Luận án Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động

) − 2I12(x)_uw_ ;x + I22(x)_w;x dx
 2 0
 1 Z l  
 = d_ T NT I (x)N + NT I (x)N − 2NT I (x)N + NT I (x)N dx d_
 u 11 u w 11 w u 12 w;x w;x 22 w;x
 2 0
 1 1
 = d_ T (m + m + m + m )d_ = d_ T md_
 2 uu ww uθ θθ 2
 (3.46)
Trong (3.46)
 m = muu + mww + muθ + mθθ (3.47)
là ma trên độ cựng nhĐt quĂn phƯn tỷ, với
 Z l
 T
 muu = Nu I11(x)Nudx
 0
 Z l
 T
 mww = NwI11(x)Nwdx
 0 (3.48)
 Z l
 T
 muθ = − Nu I12(x)Nw;x dx
 0
 Z l
 m = NT I (x)N dx
 θθ w;x 22 w;x
 0
tương ựng là cĂc ma trên khối lượng nhĐt quĂn sinh ra tứ cĂc chuyºn vị
dọc và ngang, tương hộ giỳa chuyºn vị dọc và quay cừa mặt cưt ngang và
sự quay cừa mặt cưt ngang cừa phƯn tỷ dƯm.
 Tương tự, ma trên khối lượng nhĐt quĂn cho dƯm Bernoulli cú cơ tẵnh
bián đổi theo chiãu dọc cú dÔng:
 m = muu + mww + mθθ (3.49)
 58
với
 Z l
 T
 muu = Nu ρ(x)A(x)Nwdx
 0
 Z l
 T
 mww = Nw ρ(x)A(x)Nwdx (3.50)
 0
 Z l
 T
 mθθ = Nw;x ρ(x)I(x)Nw;xdx
 0
 Dưới sự hộ trủ cừa phƯn mãm Maple, cĂc ma trên độ cựng, ma trên
khối lượng cho mởt phƯn tỷ dƯm Bernoulli cú cơ tẵnh bián đổi theo chiãu
cao và cơ tẵnh bián đổi dọc, được tẵnh trong cĂc phụ lục C, D. Ngoài ra,
ma trên đở cựng và ma trên khối lưủng cho dƯm cú cơ tẵnh bián đổi theo
chiãu cao và mặt cưt ngang khụng thay đổi, hàm dÔng dựng để thiát lêp
ma trên là cĂc hàm dÔng cho dƯm FGM cũng được trẳnh bày, trong cĂc
phụ lục G, H.
3.5. Vec-tơ lực nỳt
GiÊ sỷ trản phƯn tỷ cú ne lực di động P1;P2:::PNe như minh họa trản Hẳnh
3.1. Với cĂc hàm nởi suy (3.3) ta cú thº viát thá nông cừa cĂc lực này dưới
dÔng
  

 Ve = − P1Nwjx1 + P2Nwjx2 + ::: + Pne Nwjxne d (3.51)
 T
trong đú Nwjxi (i = 1::ne) là giĂ trị cừa ma trên cĂc hàm dÔng cừa chuyºn
vị ngang đỏnh giĂ tÔi vị trẵ cừa lực Pi, tực là ma trên Nw được đỏnh giĂ
với x = xi là hoành độ cừa cĂc lực Pi tẵnh nỳt trĂi phƯn tỷ. Phương trẳnh
(3.51) cú thº viát dưới dÔng:
 V = −f T d (3.52)
với
 T
 f = fNi Qi Mi Nj Qj Mjg (3.53)
 59
là vec-tơ lực nỳt phƯn tỷ với cĂc thành phƯn tÔi cĂc nỳt i và j như sau
 Ni = Nj = 0
 Qi = P1Nw2 jx1 + P2Nw2 jx2 + ::: + ::: + Pne Nw2 jxe
 Mi = P1Nw3 jx1 + P2Nw2 jx2 + ::: + ::: + Pne Nw3 jxe (3.54)
 Qj = P1Nw5 jx1 + P2Nw5 jx2 + ::: + ::: + Pne Nw5 jxe
 Mi = P1Nw6 jx1 + P2Nw6 jx2 + ::: + ::: + Pne Nw6 jxe
Như vêy, cĂc phương trẳnh (3.53) và (3.54) hoàn toàn xĂc định vec-tơ lực
nỳt fe náu ta xĂc định được vị trẵ hiằn tÔi cừa cĂc lực di động trản phƯn
tỷ.
