬²" (2-84) 
Do đó: 
 56 
·𝑥V́𝑦V́𝑤¸ = ‰ℎ(𝒬
²"ℎ!𝒬²"ℎ)𝒬²"Š , Œ𝑥"𝑦" = ⎣⎢⎢
⎢⎡ℎ(𝒬²"ℎ)𝒬²"ℎ!𝒬²"ℎ)𝒬²"⎦⎥⎥
⎥⎤ (2-85) 
Từ công thức (2-85) suy ra: 
⎩⎪⎨
⎪⎧𝑥" = ℎ(𝒬²"ℎ)𝒬²"𝑦" = ℎ!𝒬²"ℎ)𝒬²" 2-86) 
Ã𝑥"{ℎ)𝒬²"| − ℎ(𝒬²" = 0𝑦"{ℎ)𝒬²"| −	ℎ!𝒬²" = 0 (2-87) 
Do đó, ta có hệ phương trình: 
⎩⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪⎪
⎧ −𝑥({ℎ)𝒬(Ä| + ℎ(𝒬²( = 0−𝑦({ℎ)𝒬(Ä| +	ℎ!𝒬²( = 0⋮−𝑥"{ℎ)𝒬²"| + ℎ(𝒬²" = 0−𝑦"{ℎ)𝒬²"| +	ℎ!𝒬²" = 0⋮−𝑥${ℎ)𝒬²$| + ℎ(𝒬²$ = 0−𝑦${ℎ)𝒬²$| +	ℎ!𝒬²$ = 0
 (2-88) 
Đặ𝑡	𝑃 = ⎣⎢⎢
⎢⎡𝒬²(= 0= −𝑥(𝒬²(=0= 𝒬²(= −𝑦(𝒬²(=⋯ ⋯ ⋯𝒬²$= 0= −𝑥$𝒬²$=0= 𝒬²$= −𝑦$𝒬²$=⎦⎥⎥
⎥⎤
!$×"#
, 𝑚 = ‰ℎ(=ℎ!=ℎ)=Š(!×( (2-89) 
Hệ phương trình trở thành dạng 𝑃𝑚 = 0 (hệ đồng nhất tuyến tính). Hệ này có thể 
giải nhờ sử dụng phương pháp SVD (Singular Value Decomposition) [87][88]. 
Sau khi giải hệ phương trình này ta được ma trận 𝐻 = 𝑀[𝑅	𝑇]. Khi đó các thông số 
của máy ảnh hoàn toàn có thể được xác định. 
2.5 Cơ sở toán học sử dụng trong mô hình hệ máy ảnh nổi 
2.5.1 Tam giác đạc trong hệ máy ảnh nổi 
 57 
Giả sử ảnh thu được từ 2 máy ảnh đã được khử méo và nội suy hình học thành mặt 
phẳng ảnh sao cho đồng phẳng, 2 quang trục song song với nhau (quang trục là đường 
thẳng từ tâm phép chiếu qua điểm nguyên), khoảng cách của 2 trục này đã biết, chiều 
dài tiêu cự của 2 máy ảnh như nhau: . Đồng thời, cũng giả sử rằng 2 điểm cơ sở 𝐶/Pá" và 𝐶GYả"	có cùng tọa độ điểm ảnh tương ứng trong ảnh trái, phải. 
Hình 2-27 Mô hình 2 máy ảnh đã được khử méo, là tâm phép chiếu; P là 
điểm thực cần được đo khoảng cách Z (nguồn: [83]) 
Giả sử rằng ảnh trái và ảnh phải sắp thẳng hàng sao cho mỗi điểm ảnh trên một ảnh 
có cùng một tọa độ y với điểm ảnh tương ứng trên ảnh kia– có nghĩa là ảnh của điểm 
thực P trên ảnh trái và ảnh phải nằm trên cùng một hàng, cùng tọa độ y– còn gọi là song 
song chính diện. Đồng thời, cũng giả sử rằng điểm P nằm trong vùng phù hợp sao cho 
ảnh của P xuất hiện trong ảnh trái và phải là có tọa độ x tương ứng là . 
Trong trường hợp đơn giản này, tọa độ sẽ cho phép chúng ta tính toán khoảng 
cách, thông qua việc sử dụng sự chênh lệch (ký hiệu là d, với ). Từ hình 2-
27 sử dụng tam giác đồng dạng ta được: 𝑇 − (𝑥[ − 𝑥P)𝑇 = 𝑍 − 𝑓𝑍 𝑍 = 𝑓𝑇𝑥[ − 𝑥P = 𝑓𝑇𝑑 (2-90) 
1 rf f=
,l rO O
,l rp p ,
l rx x
,l rx x
1 rd x x= -
 58 
Hình 2-28 Hệ tọa độ của ảnh trong máy ảnh nổi (nguồn: [83]) 
Trong thực tế, máy ảnh không bao giờ có thể được lắp đặt một cách hoàn hảo để 
đạt được song song chính diện như hình 2-27. Thay vào đó, chúng ta phải tính toán, tìm 
các phép chiếu, các méo ảnh để có thể chỉnh sửa “nắn thẳng” các ảnh trái-phải sao cho 
chúng đạt được song song chính diện. Do đó, khi thiết lập hệ thống máy ảnh, yêu cầu 
đặt ra là phải làm cho các máy ảnh này càng đồng phẳng, càng thẳng hàng càng tốt. Điều 
này giúp cho việc tính toán trở nên nhanh chóng và dễ dàng hơn. 
Ngoài ra, từ công thức tính khoảng cách Z, ta có thể rút ra kết luận như sau: 
𝑍 = 𝑓𝑇𝑥[ − 𝑥P = 𝑓𝑇𝑑 ∆𝑍 = 𝑍!𝑓𝑇 ∆𝑑 (2-91) 
Công thức trên cho phép ta xác định khoảng cách T, lựa chọn máy ảnh để thu được 
độ chính xác của phép đo khoảng cách như mong muốn. 
