Luận án Phân tích dao động dầm, tấm sandwich 2D-FGM hai và ba pha bằng phương pháp phần tử hữu hạn

 thiết lập phương trình chuyển
động dạng rời rạc cho dầm. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, tham số của khối
lượng di động tới các đặc trưng dao động của dầm được nghiên cứu chi tiết trong
chương.
3.1. Mô hình dầm sandwich 2D-FGM ba pha
Ý tưởng về mô hình dầm sandwich 2D-FGM ba pha xuất phát từ mô hình tấm 2D-
FGM ba pha do Nemat-Alla và cộng sự đề xuất trong tài liệu [147] và đã được nghiên
cứu bởi Nguyễn Đình Kiên và cộng sự trong [132, 148]. Thiết diện ngang của dầm là
hình chữ nhật với chiều rộng b và chiều cao h. Dầm gồm ba lớp, làm từ ba vật liệu M1,
M2 và M3, như minh họa trên Hình 3.1. Lớp lõi của dầm là vật liệu thuần nhất M1,
trong khi hai lớp ngoài được làm từ vật liệu 2D-FGM ba pha với cơ tính biến đổi theo
cả chiều cao và chiều dài dầm. Hệ trục tọa độ Đề-các trên Hình 3.1 được chọn với trục
x nằm trong mặt giữa của dầm. Giống như dầm sandwich 2D-FGM hai pha, các ký hiệu
z0 = −h/2, z1, z2 và z3 = h/2 tương ứng là tọa độ theo chiều cao của mặt đáy, hai mặt
phân cách giữa các lớp và mặt trên của dầm. Tải trọng tác động lên dầm là khối lượng
m, di chuyển với vận tốc không đổi v từ trái sang phải. Khối lượng m được giả định luôn
tiếp xúc với dầm trong suốt quá trình nó di động trên dầm.
Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần M1, M2 và M3 được giả định tuân
55
56
Hình 3.1: Dầm sandwich 2D-FGM ba pha chịu khối lượng di động.
theo quy luật hàm số lũy thừa như sau [132,148]
V1 =
(
z−z0
z1−z0
)nz
V2 =
[
1−
(
z− z0
z1− z0
)nz][
1−
( x
L
)nx]
với z ∈ [z0,z1]
V3 =
[
1−
(
z− z0
z1− z0
)nz]( x
L
)nx
V1 = 1, V2 =V3 = 0 với z ∈ [z1,z2]
V1 =
(
z−z3
z2−z3
)nz
V2 =
[
1−
(
z− z3
z2− z3
)nz][
1−
( x
L
)nx]
với z ∈ [z2,z3]
V3 =
[
1−
(
z− z3
z2− z3
)nz]( x
L
)nx
(3.1)
trong đó L là tổng chiều dài của dầm; V1, V2 và V3 tương ứng là tỷ phần thể tích của các
vật liệu M1, M2 và M3; nx và nz là các tham số vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm.
Hình 3.2 minh họa sự phân bố theo chiều dài và chiều cao của tỷ phần thể tích các vật
liệu thành phần của dầm sandwich 2D-FGM ba pha cho cặp giá trị của tham số vật liệu
nx = nz = 0.3 và z1 =−z2 =−h/4.
3.2. Tính chất hiệu dụng của vật liệu FGM ba pha
Hai mô hình đồng nhất hóa vật liệu được sử dụng trong chương này là mô hình
Voigt và mô hình Maxwell để đánh giá các tính chất hiệu dụng (P f ) của dầm sandwich
2D-FGM ba pha. Theo mô hình Voigt, tính chất hiệu dụng của dầm ba pha cho bởi công
thức
P f (x,z) =P1V1+P2V2+P3V3 (3.2)
57
V
1
x/Lz/h
0
0.5
0.5
1
0
1
0.5
-0.5 0
V
2
x/Lz/h
0
0.5
0.5
1
0
1
0.5
-0.5 0
z/h
V
3
x/L
0
0.5
0.5
1
0
1
0.5
-0.5 0
Hình 3.2: Phân bố theo chiều dài và chiều cao của tỷ phần thể tíchV1,V2 vàV3 của dầm sandwich
2D-FGM ba pha với nx = nz = 0.3 và z1 =−z2 =−h/4.
