Luận án Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

w n n e n n
w n e n
é ù+ - +ë û- +
, (2.134) 
với A, B là các hằng số, ( )22d hw w e= - , 0 1
he
w
< < . Khi t nhận giá trị rất lớn, 
nghiệm (2.134) sẽ xấp xỉ biểu thức sau 
 ( )
( )
( )2 222 2 2 2 2 cos 2 sin .4
Qm t t h t
h
e
w n n e n n
w n e n
é ù= - +ë û- +
 (2.135) 
Bên cạnh đó, vì phương trình (2.133) là hệ tuyến tính chịu kích động ồn trắng 
nên trung bình bình phương đáp ứng dừng y có công thức tính là (Nguyễn Đông Anh 
và Ninh Quang Hải, 2000) 
 ( )
2
2
24
E y
h
s
w
= . (2.136) 
Bình phương hai vế của phương trình (2.129), sau đó lấy kỳ vọng toán và sử 
dụng (2.130), ta được trung bình bình phương đáp ứng của phương trình (2.119) là 
 ( ) ( ) ( )2 2 2E x t E y t E m té ù é ù é ù= +ë û ë û ë û . (2.137) 
Thay (2.135) và (2.136) vào (2.137), ta thu được nghiệm chính xác của phương 
trình dao động tuyến tính (2.119) là 
( )
( )
2 2 2
2
2 22 2 2 2 24 2 4
cx
QE x t
h h
s e
w w n e n
é ù = +ë û é ù- +ê úë û
46 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
22 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2
cos 2 sin 2 .
2 4 4
Q h hQ
t t
h h
e w n e n e n w n
n n
w n e n w n e n
é ù- - -ê úë û+ +
é ù é ù- + - +ê ú ê úë û ë û
 (2.138) 
Nếu sai số giữa ( )2E x té ùë û và ( )
2
cxE x té ùë û được định nghĩa là 
Sai số
( ) ( )
( )
2 2
2
100%,
cx
cx
E x t E x t
E x t
é ù é ù-ë û ë û= ´
é ùë û
 (2.139) 
thì thay (2.128) và (2.138) vào (2.139) ta được 
 Sai số 
( )
2 22
2 2 2
100%
4 cxh E x t
w ns
w n
-
= ´
é ùë û
. (2.140) 
Như vậy, với hệ dao động tuyến tính (2.119), sai số giữa nghiệm xấy xỉ (2.128) 
và nghiệm chính xác (2.138) sẽ nhỏ dần khi tần số lực tuần hoàn tiến dần về tần số tự 
nhiên của hệ. 
2.2.3.3. Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP 
Ý tưởng của kỹ thuật giải xấp xỉ này là sử dụng phương pháp tuyến tính hóa 
tương đương để thay thế phương trình FP với các hệ số dịch chuyển phi tuyến chưa có 
lời giải bằng phương trình FP có hệ số dịch chuyển tuyến tính có thể giải được. Để tiện 
trong trình bày, trong mục này ta xét phương trình FP trung bình (2.96) ở dạng như sau 
 ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 2 2
1 2 1 24
p pp p
a a a a
s
n
é ù¶ ¶ ¶ ¶
G + G = +ê ú¶ ¶ ¶ ¶ë û
. (2.141) 
trong đó 1G , 2G là các hàm phi tuyến theo các biến 1a và 2a . 
Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các hàm phi tuyến 1G và 2G 
trong (2.141) được thay thế bằng các hàm tuyến tính , 1,2iH i = có dạng 
( )
( )
1 1 2 1 1 1 2 1
2 1 2 2 1 2 2 2
, ,
, .
H a a a a
H a a a a
a b l
a b l
= + +
= + +
 (2.142) 
Khi đó, theo phương pháp hàm bổ trợ đã được trình bày trong mục 2.2.3.2, 
phương trình FP (2.141) đã được tuyến tính hóa sẽ có nghiệm cho bởi các công thức 
(2.117) và (2.118). 