3.6. Phương trẳnh phƯn tỷ hỳu hÔn
CĂc ma trên độ cựng, ma trên khối lượng và vec-tơ tÊi trọng nỳt thiát lêp
trong mục 3.2 và mục 3.3, 3.5 được nối gh²p để tÔo thành cĂc ma trên độ
cựng, ma trên khối lượng và vec-tơ tÊi trọng nỳt tờng thº cho dƯm. Bỏ
qua Ênh hưởng nhớt cừa vêt liằu dƯm, phương trẳnh chuyºn động cho dƯm
theo ngụn ngỳ phƯn tỷ hỳu hÔn cú thº viát dưới dÔng [28]
 MDă + KD = F (3.55)
trong đú
 nELE nELE
 X X ă
 D = fdge ; Dă = fdge (3.56)
 e=1 e=1
tương ựng là cĂc vec-tơ chuyºn vị và gia tốc tờng thº tÔi cĂc điểm nỳt cừa
dƯm,
 nELE nELE nELE
 X X X
 K = fkge ; M = fmge ; F = ffge (3.57)
 e=1 e=1 e=1
tương ựng là cĂc ma trên độ cựng, ma trên khối lượng và vec-tơ tÊi trọng
nỳt tờng thº. Trong cĂc phương trẳnh (3.56) và (3.57), nELE là tờng số
 PnELE
phƯn tỷ dƯm được rời rÔc và ký hiằu e=1 được hiºu theo nghĩa gh²p
nối cĂc ma trên và vec-tơ lực nỳt phƯn tỷ thành cĂc ma trên độ cựng, ma
trên khối lượng và vec-tơ lực nỳt tờng thº theo phương phĂp chuân cừa lý
 60
thuyát phƯn tỷ hỳu hÔn. Luên Ăn này ch¿ nghiản cựu bài toĂn tuyán tẵnh,
vẳ thá cĂc ma trên K và M là cĂc ma trên khụng đổi.
 Cựng với cĂc điều kiằn biản cho dƯm nảu trong Chương 2, để tÔo thành
bài toĂn hoàn ch¿nh, ta cƯn đưa vào cĂc điều kiằn ban đầu (tÔi t = 0).
PhƯn lớn cĂc bài toĂn trong thực tá thường cú điãu kiằn ban đầu dứng,
tực là chuyºn vị và vên tốc tÔi thời điểm ban đầu bơng khụng
 Djt=0 = D_ jt=0 = 0 (3.58)
Hằ cĂc phương trẳnh đạo hàm riảng (3.55) cựng với điều kiằn ban đầu
(3.58) tÔo thành bài toĂn giĂ trị ban đầu. Viằc giÊi phương trẳnh (3.55)
để nhên được cĂc chuyºn vị, vên tốc và gia tốc tÔi nỳt dƯm theo thời gian
được biát tới trong lĩnh vực đởng lực học kát cĐu dưới tản gọi phƠn tẵch
lịch sử-thời gian 13. Cú nhiãu phương phĂp khĂc nhau để giÊi phương trẳnh
(3.55), trong đú phương phĂp modal (cỏn gọi là phương phĂp chồng chĐt
mode) và phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp Newmark là cĂc phương phĂp
thường được sỷ dụng nhiãu hơn cÊ.
3.7. Thuêt toĂn số
3.7.1. Họ phương phĂp Newmark
Trong phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp (cỏn gọi là phương phĂp tứng
bước 14) xĐp x¿ sai phƠn hỳu hÔn được dựng để thay thá cho cĂc đạo hàm
riảng trong phương trẳnh (3.55), tực là thay thá D_ và Dă bơng sai phƠn cừa
chuyºn vị nỳt D tÔi mởt số thời điểm khĂc nhau. Cú nhiãu phương phĂp
tẵch phƠn trực tiáp khĂc nhau và viằc lựa chọn chỳng phụ thuởc vào bài
toĂn cũng như kinh nghiằm cừa người phƠn tẵch.
