Tóm tắt Luận án Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

 thức (3.16), (3.23) và (3.25), (3.24), ta có 
46 
 ,
min1 1 1
2 min 2
dnkdn
kd kdk
Sk
k S


 (3.26) 
Các tỉ số /dn kdk k và ,min / mindn kdk kS S trong (3.26) là các đại lượng không thứ 
nguyên, cho thấy tiêu chuẩn đối ngẫu có hệ số tuyến tính hóa và giá trị cực tiểu 
nhỏ hơn so với của tiêu chuẩn kinh điển. Dựa trên nhận xét của Spanos [69] đã 
giới thiệu ở mục 2.2.1, ta thấy rằng tiêu chuẩn đối ngẫu tạo ra hệ số tuyến tính 
hóa nhỏ hơn, nên có khả năng cải thiện độ chính xác của nghiệm xấp xỉ so với 
tiêu chuẩn kinh điển. 
3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu 
Cách thay thế tương đương đối ngẫu do N.Đ. Anh đề xuất [8] có thể được 
xem xét một cách trực quan hơn trong không gian véc tơ. Xét không gian xác 
suất của các hàm ngẫu nhiên ,u x v x có trung bình không, mô men bậc hai 
hữu hạn và hàm mật độ xác suất p x R . Không gian xác suất này là không 
gian Hilbert H, có tích trong, chuẩn và khoảng cách được định nghĩa bởi [14] 
1/22 2
1/2 22
,
,
u v uv u x v x p x dx
u u u u u x p x dx
u v u v u x v x p x dx
 (3.27) 
Các hàm ,u x v x có thể biểu diễn dưới dạng các véc tơ u, v trong không gian 
Hilbert hai chiều. Góc θ giữa hai véc tơ u và v được định nghĩa bởi 
 ( , )cos u v
u v
 (3.28) 
Theo định lý phép chiếu trực giao, tồn tại duy nhất một véc tơ hình chiếu ,pu  
của phép chiếu trực giao véc tơ u lên phương của véc tơ v thỏa mãn 
 , infpu u u v (3.29) 
47 
Quan hệ hình học giữa véc tơ ,pu  với tích trong của u và v là 
 , 2
( , )cosp
v u vu u v
v v
 (3.30) 
Tương tự (1.31), hệ số tương quan và góc θ giữa u và v có liên hệ 
 1/2 1/22 2
( , )cos
uvu v r
u v u v
 (3.31) 
Thay (3.31) vào (3.30), véc tơ ,pu  có quan hệ với hệ số tương quan r là 
 ,p
vu r u
v
 (3.32) 
Hai véc tơ u và v được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một hệ số c, c R 
thỏa mãn phép nhân u cv , nghĩa là các véc tơ u và v có cùng phương hay 
 cos 1 . Khi u và v khác phương, ta có thể biểu diễn được quan hệ tuyến 
tính giữa véc tơ v với véc tơ hình chiếu pu của một phép chiếu véc tơ u lên 
phương của v. Nói một cách khác, véc tơ u được thay thế tương đương bằng véc 
tơ hình chiếu 
 p tdu k v (3.33) 
trong đó tdk là hệ số tương đương. Trong phép thay thế tương đương tuyến tính, 
khi sử dụng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu, bình phương khoảng cách giữa hai 
véc tơ u và tdk v được yêu cầu là nhỏ nhất, dẫn tới điều kiện 
 2 min
td
td k
u k v (3.34) 
Điều kiện (3.34) chính là phép chiếu trực giao mô tả bởi (3.29), hay ,p pu u  . 
Hệ số tương đương tdk thu được từ (3.34) là 
 2
( , )
 costd
u uu vk r
v vv
 (3.35) 
Áp dụng (3.34) cho tiêu chuẩn kinh điển với , td kdu A k v k B , thu được 
 2 min
kd
kd kd k
S A k B (3.36) 
48 
Từ (3.32) và (3.36) cho thấy trung bình bình phương sai số phương trình của 
tiêu chuẩn kinh điển tương ứng với bình phương khoảng cách giữa véc tơ A và 
véc tơ hình chiếu của nó trong phép chiếu trực giao lên véc tơ B. Hệ số tuyến 
tính hóa được biểu diễn theo chuẩn và hệ số tương quan là 
 22
cos
kd
AB A B A
k r
BB B