47 
Để xác định các hệ số ia , ib , il ta phải sử dụng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó. 
Trong luận án này, tác giả sử dụng tiêu chuẩn sai số bình phương bé nhất (Kazakov, 
1954; Caughey, 1959). Sai số giữa các hàm phi tuyến iG và các hàm tuyến tính 
, 1,2iH i = là 
 ( )1 2 , 1, 2.i i i i ie a a ia b l= G - + + = (2.143) 
Tiêu chuẩn sai số bình phương bé nhất dẫn đến 
 ( )2
, ,
min , 1,2.
i i i
iE e ia b l® = (2.144) 
Từ điều kiện 
 ( ) ( ) ( )2 2 20, 0, 0, 1,2i i i
i i i
E e E e E e i
a b l
¶ ¶ ¶
= = = =
¶ ¶ ¶
, (2.145) 
ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
2 1 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 2 1 1
2
1 2 1 2 1 2 2 1 2
2
2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 2
0,
0,
0,
0,
0,
0.
E a E a E a a E a
E a E a a E a E a
E E a E a
E a E a E a a E a
E a E a a E a E a
E E a E a
a b l
a b l
a b l
a b l
a b l
a b l
G - - - =
G - - - =
G - - - =
G - - - =
G - - - =
G - - - =
 (2.146) 
Giải hệ (2.146) theo các biến ,i ia b và , 1, 2i il = ta được 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 1 1 2 1
2
2 1 2 2
1 2
1 2
1 1 2 1
2
1 2 2 2
1 2
1
,
1
E a E a a E a
E a E a E a
E E a
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a
a
G
é ùG ë û
G
=
é ùë û
é ùë û
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1 1 1 1
1 2 2 1 2
1 1
1 2
1 1 2 1
2
1 2 2 2
1 2
1
,
1
E a E a E a
E a a E a E a
E a E
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a
b
é ù Gë û
G
G
=
é ùë û
é ùë û
48 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1 1 2 1 1
2
1 2 2 2 1
1 2 1
1 2
1 1 2 1
2
1 2 2 2
1 2
,
1
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a E
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a
l
é ù Gë û
é ù Gë û
G
=
é ùë û
é ùë û
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1 2 1 2 1
2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 2 1
2
1 2 2 2
1 2
1
,
1
E a E a a E a
E a E a E a
E E a
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a
a
G
é ùG ë û
G
=
é ùë û
é ùë û
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1 1 2 1
1 2 2 2 2
1 2
2 2
1 1 2 1
2
1 2 2 2
1 2
1
,
1
E a E a E a
E a a E a E a
E a E
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a
b
é ù Gë û
G
G
=
é ùë û
é ùë û
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2
1 1 2 1 2
2
1 2 2 2 2
1 2 2
2 2
1 1 2 1
2
1 2 2 2
1 2
,
1
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a E
E a E a a E a
E a a E a E a
E a E a
l
é ù Gë û
é ù Gë û
G
=
é ùë û
é ùë û
 (2.147) 
Bên cạnh đó, ta có 1a và 2a tuân theo phân phối Gauss vì hàm mật độ của nó 
có dạng (2.117) – biểu thức trên mũ là đa thức bậc 2 theo các biến. Do đó, tất cả các 
mô men bậc cao của 1a và 2a trong (2.146) có thể được biểu diễn qua các mô men bậc 