 í tưởng cừa phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp là chia tờng thời gian ∆T
ra thành cĂc phƯn nhỏ, gọi là bước thời gian. Phương trẳnh chuyºn động
(3.55) được viát tÔi mởt thời điểm cú dÔng sau
 MDă i + KDi = Fi (3.59)
 13Time-history analysis
 14Step-by-step method
 61
trong đú ch¿ số dưới i dựng để ch¿ thời điểm i∆t với ∆t là bước thời gian.
XuĐt phĂt tứ thời điểm ban đầu i = 0 (với cĂc chuyºn vị và vên tốc ban
đầu đó biát) ta s³ xĂc định được chuyºn vị, vên tốc và gia tốc nỳt tÔi thời
điểm tiáp theo (i + 1)∆t. Têp hủp cĂc giĂ trị cừa chuyºn vị, vên tốc và gia
tốc tÔi tĐt cÊ cĂc điểm thời gian cho ta bực tranh đỏp ựng động lực học
kát cĐu cừa dƯm theo thời gian.
 Phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp được chia làm hai nhúm: phương
phĂp tẵch phƠn trực tiáp hiằn và phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp ân.
Trong phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp hiằn, vec-tơ chuyºn vị nỳt tÔi thời
điểm mới (i + 1)∆t được xĂc định hoàn toàn qua cĂc thụng tin đó biát ở
cĂc thời điểm trước đú, tực là chuyºn vị, vên tốc và gia tốc tÔi cĂc thời
điểm i∆t, (i − 1)∆t....
 Di+1 = f(D_ i; D_ i; Dă i; Di−1; D_ i−1; Dă i−1:::) (3.60)
Chuyºn vị tÔi thời điểm mới (i + 1)∆t trong phương phĂp tẵch phƠn trực
tiáp ân khụng ch¿ được xĂc định qua chuyºn vị, vên tốc và gia tốc ở cĂc
thời điểm trước đú mà cỏn qua vên tốc và gia tốc tÔi chẵnh thời điểm hiằn
tÔi
 Di+1 = f(D_ i+1; Dă i+1; Di; D_ i; Dă i) (3.61)
Bởi vẳ cĂc vec-tơ vên tốc nỳt D_ i+1 và gia tốc Dă i+1 trong phương trẳnh
(3.61) là cĂc đại lượng chưa biát, vẳ thá trong nhiãu trường hủp thuêt toĂn
lặp cƯn được sỷ dụng trong phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp ân [39].
 CĂc phương phĂp tẵch phƠn trực tiáp khĂc nhau được biát tới trong lĩnh
vực động lực học kát cĐu dưới tản gọi ‘họ cĂc phương phĂp Newmark' 15.
CĂc vec-tơ chuyºn vị nỳt và vên tốc nỳt thời điểm mới (i + 1)∆t trong họ
cĂc phương phĂp Newmark cú thº viát dưới dÔng tờng quĂt như sau [28,39]
 ∆t2 h i
 Di+1 = Di + ∆tD_ i + (1 − 2β) Dă i + 2βDă i+1
 2 (3.62)
 h i
 D_ i+1 = D_ i + ∆t (1 − γ) Dă i + γDă i+1
Trong đú β và γ là cĂc hơng số được lựa chọn để kiºm soĂt tẵnh hởi tụ và
độ chẵnh xĂc cừa lời giÊi số. GiĂ trị cừa β và γ cho mởt số phương phĂp
tẵch phƠn trực tiáp thụng dụng dựng trong động lực học kát cĐu như sau
 15Newmark family of methods
 62
 1
 • Phương phĂp sai phƠn trung tƠm: β = 0, γ = 2
 1 1
 • Phương phĂp gia tốc tuyán tẵnh: β = 6, γ = 2
 1 1
 • Phương phĂp gia tốc trung bẳnh: β = 4, γ = 2
 1 1
 • Phương phĂp Fox-Goodwin: β = 12, γ = 2
 Như nhên thĐy tứ phương trẳnh (3.62), với β = 0 phương phĂp tẵch
phƠn trực tiáp là phương phĂp hiằn. Ngược lÔi, náu β > 0 phương phĂp
tẵch phƠn trực tiáp ân. Mởt đặc tẵnh quan trọng trong viằc lựa chọn phương
phĂp tẵch phƠn trực tiáp đú là tẵnh ờn định cừa phương phĂp trản quan
điểm số. Người ta đó chựng minh được rơng, phương phĂp s³ là ờn định
khụng điều kiằn náu cĂc hơng số β và γ thỏa mÂn điều kiằn [28]
 1
 2β ≥ γ ≥ (3.63)
 2
Như vêy trong bốn phương phĂp nảu trản ch¿ cú phương phĂp gia tốc
trung bẳnh là thỏa mÂn điều kiằn (3.63) và vẳ thá nú là phương phĂp ờn
định khụng điều kiằn. CĂc phương phĂp cỏn lÔi là phương phĂp ờn định
cú điều kiằn, trong đú bước thời gian ∆t cƯn chịu cĂc ràng buởc cụ thº
tựy theo phương phĂp lựa chọn. Phương phĂp gia tốc trung bẳnh được sỷ
dụng trong luên Ăn này để tẵnh toĂn vec-tơ chuyºn vị, vec-tơ vên tốc và
vec-tơ gia tốc tÔi cĂc nỳt. Vẳ là phương phĂp ờn định khụng điều kiằn cho
nản yảu cƯu duy nhĐt cừa phương phĂp gia tốc trung bẳnh là tẵnh chẵnh
xĂc cừa lời giÊi số.
