Luận án Phân tích tĩnh và dao động riêng của vỏ thoải composite lớp có gân gia cường

ồng nhất của 
các véc tơ này cho các phần tử kề nhau có chung nút i trên các vỏ trơn. Điều 
này định nghĩa các góc xoay tại nút là duy nhất và tránh phải chuyển đổi tổng 
thể cho các góc xoay khi ghép nối. 
 Các véc tơ đơn vị tương ứng của 1iV
, 2 iV
 và 3iV
 lần lượt là 1iv
, 2iv
 và 3iv
. 
c) Hệ trục tọa độ cong , ,   
 Hệ tọa độ cong , ,   (hình 3.2) với trục  theo phương chiều dày của 
vỏ.  nhận giá trị +1 và -1 tương ứng với mặt trên và mặt dưới, và nhận giá trị 
bằng 0 tại mặt trung bình của vỏ; ,  là hai trục cong trong hệ tọa độ cong 
biểu diễn bề mặt của phần tử. 
 , i , j , kx y z      x
 (3.8) 
Phương của trục  theo phương từ nút 8 đến nút 6. Phương của trục  
theo phương từ nút 5 đến nút 7 (hình 3.1). 
78 
Trong hệ trục tọa độ này, tọa độ điểm theo chiều dày được tính: 
 0
2
t
z   (3.9) 
 Trong đó, t là chiều dày vỏ, 0 : giá trị của  tại mặt tham chiếu ( 0 0 
nếu mặt tham chiếu trùng với mặt trung bình). Nếu chiều dày vỏ không đổi thì 
trục  trùng với chiều trục địa phương z’ của phần tử, khi đó 'z z . 
d) Hệ trục tọa độ địa phương x’,y’,z’ 
Hệ tọa độ địa phương x’,y’,z’ là hệ tọa độ riêng và được xác định qua 
các nút của mỗi phần tử. Trong hệ tọa độ này, ta xác định được biến dạng và 
ứng suất riêng của từng phần tử. Phương z’ vuông góc với mặt phần tử. Các 
véc tơ chỉ phương đơn vị theo các phương x’,y’,z’ tương ứng là , , l m n
  
. 
'
, ,
r r
z
 
     
  
  
  
  (3.10) 
trong đó , ,
T
r x y z là tọa độ điểm thuộc vỏ. Véc tơ đơn vị được tính 
như sau: 
1
'
'
n z
z
 (3.11) 
Trục x’ theo phương của trục  , do đó 
 ' , ,
T
r x y z
x
   
   
    
     (3.12) 
Véc tơ đơn vị 
1
x'
x'
l 
Véc tơ đơn vị theo phương y’ là véc tơ vuông góc với 2 véc tơ đơn vị l
và n
: m n l 
 
79 
3.4.2. Trường chuyển vị 
Vị trí của điểm bất kỳ thuộc phần tử được tính thông qua nội suy đẳng 
tham số như sau: 
i in
i i i
i
i itop bottom
x x x
y N y y
z z z
1
1 1
,
2 2
z z
x h
        
    
 (3.13) 
Trong đó: 
 - ,iN   là hàm dạng 2D của phần tử đẳng tham số của nút thứ i. 
 - z là tọa độ của điểm đang xét theo phương chiều dày. 
 - n=8 là số nút của phần tử. 
Biểu thức trên có thể viết lại dưới dạng véc tơ nối điểm ở mặt dưới và 
mặt trên của vỏ như sau: 
i i i i
i i i i i
i
i i i i
top bottom top
x x x x x
y N y y y y
z z z z z
8
1
1
,
2 2
z
x h
           
     

bottom
     
   
 (3.14) 
hoặc 
i
i i i
i
i
x x
y N y V
z z
8
3
1
,
2
z
x h
      
   
 (3.15) 
với 
i i i
i i i
i i i
top bottom
x x x
y y y
z z z
1
2
        
     
và 
i i
i i i
i i
top bottom
x x
V y y
z z
3
    
  
 (3.16) 
Đối với chiều dày bé, véc tơ tại nút dọc theo hướng chiều dày 3iV
 
 có 
thể được biểu diễn thông qua véc tơ đơn vị 
i3
n
: 
80 
i
i i i i
i
i
x x
y N y h
z z
8
3
1
,
2
z
x h n
      