vớiP1,P2 vàP3 tương ứng là tính chất của các vật liệu M1, M2 và M3. Thế phương
trình (3.1) vào phương trình (3.2) ta nhận được
P f (x,z) =

[P1−P23(x)]
(
z− z0
z1− z0
)nz
+P23(x) với z ∈ [z0,z1]
P1 với z ∈ [z1,z2]
[P1−P23(x)]
(
z− z3
z2− z3
)nz
+P23(x) với z ∈ [z2,z3]
(3.3)
với
P23(x) =P2−
(
P2−P3
)( x
L
)nx
(3.4)
Có thể dễ dàng kiểm tra rằng nếu như nx= 0 hoặcM2 trùng với M3 thì phương trình (3.3)
cho ta các tính chất hiệu dụng của dầm sandwich FGM với cơ tính biến đổi ngang truyền
thống trong tài liệu [36].
Theo mô hình Maxwell, mô-đun khối hiệu dụng (K f ) và mô-đun trượt hiệu dụng
(G f ) của vật liệu composite ba pha với pha M3 là pha nền được cho bởi công thức sau
đây [149,150]
K f =
(
3
∑
i=1
Vi
Ki+ 43G3
)−1
− 4
3
G3 ,
G f =
(
3
∑
i=1
Vi
Gi+G∗3
)−1
−G∗3 , với G∗3 = G3
9K3+8G3
6K3+12G3
(3.5)
trong đó Ki và Gi (i= 1..3) tương ứng là các mô-đun khối và mô-đun trượt của các pha
gốmM1, M2 và pha nền M3. Mô-đun Young hiệu dụng (E f ) và hệ số Poisson hiệu dụng
(ν f ) được tính từ các mô-đun khối và mô-đun trượt hiệu dụng nói trên theo công thức
E f =
9K fG f
3K f +G f
, ν f =
3K f −2G f
6K f +2G f
(3.6)
58
Lưu ý rằng phương trình (3.3) vẫn được sử dụng để đánh giá mật độ khối hiệu
dụng (ρ f ) cho dầm.
3.3. Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng trượt lượng giác
Lý thuyết biến dạng trượt lượng giác được sử dụng trong chương này để mô tả biến
dạng của dầm sandwich 2D-FGM ba pha. Lý thuyết này thỏa mãn điều kiện ứng suất
trượt ở các mặt đáy và mặt trên dầm bằng không. Các thành phần chuyển vị theo phương
của trục x và trục z của một điểm trên dầm, u1(x,z, t) và u3(x,z, t), cho bởi [68, 151].
u1(x,z, t) =u(x, t)− zwb,x(x, t)+ f (z)ws,x(x, t)
u3(x,z, t) = w(x,z, t) = wb(x, t)+ws(x, t)
(3.7)
trong đó u(x, t) là chuyển vị dọc trục (theo phương x) của điểm nằm trên trục x; wb(x, t)
và ws(x, t) tương ứng là các các thành phần uốn và trượt của chuyển vị ngang (theo
phương trục z); t là biến thời gian và hàm f (z) cho bởi
f (z) =−z+ h
pi
sin
piz
h
(3.8)
Trong phương trình (3.7), giống như ở trên, dấu phẩy ở chỉ số dưới dùng để chỉ đạo hàm
riêng theo biến sau đó, chẳng hạn wb,x = ∂wb/∂x.
3.4. Các thành phần biến dạng và ứng suất
Từ phương trình (3.7) ta nhận được biến dạng dọc trục (εxx) và biến dạng trượt
(γxz) như sau
εxx =u1,x = u,x− zwb,xx+ f (z)ws,xx
γxz =u1,z+u3,x = g(z)ws,x
(3.9)
với
g(z) = cos
piz
h
(3.10)
Các thành phần ứng suất dựa trên ứng xử đàn hồi tuyến tính của vật liệu dầm cho
bởi công thức σxxτxz
=
E f (x,z) 0
0 G f (x,z)
=
εxxγxz
 (3.11)
trong đó σxx và τxz tương ứng là các ứng suất dọc trục và ứng suất trượt; E f (x,z) và
G f (x,z) là các mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hiệu dụng, cho bởi phương trình (3.3)
hoặc các phương trình (3.5) và (3.6).