3.7.2. Phương phĂp gia tốc trung bẳnh
Trản quan điểm toĂn học, vec-tơ chuyºn vị và vên tốc tÔi cĂc điểm nỳt
trong phương phĂp gia tốc trung bẳnh cú thº nhên được tứ khai triºn
Taylor cừa vec-tơ chuyºn vị nỳt quanh thời điểm i∆t và (i + 1)∆t. Cụ thº
 ∆t2
 Di+1 = Di + ∆tD_ i + Dă i
 2 (3.64)
 ∆t2
 D = D − ∆tD_ + Dă
 i i+1 i+1 2 i+1
 63
Cởng và trứ cĂc phương trẳnh trong (3.64) cho nhau và bỏ qua cĂc số hÔng
b² bêc cao ta nhên được
 ∆t
 Di+1 = Di + (D_ i + D_ i+1)
 2 (3.65)
 ∆t
 D_ = D_ + (Dă + Dă )
 i+1 i 2 i i+1
Tứ phương trẳnh (3.65) ta cũng cú thº giÊi để tẵnh cĂc vec-tơ vên tốc và
gia tốc nỳt tÔi thời điểm (i + 1)∆t như sau
 2
 D_ i+1 = (Di+1 − Di) − D_ i
 ∆t (3.66)
 4 4
 Dă = (D − D ) − D_ − Dă
 i+1 ∆t2 i+1 i ∆t i i
Kát hủp phương trẳnh (3.66) với phương trẳnh chuyºn động viát tÔi thời
điểm (i + 1)∆t
 MDă i+1 + KDi+1 = Fi+1 (3.67)
ta nhên được phương trẳnh để xĂc định vec-tơ chuyºn vị nỳt tÔi thời điểm
mới (i + 1)∆t như sau
 ef ef
 K Di+1 = Fi+1 (3.68)
Trong đú Kef và Fef tương ựng là cĂc ma trên độ cựng và vec-tơ lực nỳt
hỳu hiằu 16 với biºu thực cụ thº như sau
 4
 Kef = M + K
 ∆t2
  4 4  (3.69)
 Fef = F + M D + D_ + Dă
 i+1 i+1 ∆t2 i ∆t i i
Như vêy cĂc phương trẳnh (3.66), (3.68) và (3.69) cho ph²p ta hoàn toàn
xĂc định được cĂc vec-tơ chuyºn vị, vên tốc và gia tốc tÔi thời điểm mới
(i + 1)∆t .