   
 (3.17) 
Hình 3.5. Hệ trục tọa độ tổng thể và địa phương phần tử 
Với, hi là chiều dày vỏ tại nút thứ i. Tương tự như vậy, chuyển vị tại 
điểm bất kỳ thuộc phần tử vỏ có thể được biểu diễn qua ba thành phần chuyển 
vị (ui, vi, wi) và hai thành phần góc xoay (xi, yi) tại các nút ở mặt trung bình 
như sau: 
i i i
xi
i i i i i
yii
i i i
u u l l
v N v h m m
w w n n
1 28
1 2
1
1 2
,
2
fz
x h
f 
           
 (3.18) 
i xi i yii
i i i i xi i yi
i
i i xi i yi
l lu u
v N v h m m
w w n n
1 2
8
1 2
1
1 2
,
2
f f
z
x h f f
f f
       
    

(3.19) 
Trong đó, (xi, yi) là các góc xoay quanh 2 trục đơn vị v1i và v2i (là hệ 
trục trực giao và có pháp tuyến là véc tơ nút 3iV
 
). Các giá trị của véc tơ đơn vị 
v1i và v2i có thể được xác định như sau: 
   1 1 1 1 
T
i i i il m n ,   2 2 2 2 
T
i i i il m n (3.20) 
81 
Phương trình (3.19) có thể viết lại dưới dạng 
  
8
1
Ai Bi i
i
u
v N N q
w

 
 
 
 (3.21) 
với  , , ,Ti x y iq u v w,   (3.22) 
   
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 ,
0 0 1 0 0
Ai iN N  
 (3.23) 
   
1 2
1 2
1 2
0 0 0
0 0 0 ,
0 0 0
i i
Bi i i i
i i
l l
N m m N
n n
 
 (3.24) 
3.4.3. Trường biến dạng 
Với giả thiết bỏ qua biến dạng và ứng suất theo chiều dày (
z
' 0s ). 
Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ phần tử x’,y’,z’ được viết như sau: 
 
'
' '
' '
'
' '
' '
'
'
' '
' .....
......
..............
' '
' '
x
y
p
x y
s
y z
x z
u
x
v
y
u v
y x
v w
z y
w u
x z








 
 
 
  
   
    
  
  
   
  
   
 (3.25)
 Trong đó: u’, v’, w’ là các chuyển vị theo các phương của hệ tọa độ 
phần tử x’, y’, z’. 
82 
Quan hệ giữa trường chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử x’, y’, z’ và hệ 
tọa độ tổng thể x,y,z được thể hiện dưới dạng. 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
'
'
w ' w
u l m n u
v l m n v
l m n
 (3.26) 
Trong đó, 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,l l l m m m n n n là các cosin chỉ phương tương ứng 
với từng trục giữa hệ trục tọa độ tổng thể và hệ trục tọa độ phần tử. 
Ta có 1 1 1
' w
' ' ' '
u u v
l m n
x x x x
   
   
 (3.27) 
 1 1 1
' ' ' '
u u x u y u z u u u
l m n
x x x y x z x x y z
         
         
 (3.28) 
Tính tương tự như trên cho 
'
v
x


và 
w
'x


Thay vào phương trình (3.27) ta có: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
' w w w
'
u u u u v v v
l l m n m l m n n l m n
x x y z x y z x y z
          
          
 và viết lại dưới dạng ma trận: 
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
'
'
w
u
x
u
y
u
u
l l m l n m l m m n n l n m n z
x
v
x
z
 
 
 
 
 
   
 
 
 
  

 (3.29) 
83 
 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1'
x
y
z
xy
xz
yz
l m n l m n l m n







 (3.30) 
Biến đổi và biểu diễn tương tự cho các thành phần biến dạng khác, ta 
thu được ma trận chuyển đổi biến dạng [T] như sau: 
 
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 33 3 3
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 2
3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3
2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
l m n l m n l m n
l m n l m n l m n
l m n l m nl m n
T
l m l m n l n l m n m nl l m m n n
l l m m n n l m l m n l n l m n m n
l l m m n n l m l m n l n l m n m n



 
 (3.31) 
Do z=0 và do sắp xếp trường biến dạng như ở (3.25) ta có [T] như 
sau: 
 