nhất và bậc hai của 1a và 2a dựa theo các tính chất sau của véc tơ ngẫu nhiên Gauss 
( )1 2,X a a=
r
 (Lutes và Sarkani, 2004) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2
1 2 1
1 1
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
,
, 1, 2,
i
i i
n n n
i i i a i
n n n n n n n n
i i a a a a
E a E a E a n E a
E a a a E a E a a n k E a a n k E a a i
s+ -
- -
= +
= + + =
(2.148) 
với 2
ia
s là phương sai của ia , i ja ak là hiệp phương sai của 1a và 2a , và n, 1n và 
2 0,1,2,...n = Cụ thể, luận án sử dụng các biểu diễn mô men sau trong các tính toán: 
[ ]
1
2 2 2
1 1 ,aE a E a sé ù = +ë û 
[ ]
2
2 2 2
2 2 ,aE a E a sé ù = +ë û 
[ ] [ ]
1
3 3 2
1 1 13 ,aE a E a E a sé ù = +ë û 
[ ] [ ]
2
3 3 2
2 2 23 ,aE a E a E a sé ù = +ë û 
49 
[ ] [ ]
1 1
4 4 2 2 4
1 1 16 3 ,a aE a E a E a s sé ù = + +ë û 
[ ] [ ]
2 2
4 4 2 2 4
2 2 26 3 ,a aE a E a E a s sé ù = + +ë û 
[ ] [ ] [ ]
1 21 2 1 2
,a aE a a E a E a k= + 
[ ] [ ]( ) [ ]
2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 22 ,a a aE a a E a E a k E asé ù = + +ë û 
[ ] [ ]( ) [ ]
1 1 2
2 2 2
1 2 2 1 12 ,a a aE a a E a E a k E asé ù = + +ë û 
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )
2 1 2 2
3 3 2 2 2
1 2 1 2 2 13 3 ,a a a aE a a E a E a E a k E as sé ù = + + +ë û 
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )
1 1 2 1
3 3 2 2 2
1 2 2 1 1 13 3 ,a a a aE a a E a E a E a k E as sé ù = + + +ë û 
[ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 24 2 .a a a a a aE a a E a E a E a E a k ks sé ù = + + + +ë û (2.149) 
Do đó, hệ (2.146) gồm 6 phương trình đại số cho 11 biến: ia , ib , il ( 1, 2i = ), 
[ ]1E a , [ ]2E a , 1
2
as , 2
2
as , 1 2a ak nên để khép kín hệ (2.146), ta cần thêm các quan hệ 
giữa các biến này. 
Vì 1a và 2a là các biến Gauss nên từ hàm mật độ xác suất dừng (2.117), các mô 
men [ ]1E a , [ ]2E a , 1
2
as , 2
2
as , 1 2a ak trong (2.149) có thể được tính từ các hệ số 
, 1,5i it = của hàm mật độ xác suất dừng như sau: 
[ ] 2 4 3 51 2
1 2 3
2
,
4
E a
t t t t
t t t
+
=
-
[ ] 1 5 3 42 2
1 2 3
2
,
4
E a
t t t t
t t t
+
=
-
1
2 2
2
1 2 3
2 ,
4a
t
s
t t t
=
-
2
2 1
2
1 2 3
2
,
4a
t
s
t t t
=
-
1 2
3
2
1 2 34
a ak
t
t t t
=
-
. (2.150) 
50 
Do đó, từ hàm mật độ xác suất (2.117), các mô men [ ]1E a , [ ]2E a , 1
2
as , 2
2
as , 
1 2a a
k được tính theo các biến ia , ib , il qua các hệ thức (2.118) và (2.150). Và như 
vậy, các phương trình (2.146), (2.118) và (2.150) cho ta một hệ kín gồm 11 phương 
trình cho 11 ẩn số ia , ib , il ( 1, 2i = ), [ ]1E a , [ ]2E a , 1
2
as , 2
2
as , 1 2a ak . Sau khi giải hệ 
(2.146), (2.118) và (2.150), giá trị các hệ số tuyến tính hóa ia , ib , il được thay vào 
(2.117) và (2.118) cho ta biểu thức nghiệm gần đúng của phương trình FP với các hệ 
số dịch chuyển phi tuyến (2.141). 