59
3.5. Năng lượng biến dạng đàn hồi
Năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm (U) cho bởi công thức
U =
1
2
∫ L
0
∫
A
(σxxεxx+ τxzγxz)dAdx (3.12)
với A= bh là diện tích thiết diện ngang của dầm.
Từ các phương trình (3.9) và (3.11) ta có thể viết biểu thức cho năng lượng biến
dạng đàn hồi trong phương trình (3.12) dưới dạng sau đây
U =
1
2
∫ L
0
[
A11u2,x−2A12u,x(wb,xx+ws,xx)+A22
(
wb,xx+ws,xx
)2
+2B11u,xws,xx−2B12
(
w2s,xx+ws,xxwb,xx
)
+B22w2s,xx+D11w
2
s,x
]
dx
(3.13)
trong đó A11, A12, A22, B11, B12, B22 và D11 là các hệ số độ cứng của dầm, được định
nghĩa như sau
(A11,A12,A22) =b
∫ h/2
−h/2
E f (x,z)
(
1,z,z2
)
dz
(B11,B12,B22) =
bh
pi
∫ h/2
−h/2
E f (x,z)
(
1,z,
h
pi
sin
piz
h
)
sin
piz
h
dz
D11 =b
∫ h/2
−h/2
G f (x,z)cos2
piz
h
dz
(3.14)
với E f (x,z) và G f (x,z) là các mô-đun Young và mô-đun trượt hiệu dụng tính theo mô
hình Voigt hoặc mô hình Maxwell trong Mục 3.2.
3.6. Động năng
Động năng T của dầm được tính theo công thức
T =
1
2
∫ L
0
∫
A
ρ f (x,z)(u˙21+ u˙
2
3)dAdx (3.15)
với ρ f (x,z) là mật độ khối hiệu dụng tính theo công thức (3.3). Giống như trong Chương
hai, dấu chấm trên một đại lượng được dùng để ký hiệu đạo hàm của đại lượng đó theo
biến thời gian t. Từ các phương trình (3.7) và (3.8), ta có thể viết biểu thức cho động
năng của dầm dưới dạng sau
T =
1
2
∫ L
0
{
I11
[
u˙2+(w˙b+ w˙s)2]−2I12u˙(w˙b,x+ w˙s,x)+ I22(w˙b,x+ w˙s,x)2
+2J11u˙w˙s,x−2J12(w˙2s,x+ w˙b,xw˙s,x)+ J22w˙2s,x
}
dx
(3.16)
60
Trong phương trình trên, I11, I12, I22,J11,J12,J22 là các mô-men khối lượng, được định
nghĩa bởi
(I11, I12, I22) = b
∫ h/2
−h/2
ρ f (x,z)
(
1,z,z2
)
dz
(J11,J12,J22) = b
h
pi
∫ h/2
−h/2
ρ f (x,z)
(
1,z,
h
pi
sin
piz
h
)
sin
piz
h
dz
(3.17)
3.7. Thế năng của khối lượng di động
Thế năng của khối lượng di động được tính theo công thức [142,152]
V =−
∫ L
0
[
(mg−mw¨−2mvw˙,x−mv2w,xx)w−mu¨u
]
δ (xm− vt)dx (3.18)
trong đó g= 9.81 m/s2 là gia tốc trọng trường; mu¨ và mw¨ tương ứng là các lực quán tính
theo phương của các trục x và z; 2mvw˙,x và mv2w,xx tương ứng là các lực Coriolis, lực ly
tâm; δ (.) là hàm delta Dirac; xm là hoành độ của khối lượng m, tính từ đầu trái của dầm
(xem Hình 3.1).