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
l m n l m m n n l
l m n l m m n n l
T l l m m n n l m l m m n m n n l n l
l l m m n n l m l m m n m n n l n l
l l m m n n l m l m m n m n n l n l

 
 
 
 (3.32) 
Cuối cùng ta có: 
     
'
'
' '
' '
x'z'
'
'
'
' '
' '
' '
xx
yy
x yx y
y zy z
x z
u u
x x
v v
y y
u v u v
T T
y x y x
v w v w
z y z y
w u w u
x z x z
 


 


   
  
   
   
     
    
    
    
      
    
     
  T 

 

 (3.33) 
84 
Với [T] là ma trận chuyển đổi giữa hai hệ trục. 
3.4.4. Trường ứng suất 
Ứng suất của một điểm thuộc vỏ được viết trong hệ tọa độ x’, y’, z’ như 
sau: 
  
x
y
x y'
y z
x z
Q
'
'
'
' '
' '
' '
. . .
 
  
 



 


 (3.34) 
Trong đó Q là ma trận độ cứng vật liệu đã trình bày trong chương 2. 
3.4.5. Ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, véc tơ lực nút phần tử 
3.4.5.1. Ma trận tính biến dạng 
Chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử được tính thông qua 
chuyển vị của các nút phần tử và hàm dạng như sau: 
  
8
i
i 1
q N , q 
  (3.35) 
Trong đó:  0 0 0 x yq u , v ,w , ,  là véc tơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ, 
  i i i x i yiiq u , v ,w , ,  là véc tơ chuyển vị tại các nút của phần tử, 
 N ,  là ma trận các hàm dạng, được viết như sau: 
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
N 0 0 0 0 . . . N 0 0 0 0
0 N 0 0 0 . . . 0 N 0 0 0
N , 0 0 N 0 0 . . . 0 0 N 0 0
0 0 0 N 0 . . . 0 0 0 N 0
0 0 0 0 N . . . 0 0 0 0 N
 
85 
Cụ thể các hàm dạng của phần tử 8 nút: 
 1
1
N 1 1 1
4
    25
1
N 1 1
2
  
(3.36) 
 2
1
N 1 1 1
4
    26
1
N 1 1
2
  
 3
1
N 1 1 1
4
    7
1
N 1 1
2
  
 4
1
N 1 1 1
4
    28
1
N 1 1
2
  
Biến dạng tại một điểm của phần tử được biểu diễn qua chuyển vị nút. 
           
e e
u N q B q   (3.37) 
Trong đó     B N  được gọi là ma trận tính biến dạng. Theo quy tắc 
đạo hàm hàm hợp, ta có: 
i i i iN N N Nx y z
x y z   
     
      
Tương tự như vậy 
i i i iN N N Nx y z
x y z   
     
      
i i i iN N N Nx y z
x y z   
     
      
 Hay 
 
i i i
i i i
i i i
N x y z N N
x x
N x y z N N
J
y y
N x y z N N
z z
   
   
   
        
       
              
       
         
86 
Trong đó [J] là ma trận Jacobian của phép biến đổi toạ độ. Từ (3.37), 
thực hiện đạo hàm và thay vào biểu thức của ma trận Jacobian ta có:
 
8 8 8
3 3 3
1 1 1
8 8 8
3 3 3
1 1 1
8 8 8
3 3 3
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
  
  
  
  
   
   
   
   
  
  
  
i i i
i i i i i i i i i
i i i
i i i
i i i i i i i i i
i i i
i i i i i i i i i
i i i
N N N
x h l y h m z h n
N N N
J x h l y h m z h n
N h l N h m N h n
 (3.38) 
Nghịch đảo của [J] ta có: 
 
* * *
11 12 13
1 * * *
21 22 23
* * *
31 32 33
J J J
J J J J
J J J
 (3.39) 
Các thành phần đạo hàm của chuyển vị trong hệ tọa độ cong: 
   
8 8
2 2 2
1 1
w
w 1
2
i i
i
i i
i i i i xi i i i
i i
i i
i
N Nu v
h
N Nu v
u v w h l m n
u v w N N
h

   
 
    

    
       
     
    
        
     
       
  
 
8
1 1 1
1
1
2
i
i
i
i yi i i i
i
i
i
N
h
N
h l m n
N
h


 