Để ý, theo Robert và Spanos (1999), việc tìm các hệ số tuyến tính tương đương 
thường dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số phi tuyến, và nghiệm của nó thường 
được tìm bằng phương pháp lặp với giả thiết là hệ có nghiệm duy nhất, tức là ứng với 
hệ dao động chỉ có duy nhất một điểm cân bằng ổn định và chịu kích động ngẫu nhiên 
dạng ồn trắng, mặc dù điều này chưa được chứng minh chặt chẽ bằng toán học. Luận 
án sử dụng hàm fsolve của Matlab cùng thuật toán lặp với giá trị ban đầu chọn trước 
để giải hệ phương trình đại số phi tuyến theo các hệ số tuyến tính hoá trong các áp 
dụng ở chương 3. 
Chương trình Matlab xây dựng và giải hệ phi tuyến bằng phương pháp lặp cho 
các hệ số tuyến tính hoá được trình bày trong phụ lục A, sai số của nghiệm là O(10-6). 
2.2.4. Phương pháp mô phỏng số 
Với các bài toán không thể có phân tích chính xác hoặc gần đúng, kỹ thuật mô 
phỏng số là phương tiện duy nhất để tiếp cận lời giải. Kỹ thuật này cũng rất hữu ích 
trong việc kiểm tra tính hợp lệ của các phân tích gần đúng. Việc áp dụng phương pháp 
này bao gồm ba bước: (i) Mô phỏng các yếu tố đầu vào ngẫu nhiên, (ii) rời rạc hóa mô 
hình ngẫu nhiên, và (iii) xử lý mẫu thống kê của đáp ứng. Công cụ cơ bản để tạo ra 
đầu vào ngẫu nhiên là các công cụ sinh số giả ngẫu nhiên, đó là một thuật toán xác 
định cho phép xuất một tập hợp các con số từ biến số ngẫu nhiên phân bố đồng đều 
(Chambers, 1967). 
Các kỹ thuật mô phỏng có phạm vi rộng lớn và được áp dụng cho phân tích đáp 
ứng phi tuyến và tham số của hệ một bậc tự do và nhiều bậc tự do. Tuy nhiên, để có 
được ước lượng đáng tin cậy của các biến đáp ứng, mẫu được sử dụng trong phân tích 
51 
phải có kích thước đủ lớn. Thực tế này làm cho phương pháp tốn kém đáng kể. Spanos 
(1981) đã ước tính rằng chi phí của nghiên cứu mô phỏng thường là 100-1000 lần hơn 
so với một phân tích gần đúng sử dụng tuyến tính hóa tương đương. Người ta nhận 
thấy rằng chi phí của mô phỏng tăng tuyến tính với cỡ mẫu trong khi độ chính xác 
được cải thiện tỷ lệ với căn bậc hai của kích thước mẫu (Spanos và Lutes, 1987). 
Trong luận án, tác giả sử dụng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo để đánh 
giá độ chính xác của phương pháp phân tích dao động trong luận án. Cho đến nay, mô 
phỏng Monte-Carlo gần như là công cụ duy nhất (trừ trường hợp giải được chính xác) 
để đánh giá độ chính xác của nghiệm ngẫu nhiên tìm được bằng các phương pháp giải 
tích gần đúng (Robert và Spanos, 1999, tr. 361). Đây là phương pháp rất phổ biến và 
đã được áp dụng cho các mô hình của nhiều bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau 
như kinh tế, tài chính, kỹ thuật, giao thông,... Phương pháp mô phỏng Monte Carlo là 
phương pháp mô phỏng bằng xác suất. Nó chủ yếu dựa trên định luật quan trọng của 
xác suất là luật mạnh số lớn (2.21). 