2.5.2 Hình học Epipolar 
Thông số hình học cơ bản của hệ thống thu ảnh nổi quan hệ mật thiết với hình học 
epipolar [80][88][89][90]. Đây là sự kết hợp của mô hình lỗ nhỏ (cho mỗi máy ảnh) và 
các điểm epipole. 
 59 
Hình 2-29 Mặt phẳng Epipolar tạo bởi điểm và hai tâm chiếu của hai máy ảnh; hai 
điểm epipole là các giao điểm của đường thẳng nối hai tâm chiếu 𝑶𝒍, 𝑶𝒓 với hai mặt 
phẳng ảnh 
Theo hình 2-29 Có 2 tâm phép chiếu là 𝑂[, 𝑂P và hai mặt phẳng chiếu tương ứng là 𝛱[, 𝛱P. Điểm thực P có ảnh trên hai mặt phẳng chiếu là 𝑝[, 𝑝P. Điểm epipole 𝑒[(hay 𝑒P) 
trên mặt phẳng 𝛱[(hay 𝛱P) được định nghĩa là ảnh của tâm chiếu của máy ảnh phải 𝑂[ 
(hay của máy ảnh trái 𝑂P ). Mặt phẳng tạo bởi điểm thực P và hai điểm epipole 𝑒[, 𝑒P(hoặc hai điểm tâm phép chiếu 𝑂[, 𝑂P) được gọi là mặt phẳng epipolar. Các đường 
thẳng 𝑝[𝑒[, 𝑝P𝑒P(từ ảnh của vật đến điểm epipole) được gọi là đường epipolar. 
Một điểm P thực có ảnh 𝑝P	trên mặt phẳng ảnh phải (hoặc trái), P có thể nằm tại 
bất kì điểm nào trên đường thẳng đi qua điểm 𝑂P và 𝑝P (hoặc qua điểm 𝑂[ và 𝑝[ ). 
Điều này là do với 1 camera, chúng ta không thể biết khoảng cách đến điểm mà ta quan 
sát. Như vậy, đối với máy ảnh phải, đường thẳng qua 𝑂P và 𝑝P chứa điểm P và tất nhiên 
cũng chứa rất nhiều điểm khác. Do đó, điều quan trọng là ta phải tìm xem đường thẳng 
này có ảnh như thế nào khi được chiếu trên mặt phẳng ảnh bên trái. Thực tế, ảnh của 
đường thẳng này là đường epipolar 𝑝[	𝑒[ (vì 𝑝[ là ảnh của P, 𝑒[ là ảnh của 𝑂P trên mặt 
phẳng ảnh trái). 
Chúng ta có một số kết luận như sau: 
- Mỗi điểm trong thế giới thực 3D đều nằm trong một mặt phẳng epipolar và mặt 
phẳng này cắt mỗi mặt phẳng ảnh tại đường thẳng epipolar. 
 - Cho một điểm đặc trưng nằm trong một mặt phẳng ảnh (ví dụ là ảnh trái), ta có 
thể tìm ra điểm tương ứng của điểm đó trong mặt phẳng ảnh còn lại (ảnh phải) chắc chắn 
nằm trên đường thẳng epipolar. Điều này được gọi là liên kết epipolar. 
 60 
 - Việc có liên kết epipolar giúp việc tìm kiếm điểm tương đồng trên các ảnh được 
giảm xuống từ 2 chiều (tìm trên toàn bộ ảnh) còn 1 chiều (tìm trên đường epipolar). 
Điều này có ý nghĩa rất lớn trong phương pháp đo khoảng cách này vì không những tiết 
kiệm rất nhiều thời gian tính toán mà còn giúp ta loại bỏ được rất nhiều điểm có thể làm 
ta nhầm tưởng là điểm đặc trưng trong hình (hay còn gọi là các điểm nhiễu), việc này 
giúp việc tìm kiếm trở nên nhanh và chính xác hơn. 
2.5.3 Hiệu chuẩn hệ máy ảnh nổi và căn ảnh 
Như đã trình bày, trước hết cần tiến hành hiệu chuẩn và căn ảnh. Mục tiêu của bước 
này là tìm được các thông số của mỗi máy ảnh và các ma trận xoay, dịch chuyển- thể 
hiện mối tương quan giữa hai máy ảnh hoặc giữa máy ảnh với máy chiếu (là một ngược 
của máy ảnh). 
Hình 2-30 Mối tương quan giữa hai máy ảnh được thể hiện trong ma trận chứa các 
thông tin về ma trận quay và chuyển vị 
Hiệu chuẩn hệ thu ảnh nổi là quá trình tính toán mối quan hệ giữa hai máy ảnh trong 
không gian thực. Các mối quan hệ này được biểu diễn thông qua các ma trận cần thiết 
E và ma trận cơ sở F. Ma trận E chứa thông tin về dịch chuyển và quay giữa hai máy 
ảnh trong không gian thực. Ma trận F chứa thông tin tương tự như ma trận nhưng có 
bao gồm cả các thông số nội của hai máy ảnh liên quan trong hệ tọa độ điểm ảnh. Để 
thấy rõ sự khác nhau giữa hai ma trận này. Ma trận E có 5 thông số, ma trận này chỉ 
cung cấp thông tin, mối quan hệ về vị trí, tọa độ thực của ảnh của điểm P trên ảnh trái 
và ảnh phải (pl, pr). Do đó, ma trận E không thể cung cấp cho ta biết về mối quan hệ 
giữa hai máy ảnh trong hệ tọa độ điểm ảnh cũng như không thể tìm các đường epipolar 
tương