 (3.37) 
Tương tự, tiêu chuẩn đối ngẫu (3.12) có thể viết dưới dạng 
 2 2
,
1 1 min
2 2 dn dndn dn dn dn k
S A k B k B A

 (3.38) 
Biểu diễn như (3.38) cho thấy quá trình thay thế lượt đi từ dnA k B là phép 
chiếu véc tơ A lên phương của B, thể hiện bình phương khoảng cách của véc tơ 
A và véc tơ hình chiếu của phép chiếu này kdnB. Quá trình thay thế lượt về từ 
dn dnk B A là phép chiếu véc tơ kdnB lên phương của véc tơ A, thể hiện bình 
phương khoảng cách của véc tơ kdnB và và véc tơ hình chiếu của phép chiếu này 
λdnA. Tương ứng với cách thay thế đối ngẫu, sự kết hợp hai phép chiếu này được 
gọi là phép chiếu đối ngẫu. 
Dựa trên khái niệm này, tiêu chuẩn đối ngẫu còn có thể được phát biểu là trung 
bình đại số của các bình phương khoảng cách theo phép chiếu đối ngẫu yêu cầu 
là nhỏ nhất. Theo đó, các hệ số tuyến tính hóa và hệ số trở về trong (3.15) được 
biểu diễn theo chuẩn và hệ số tương quan là 
 22
1 1 1cos
cos
2 2 2
dn dn dn
dn
AB A B A
k
BB B
  

 (3.39) 
 22
cos cosdn
dn dn dn
AB A B k B
k k
AA A
 
 (3.40) 
Từ (3.39) ta có 
1
cos cos
2
dn
dn tb tbk B A A A r

 
 (3.41) 
trong đó 
 1 1
2 2tb dn
A A A (3.42) 
49 
Từ (3.40) ta có 
 cosdn dn dnA k B k B r  (3.43) 
Từ (3.41)-(3.43) rút ra các đặc trưng hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu 
- (3.41), (3.42) cho thấy tiêu chuẩn đối ngẫu thu được véc tơ kdnB là véc tơ hình 
chiếu của phép chiếu trực giao véc tơ Atb lên phương của véc tơ B, với chiều dài 
của véc tơ Atb bằng trung bình đại số chiều dài của các véc tơ A và λdnA. 
- (3.43) cho thấy véc tơ λdnA là véc tơ hình chiếu của phép chiếu trực giao véc tơ 
kdnB lên phương của véc tơ A. Nói một cách khác, khoảng cách giữa hai véc tơ 
này là nhỏ nhất 
 2 min
dn
dn dnk B A  (3.44) 
- Tỉ số /dn kdk k trong (3.26) còn có ý nghĩa là tỉ số độ dài của véc tơ kdnB so với 
véc tơ kkdB, và có thể biểu diễn là hàm của góc θ 
 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 cos
dn
kd
k
k r 
 (3.45) 
 a) 0 / 2 b) / 2  
Hình 3.1 Phép chiếu véc tơ của tiêu chuẩn đối ngẫu 
Biểu diễn hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn kinh điển cho hai 
trường hợp 0 / 2 và / 2  được thể hiện trên hình 3.1, theo đó 
- Khi 1 tương ứng 0 hay  , thì / 1dn kdk k , nghĩa là độ dài của 
véc tơ kdnB sẽ tăng dần đến độ dài của véc tơ kkdB. 
- Khi 1 tương ứng 0 hay  , thì các véc tơ A, kdnB, kkdB trùng nhau. 
- Khi 0 tương ứng / 2 , thì / 1 / 2dn kdk k nghĩa là độ dài của véc 
tơ kdnB sẽ giảm dần đến 1/2 độ dài của véc tơ kkdB. 
- Khi 0 tương ứng / 2 thì các véc tơ kdnB, kkdB có độ dài bằng 0. 
50 
3.2.4 Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai của dao 
động ngẫu nhiên phi tuyến 
Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do có dạng như (2.23) 
 22 ,ox hx x g x x t     (3.46) 
trong đó ,g x x là hàm phi tuyến của dịch chuyển x và vận tốc x có thể gồm 
nhiều thành phần biểu diễn dưới dạng 
1 1
, , ,
M N
i j
i j
g x x g x x g x x
     (3.47) 
với ,ig x x là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực cản phi tuyến thứ i, 
 ,jg x x là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực đàn hồi phi tuyến thứ j. 
Vì hệ phi tuyến (3.46) được thay thế bằng một hệ tuyến tính nên có thể áp dụng 
nguyên lý chồng chất cho việc thay thế hàm phi tuyến (3.47) như sau [2] 
1 1
1 1
, ; ,
,
,
i i j j
M M
i i
i i
N N
j j
j j
g x x b x g x x k x
g x x bx b x
g x x kx k x
 