3.8. Phương trình vi phân chuyển động của dầm ba pha
Áp dụng nguyên lý Hamilton, phương trình (2.15), cho các biểu thức năng lượng
(3.13), (3.16) và (3.18) ta nhận được phương trình vi phân chuyển động cho dầm sand-
wich 2D-FGM ba pha dưới dạng
δu : I11u¨− I12(w¨b,x+ w¨s,x)+ J11w¨s,x
− [A11u,x−A12(wb,xx+ws,xx)+B11ws,xx],x+mu¨∣∣x=xm = 0
δwb :
[−I12u¨+ I22w¨b,x− (J12− I22)w¨s,x],x− I11(w¨b+ w¨s)
+
[
A12u,x−A22wb,xx+(B12−A22)ws,xx
]
,xx
− [m(w¨b+ w¨s)+2mv(w˙b,x+ w˙s,x)+mv2(wb,xx+ws,xx)]x=xm = mg
δws :
[
(I12− J11)u¨− (I22− J12)w¨b,x− (I22−2J12+ J22)w¨s,x
]
,x
+
[
(B11−A12)u,x+(A22−B12)wb,xx+(A22−2B12+B22)ws,xx
]
,xx
+ I11(w¨b+ w¨s)− (D11ws,x),x+
[
m(w¨b+ w¨s)+2mv(w˙b,x+ w˙s,x)
+mv2(wb,xx+ws,xx)
]
x=xm
= mg
(3.19)
61
cùng với các điều kiện biên về lực tại x= 0 và x= L như sau
• A11u,x−A12(wb,xx+ws,xx)+B11ws,xx = N
• [−A12u,x+A22(wb,xx+ws,xx)−B12ws,xx],x
− I12u¨+ I22(w¨b,x+ w¨s,x)− J12w¨s,x = Qb
• [(A12−B11)u,x+(B12−A22)wb,xx+(2B12−A22−B22)ws,xx],x
+D11ws,x+(J11− I12)u¨+(I22− J12)w¨b,x+(I22−2J12+ J22)w¨s,x = Qs
• −A12u,x+A22(wb,xx+ws,xx)−B12ws,xx =Mb
• (A12−B11)u,x+(B12−A22)wb,xx+(2B12−A22−B22)ws,xx =Ms
(3.20)
với N, Qb, Qs, Mb, Ms tương ứng là các lực dọc trục, các thành phần lực cắt do uốn, do
trượt và mô-men tại vị trí các gối tựa của dầm. Với dầm tựa giản đơn trên Hình 3.1 các
điều kiện biên về chuyển vị có dạng
• Tại x= 0 : u(0, t) = wb(0, t) = ws(0, t) = 0
• Tại x= L : wb(0, t) = ws(0, t) = 0
(3.21)
Các biểu thức độ cứng và mô-men khối lượng của dầm, như ta thấy từ các phương
trình (3.14) và (3.17), là hàm của tọa độ x, việc tìm nghiệm giải tích cho hệ phương
trình vi phân (3.19) là không khả thi. Mô hình phàn tử dầm với trường nội suy làm giàu
sẽ xây dựng trong mục sau để giải hệ phương trình (3.19).
3.9. Mô hình phần tử hữu hạn cho dầm ba pha
Mục này trình bày mô hình phần tử dầm hai nút với việc sử dụng các hàm thứ bậc
để làm giàu trường nội suy truyền thống. Các biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận
khối lượng và véc-tơ lực nút phần tử có tính tới ảnh hưởng của các lực quán tính, lực
Coriolis và lực ly tâm, được trình bày chi tiết.