  
  
 
 
 
 
 
 (3.40) 
Áp dụng ma trận Jacobian nghịch đảo ta tính được các đạo hàm của 
chuyển vị trong hệ tọa độ x, y, z như sau: 
87 
* * *
11 12 13
* * *
21 22 23
* * *
31 32 33
ww
w w
z
  
  
  
      
      
                  
      
u vu v
x x x J J J
u v u v
J J J
y y y
J J J
u v wu v w
z z
 (3.41) 
trong đó 
8
1
w
w
w
w
0 0 0
    
     
  
      
      
      
       
    
    

i i i
i i i
i i i
i i i
i
N N Nu v
u v
N N Nu v
u v
u v w
1 2 1 2 1 2
8
1 2 1 2 1 2
1
1 2 1 2 1 2
2
        
  
        
  
     
   
   
   
   

i i i
i xi i yi i xi i yi i xi i yi
i i i i
i xi i yi i i xi i yi i xi i yi
i
i i xi i yi i i xi i yi i i xi i yi
N N N
l l m m n n
h N N N
l l v m m n n
N l l N m m N n n
 (3.42) 
Thay các đại lượng từ công thức (3.42) vào công thức (3.41), sau đó 
thay vào (3.25) ta được ma trận tính biến dạng [Bi] như sau: 
 
1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
0 0
0 0
0
...
...... ... ................ .................
0
0
i i i i i
i i i i i
m
i i i i i i i i i i
i
s
i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
a d l d l
b e m e m
B
b a e l d m e l d m
B
B
c b g m e n g m e n
c a d n g l d n g l
 (3.43) 
với i 1 8  (từ nút 1 đến 8 của phần tử), trong đó các hệ số được xác 
định như sau: 
88 
* *
11 12
* *
21 22
* *
31 32


 
   
      
i
i
i
i
i
N
a J J
b J J
N
c J J
 và 
*
13
*
23
*
33
2
i i
i
i i i
i i
d a J
h
e b J N
g c J

   
   
   
 (3.44) 
Trong đó, , i i
N N
 
 
 
 là đạo hàm các hàm dạng theo  và  
3.4.5.2. Phương trình chuyển động của phần tử 
 Thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử 
  
e
T
e
V
1
U ' ' dV
2
  (3.45) 
Thay  Q' '  vào (3.45) ta được: 
  
e
T
e
V
1
U ' Q ' dV
2
  (3.46) 
Thay    ' T  vào (3.46) ta được: 
      
e
TT
e
V
1
U T Q T dV
2
  (3.47) 
Đặt      
T
D T Q T ta được: 
    
e e
T
T mm m
e
ss sV V
D1 1
U D dV dV
D2 2
 
 
 
   
   
  
 (3.48) 
Thay biến dạng từ phương trình (3.37) vào phương trình (3.48), ta có: 
    
T1 1 1
T m m m
e e e
s s s1 1 1
B D B1
U q de t J d d d q
B D B2
  
 (3.49) 
Viết dưới dạng thu gọn, ta có:  
m
T e
e se e
e
K1
U q q
2 K
 (3.50) 
89 
Trong đó:       
1 1 1
Tm
e m m m
1 1 1
K B D B det J d d d  
 (3.51a) 
được gọi là ma trận độ cứng màng của phần tử với 
   m m1 m2 m8B B B . . .B 
      
1 1 1
Ts
e s s s
1 1 1
K B D B det J d d d  
 (3.51b) 
được gọi là ma trận độ cứng cắt của phần tử với    s s1 s2 s8B B B . . .B 
 Động năng của phần tử 
e
2 2 2
e
V
1
T u v w dV
2
    (3.52) 
Trong đó là khối lượng riêng. 
Phương trình (3.21) có thể viết lại dưới dạng 
  A B e
u
v N N q
w

 
 
 
 (3.53) 
Với:    1 8...A A AN N N (3.54) 
    1 8...B B BN N N (3.55) 
Thay (3.48) vào (3.47) với  detdV J d d d   ta được 
        
1 1 1
TT
e A B A Be e
1 1 1
1
T q N N N N J q
2
det d d d     
   (3.56) 
Viết dưới dạng thu gọn, ta có:    
T
e e ee
1
T q M q
2
   (3.57) 
Trong đó ma trận khối lượng phần tử: 
90 
       