 
  
  

 (3.48) 
Kết quả thu được phương trình tuyến tính hóa tương đương 
 22 ox h b x k x t    (3.49) 
trong đó b và k còn được gọi là các hệ số cản và hệ số độ cứng tuyến tính hóa 
tương đương, còn bi và kj gọi là các hệ số tuyến tính hóa thành phần tương ứng. 
Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với , , ; , ,i i i j j jA g x x B x A g x x B x    , từ 
các công thức (3.18), (3.16) xác định được các mức độ phụ thuộc tuyến tính 
thành phần và các hệ số tuyến tính hóa thành phần 
22
2 2 2 2
,,
;
, ,
ji
i j
i j
xg x xxg x x
g x x x g x x x
  
 
  
 (3.50) 
2 2
,,1 1;
2 2
ji
i j
i j
xg x xxg x x
b k
x x 
 

 (3.51) 
51 
Vì , , ,i jg x x g x x  là hàm lẻ của các quá trình ngẫu nhiên Gauss trung bình 
không ,x t x t nên các mức độ phụ thuộc tuyến tính thành phần ,i j  trong 
(3.50) là các số thực. Theo (3.48) các hệ số tuyến tính hóa tương đương cần tìm 
là tổng của các hệ số tuyến tính hóa thành phần 
2 2
1 1
,,1 1;
2 2
M N
ji
i ji j
xg x xxg x x
b k
x x  
   
  
  
 
 

 (3.52) 
Do giả thiết x và x là các quá trình Gauss độc lập nên nếu các hàm ,ig x x , 
 ,jg x x có dạng đa thức thì các mức độ phụ thuộc tuyến tính thành phần ,i j  
trong (3.50) sẽ là một giá trị số cụ thể, còn các hệ số tuyến tính hóa ,i jb k , b, k 
trong (3.51), (3.52) sẽ được biểu diễn theo các mô men bậc hai 2 2,x x . 
Như vậy, với hệ số tuyến tính hóa xác định theo các công thức trong (3.52) ta có 
thể sử dụng công thức được trình bày trong chương 2 áp dụng cho dao động 
tuyến tính để xác định các mô men bậc hai của đáp ứng xấp xỉ. Với các dao 
động được biểu diễn bởi phương trình vi phân bậc hai như (3.49), sử dụng các 
công thức nghiệm sau 
2 2
2 2
2
0
,
2 22 2
x x
h bh b k
 

 (3.53) 
Với các dao động được biểu diễn bởi phương trình vi phân bậc nhất có dạng 
 2 ,ox x g x x t    (3.54) 
thì công thức nghiệm của đáp ứng dịch chuyển là [60] 
2
2
2
02
x
k