3.9.1. Trường nội suy làm giàu
Xét phần tử dầm hai nút với chiều dài l. Thông thường, phần tử có thể xây dựng
từ các hàm nội suyC1 cho các chuyển vị ngang và các hàm nội suy Lagrange cho chuyển
vị dọc trục trên cơ sở các biểu thức năng lượng xây dựng ở phần trên. Cụ thể
u= Ndu, wb =Hdwb, ws =Hdws (3.22)
62
trong đó
du ={u1 u2},
dwb ={wb1 wb,x1 wb2 wb,x2},
dws ={ws1 ws,x1 ws2 ws,x2}
(3.23)
tương ứng là các véc-tơ chuyển vị nút cho các chuyển vị u, wb và ws tại nút 1 và nút 2;
N = [N0 N1] và H = [H0 H1 H2 H3] là ma trận các hàm dạng Lagrange và Hermite
cho bởi các phương trình (2.22) và (2.23) nhưng với chỉ số dưới được đánh lại từ 0. Để
tiện sử dụng, các hàm dạng này được viết lại dưới đây
N0 =
l− x
l
, N1 =
x
l
(3.24)
và
H0 =1−3x
2
l2
+2
x3
l3
, H1 = x−2x
2
l
+
x3
l2
H2 =3
x2
l2
−2x
3
l3
, H3 =−x
2
l
+
x3
l2
(3.25)
Thay các phương trình (3.22)-(3.25) vào các phương trình (3.13), (3.16) và (3.18)
và theo trình tự như trình bày trong Chương 2 ta sẽ nhận được các biểu thức cho ma trận
độ cứng, ma trận khối lượng, và véc-tơ lực nút phần tử sử dụng các hàm nội suy truyền
thống Lagrange và Hermite.
Nhằm cải tiến sự hội tụ và tính hiệu dụng của phần tử dầm, chương này sẽ tiến
hành làm giàu trường nội suy trên cơ sở các hàm nội suy Lagrange và Hermite nói trên.
Cụ thể, các hàm nội suy Ni (i = 0,1) và H j ( j = 0..3) cho bởi các phương trình (3.24)
và (3.25) được bổ sung thêm các đa thức bậc cao sau đây
N̂p = {N2 N3... Np}, Ĥk = {H4 H5... Hk} (3.26)
với p ≥ 2,k ≥ 4; Np và Hk tương ứng là các hàm nội suy làm giàu bậc p và k. Bốn đa
thức bậc cao được sử dụng trong luận án này để làm giàu các hàm Lagrange và Hermite.
Với ý tưởng này phương trình (3.22) được thay thế bởi
u= Ndu+ N̂5dˆu, wb =Hdwb+ Ĥ7dˆwb, ws =Hdws+ Ĥ7dˆws (3.27)
trong đó Nˆ5 = {N2 N3 N4 N5} và Hˆ7 = {H4 H5 H6 H7} là các ma trận các hàm nội
suy làm giàu thêm vào; dˆu, dˆwb và dˆws là các véc-tơ của các ẩn bổ sung thêm từ sự làm
giàu với dạng sau đây
dˆu = {uˆ1 uˆ2 uˆ3 uˆ4}
dˆwb = {wˆb1 wˆb2 wˆb3 wˆb4}
dˆws = {wˆs1 wˆs2 wˆs3 wˆs4}
(3.28)
63
Các hàm làm giàu Ni (i = 2...5) và H j ( j = 4...7) được xây dựng trong tài liệu
[153], đã được sử dụng bởi Hsu [154] và Lê Công Ích cùng cộng sự [131] để làm giàu
trường nội suy cho phần tử dầm Timoshenko và phần tử dầm sử dụng lý thuyết biến dạng
trượt bậc ba. Công thức cụ thể cho các hàm làm giàu như sau [153]
N2 =
√
6
x
l
(x
l
−1
)
,
N3 =
√
10
x
l
(x
l
−1
)(2x
l
−1
)
,
N4 =
√
14
x
l
(x
l
−1
)(5x2
l2
− 5x
l
+1
)
,
N5 =
√
18
x
l
(x
l
−1
)(7x2
l2
− 7x
l
+1
)(2x
l
−1
)
(3.29)
và
H4 =
√
10
x2
l2
(
1− x
l
)2
,
H5 =
√
14
x2
l2
(
1− x
l
)2(2x
l
−1
)
,
H6 =
√
2
x2
l2
(
1− x
l
)2(− 14x2
l2
+
14x
l
−3
)
,
H7 =
√
22
x2
l2
(
1− x
l
)2(6x2
l2
− 6x
l
+1
)(2x
l
−1
)
(3.30)
Sử dụng các hàm làm giàu nêu trên, véc-tơ các bậc tự do của phần tử (d) gồm 22
thành phần, có thể viết dưới dạng sau đây
d
(22×1)
= {du dˆu dwb dˆwb dws dˆws}T (3.31)
với du, dwb, dws được định nghĩa bởi phương trình (3.23), và dˆu, dˆwb, dˆws cho bởi phương
trình (3.28).