3.7.3. VĐn đề mặt cưt ngang thay đổi
Shabah và cởng sự [90] ch¿ ra rơng sỷ dụng dÔng hẳnh học thực cừa mặt
cưt ngang dƯm hẳnh nảm để tẵnh ma trên đở cựng và ma trên khối lượng
giỳp cÊi thiằn đỏng kº sự hởi tụ cừa phƯn tỷ dƯm FGM. Dựa trản ý tưởng
 16effective stiffness matrix and effective load vector
 64
này, Luên Ăn sỷ dụng cụng thực toĂn học mụ tÊ sự thay đổi mặt cưt ngang
dƯm theo phương trẳnh (2.7) trong viằc tẵnh toĂn cĂc ma trên độ cựng và
ma trên khối lượng phƯn tỷ. Trong luên Ăn này, cĂc ma trên độ cựng và
ma trên khối lượng được tẵnh chẵnh xĂc, tực là thực hiằn ph²p tẵnh tẵch
phƠn trong cĂc phương trẳnh (3.23), (3.44), (3.43) và (3.29), (3.48), (3.32).
 Với dƯm cú cơ tẵnh bián đổi theo chiãu cao cĂc hằ số đàn hồi khụng
phụ thuởc vào bián x nản viằc tẵnh tẵch phƠn trong cĂc cụng thực cừa ma
trên độ cựng và ma trên khối lượng khụng quĂ khú khôn. Tuy nhiản trong
trường hủp dƯm cú cơ tẵnh bián đổi dọc, mụ-đun đàn hồi, mụ-đun trượt và
mêt đở khối là hàm số cừa x, viằc tẵnh cĂc tẵch phƠn trong cĂc biºu thực
ma trên độ cựng, ma trên khối lượng phƯn tỷ gặp rĐt nhiãu khú khôn, đặc
biằt trong trường hủp ch¿ số mũ n < 1. PhƯn mãm Maple [79] được sỷ
dụng để trủ giỳp viằc tẵnh toĂn cĂc tẵch phƠn này.
 Mởt trong nhỳng khú khôn trong viằc sỷ dụng phƯn mãm Maple để
tẵnh cĂc ma trên độ cựng và ma trên khối lưủng là viằc xỷ lý biºu thực giĂ
trị tuyằt đối trong biºu thực toĂn học mụ tÊ sự thay đổi mặt cưt ngang
loÔi A theo cụng thực
   x 1   x 1
 A(x) = A 1 − α −  ;I(x) = I 1 − α −  (3.70)
 0 L 2 0 L 2
Maple khụng hiºu dĐu giĂ trị tuyằt đối và vẳ thá khụng thº thực hiằn viằc
tẵnh cĂc tẵch phƠn tẵnh cụng thực phƯn tỷ. Để vượt qua khú khôn này,
Luên Ăn đưa vào tham số `sALP' dựng để ch¿ dĐu cừa α, tực là nú được
định nghĩa như sau
 (
 α náu 0 ≤ x ≤ L
 sALP = 2 (3.71)
 L
 −α náu 2 ≤ x ≤ L
Sỷ dụng phương trẳnh (3.71), ta cú thº viát lÔi biºu thực cho diằn tẵch và
mụ-men quĂn tẵnh mặt cưt ngang cừa dƯm loÔi A dưới dÔng:
   x 1
 A(x) = A 1 − sALP −
 0 L 2
 (3.72)
   x 1
 I(x) = I 1 − sALP −
 0 L 2
PhƯn mãm Maple xem sALP trong phương trẳnh (3.72) như là mởt hơng
số, vẳ thá viằc tẵnh tẵch phƠn được thực hiằn như bẳnh thường. Viằc xĂc
 65
định giĂ trị cừa sALP trong trương trẳnh số cú thº thực hiằn dạ dàng nhờ
viằc kiºm soĂt tọa độ nỳt trĂi cừa phƯn tỷ so với đầu trĂi dƯm.
3.7.4. Thuêt toĂn cho vec-tơ lực nỳt
Vec-tơ lực nỳt F trong phương trẳnh (3.57) nhên được bơng cĂch nối gh²p
vec-tơ lực nỳt phƯn tỷ fe trong Mục 3.5 gồm cĂc số hÔng bơng khụng ngoÔi
trứ cĂc số hÔng liản quan tới phƯn tỷ trản đú cú lực di động, tực là
 n oT
 F = 0 0 0::: P NT j 0:::0 P NT j 0:::0 P NT j 0:::0 0 0 (3.73)
 Nf w xNf i w xi 1 w x1
trong đú x1; :::xi; ::: xNf tương ựng là hoành đở cừa cĂc lực P1; :::Pi; :::; PNf
tẵnh tứ nỳt trĂi cừa phƯn tỷ trản đú cú cĂc lực này. Như vêy, để xĂc định
vec-tơ F ta cƯn biát cĂc hoành đở x1; ::::; xNi ; ::: xNf . CĂc hoành độ này dạ
dàng xĂc định được khi biát quÂng đường mà cĂc lực di động đi được kº
tứ khi nú tián vào nỳt trĂi dƯm tới thời điểm hiằn tÔi.