Theo lý thuyết mô phỏng số (Zhu, 1987), hàm mẫu của ồn trắng Gauss được 
biểu diễn qua phép biến đổi tuyến tính của dãy 
 , 1,2,...i i
s i
t
x z= =
D
 (2.151) 
với iz được sinh từ bộ sinh số ngẫu nhiên Gauss tiêu chuẩn, s là cường độ ồn trắng, 
còn tD là bước thời gian đủ nhỏ. Từ định lý giới hạn trung tâm (2.22), sai số thống kê 
mô phỏng được ước lượng từ công thức 
2 /21
2
b
u
s e
a
P a M M b e du
N N
s s
p
-æ ö< - < »ç ÷
è ø ò
 (2.152) 
trong đó ( )eM E M= là giá trị chính xác chưa biết, 
1
1 N
s i
i
M M
N =
= å là kết quả mô phỏng, 
 s là độ lệch chuẩn của M, 
 N là cỡ mẫu trong thống kê. 
Từ (2.152), với xác suất 99% thì sai số của sM là 
52 
 0.99 3s eErr M M N
s
= - < . (2.153) 
Sau khi phương trình cần giải được rời rạc hóa, luận án sử dụng phần mềm 
Matlab với hàm ODE45 để giải. 
Luận án sử dụng simulink của Matlab để tính toán mô phỏng Monte-Carlo cho 
đáp ứng dừng với 10,000 đường mẫu và tính trong chu kỳ cuối (coi như trạng thái đáp 
ứng dừng trong khoảng thời gian này) của đáp ứng trong khoảng thời gian 300 giây, 
bước thời gian 0.05. Khi mô phỏng hàm mật độ xác suất hai chiều, luận án tính với 
100,000 đường mẫu. Chẳng hạn, để mô phỏng được đáp ứng dừng với tần số kích 
động ngoài là 1.01n = (rad/s), khoảng thời gian mô phỏng đáp ứng dừng trong một 
chu kỳ sẽ vào khoảng (293.5s, 300s). Như vậy với 10,000 đường mẫu, ta sẽ có khoảng 
N=1.3 triệu điểm dùng để tính toán các thống kê. Khi đó, sai số của sM ở độ tin cậy 
99% sẽ có bậc là ( )310O - . 
2.3. Kết luận chương 2 
Trong chương này, luận án đã trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích 
ngẫu nhiên, đó là các khái niệm về xác suất, biến ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, 
tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên; và các phương pháp nghiên 
cứu hệ dao động ngẫu nhiên có liên quan đến việc phát triển phương pháp luận nghiên 
cứu hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn trong luận án: 
phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp giải phương trình FP bằng hàm bổ 
trợ, áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên trong giải phương 
trình FP với các hệ số dịch chuyển là hàm phi tuyến hai biến và phương pháp mô 
phỏng Monte-Carlo. Các kết quả tìm lời giải tổng quát cho phương trình FP hai biến 
với các hệ số dịch chuyển tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng, và đề xuất sử dụng 
phương pháp tuyến tính hoá tương đương ngẫu nhiên trong giải phương trình FP với 
các hệ số dịch chuyển phi tuyến là các kết quả mới của luận án. Các kết quả này được 
sử dụng để phát triển kỹ thuật phân tích dao động của luận án được trình bày trong 
chương 3. 
53 
CHƯƠNG 3. 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TRONG HỆ PHI TUYẾN 
CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 
Trong chương này, luận án đề xuất một kỹ thuật kết hợp các phương pháp đã 
nêu trong chương 2, đó là phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp tuyến 
tính hóa ngẫu nhiên, và phương pháp hàm bổ trợ, để phân tích dao động trong các hệ 
dao động một bậc tự do với các phần phi tuyến là cản và/hoặc độ cứng, và chịu kích 
động tuần hoàn và ồn trắng trong miền tần số cộng hưởng chính. 