 (3.55) 
Vì hệ số tuyến tính hóa là hàm đa thức của 2 2,x x nên (3.53), (3.55) là các 
phương trình đại số phi tuyến và có thể có nhiều nghiệm, trong đó nghiệm thực 
dương được sử dụng còn các nghiệm âm và nghiệm ảo bị loại bỏ. Các phương 
trình đại số phi tuyến này có thể giải được nhờ sử dụng phương pháp số có sẵn 
trong các phần mềm như MATLAB. 
52 
Như vậy, trình tự tính toán mô men bậc hai của đáp ứng xấp xỉ theo tiêu chuẩn 
đối ngẫu được thực hiện như sau 
A1. Tính toán các mô men 2 ,A AB theo mô men bậc hai 2B ; 
A2. Tính toán mức độ phụ thuộc tuyến tính µ theo công thức (3.18); 
A3. Sử dụng công thức (3.16) để tìm hệ số tuyến tính hóa thành phần, hệ số 
tuyến tính hóa tương đương là tổng các hệ số tuyến tính hóa thành phần; 
A4. Sử dụng công thức nghiệm của hệ tuyến tính (3.53) hoặc (3.55) để tính toán 
mô men bậc hai của đáp ứng xấp xỉ. 
Ở phần tiếp theo, ta xem xét áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu cho một số dao động 
ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss để đánh giá 
hiệu quả của tiêu chuẩn này. 
3.3 Các ví dụ áp dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo 
tiêu chuẩn đối ngẫu 
3.3.1. Dao động Van der pol 
Xét dao động Van der pol được mô tả bởi phương trình 
 2 2ox x x x t      (3.56) 
trong đó , , ,o    là các số thực dương, t
 là kích động ồn trắng Gauss 
cường độ đơn vị. 
Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, thay hàm phi tuyến của lực cản 
 2,g x x x x   bằng hàm tuyến tính bx , thu được phương trình tuyến tính 
 2ox b x x t     (3.57) 
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển trung bình bình 
phương của (3.57) xác định theo công thức 
2
2
22 o
x
b

 
 (3.58) 
Đáp ứng vận tốc và đáp ứng dịch chuyển của (3.57) có liên hệ 
 2 2 2ox x  (3.59) 
53 
Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với giả thiết x và x là độc lập, trước hết tính toán 
các mô men 
22 2 2 2 2 2
2 32 2 4 2 2 2 2 2 2 2
,
, 3 3
o
o
xg x x x x x x x
g x x x x x x x
  
   
   
  
 (3.60) 
Kết hợp (3.60) và (3.50), xác định được mức độ phụ thuộc tuyến tính 
222 2
32 2 2 2 2
1
33
o
o o
x
x x


  
 (3.61) 
Kết hợp (3.60), (3.61), (3.51), hệ số tuyến tính hóa thu được là 
 23
5dn
b x (3.62) 
Thay (3.62) vào công thức nghiệm tổng quát (3.58) tìm được nghiệm xấp xỉ 
theo tiêu chuẩn đối ngẫu 
2
2
2 232
5
dn
odn
x
x

  
 (3.63) 
Giải phương trình (3.63) được 
2
2 2
2
5 6
6 5dn o
x  
 
 (3.64) 
Khi áp dụng tiêu chuẩn kinh điển, nghiệm xấp xỉ xác định được là 
2
2
2
1 21 1
2kd o
x 
 