 GiÊ sỷ s1 là khoÊng cĂch hiằn tÔi tứ lực P1 tới đầu trĂi cừa dƯm. Thuêt
toĂn để tẵnh vec-tơ lực nỳt tờng thº F cho dƯm được chia thành cĂc phƯn
tỷ cú cựng độ dài, chịu Nf lực di động cĂch đều nhau mởt khoÊng d gồm
cĂc bước sau:
 1. Loop số lượng cĂc lực di động: for i=1:Nf.
 2. Tẵnh quÂng đường si mà lực Pi đó đi được tẵnh tứ đầu trĂi dƯm:
 si=s1-d(i-1).
 3. XĂc định số thự tự cừa phƯn tỷ trản đú lực Pi đang tĂc động, ch¯ng
 hÔn bơng cĂch lĐy phƯn nguyản cừa tỷ số si=l, trong đú l là chiãu dài
 phƯn tỷ. Với Matlab ta cú thº dựng lằnh `fix' để lĐy phƯn nguyản:
 ni=fix(si/l). Số thự tự phƯn tỷ trản đú cú chựa lực Pi s³ là ni+1.
 4. XĂc định hoành độ cừa lực Pi so với nỳt trĂi cừa phƯn tỷ ni+1:
 x=si-nil.
 5. Đỏnh giĂ ma trên cĂc hàm dÔng Nw tÔi hoành độ x nhên được tứ bước
 3.
 T
 6. Tẵnh toĂn vec-tơ lực nỳt cho phƯn tỷ này: f = PiNw.
 66
 7. Nối gh²p vec-tơ f vào vec-tơ lực nỳt tờng thº.
3.8. Quy trẳnh tẵnh toĂn
Để giÊi bài toĂn giĂ trị ban đầu, bơng phương phĂp gia tốc trung bẳnh,
ngoài cĂc điều kiằn vã hẳnh học, vêt liằu dƯm, cĂc thụng số vã lực di động
cƯn đưa vào cĂc giĂ trị ban đầu là cĂc vec-tơ chuyºn vị nỳt D và vên tốc
nỳt D_ tÔi thời điểm ban đầu t = 0. Gia tốc Dă tÔi thời điểm ban đầu t = 0
là đÔi lượng chưa biát nhưng cú thº tẵnh được tứ phương trẳnh chuyºn động
viát tÔi thời điểm t = 0
 MDă 0 + KD0 = F0
 −1 (3.74)
 vẳ thá Dă 0 = (M) (F0 − KD0)
 Sơ đồ khối để tẵnh toĂn đĂp ựng động lực học cừa dƯm FGM chịu cĂc
lực di động theo phương phĂp gia tốc trung bẳnh được minh họa trản Hẳnh
3.2. Trản Hẳnh, `nSTEP' là tờng số bước dựng trong thuêt toĂn Newmark;
D, D_ , Dă là cĂc vec-tơ chuyºn vị, vên tốc và gia tốc nỳt tÔi thời điểm mới
(i + 1)∆t; D0, D_ 0, Dă 0 là cĂc vec-tơ chuyºn vị, vên tốc và gia tốc nỳt tÔi
thời điểm cũ i∆t. PhƯn chẵnh cừa chương trẳnh tẵnh toĂn trản Hẳnh 3.2 là
loop trản số bước cừa thuêt toĂn Newmark, trong đú vị trẵ hiằn tÔi cừa
cĂc lực di động và vec-tơ tÊi trọng nỳt được tẵnh ở mội bước thời gian. CĂc
giĂ trị cừa vec-tơ chuyºn dịch, vên tốc và gia tốc mới được gĂn thành cĂc
vec-tơ chuyºn dịch, vên tốc và gia tốc cũ ở đầu vỏng lặp bơng cĂc lằnh:
D0 = D, D_ 0 = D_ , Dă 0 = Dă .