3.9.2. Ma trận độ cứng phần tử
Sử dụng các phương trình (3.27) và (3.31) ta có thể viết năng lượng biến dạng
của dầm trong phương trình (3.13) dưới dạng sau đây
U =
NE
∑
i=1
{Ue}i = 12
NE
∑
i=1
{d}Ti {k}i{d}i (3.32)
với NE là số phần tử dùng để rời rạc dầm; Ue là năng lượng biến dạng đàn hồi của một
phần tử; k là ma trận độ cứng phần tử. Ma trận k có thể phân chia làm các ma trận con
64
như sau
k
(22×22)
=

kuu kuuˆ kuwb kuwˆb kuws kuwˆs
kTuuˆ kuˆuˆ kuˆwb kuˆwˆb kuˆws kuˆwˆs
kTuwb k
T
uˆwb kwbwb kwbwˆb kwbws kwbwˆs
kTuwˆb k
T
uˆwˆb k
T
wbwˆb kwˆbwˆb kwˆbws kwˆbwˆs
kTuws k
T
uˆws k
T
wbws k
T
wˆbws kwsws kwswˆs
kTuwˆs k
T
uˆwˆs k
T
wbwˆs k
T
wˆbwˆs k
T
wswˆs kwˆswˆs

(3.33)
Tương tự như trong Chương 2, các ma trận con phần tử trong phương trình (3.33) được
tính toán bằng cách đạo hàm hai lần biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi phần tửUe
theo các véc-tơ chuyển vị nút của phần tử. Chẳng hạn các ma trận trên đường chéo trong
(3.33) được tính như sau
kuu =
∂ 2Ue
∂d2u
, kuˆuˆ =
∂ 2Ue
∂ dˆ2u
, kwbwb =
∂ 2Ue
∂ dˆ2wb
,
kwˆbwˆb =
∂ 2Ue
∂ dˆ2wˆb
, kwsws =
∂ 2Ue
∂ dˆ2ws
, kwˆswˆs =
∂ 2Ue
∂ dˆ2wˆs
(3.34)
Các ma trận ngoài đường chéo trong phương trình (3.33) cũng được tính tương tự như
vậy. Biểu thức cụ thể cho các ma trận con trong phương trình (3.33) như sau:
• Các ma trận con trên đường chéo trong (3.33) có dạng:
kuu
(2×2)
=
∫ l
0
NT,xA11N,xdx, kuˆuˆ
(4×4)
=
∫ l
0
N̂
T
5,xA11N̂5,xdx
kwbwb
(4×4)
=
∫ l
0
HT,xxA22H,xxdx, kwˆbwˆb
(4×4)
=
∫ l
0
Ĥ
T
7,xxA22Ĥ7,xxdx
kwsws
(4×4)
=
∫ l
0
[
HT,xx(A22−2B12+B22)H,xx+HT,xD11H,x
]
dx
kwˆswˆs
(4×4)
=
∫ l
0
[
Ĥ
T
7,xx(A22−2B12+B22)Ĥ7,xx+ Ĥ
T
7,xD11Ĥ7,x
]
dx
(3.35)
65
• Các ma trận con ngoài đường chéo trong (3.33) có dạng
kuuˆ
(2×4)
=
∫ l
0
NT,xA11N̂5,xdx, kuwb
(2×4)
=−
∫ l
0
NT,xA12H,xxdx,
kuwˆb
(2×4)
=−
∫ l
0
NT,xA12Ĥ7,xxdx, kuws
(2×4)
=
∫ l
0
NT,x(−A12+B11)H,xxdx,
kuwˆs
(2×4)
=
∫ l
0
NT,x(−A12+B11)Ĥ7,xxdx, kuˆ0wb
(4×4)
=−
∫ l
0
N̂
T
5,xA12H,xxdx,
kuˆwˆb
(4×4)
=−
∫ l
0
N̂
T
5,xA12Ĥ7,xxdx, kuˆws
(4×4)
=
∫ l
0
N̂
T
5,x(−A12+B11)H,xxdx,