 (3.65) 
Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo được 
công bố trong [60]. Các tính toán được thực hiện với 0 1, 0.2, 2  và 
2 thay đổi. Sai số tính theo phần trăm giữa các nghiệm xấp xỉ 2
dn
x , 2
kd
x 
so với nghiệm mô phỏng 2
MC
x được trình bày trong bảng 3.2. Kết quả cho 
thấy nghiệm 2
dn
x có độ chính xác tốt hơn so với nghiệm 2
dk
x , cụ thể với sai 
số lớn nhất tương ứng là 5.2% so với 33.36%. 
54 
Bảng 3.2 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Van der Pol với α=0.2;  =1; 
=2; σ2 thay đổi 
2 2 MCx 
2
kd
x sai số (%) 2 dnx sai số (%) 
0.02 0.2081 0.1366 34.36 0.2069 0.56 
0.2 0.3638 0.2791 23.27 0.3838 5.50 
1 0.7325 0.5525 24.57 0.7342 0.23 
2 1.0255 0.7589 26.00 1.0000 2.49 
4 1.4525 1.0512 27.62 1.3770 5.20 
3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba 
Xét dao động có thành phần cản phi tuyến bậc ba 
 3 22 ox h x x x t      (3.66) 
trong đó , , ,oh    là các số thực dương, t là ồn trắng Gauss trung bình 
không. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, thay hàm phi tuyến của 
lực cản 32g x h x   bằng hàm tuyến tính bx , thu được phương trình tuyến tính 
 22 ox h b x x t    (3.67) 
trong đó b là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển trung bình bình phương 
của (3.67) xác định theo công thức 
2
2
22 2 o
x
h b


 (3.68) 
Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu, trước hết tính toán các mô men 
2 22 2 2 2 4 2
0 0
3 32 2 2 2 2 2 6 2
0
, 6 6
60 60
x x xg x h x h x
g x h x h x
  
  
   
 
 (3.69) 
Kết hợp (3.69) và (3.50), xác định được mức độ phụ thuộc tuyến tính 
 3 / 5 (3.70) 
Kết hợp (3.69), (3.70) và (3.51), hệ số tuyến tính hóa thu được là 
 2 20
30
7dn
b h x (3.71) 
Thay (3.71) vào công thức nghiệm tổng quát (3.68) tìm được nghiệm xấp xỉ theo 
tiêu chuẩn đối ngẫu 
55 
 2 22
2
7 7 7 15
30dn o
h h h
x
h


 (3.72) 
Trường hợp áp dụng tiêu chuẩn kinh điển, nghiệm xấp xỉ được xác định là [5]: 
2 2
2
2
3
6kd o
h h h
x
h


 (3.73) 
Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm xác định bằng phương pháp 
phi tuyến hóa tương đương 2
ENLE
x được công bố trong [60]. Các tính toán 
được thực hiện với 0.05, 1, 4oh h  và γ thay đổi. Sai số tính theo phần 
trăm giữa các nghiệm xấp xỉ 2
dn
x , 2
kd
x so với 2
ENLE
x được trình bày trong 
bảng 3.3. Kết quả cho thấy nghiệm 2
dn
x có độ chính xác tốt hơn so với 
nghiệm 2
kd
x , cụ thể đối với sai số lớn nhất tương ứng là 6.14% so với 9.17%. 
Bảng 3.3 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến bậc ba với 
0.05, 1, 4oh h  , và γ thay đổi 
γ 2
ENLE
x 2
kd
x sai số (%) 2
dn
x sai số (%) 
1 0.4603 0.4343 5.66 0.4885 6.14 
2 0.3584 0.3333 6.99 0.3803 6.10 
3 0.3058 0.2824 7.66 0.3242 6.02 
4 0.2720 0.2500 8.09 0.2882 5.95 
5 0.2479 0.2270 8.43 0.2624 5.84 
6 0.2294 0.2096 8.65 0.2427 5.80 
7 0.2147 0.1957 8.85 0.2270 5.73 
8 0.2025 0.1844 8.96 0.2141 5.73 
9 0.1923 0.1748 9.09 0.2033 5.70 
10 0.1835 0.1667 9.17 0.1939 5.69 
3.3.3 Dao động Duffing 
Xét dao động Duffing được mô tả bởi phương trình 
 31 32x hx c x c x t   (3.74) 
trong đó 3, ,h c  là các số thực dương, t
 là quá trình ồn trắng Gauss. Khi 
1 0c , dao động Duffing có một điểm cân bằng, đường cong thế năng U x 
của hệ có dạng giếng đơn (single-well) đối xứng qua 0x . Khi 1 0c dao động 
có hai điểm cân bằng, đường cong thế năng U x tương ứng có dạng giếng đôi 
56 
(double-well) đối xứng qua 0x và đạt cực tiểu tại 3 1/cx x k k như mô 
tả ở hình 3.2 [60]. 
Hàm mật độ xác suất của dao động Duffing được cho bởi [28] 
2 4
1 32
2 4
1 32
4 1 1exp
2 4
4 1 1exp
2 4
h c x c x
p x
h c x c x dx