3.9. Kát luên chương 3
Mởt số kát luên cừa chương 3 cú thº túm lược như sau:
 1. XƠy dựng được cĂc hàm dÔng cho dƯm Timoshenko FGM và dƯm
 Bernoulli FGM cú mặt cưt ngang khụng đổi
 2. XƠy dựng được biºu thực cho ma trên độ cựng và ma trên khối lượng
 cho dƯm cú cơ tẵnh bián đổi theo chiãu cao và cơ tẵnh bián đổi dọc.
 67
 3. Viằc xỷ lý dƯm cú mặt cưt ngang thay đổi theo chiãu rởng cừa dƯm
 FGM cú cơ tẵnh bián đổi bơng giÊi tẵch rĐt phực tÔp nhưng với phƯn
 mãm Maple đó giỳp tĂc giÊm nhẹ bớt sự phực tÔp trong phƯn xỷ lý
 mặt cưt ngang dƯm bián đời.
 4. Dưới sự hộ trủ cừa phƯn mãm Maple và Matlab thẳ viằc xỷ lý vec tơ
 lực nỳt cho mởt phƯn tỷ và cho toàn bở dƯm cũng như viằc tẵnh toĂn
 đỏp ựng động lực học cho dƯm trở lản nhẹ nhàng hơn.
 CĂc hàm dÔng xƠy dựng ở Mục 3:1:1 đó được sỷ dụng để thiát lêp
cĂc biºu thực cho ma trên độ cựng, ma trên khối lượng và vec-tơ lực nỳt
trong cĂc bài bĂo 3, 5 (danh mục cụng trẳnh nghiản cựu cừa tĂc giÊ). Cụng
thực phƯn tỷ xƠy dựng trong Mục 3:2:2 và 3:3:2 được đăng trản bài bĂo
số 1 (danh mục cụng trẳnh nghiản cựu cừa tĂc giÊ). Ma trên độ cựng, ma
trên khối lượng xƠy dựng trong Mục 3:4:2 và 3:4:3 tÔo thành phƯn cơ sở
lý thuyát cho bài bĂo số 2 (danh mục cụng trẳnh nghiản cựu cừa tĂc giÊ).
Thuêt toĂn số trẳnh bày trong Mục 3:7 được sỷ dụng tẵnh toĂn đỏp ựng
động lực học cừa dƯm trong tĐt cÊ cĂc bài bĂo liằt kả trong danh mục cụng
trẳnh nghiản cựu cừa tĂc giÊ.
 68
 Bắt đầu 
 Đầu vào 
 Tớnh toỏn: Aij, Iij 
 Tớnh k, m 
 nELE nELE
 Thiết lập K = k , M = m (3.57) 
  e  e
 e=1 e=1
 i = 0, nSTEP 
 .
 D = 0, D = 0
 0 0
 ..
 -1
 D0 =M.. (F0 - K D 0 )
 i = i+1 
 . . .. ..
 D0 = D, D0 = D, D 0 D 
 Tớnh: si , Fi 
 ef ef 
 Thiết lập: K,R i+1 (3.69)
 ef ef
 Giải PT: K .Di+1 = R i+1 (3.68) 
 ...
 D,Di + 1 i + 1 ( 3 . 6 6 ) 
 Đỳng i < nSTEP 
 Hiển thị kết quả, tớnh toỏn ứng suất 
 Kết Thỳc 
Hẳnh 3.2: Sơ đồ thuêt toĂn
 Chương 4
 KẾT QUẢ Sẩ VÀ THẢO LUẬN
4.1. Tham số hẳnh học và vêt liằu
NgoÔi trứ cĂc trường hủp núi riảng, cĂc tẵnh toĂn trong chương này được
thực hiằn cho dƯm FGM được tÔo tứ th²p khụng g¿ SUS304 và ụxit nhụm
Al2O3. Để nghiản cựu Ênh hưởng cừa bián dÔng trượt, Luên Ăn tián hành
tẵnh toĂn cho hai giĂ trị khĂc nhau cừa tỷ lằ giỳa chiãu dài và chiãu cao
dƯm L=h = 20 m và L=h = 5 m, b = 0:5 m. Tham số cho cĂc vêt liằu
thành phƯn cừa FGM như sau
 3
 • SUS304 (pha kim loÔi): Em = 210 GPa, ρ = 7800 kg/m , νm = 0:3.