kuˆwˆs
(4×4)
=
∫ l
0
N̂
T
5,x(−A12+B11)Ĥ7,xxdx, kwbwˆb
(4×4)
=
1
2
∫ l
0
HT,xxA22Ĥ7,xxdx,
kwbws
(4×4)
=
∫ l
0
HT,xx(A22−A12)H,xxdx, kwbwˆs
(4×4)
=
∫ l
0
HT,xx(A22−A12)Ĥ7,xxdx,
kwˆbws
(4×4)
=
∫ l
0
Ĥ
T
7,xx(A22−A12)H,xxdx, kwˆbwˆs
(4×4)
=
∫ l
0
Ĥ
T
7,xx(A22−A12)Ĥ7,xxdx,
kwswˆs
(4×4)
=
1
2
∫ l
0
[
HT,xx(A22−2B12+B22)Ĥ7,xx+HT,xD11Ĥ7,x
]
dx
(3.36)
3.9.3. Ma trận khối lượng phần tử
Với trường nội suy làm giàu ta cũng có thể viết động năng của dầm T cho bởi
phương trình (3.16) dưới dạng ma trận như sau
T =
NE
∑
i=1
{Te}i = 12
NE
∑
i=1
{d˙}Ti {m}i{d˙}i (3.37)
với Te là động năng của một phần tử, và ma trận khối lượng phần tử m có thể phân làm
các ma trận con như sau
m
(22×22)
=

muu muuˆ muwb muwˆb muws muwˆs
mTuuˆ muˆuˆ muˆwb muˆwˆb muˆws muˆwˆs
mTuwb m
T
uˆwb
mwbwb mwbwˆb mwbws mwbwˆs
mTuwˆb m
T
uˆwˆb
mTwbwˆb mwˆbwˆb mwˆbws mwˆbwˆs
kTuws m
T
uˆws m
T
wbws m
T
wˆbws
mwsws mwswˆs
mTuwˆs m
T
uˆwˆs m
T
wbwˆs
mTwˆbwˆs m
T
wswˆs mwˆswˆs

(3.38)
66
Các ma trận con trong phương trình (3.38) cũng được tính bằng cách đạo hàm hai lần
biểu thức động năng phần tử theo véc-tơ vận tốc nút phần tử, tương tự như phương trình
(2.31), chương 2. Các ma trận con trong phương trình (3.38) có dạng cụ thể như sau:
• Các ma trận trên đường chéo phương trình (3.38):
muu
(2×2)
=
∫ l
0
NT I11Ndx, mwbwb
(4×4)
=
∫ l
0
(
HT I11H+HT,xI22H,x
)
dx
muˆuˆ
(4×4)
=
∫ l
0
N̂
T
5 I11N̂5dx, mwˆbwˆb
(4×4)
=
∫ l
0
(
Ĥ
T
7 I11Ĥ7+ Ĥ
T
7,xI22Ĥ7,x
)
dx,
mwsws
(4×4)
=
∫ l
0
[
HT I11H+HT,x(I22−2J12+ J22)H,x
]
dx,
mwˆswˆs
(4×4)
=
∫ l
0
[
Ĥ
T
7 I11Ĥ7+ Ĥ
T
7,x(I22−2J12+ J22)Ĥ7,x
]
dx,
(3.39)
• Các ma trận con ngoài đường chéo của phương trình (3.38):
muuˆ
2×4
=
∫ l
0
NT I11N̂5dx, muwb
(2×4)
=−
∫ l
0
NT I12H,xdx,
muwˆb
(2×4)
=−
∫ l
0
NT I12Ĥ7,xdx, muws
(2×4)
=
∫ l
0
NT (−I12+ J11)H,xdx,
muwˆs
(2×4)
=
∫ l
0
NT (−I12+ J11)Ĥ7,xdx,
muˆwb
(4×4)
=−
∫ l
0
N̂
T
5 I12H,xdx, muˆwˆb
(4×4)
=−
∫ l
0
N̂
T
5 I12Ĥ7,xdx,
muˆws
(4×4)
=
∫ l
0
N̂
T
5 (−I12+ J11)H,xdx, muˆwˆs
(4×4)
=
∫ l
0
N̂
T
5 (−I12+ J11)Ĥ7,xdx,
mwbwˆb
(4×4)
=
∫ l
0
(
HT I11Ĥ7+HT,xI22Ĥ7,x