   
  
   
 
 (3.75) 
theo đó trung bình bình phương của dịch chuyển là 
2 2 4
1 32
2
2 4
1 32
4 1 1exp
2 4
4 1 1exp
2 4
cx
hx c x c x dx
x
h c x c x dx


   
  
   
 
 (3.76) 
 a) Dạng giếng đơn, 1 0c b) Dạng giếng đôi, 1 0c 
Hình 3.2 Hàm thế năng dạng giếng đơn và giếng đôi 
Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, thay hàm phi tuyến 33g x c x 
bằng hàm tuyến tính kx, thu được phương trình tuyến tính 
 12x hx c k x t   (3.77) 
trong đó k là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển trung bình bình phương 
của (3.77) xác định theo công thức 
 2 2 1/ 4x h c k (3.78) 
Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với, trước hết tính toán các mô men 
24 2
3 3
32 2 6 2 2
3 3
3
15
xg x c x c x
g x c x c x
 (3.79) 
57 
Kết hợp (3.79) và (3.50), xác định được mức độ phụ thuộc tuyến tính 
222
3
32 2 2
3
3 3
515
c x
c x x

 (3.80) 
Kết hợp (3.79), (3.80) và (3.51), hệ số tuyến tính hóa thu được là 
 23
15
7dn
k c x (3.81) 
Thay (3.81) vào công thức nghiệm tổng quát (3.78) tìm được nghiệm xấp xỉ theo 
tiêu chuẩn đối ngẫu 
2
2 2 3
1 1
3
7 15
30 7dn
c
x c c
c h
 
 (3.82) 
Trường hợp áp dụng tiêu chuẩn kinh điển, nghiệm xấp xỉ được xác định là 
2
2 2 3
1 1
3
1 3
6kd
c
x c c
c h
 
 (3.83) 
Bảng 3.4 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với 1o , 0.5h , 
12, 1c ; 3c thay đổi 
3c 
2
xc
x 2
kd
x sai số (%) 2
dn
x sai số (%) 
0.1 0.8176 0.8054 1.49 0.8465 3.54 
0.5 0.5792 0.5486 5.29 0.6062 4.67 
1 0.4679 0.4343 7.19 0.4885 4.41 
5 0.2543 0.2270 10.74 0.2624 3.15 
10 0.1889 0.1667 11.77 0.1939 2.67 
50 0.0904 0.0784 13.27 0.0921 1.85 
100 0.0650 0.0561 13.65 0.0660 1.63 
Bảng 3.5 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động Duffing với 1o , 0.1h , 
12, 1c ; 3c thay đổi 
3c 
2
xc
x 2
kd
x sai số (%) 2
dn
x sai số (%) 
0.1 8.9346 6.0763 31.99 7.6978 13.84 
0.5 2.7916 2.1893 21.58 2.6767 4.12 
1 1.8209 1.4684 19.36 1.7786 2.32 
5 0.7335 0.6116 16.61 0.7314 0.29 
10 0.5063 0.4253 16.00 0.5069 0.13 
50 0.2193 0.1859 15.21 0.2207 0.66 
100 0.1539 0.1308 15.03 0.1551 0.78 
58 
Xét trường hợp hệ số độ cứng phi tuyến 3c thay đổi. Sai số tính theo phần trăm 
giữa các nghiệm xấp xỉ 2
dn
x , 2
kd
x so với nghiệm chính xác 2
xc
x được 
trình bày trong bảng 3.4 và 3.5 tương ứng với các trường hợp hệ số độ cứng 
tuyến tính 1 1c và 1 1c . Kết quả cho thấy tiêu chuẩn đối ngẫu có nghiệm 
xấp xỉ tốt hơn so với tiêu chuẩn kinh điển. Cụ thể là trong trường hợp 1 1c sai 
số lớn nhất của 2
dn
x là 4.67% so với 13.65% của 2
kd
x là, trong trường hợp 
 1 1c , sai số lớn nhất của 
2
dn
x là 13.84% so với 31.99% của 2
kd
x . 
3.3.4 Dao động có cản và đàn hồi phi tuyến 
Xét dao động có các thành phần cản và đàn hồi là hàm phi tuyến 
2
2 2 4 2 314
2 2 4
o
ox h x x x x x x t
 