Như trình bày trong mục mở đầu và chương 1, điểm hạn chế chính trong các kỹ 
thuật kết hợp hai trong số các phương pháp phổ biến nhất là phương pháp trung bình 
ngẫu nhiên và phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên trong phân tích hệ 
dao động chính là lớp các phương trình FP giải được. Do đó, để khắc phục hạn chế 
này, tác giả đề xuất kỹ thuật phân tích hệ dao động phi tuyến chịu đồng thời kích động 
tuần hoàn và ngẫu nhiên bao gồm các bước sau: 
Bước 1: Áp dụng phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các cho 
hệ dao động ở dạng (0.1). Qua phép biến đổi (2.88), hệ trung bình hóa sẽ có dạng 
(2.94) với các hệ số dịch chuyển là hàm phi tuyến theo các biến tọa độ Đề-các ( )1 2,a a , 
còn các hệ số khuếch tán là các hằng số. 
Bước 2: Lập phương trình FP dạng (2.96) cho hàm mật độ xác suất dừng theo 
các biến tọa độ Đề-các cho các phương trình trung bình (2.94). 
Bước 3: Vì luận án chỉ xét các phương trình dao động phi tuyến ở dạng (0.1) 
nên phương trình FP ở bước 2 có các hệ số dịch chuyển là các hàm phi tuyến dạng đa 
thức (2.99) theo các biến Đề-các và không thể giải được. Để vượt qua khó khăn này, 
luận án đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa ngẫu nhiên cho các hệ số dịch chuyển 
của hệ trung bình hóa bằng tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất, và áp dụng phương 
54 
pháp hàm bổ trợ để giải phương trình FP có các hệ số dịch chuyển tuyến tính như đã 
trình bày trong mục 2.2.3.3. 
Bước 4: Kết quả thu được là xấp xỉ của hàm mật độ dừng theo các biến tọa độ 
Đề-các. Các phân tích đáp ứng theo biến đáp ứng của hệ được tính từ hàm mật độ này. 
Cụ thể, nếu như ta tính được hàm mật độ dừng theo hai biến 1a và 2a thì ta có 
thể tìm được hàm mật độ theo các biến trạng thái x và x& của hệ ban đầu. Từ phép biến 
đổi (2.88), ta có 
1
2
cos sin ,
sin cos
xa x t t
xa x t t
n n
n
n n
n
= -
= +
&
&
 (3.1) 
Sử dụng phép biến đổi (3.1) và công thức hàm mật độ (2.117) ta tính được hàm 
mật độ xác suất đồng thời của và x& theo các công thức (2.14) và (2.15) ở dạng 
2 2
1 2( , , ) exp cos sin sin cos
C x xp x x t x t t x t tt n n t n n
n n n
ìï æ ö æ ö= - - - + +í ç ÷ ç ÷
è ø è øïî
& && 
 3 4cos sin sin cos cos sin
x x xx t t x t t x t tt n n n n t n n
n n n
æ öæ ö æ ö+ - + + -ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
& & &
 5 sin cos
xx t tt n n
n
üæ ö+ + ýç ÷
è øþ
&
. (3.2) 
Từ phương trình (3.2), ta tìm được hàm mật độ của x như sau 
 ( ) ( ), , ,p x t p x x t dx
¥
-¥
= ò & & . (3.3) 
Từ các phương trình (2.117), (3.2) và (3.3), ta thấy rằng hàm mật độ xác suất 
đồng thời của x và x& và hàm mật độ xác suất của x là các hàm phụ thuộc thời gian t 
dù hai biến ngẫu nhiên 1a và 2a được mô tả qua hàm mật độ xác suất dừng. 
Để tính trung bình bình phương đáp ứng, ta bình phương hai vế phương trình 
đầu tiên trong (2.88) và lấy trung bình toán học ta được 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1 2cos sin sin 2E x t E a t E a t E a a tn n né ù = + +ë û . (3.4) 
x
55 
Sau đó lấy trung bình theo thời gian phương trình (3.4) ta được 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2 2
1 2
0
1 1
2 2
E x t x t d t E a E a
p
n
p
é ù = = +ë û ò 
 ( ) ( )( )1 22 2 2 21 2
1 .