1 1 1
T
A B A Be
1 1 1
M N N N N Jde t d d d     
 (3.58) 
 Công của ngoại lực: 
Nếu px, py, pz là các lực phân bố tác dụng trên bề mặt có 1 , biểu 
thức công của ngoại lực có dạng sau: 
 
e e
x
e x y z yS S
z
p
W p u p v p w ds u v w p ds
p
 
 
 
 (3.59) 
Thay phương trình (3.53) vào (3.59) với 1 , ta được 
   
x1 1
TT
e A B ye
1 1
z
p
W q N N p G
p
d d 
 
 
 
 (3.60) 
Trong đó 11 12
21 22
J J
G det
J J
Viết dưới dạng thu gọn, ta có  
T
e e e
W q P (3.61) 
trong đó   
x1 1
T
A B ye
1 1
z
p
P N N p G
p
d d 
 
 
 
 (3.62) 
là véc tơ lực nút phần tử 
Thay các công thức tính thế năng biến dạng đàn hồi phần tử, động năng 
của phần tử và công của ngoại lực trên phần tử vào nguyên lý Hamilton 
2
1
t
t
U W T dt 0   và từ đây rút ra phương trình chuyển động của phần tử: 
      e e e e eM q K q P  (3.63) 
91 
Đối với vật liệu composite, chiều dày vỏ được chia ra thành từng lớp 
(xem hình 3.6), do đó để thực hiện tích phân trong trong công thức (3.51; 
3.58) ta thay biến  thành k , trong mỗi lớp thứ k, k chạy từ -1 ÷ +1. Việc 
đổi biến từ  thành k theo phương trình quan hệ sau: 
1
1
1 1 2
k
k k j
j
k
k
h h
h
h
d d
h
 
 

 (3.64) 
Hình 3.6. Tích phân theo các lớp vật liệu 
Trong đó hk là chiều dày của lớp thứ k. Áp dụng cách biến đổi đã nêu ở 
trên, ma trận độ cứng phần tử được viết lại như sau 
    
1 1 1
1 1 1
1
n
Tm k
e m m m k
k
h
K B D B J d d d
h
  
  (3.65a) 
    
1 1 1
1 1 1
1
n
Ts k
e s s s k
k
h
K B D B J d d d
h
  
  (3.65b) 
và ma trận khối lượng phần tử có dạng: 
92 
     
1 1 1
1 1 1
1
n
Tk k
e A B A B k
k
h
M N N N N J d d d
h
   
  (3.66) 
Trong đó n là số lớp; k là khối lượng riêng 
3.4.6. Góc xoay z (drilling degree freedom) 
 Luận án sử dụng phần tử 3D suy biến để mô hình cho cả gân và vỏ. Do 
có sự gấp khúc đột ngột giữa các phần tử gân và phần tử vỏ dẫn đến sự thay 
đổi về bậc tự do (biến dạng màng của phần tử này là biến dạng uốn của phần 
tử kia,...). Nếu chỉ sử dụng 5 bậc tự do sẽ xảy ra hiện tượng khi chuyển trục 
tọa độ địa phương về hệ tọa độ tổng thể sẽ có những phần tử không thỏa mãn. 
Để khắc phục hiện tượng này, luận án áp dụng kỹ thuật bổ sung thêm bậc tự 
do là góc xoay z với độ lớn bằng không trong hệ tọa độ địa phương vào ma 
trận phần tử nhằm đảm bảo mỗi nút phần tử có 6 bậc tự do (đủ để biểu diễn 
một điểm trong không gian). Khi đó, ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và 
véc tơ lực nút phần tử tăng kích thước lên thành 48x48 và 48x1. Viết cho một 
nút, ta có: 
'
ij
6x 6
0
ij 0
z
K
K
K

 (3.67) 
Khi đó, chuyển vị tại một nút phần tử trong hệ tọa độ phần tử x’,y’,z’ là 
 0 0 0 ' ' '' ' , ' , w ' , , ,i i ii i i x y zq u v    (3.68) 
Với 
' '
0
z z
K  (3.69) 
3.4.7. Phương trình chuyển động tổng quát 
Thực hiện phép ghép nối phần tử ta được phương trình chuyển động 
của toàn kết cấu như sau:       M q K q P  (3.70) 
trong đó:  K là ma trận độ cứng tổng thể :    
N
e
e 1
K K
  