  
   (3.84) 
trong đó , , ,oh    là các số thực dương, t là kích động ồn trắng Gauss 
cường độ đơn vị. Dao động (3.84) có thành phần cản phụ thuộc năng lượng, 
 2 2 2 4, 4 / 2 / 2 / 4of H x x h x x x    , hàm mật độ xác suất chính xác 
được xác định theo công thức (1.65). Đáp ứng trung bình bình phương của dịch 
chuyển là 
22
2 2 2 4
2
0 02
22
2 2 4
2
0 0
4 1exp
2 2 4
4 1exp
2 2 4
o
cx
o
hx x x x dxdx
x
h x x x dxdx
 

 

  
  
  
   
 
 
 
 (3.85) 
Theo cách thay thế từng phần (3.48), hàm phi tuyến dạng đa thức 
 2 2 2 4 3, 4 / 2 / 2 / 4og x x h x x x x x      được thay thế như sau 
1 2 3 4
3 2 2
1 1 2 2
4 3
3 3 4 1
, , ,
2 ; , 2 ;
, ;
o
g x x g x g x x g x x g x bx kx
g x hx b x g x x x x b x
g x x h x x b x g x x k x

 
    
     
  
 (3.86) 
Kết quả thu được phương trình tuyến tính 
59 
 2ox bx k x t    (3.87) 
trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển trung bình bình 
phương của (3.87) xác định theo công thức 
2
2
22 o
x
b k


 (3.88) 
Đáp ứng vận tốc và đáp ứng dịch chuyển của (3.87) có quan hệ 
 2 2 2ox k x  (3.89) 
Áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu, trước hết tính toán các mô men 
2 32 2 2 2
1 1
22 2 2 2 2 4 2 2
2 0 2 0
2 42 2 2 2 2
3 3
2 32 2 2 2
4 4
, 6 ; , 60
, 2 ; , 12
, 3 ; , 105
3 ; 15
xg x x h x g x x h x
xg x x h x x g x x h x x
xg x x h x x g x x x x
g x x g x x
 

 
    
    
    
 (3.90) 
Kết hợp (3.90) và (3.50), các mức độ phụ thuộc tuyến tính thành phần là 
 1 2 3
4
3 / 5; 1 / 3; 3 / 35;
3 / 5
  

 (3.91) 
Kết hợp (3.90), (3.91), (3.51) tìm được các hệ số tuyến tính hóa thành phần 
2 2 2
1 0
22 2 2
2 0 3
2
1
30 30 15
7 7 7
6 105;
5 67
15
7
b h x h x
b h x b h x
k x
 
 


 (3.92) 
Thay các kết quả trong (3.92) vào (3.52), (3.52) thu được các hệ số tuyến tính 
hóa tương đương b, k là tổng của các hệ số tuyến tính thành phần 
22 2 2 2 2
0 0
2
1
30 15 6 105
7 7 5 67
15
7
b h x h x h x
k k x
   

 (3.93) 
Thay (3.93) vào (3.88) thu được phương trình xác định đáp ứng xấp xỉ 
60 
2 24 3 22 22 4
0 0
2
5294250 5172090 1260672
11490 05
x x xh h h  

 (3.94) 
Áp dụng