2 a a
E a E as s= + + + (3.5) 
Thay (2.150) vào (3.5) và rút gọn kết quả thu được cho ta trung bình theo thời 
gian của trung bình bình phương đáp ứng là 
 ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 4 3 5 1 5 3 42 1 2
2 22
1 2 31 2 3
2 2
,
42 4
E x t
t t t t t t t t t t
t t tt t t
+ + + +é ù = +ë û --
 (3.6) 
trong đó , 1,5i it = được cho bởi (2.118). Từ (3.6) ta thấy rằng giá trị xấp xỉ trung bình 
theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng của dao động được tính qua một 
biểu thức số học. 
3.1. Hệ dao động Van der Pol 
Phương trình dao động của hệ Van der Pol chịu kích động tuần hoàn và ngẫu 
nhiên có dạng như sau: 
 ( ) ( )2 2 cos ,x x x x Q t te a b w e n e sx- - + = +&& & (3.7) 
trong đó a , b , w, Q, n , s là các tham số dương, e là tham số bé, và hàm ( )tx là quá 
trình ồn trắng Gauss có cường độ 1. Xét hệ (3.7) trong miền cộng hưởng chính. Giả sử 
hai tham số w và n có quan hệ 
 2 2w n e- = D , (3.8) 
trong đó D là tham số lệch tần. Khi đó phương trình (3.7) có dạng của phương trình 
(2.87) với 
 ( ) ( )2, , cos .f x x t x x x Q tn a b n= -D + - +& & (3.9) 
56 
3.1.1. Tính toán lý thuyết 
Sử dụng phép biến đổi (2.88) sang tọa độ Đề-các ( )1 2,a a và thay (3.9) vào 
(2.95) ta được các hệ số dịch chuyển của hệ trung bình hóa (2.94) là 
( ) ( )
( ) ( )
3 2
1 1 2 1 2 1 1 2
2 3
2 1 2 1 2 1 2 2
1 1, ,
2 2 8
1 1, .
2 2 8 2
K a a a a a a a
QK a a a a a a a
ba
n
b
a
n n
= + D - +
= - D + - + +
%
%
 (3.10) 
Đặt ( )1 2,ig a a là phần phi tuyến của các hệ số dịch chuyển iK% , 1, 2i = , tức 
là 
( ) ( )
( ) ( )
3 2
1 1 2 1 1 2
2 3
2 1 2 1 2 2
, ,
8
, .
8
g a a a a a
g a a a a a
b
b
= - +
= - +
 (3.11) 
Vì iK% , xác định bởi (3.10), là các hàm phi tuyến theo 1a và 2a nên phương 
trình FP (2.96) tương ứng hệ (2.94) không thể giải được. Theo phương pháp tuyến tính 
hóa được trình bày trong mục 2.2.3.3, các hàm phi tuyến (3.10) được thay thế bởi các 
hàm tuyến tính (2.142) trong đó 
1 11 1 12 1 13
2 21 2 22 2 23
, , ,
2 2
, , .
2 2 2
Q
aa h b h l h
n
aa h b h l h
n n
D
= + = + =
D
= - + = + = +
 (3.12) 
với ijh là các hệ số tuyến tính hóa. Áp dụng tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất, ta 
có 
 ( ) ( ) ( ){ }
1 2 3
22
1 2 1 1 2 2 3 , ,
, min , 1, 2.
i i i
i i i i iE e E g a a a a ih h hh h hé ù= - + + ® =ë û (3.13) 
Từ điều kiện 
 ( )2 0, 1,2; 1,2,3i
ij
E e i j
h
¶
= = =
¶
, (3.14) 
ta có hệ phương trình 
57 
( ) [ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
( ) [ ]
2
1 1 1 2 1 11 1 2 12 1 13
2
2 1 1 2 1 2 11 2 12 2 13
1 1