)
dx,
mwbws
(4×4)
=
∫ l
0
[
HT I11H+HT,x(I22− J12)H,x
]
dx,
mwbwˆs
(4×4)
=
∫ l
0
[
HT I11Ĥ7+HT,x(I22− J12)Ĥ7,x
]
dx,
mwˆbws
(4×4)
=
∫ l
0
[
Ĥ
T
7 I11H+ Ĥ
T
7,x(I22− J12)H,x
]
dx,
mwˆbwˆs
(4×4)
=
∫ l
0
[
Ĥ
T
7 I11Ĥ7+ Ĥ
T
7,x(I22− J12)Ĥ7,x
]
dx,
mwswˆs
(4×4)
=
∫ l
0
[
HT I11Ĥ7+HT,x(I22−2J12+ J22)Ĥ7,x
]
dx,
(3.40)
67
Phép cầu phương Gauss với 8 điểm cầu phương dọc theo chiều dài phần tử được sử dụng
để tính các tích phân trong các phương trình (3.35), (3.36), (3.39) và (3.40). Luận án
đã tiến hành tính toán với số điểm cầu phương lớn hơn 8 nhưng kết quả số không thay
đổi. Các hàm Matlab để tính các ma trận độ cứng phần tử k, Mục 3.9.2, và ma trận khối
lượng phần tử m, Mục 3.9.3, cho trong Phụ lục A2 trang 135.
3.9.4. Phần tử khối lượng di động và véc-tơ lực nút
Mục này trình bày ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản và véc-tơ
lực nút phần tử sinh ra do khối lượng di động. Đưa phương trình (3.27) vào phương
trình (3.18) ta có thể viết thế năng của khối lượng di động dưới dạng sau
V =
NE
∑
i=1
(
{d¨}Ti {mm}i{d¨}i+{d˙}Ti {cm}i{d˙}i+{d}Ti {km}i{d}i−{d}Ti {fm}i
)
(3.41)
trong đómm, cm và km tương ứng là ma trận khối lượng, ma trận cản, và ma trận độ cứng
phần tử sinh ra do ảnh hưởng của lực quán tính, lực Coriolis và lực ly tâm của khối lượng
di động; fm là véc-tơ lực nút phần tử, phụ thuộc vào thời gian. Biểu thức cụ thể cho mm,
cm, km và fm cho bởi các phương trình (3.42), (3.43), (3.44) và (3.45) ở dưới đây.
• Ma trận khối lượng mm:
mm
(22×22)
= m

NTN NT N̂5 0 0 0 0
N̂
T
5N N̂
T
5 N̂5 0 0 0 0
0 0 HTH HT Ĥ7 HTH HT Ĥ7
0 0 Ĥ
T
7H Ĥ
T
7 Ĥ7 Ĥ
T
7H Ĥ
T
7 Ĥ7
0 0 HTH HT Ĥ7 HTH HT Ĥ7
0 0 Ĥ
T
7H Ĥ
T
7 Ĥ7 Ĥ
T
7H Ĥ
T
7 Ĥ7

xme
, (3.42)
• Ma trận cản cm:
cm
(22×22)
= 2mv

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 HTH,x HT Ĥ7,x HTH,x HT Ĥ7,x
0 0 Ĥ
T
7H,x Ĥ
T
7 Ĥ7,x Ĥ
T
7H,x Ĥ
T
7 Ĥ7,x
0 0 HTH,x HT Ĥ7,x HTH,x HT Ĥ7,x
0 0 Ĥ
T
7H,x Ĥ
T
7 Ĥ7,x Ĥ
T
7H,x Ĥ
T
7 Ĥ7,x

xme
, (3.43)
68
với v là vận tốc của khối lượng di động.
• Ma trận độ cứng km:
km
(22×22)
= mv2