 3
 • Al2O3 (pha gốm): Ec = 390 GPa, ρ = 3960 kg/m , νc = 0:3.
 Lưu ý rơng cĂc tham số vêt liằu nảu trản được lĐy tứ tài liằu [96] hơi
khĂc với cĂc số liằu trong BÊng 1.1. Ứng xỷ động lực học cừa dƯm FGM
dưới tĂc dụng cừa lực di đởng chịu Ênh hưởng cừa nhiãu yáu tố khĂc nhau
như tỷ lằ thº tẵch cừa cĂc vêt liằu thành phƯn, tham số hẳnh học tiát diằn
dƯm, tham số cừa lực di động (vên tốc lực, tƯn số lực kẵch động, khoÊng
cĂch giỳa cĂc lực). DƯm liản tục, do Ênh hưởng tương hộ giỳa cĂc nhịp
nản ựng xỷ động lực học cừa nú cũng khĂc với dƯm mởt nhịp và cƯn được
khÊo sĂt riảng. Thảm vào đú, chuyºn động tông tốc, hay giÊm tốc cừa lực
di động cũng Ênh hưởng đĂng kº tới đỏp ựng động lực học cừa dƯm [9].
CĂc yáu tố này s³ được xem x²t và đỏnh giĂ trong chương này.
 Để kát qừa số cú tẵnh tờng quĂt, tương tự như với dƯm làm tứ vêt liằu
thuƯn nhĐt [36, 85], ta đưa vào cĂc tham số khụng thự nguyản đặc trưng
cho độ vóng lớn nhĐt tÔi giỳa dƯm và tham số tốc độ cừa lực di động như
 69
 70
sau
 w(L=2; t)
 fD = max
 w0
 πv (4.1)
 fv = 0
 !1L
 17
Trong biºu thực (4.1), tham số fD tương tự như hằ số động lực học trong
bài toĂn tÊi trọng di động cừa dƯm cú mặt cưt ngang khụng đời [36, 85].
 18
Trong Luên Ăn này, tham số fD được gọi là tham số độ vóng động lực học
hoặc ngưn gọn hơn là tham số độ vóng; w(L=2; t) là đở vóng động tÔi giỳa
dƯm và
 PL3
 w0 = (4.2)
 48EmI0
là độ vóng tĩnh tÔi giỳa dƯm th²p cú mặt cưt ngang khụng đời I0, chịu tĂc
dụng cừa lực P đặt tÔi giỳa dƯm. Trong cụng thực (4.2), Em là mụ đun
đàn hồi cừa vêt liằu th²p, I0 là mụ men quĂn tẵnh bêc hai cừa mặt cưt
ngang tÔi giỳa dƯm. Ngoài ra, trong (4.1), v là vên tốc cừa lực di động, và
 2 s
 0 π EmI0
 !1 = 2 (4.3)
 L ρmA0
là tƯn số dao động riảng cơ bÊn cừa dƯm th²p cú mặt cưt ngang khụng đổi
A0, mụ-men quĂn tẵnh I0 và mêt độ khối ρm.
4.2. Kiºm nghiằm phƯn tỷ và chương trẳnh số
Để đảm bÊo tẵnh chẵnh xĂc cừa cĂc phƯn tỷ phĂt triºn trong Chương 3
và chương trẳnh số xƠy dựng trản thuêt toĂn tẵch phƠn trực tiáp Newmark
mụ tÊ ở Chương 3, trước khi tián hành phƠn tẵch cĂc bài toĂn cụ thº cƯn
tián hành so sĂnh mởt số kát quÊ số nhên được tứ phƯn tỷ và thuêt toĂn
phĂt triºn trong Luên Ăn với cĂc kát quÊ đó cụng bố.
4.2.1. TƯn số dao động riảng
Sự hởi tụ cừa phƯn tỷ dƯm Euler-Bernoulli cú cơ tẵnh bián đổi theo chiãu
cao được minh họa trong BÊng 4.1. Trong BÊng 4.1, nELE ký hiằu cho số
 17Dynamic magnification factor
 18Dynamic defection parameter
 71
BÊng 4.1: Sự hởi tụ cừa tham số tƯn