93 
 M là ma trận khối lượng tổng thể:    
N
e
e 1
M M
  
 P là véc tơ lực nút tổng thể:   
N
e N
e 1
P P P
  
 
N
P là véc tơ các tải trọng tập trung đặt tại các nút 
 q là véc tơ chuyển vị nút kết cấu 
N là tổng số phần tử của cả hệ 
3.5. Các dạng bài toán 
3.5.1. Bài toán dao động tự do 
Khi tác động vào kết cấu một lực kích thích khiến kết cấu lệch khỏi vị 
trí cân bằng hiện tại rồi ngay lập tức bỏ lực kích thích đó đi, thì kết cấu có thể 
sẽ thực hiện một dao động tuần hoàn. Dao động này được gọi là dao động tự 
do. Dao động này là một thuộc tính của kết cấu, nó phụ thuộc vào sự phân bố 
của khối lượng và độ cứng trong toàn kết cấu. 
Khi tải trọng ngoài bằng không ta nhận được phương trình dao động tự 
do của kết cấu là:       M q K q 0  (3.71) 
 Bằng cách xem các dao động là điều hòa với tần số góc  và biên độ 
   i tq t q e  thay vào phương trình dao động tự do (3.71) dẫn tới bài toán trị 
riêng có dạng:      2K M q 0 (3.72) 
với q là biên độ của các chuyển vị nút khi dao động và xác định dạng 
dao động;  là tần số dao động riêng của kết cấu 
Phương trình (3.72) được gọi là bài toán trị riêng. Phương trình dạng 
rút gọn này là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất và nó sẽ có 
94 
nghiệm không tầm thường đối với q khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ 
số     2K M là bằng không, tức là:    2K M 0 (3.73) 
Điều kiện (3.73) suy ra một phương trình đại số bậc n đối với 2. Giải 
phương trình này tìm được n nghiệm thực dương, tức n giá trị dương của 2; 
từ các giá trị này ta tính được n giá trị tần số dao động riêng i . Tương ứng 
với mỗi tần số riêng i sẽ tìm được véc tơ riêng tương ứng iq bằng cách thay 
giá trị i vào phương trình (3.72) và giải ra iq . 
Véc tơ iq cho biết các biên độ dao động của các nút, được gọi là dạng 
dao động (mode shape) của kết cấu tương ứng với tần số dao động riêng thứ i. 
3.5.2. Bài toán tĩnh 
Khi tải trọng tác động lên kết cấu một cách từ từ trong một khoảng thời 
gian đủ lớn để gia tốc chuyển động có thể bỏ qua (không sinh ra lực quán 
tính) ta có bài toán tĩnh, khi đó phương trình cân bằng sẽ là: 
   K q P (3.74) 
Giải hệ phương trình trong công thức (3.74) ta được các chuyển vị nút, 
từ đó ta xác định được nội lực, biến dạng và ứng suất... 
3.5.3. Công thức tích phân số 
Các công thức tính ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, véc tơ lực nút 
của phần tử đều được thực hiện theo phương pháp tích phân số: Với ma trận 
độ cứng phần tử ta tách ra thành ma trận độ cứng màng – uốn và ma trân độ 
cứng cắt. Với ma trận độ cứng màng – uốn và ma trận khối lượng phần tử 
thực hiện tích phân với 3×3×2 điểm Gauss; với ma trận độ cứng cắt thực hiện 
với 2×2×2 điểm Gauss. 
95 
3.6. Sơ đồ khối của chương trình phân tích tĩnh và dao động riêng panel 
cầu/trụ composite lớp có gân gia cường 
Từ các phương trình PTHH đã được thiết lập ở trên, chương trình tính 
viết trên nền Matlab được viết nhằm phân tích: 
 + Bài toán tĩnh: Tính trường chuyển vị, ứng suất, biến dạng panel 
cầu/trụ composite lớp có và không có gân gia cường chịu uốn. 
Hình 3.7. Sơ đồ khối của chương trình tính 
Bắt đầu 
Nhập các dữ liệu đầu vào: Các đặc trưng hình học, vật liệu; 
Tải trọng; Điều